Derivate funzioni iperboliche
Max
Allora, senh(x)=(e^x-e^-x)/2
Andando a derivare usando la formula di derivazione per un quoziente, al
denominatore abbiamo 4, al num:
d((e^x-e^-x)*2 - (e^x-e^-x)*d(2)=(e^x-e^-x)*2-0
Quindi: [(e^x-e^-x)*2]/4=senh(x)
Ovviamente sbagliata.
Simone
Perche' complicarsi la vita cosi'? Il denominatore e' una costante, la
derivazione e' un'operazione lineare. Basta applicare la regola di
derivazione di una somma di funzioni derivabili. Ti torna?
Max
> On 2010-01-13 11:54:37 +0100, Max <maxf...@despammed.com> said:
> Perche' complicarsi la vita cosi'? Il denominatore e' una costante
Stamattina ho saltato il caff�...
...che scusa patetica ;-)
> Basta applicare la regola di
> derivazione di una somma di funzioni derivabili. Ti torna?
Quindi d((e^x-e^-x), ossia: e^x - e^-x
Perch� dovrebbe venire il segno pi�?
L'instabile erpetologa lituana ricercata per aver abusato dei pitoni dello zoo di Grenoble a scopo di libidine
> derivazione per un quoziente, al denominatore
> abbiamo 4, al num:
GASP! Ho tentato per pura curiosità di seguire la
stessa strada e vedere come si sviluppano i passaggi
- ovviamente nessuno farebbe mai con la regola del
quoziente di funzioni. Non mi riesce di non
scriverla (1/2)(e^x-e^-x) nemmeno se provo a
impormelo. :D
--
Un bruco in un piatto di spaghetti:
"ahhh, finalmente un'orgia!"
L'instabile erpetologa lituana ricercata per aver abusato dei pitoni dello zoo di Grenoble a scopo di libidine
>
scrivila così: y = e^(k*x) quindi, y'=k*e^(k*x) e
siccome k = -1 se ne deduce che hai anche saltato la
cena ieri sera (comunque capita, io faccio di peggio).
Max
>> Quindi d((e^x-e^-x), ossia: e^x - e^-x
>>
>
> scrivila cosￜ: y = e^(k*x) quindi, y'=k*e^(k*x) e
> siccome k = -1 se ne deduce che hai anche saltato la
> cena ieri sera (comunque capita, io faccio di peggio).
No, la realtￜ ￜ che devo fare tanti esercizi sulle derivate, io ho dato
per scontato che:
d e^-x = e^-x, dal fatto che d e^x fosse e^x.
Max
iperbolico:
Se consideriamo la restrizione di cos(h)x per x>=0 abbiamo una funzione
strettamente crescente e con codominio in [1, inf.] quindi possiamo
considerarne l'inversa.
Se y=cosh(x)=[e^x+e^-x]/2
Invertire la funzione significa esprimere la x in funzione della y, si
ricava quindi l'eq di secondo grado:
e^(2x)-2y*e^x+1=0
Che ha le due soluzioni:
x=log[y(+/-)sqrt(y^2-1)]
A questo punto il testo arriva(tramite passaggi algebrici che ometto) a
questa uguaglianza:
log[y-sqrt(y^2-1)]=-log[y+sqrt(y^2-1)]
Ossia le due radici sono una opposta dell'altra, e che quindi possiamo
considerare solo x=log[y+sqrt(y^2-1)]
Ecco il punto: non sono riuscito a capire perch� esclude l'altra
soluzione... :-(
Grazie.
Max
iperbolico:
Se consideriamo la restrizione di cos(h)x per x>=0 abbiamo una funzione
strettamente crescente e con codominio in [1, inf.] quindi possiamo
considerarne l'inversa.
Se y=cosh(x)=[e^x+e^-x]/2
Invertire la funzione significa esprimere la x in funzione della y, si
ricava quindi l'eq di secondo grado:
e^(2x)-2y*e^x+1=0
Che ha le due soluzioni:
x=log[y(+/-)sqrt(y2-1)]
A questo punto il testo arriva(tramite passaggi algebrici che ometto) a
questa uguaglianza:
log[y-sqrt(y2-1)]=-log[y+sqrt(y2-1)]
Ossia le due radici sono una opposta dell'altra, e che quindi possiamo
considerare solo x=log[y+sqrt(y2-1)]
Max
> Che ha le due soluzioni:
> x=log[y(+/-)sqrt(y2-1)]
>
> A questo punto il testo arriva(tramite passaggi algebrici che ometto) a
> questa uguaglianza:
>
>
> log[y-sqrt(y2-1)]=-log[y+sqrt(y2-1)]
>
> Ossia le due radici sono una opposta dell'altra, e che quindi possiamo
> considerare solo x=log[y+sqrt(y2-1)]
In tutti questi passaggi � y^2-1
Simone
>
> Ecco il punto: non sono riuscito a capire perch� esclude l'altra
> soluzione... :-(
>
La funzione cosh non e' globalmente invertibile. Occorre
restringerla, e di conseguenza sei obbligato a scegliere
uno dei due segni. Per convenzione, si tiene quello che trovi
sul libro.
Max
> La funzione cosh non e' globalmente invertibile. Occorre
> restringerla, e di conseguenza sei obbligato a scegliere
> uno dei due segni. Per convenzione, si tiene quello che trovi
> sul libro.
Quindi � una semplice convenzione?
Senza nessun ragionamento, solo del tipo "prendine una delle due a
casaccio..."
Grazie Simone!
Max
Aggiungo alla frase di sopra "...tanto sono di segno opposto, quindi
solo una cadr� nella mia restrizione"
cometa_luminosa
> soluzione... :-(
Probabilmente soltanto perche' log[y+sqrt(y^2-1)] e' piu' semplice da
scrivere rispetto a -log[y-sqrt(y^2-1)]. Un po' come scegliere tra
scrivere 5 oppure 10/2.
Simone
> casaccio..."
>
E' come per le inverse di seno e coseno: nessuna delle due funzioni
e' globalmente invertibile, e dunque occorre pensarle ristrette ad
intervalli dove sono iniettive (e suriettive). Il resto sono convenzioni.
Pensa anche alla radice quadrata (intesa in senso funzionale,
non vorrei scatenare un flame sulla natura del campo reale):
vuoi moralmente invertire x -> x^2. Ma sai che non puoi, se
permetti alla x di variare in tutto l'asse reale. Allora
la restringi alla piu' grande semiretta che ti permetta
di avere invertibilita'. Perche' allora si sceglie la
semiretta dei numeri non negativi? Pura convenzione,
sarebbe possibile dire che la radice quadrata "sputa fuori" numeri non positivi,
e tutto potrebbe essere portato avanti coerentemente.