sottosp. vett. matrici simmetriche/antisimmetriche
Matteo D.
Sia M lo sp. vett. delle matrici 2x2 sui reali.
Sia S il sottosp. delle matrici simmetriche,
e sia T il sottosp. delle matrici antisimmetriche.
Dire se M è somma diretta di S e T.
Allora, una base di S è
1 0 0 0 0 1
0 0 0 1 1 0
che è anche una base di T, e quindi S e T sono lo stesso sottospazio di
dim 3. Va da sé che M non è somma diretta. E' giusto? non lo so, mi
sembra banale, non vorrei aver detto una cazzata.
Ciao!
matteo
Enrico Gregorio
Ogni matrice simmetrica è antisimmetrica? A me pare di no.
Suggerimento per l'esercizio: non occorre considerare basi, meglio
usare la nota caratterizzazione della somma diretta.
Uno spazio vettoriale V è somma diretta dei sottospazi S e T se e solo
se ogni elemento di V si scrive in uno e un solo modo come somma di un
elemento di S e di uno di T.
Ciao
Enrico
Matteo D.
ok... no cmq ignoratemi. ho detto una cazzata e pure bella grossa. Scusate:)
Matteo D.
cmq, a parte la figura barbina, io posso dire che una base di T
(sottospazio delle matrici antisimmetriche 2x2) è
B_T = 0 1
-1 0
(chiamo B_S l'altra base), e quindi {B_S, B_T} è un insieme di matrici
lin. indip. e di cardinalità 4. Ed essendo M di dim 4, allora è vero che
M = S (+) T. Giusto?
grazie!
matteo
Matteo D.
vabbč, un po' di casino con la notazione...
> posso dire che una base di T č
> B_T = { 0 1 }
> -1 0
> e quindi B_S U B_T č un insieme di matrici...
Enrico Gregorio
Capita. :)
Ci sono vari modi per risolvere l'esercizio.
(1) La base di S che hai trovato è corretta: una matrice simmetrica deve
avere la forma
a b
b c
quindi è combinazione lineare di quelle tre in modo unico.
Una base di T è data dalla matrice
0 -1
1 0
quindi la somma delle dimensioni è 4. Basta dunque osservare che
l'intersezione di S e T contiene solo la matrice nulla.
Ma se A è simmetrica e antisimmetrica, hai
A = A^T = -A
quindi 2A = 0, da cui A = 0.
(2) Se A è una matrice qualunque, allora si può scrivere
A = (1/2) (A + A^T) + (1/2) (A - A^T)
Il primo addendo a destra è una matrice simmetrica, il secondo una
matrice antisimmetrica. Supponiamo ora che A = B + C, con B simmetrica
e C antisimmetrica. Allora
A^T = B^T + C^T = B - C
e quindi A + A^T = B + C + B - C = 2B, da cui B = (1/2)(A + A^T).
Analogamente C = (1/2)(A - A^T) e perciò la scrittura di A come somma
di una simmetrica e una antisimmetrica è unica.
La seconda soluzione, come vedi, non richiede di conoscere l'ordine
delle matrici: vale per matrici n x n (n arbitrario).
La seconda parte della soluzione (2) può essere sostituita
dall'osservazione fatta in (1) che l'intersezione dei due sottospazi
è il sottospazio {0}.
Ciao
Enrico
Kiuhnm
No, è sbagliato.
Per comodità, scriviamo la matrice
a b
c d
come vettore (a,b,c,d).
Allora
M = {(a,b,c,d) | a,b,c,d in R}
S = {(a,b,b,c) | a,b,c in R}
T = {(0,a,-a,0) | a in R}
Troviamo delle basi per S e T:
B_S = {(1,0,0,0), (0,1,1,0), (0,0,0,1)}
B_T = {(0,1,-1,0)}
Usando la riduzione di Gauss, si vede immediatamente che S(+)T = M,
infatti scrivendo la matrice
1 0 0 0
0 1 1 0
0 0 0 1
0 1 -1 0
notiamo che le prime 3 righe sono lin. indipendenti e che la quarta riga
non può essere ottenuta come comb. lin. delle prime poiché non è un
multiplo della seconda.
Se proprio vogliamo, applicando la riduzione otteniamo
1 0 0 0
0 1 1 0
0 0 -2 0
0 0 0 1
Kiuhnm
mind
Per A matrice reale, notiamo A = (A+A^T)/2 + (A-A^T)/2, cosa si può
dire di (A+A^T)/2 e di (A-A^T)/2? Inoltre se una matrice reale è
simmetrica e antisimmetrica allora ...
Quindi la risposta è ...
Ciao, Gil.
mind
Arg, arrivo sempre tardi :D
Saluti, Gil