Dimensione (infinita) di uno spazio vettoriale
Aldo Brucale
Tutte le basi di uno spazio separabile sono numerabili? Lo spazio dei
polinomi e quello delle funzioni olomorfe hanno la stessa dimensione?
Mi pare che abbiano la stessa "base", ma che nel primo caso si
considerino solo le combinazioni lineari finite, e nel secondo le
serie di potenze convergenti. Sono due diverse definizioni di base? E
qual è quella buona per definire la dimensione?
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== Aldo Brucale ===================
?manu*
> Come si definisce in generale la dimensione di uno spazio vettoriale?
Di solito non viene definita, se non per gli spazi a dimensione finita.
Se pero' proprio vuoi dare una definizione direi che dovrebbe essere la
cardinalita' di una base. L'esistenza delle basi e' sempre garantita, e
tutte le basi (di uno spazio) dovrebbero avere la stessa cardinalita'.
> Tutte le basi di uno spazio separabile sono numerabili?
Ora pero' non stai piu' parlando di spazi vettoriali nudi e crudi, ma di
spazi vettoriali topologici. Qui le cose si complicano perche' ci sono
diverse definizioni di basi.
Una base per uno spazio vettoriale (base di Hamel) e' un insieme di
vettori indipendenti tali che ogni altro vettore si scrive come
combinazione lineare finita di elementi della base.
In uno spazio vettoriale topologico puoi richiedere che ogni elemento si
scriva come serie (quindi anche infinita) degli elementi della base.
> Lo spazio dei
> polinomi e quello delle funzioni olomorfe hanno la stessa dimensione?
Per quanto riguarda le basi di Hamel direi di no. I polinomi ammettono una
base numerabile, mentre le funzioni olomorfe mi pare richiedano una
quantita' piu' che numerabile di elementi per formare una base di Hamel
(non ci giurerei, pero').
> Mi pare che abbiano la stessa "base", ma che nel primo caso si
> considerino solo le combinazioni lineari finite, e nel secondo le
> serie di potenze convergenti.
> Sono due diverse definizioni di base? E
> qual č quella buona per definire la dimensione?
Si', come ti dicevo sono due cose diverse. Ma in uno spazio vettoriale
(senza struttura topologica) solo la prima ha senso e quindi e' l'unica
definizione sensata per parlare di dimensione.
ciao,
Em.
Enrico Gregorio
> Occhio, perché non tutti gli spazi vettoriali ammettono una base. A Geometria
> I il prof ci fece un esempio di spazio vettoriale di dimensione non nulla che
> non ammette base, ma purtroppo non lo ricordo. Ricordo solo che era molto
> semplice ed aveva a che fare con le classi resto.
Dubito che fosse molto semplice; l'esistenza di una base di uno spazio
vettoriale discende dall'assioma della scelta. Naturalmente questo solo
per spazi di dimensione non finita, per i quali la dimostrazione
dell'esistenza di una base e' veramente facile.
E' comunque noto che l'assioma "ogni spazio vettoriale ha una base" e'
piu' debole dell'assioma della scelta (l'ho trovato sull'appendice
all'edizione italiana del libro di P. J. Cohen sull'ipotesi del continuo).
Enrico Gregorio
xyxyxy
>Occhio, perché non tutti gli spazi vettoriali ammettono una base.
> A Geometria I il prof ci fece un esempio di spazio vettoriale di dimensione non nulla che non ammette base.
Forse non ammetteva l'assioma della scelta, ma piu' probabilmente c'e
un errore.
?manu*
> Occhio, perché non tutti gli spazi vettoriali ammettono una base. A
> Geometria I il prof ci fece un esempio di spazio vettoriale di
> dimensione non nulla che non ammette base, ma purtroppo non lo
> ricordo. Ricordo solo che era molto semplice ed aveva a che fare con
> le classi resto.
Mi sembra molto strano. Il teorema di esistenza delle basi e' una semplice
applicazione del Lemma di Zorn. Sia V il tuo spazio vettoriale. Un
insieme B contenuto in V si dice "indipendente" se i suoi elementi sono
vettori indipendenti, cioe' se ogni combinazione lineare finita di
elementi di B si annulla solo quando i coefficienti sono tutti nulli.
A questo punto consideri la famiglia F di tutti gli insiemi indipendenti
di V. Su F puoi dare l'ordinamento parziale dato dall'inclusione. Data una
catena di elementi di F, puoi trovare un maggiorante prendendo l'unione di
tutti gli elementi della catena. Chiaramente questo e' ancora un elemento
di F. Dunque per il lemma di Zorn esiste un elemento massimale che e'
proprio una base per lo spazio vettoriale.
ciao,
Em.
Aldo Brucale
>Mauro Lattanzi <maurol...@tiscalinet.it> wrote:
>
>>Occhio, perché non tutti gli spazi vettoriali ammettono una base.
>> A Geometria I il prof ci fece un esempio di spazio vettoriale di dimensione non nulla che non ammette base.
>
>Forse non ammetteva l'assioma della scelta, ma piu' probabilmente c'e
>un errore.
>
>
Forse non ammetteva una base finita: non credo che ai tempi di
Geometria I avrei dato molto peso a questa precisazione...
Mauro Lattanzi
> ?manu* ha scritto:
>
> > On Sat, 12 Feb 2000, Aldo Brucale wrote:
> >
> > > Come si definisce in generale la dimensione di uno spazio vettoriale?
> >
> > Di solito non viene definita, se non per gli spazi a dimensione finita.
> > Se pero' proprio vuoi dare una definizione direi che dovrebbe essere la
> > cardinalita' di una base. L'esistenza delle basi e' sempre garantita
>
> Occhio, perché non tutti gli spazi vettoriali ammettono una base. A Geometria I il prof ci fece un esempio di spazio vettoriale di dimensione non nulla che non ammette base, ma purtroppo non lo ricordo. Ricordo solo che era molto semplice ed aveva a che fare con le classi resto.
>
> Ciao
> Mauro
Scusatemi ma ribadisco perché sono sicuro di ricordare bene. Il prof ci fece questo discorso: "Sono stato per moltissimo tempo a cercare una dimostrazione del fatto che ogni spazio vettoriale ammette una base, ma visto che non ci riuscivo, ho cominciato a dubitare che questo fosse vero. Se non che un giorno mentre cuocevo una frittata mi è venuto in mente uno spazio vettoriale che non ammette base." Poi ci disse qual era questo spazio vettoriale, e ricordo che era molto molto semplice e aveva a che fare con le classi resto (probabilmente era uno spazio vettoriale costruito su una classe resto), e sono sicuro che avesse dimensione finita perché era un esempio alla nostra portata (Geometria I).
Ora è anche possibile che la memoria faccia brutti scherzi, però...
Ciao
Mauro
Enrico Gregorio
<maurol...@tiscalinet.it> wrote:
No, no!
La questione dipende, come ho gia' detto, da quali assiomi di teoria
degli insiemi si fa uso. Se ammetti l'assioma della scelta, ogni spazio
vettoriale *ha* una base.
Del resto, la dimostrazione che, ammettendo assiomi diversi, esistono
spazi vettoriali senza basi e' stata data (se la memoria non mi tradisce)
da Sierpinski, non da un preparatore di frittate.
Chi era costui?
Enrico Gregorio
Mauro Lattanzi
Era il prof. Bichara della facoltà di Ingegneria della Sapienza di Roma.
Non è davvero l'ultimo arrivato... :)))
Ciao
?manu*
> Poi ci disse qual era questo spazio vettoriale, e ricordo che era
> molto molto semplice e aveva a che fare con le classi resto
> (probabilmente era uno spazio vettoriale costruito su una classe
> resto), e sono sicuro che avesse dimensione finita perché era un
> esempio alla nostra portata (Geometria I).
Scusa la domanda, ma come fai a dire che uno spazio ha dimensione finita,
se non trovandone una base?
ciao,
Em.
Mauro Lattanzi
Hai ragione: in realtà volevo dire che era costituito da un numero finito di elementi.
Mauro
Enrico Gregorio
> Era il prof. Bichara della facoltà di Ingegneria della Sapienza di Roma.
> Non è davvero l'ultimo arrivato... :)))
> Ciao
Scusa l'ironia del messaggio precedente; tuttavia uno di voi due ha preso un
granchio: ogni spazio vettoriale di dimensione finita ha una base,
indipendentemente dall'assioma della scelta.
Forse la cosa puo' essere non vera in ambito intuizionistico, non so,
ma non credo che l'intuizionismo sia materia di Geometria al
primo anno di Ingegneria.
Ciao
Enrico Gregorio
xyxyxy
>Scusa la domanda, ma come fai a dire che uno spazio ha dimensione finita,
>se non trovandone una base?
Basta per esempio mostrare che ogni insieme di piu' di k vettori e'
dipendente.
Jim Raynor
Mauro Lattanzi <maurol...@tiscalinet.it> wrote in message
38B56D0A...@tiscalinet.it...
> ?manu* ha scritto:
>
> > On Tue, 22 Feb 2000, Mauro Lattanzi wrote:
> >
> > > Poi ci disse qual era questo spazio vettoriale, e ricordo che era
> > > molto molto semplice e aveva a che fare con le classi resto
> > > (probabilmente era uno spazio vettoriale costruito su una classe
> > > resto), e sono sicuro che avesse dimensione finita perché era un
> > > esempio alla nostra portata (Geometria I).
> >
finita,
> > se non trovandone una base?
> >
> > Em.
>
> Hai ragione: in realtà volevo dire che era costituito da un numero finito
di elementi.
> Mauro
>
>
capire come un insieme finito possa essere uno spazio vettoriale. Forse non
ho abbastanza immaginazione da riuscire a trovare un esempio, ma
correggetemi se ho torto in queste mie affermazioni:
- un sottospazio vettoriale è un SOTTOINSIEME di uno spazio vettoriale che
gode di certe proprietà
- dati due vettori u e v appartenenti al sottospazio e dati due scalari a e
b reali, anche il vettore au+bv appartiene al sottospazio
- allora il sottospazio è non finito, poichè non finito è anche R
- allora se un sottospazio è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale ed è
infinito, come è possibile che lo spazio vettoriale sia finito?
Le mie conoscenze non sono gran cosa, non pretendo di saperne come quelli
che frequentano matematica, però frequento ingegneria e ho passato l'esame
di Geometria con un buon voto. Potreste chiarire i miei dubbi?
Saluti.
El Filibustero
>indipendentemente dall'assioma della scelta.
>
>Forse la cosa puo' essere non vera in ambito intuizionistico
Che uno spazio vettoriale finitamente generato ammetta una base e'
ovvio anche in logica intuizionista, in quanto esiste un algoritmo per
l'individuazione di una base a partire da un sistema di generatori.
Ciao
El Filibustero
>capire come un insieme finito possa essere uno spazio vettoriale.
Prendi un campo finito: e' spazio vettoriale su se' stesso.
>- allora il sottospazio è non finito, poichè non finito è anche R
Quello del tuo esempio e' un spazio vettoriale sul campo infinito R,
ma esistono anche spazi vettoriali su campi finiti. Ciao