definizione di funzione derivabile
fctk
di funzione derivabile e la definizione di derivata sinistra/destra. ho
controllato la cosa su due libri differenti, ed entrambi dicono le
stesse cose e pertanto entrambi mi sembrano contraddittori.
riporto la definizione di derivata sinistra/destra:
Sia data una funzione f: (a,b)-->R e sia x0 in (a,b).
[faccio notare esplicitamente che il requisito fondamentale è avere una
funzione definita in un intervallo *aperto*]
Diremo che f è derivabile a destra (risp. a sinistra) in x0 se esiste
finito il limite destro (risp. sinistro) del rapporto incrementale:
lim x-->x0+ [f(x)-f(x0)] / (x-x0) (risp. ...)
In tal caso, il valore di questo limite viene detto derivata destra
(risp. derivata sinistra) di f in x0 e viene indicato con f'+(x0) (risp.
f'-(x0)).
fin qui sembra tutto ok. poi leggo poco dopo che:
Sia f: [a,b]--> R. [notare l'intervallo *chiuso*]. Si dice che f è
derivabile nell'intervallo [a,b] se è derivabile in ogni punto x in
(a,b) e inoltre se f ammette derivata destra nel punto x=a e derivata
sinistra nel punto x=b.
Ora, a me sembra che non abbia senso dire che f ammetta derivata destra
in x=a o che ammetta derivata sinistra in x=b perchè, per come derivata
destra/sinistra sono definite, il requisito fondamentale è avere una
funzione definita in un intervallo *aperto*, non chiuso, e che il punto
x0 per il quale si fa tendere il limite del rapporto incrementale
appartenga ad un intervallo aperto, non chiuso.
gli unici modi che mi paiono possibili per ovviare a questa
contraddizione sono:
1) estendere la definizione di derivata destra/sinistra anche quando si
ha una funzione definita su un chiuso [a,b], trattando separatamente i
casi x0=a e x0=b.
2) estendere la definizione di derivata "normale" anche quando f
definita in [a,b] (tanto il limite del rapporto incrementale ha senso
anche quando, per x-->x0, x0=a o x0=b).
ad ogni modo, mi chiedo: ma è veramente essenziale poter dire che una
funzione è derivabile in un intervallo chiuso [a,b] piuttosto che in uno
aperto (a,b)? il fatto è che la maggior parte dei teoremi sulle derivate
ha come ipotesi che una data funzione sia derivabile in un intervallo
aperto (vedi rolle, lagrange, fermat...).
fin'ora ho sempre fatto riferimento al concetto di derivabilità su un
intervallo aperto e non ho mai rilevato problemi di alcun tipo... c'è
qualche caso in cui fare questa scelta implichi risultati incompleti o
addirittura sbagliati?
Simone
La derivabilita' e' definita per punti interni all'insieme di definizione.
Questo ti sarebbe evidente in dimensione superiore a uno. Poi, spesso,
capita di voler estendere la nozione di derivata anche a punti di
frontiera. In dimensione superiore, si usa chiedere che la tua funzione
sia la restrizione di una funzione piu' regolare. SI dimostra poi che la
derivabilita' non dipende dall'estensione prescelta.
In dimensione uno, le cose sono apparentemente piu' facili, visto che non
c'e' alcuna geometria nell'insieme di definizione. Ricorda pero' che la
derivata e' un concetto locale, quindi tutte le affermazioni relative
all'insieme di definizione vanno prese "cum grano salis". Se il punto in
cui derivi e' interno, nessun problema. Le derivate destre e sinistre
coinvolgono, per definizione, i valori della funzione a destra e a
sinistra del punto. Quindi tanto vale prendere il punto come estremo
sinistro o destro dell'insieme di definizione.
fctk
> In dimensione uno, le cose sono apparentemente piu' facili, visto che non
> c'e' alcuna geometria nell'insieme di definizione. Ricorda pero' che la
> derivata e' un concetto locale, quindi tutte le affermazioni relative
> all'insieme di definizione vanno prese "cum grano salis". Se il punto in
> cui derivi e' interno, nessun problema. Le derivate destre e sinistre
> coinvolgono, per definizione, i valori della funzione a destra e a
> sinistra del punto. Quindi tanto vale prendere il punto come estremo
> sinistro o destro dell'insieme di definizione.
credo di non aver capito le ultime due frasi... ad ogni modo, faccio un
esempio concreto.
f(x) = x considerata soltanto in [0,1], cioè dom(f)=[0,1]
dunque il più ampio intervallo aperto che posso considerare è ovviamente
(0,1), ed è banale che la derivata faccia 1, cioè:
f'(x) = 1 dom(f') = (0,1)
quindi per adesso posso dire che f è derivabile in (0,1), ma *non* in
x=0, x=1.
in teoria potrei benissimo calcolare:
lim h-->0+ [f(x+h)-f(x)]/h per x=0 (il risultato è 1)
lim h-->0- [f(x+h)-f(x)]/h per x=1 (il risultato è 1)
il problema è che x = 0 non appartiene all'intervallo (0,1), quindi non
posso dire, per come è definita la derivata destra, che f'+(0) = 1.
analogamente x = 1 non appartiene all'intervallo (0,1), quindi non posso
dire, per la stessa ragione, che f'-(1) = 1.
la definizione di derivata destra/sinistra del libro ha le stesse
ipotesi della definizione della derivata normale, e cioè che:
f: (a,b) --> R
x0 \in (a,b)
[notare gli aperti]
se invece le derivate destra/sinistra fossero definite con l'ipotesi di
avere f: [a,b]-->R, x0\in [a,b], nel seguente modo:
* se x0 \in (a,b) allora si definisce la derivata sinistra/destra come
al solito
* se x0 = a allora si definisce (come al solito) la sola derivata destra
* se x0 = b allora si definisce (come al solito) la sola derivata sinistra
allora potrei concludere che f'+(0)=1 e f'-(1)=1, e quindi che f è
derivabile in [0,1], e non solo in (0,1).
però a questo punto mi sembra più semplice ridefinire il concetto di
derivata normale estendendolo ad una f: [a,b]-->R semplicemente
estendendo questa ipotesi e non toccando nient'altro, e poi dire che f è
derivabile in [a,b] se esiste finita f'(x) per ogni x\in [a,b].
non so se si capisce quello che voglio dire...
ad ogni modo, ripeto, non vedo l'utilità di fare queste estensioni...
non ho mai incontrato un teorema che richiedesse una funzione derivabile
in [a,b], ma sempre e solo quelle derivabili in (a,b).
Simone
On Mon, 6 Feb 2006, it was written:
> credo di non aver capito le ultime due frasi... ad ogni modo, faccio un
> esempio concreto.
>
Non avere cieca fiducia nel tuo libro, magari usa notazioni/convenzioni
incosistenti. Fosse il primo...
Per quanto mi riguarda, la derivabilita' e' in un punto interno. Poi si
puo' tentare di definire la derivata in un punto di frontiera. E' evidente
che, in dimensione uno, tanto vale localizzare la funzione su intervalli
(anche se il dominio potrebbe essere alquanto patologico). Con queste
convenzioni, il tuo libro lascia intendere che la derivata di una funzione
f: [a,b] -> R in x=a e' il limmite destro dei rapporti incrementali. Che
c'e' di male? Ovvio che se f non e' nemmeno definita in a, ci prendiamo in
giro...
fctk
> Con queste convenzioni, il tuo libro lascia intendere che la derivata di
> una funzione f: [a,b] -> R in x=a e' il limmite destro dei rapporti
> incrementali. Che c'e' di male? Ovvio che se f non e' nemmeno definita
> in a, ci prendiamo in giro...
in realtà non dice che la derivata in x=a è il limite destro del
rapporto incrementale... dice (o meglio, lascia intendere) che se esiste
il limite destro del rapporto incrementale in x=a, esiste f'+(a) ed f è
*derivabile* in x=a (non che ammette derivata in x=a, è diverso).
Graziano
> [cut]
> se invece le derivate destra/sinistra fossero definite con l'ipotesi di
> avere f: [a,b]-->R, x0\in [a,b], nel seguente modo:
>
> * se x0 \in (a,b) allora si definisce la derivata sinistra/destra come
> al solito
> * se x0 = a allora si definisce (come al solito) la sola derivata destra
> * se x0 = b allora si definisce (come al solito) la sola derivata sinistra
>
> allora potrei concludere che f'+(0)=1 e f'-(1)=1, e quindi che f è
> derivabile in [0,1], e non solo in (0,1).
>
Questa definizione va bene.
> però a questo punto mi sembra più semplice ridefinire il concetto di
> derivata normale estendendolo ad una f: [a,b]-->R semplicemente
> estendendo questa ipotesi e non toccando nient'altro, e poi dire che f è
> derivabile in [a,b] se esiste finita f'(x) per ogni x\in [a,b].
>
Volendo, nel caso di funzioni di una sola variabile, va bene anche questa.
Tuttavia si preferisce (in parte per i motivi gia' spiegati da Simone)
definire il concetto di derivabilita' (e di differenziabilita') solo nei
punti interni del dominio di una funzione.
> ad ogni modo, ripeto, non vedo l'utilità di fare queste estensioni...
> non ho mai incontrato un teorema che richiedesse una funzione derivabile
> in [a,b], ma sempre e solo quelle derivabili in (a,b).
Teorema:
Sia f:[a,b] -> R una funzione derivabile a sinistra e a destra (come
nella tua prima definizione, in a solo a destra e in b solo a sinistra).
Sia x_0 in [a,b] un punto di minimo relativo di f.
Allora f'_+(x_0) >= 0, f'_-(x_0) <= 0.
(Ancora, se x_0=a e' definita solo f'_+, se x_0=b solo f'_-.)
Esempio:
Supponiamo che tu voglia studiare la funzione
f(x) = exp(sqrt(x))-sqrt(x).
Vedi subito che f e' definita e continua in [0,+infty).
Come fai a vedere che andamento ha in un intorno destro dell'origine?
Il modo piu' semplice (almeno se si conosce solo il concetto di derivata
prima) e' calcolare la derivata destra di f in 0, che vale 1/2.
Questo ti dice che, in prima approssimazione, in un intorno destro
dell'origine la funzione si comporta circa come la retta y=1+x/2.
--
Ciao,
Graziano
Simone
> > ad ogni modo, ripeto, non vedo l'utilità di fare queste estensioni...
> > non ho mai incontrato un teorema che richiedesse una funzione derivabile
> > in [a,b], ma sempre e solo quelle derivabili in (a,b).
>
> Teorema:
> Sia f:[a,b] -> R una funzione derivabile a sinistra e a destra (come
> nella tua prima definizione, in a solo a destra e in b solo a sinistra).
> Sia x_0 in [a,b] un punto di minimo relativo di f.
> Allora f'_+(x_0) >= 0, f'_-(x_0) <= 0.
> (Ancora, se x_0=a e' definita solo f'_+, se x_0=b solo f'_-.)
>
Esistono situazioni, molto piu' raffinate, in cui non puoi prescindere
dallo studio di funzioni definite su insiemi dotati di una frontiera non
banale. Ad esempio, in topologia differenziale. Li', e' obbligatorio
arrivare prima o poi al caso in cui si vuole derivare in un punto a cui e'
impossibile tendere in qualsiasi modo. CHiaramente, sulla retta reale cio'
e' piuttosto ridicolo, visto che ci sono solo due modi (a meno di
saltelli a destra e a sinistra) per avvicinarsi ad un punto.
Per curiosita': di quale meraviglioso trattato di analisi stiamo parlando?
Mi sembra che ne pubblichino fin troppi, e piu' ne escono, piu'
peggiorano!
Simone
> in realtà non dice che la derivata in x=a è il limite destro del
> rapporto incrementale... dice (o meglio, lascia intendere) che se esiste
> il limite destro del rapporto incrementale in x=a, esiste f'+(a) ed f è
> *derivabile* in x=a (non che ammette derivata in x=a, è diverso).
>
Che differenza c'e' fra derivabile e dotato di derivata???
Graziano
>> Teorema:
>> Sia f:[a,b] -> R una funzione derivabile a sinistra e a destra (come
>> nella tua prima definizione, in a solo a destra e in b solo a sinistra).
>> Sia x_0 in [a,b] un punto di minimo relativo di f.
>> Allora f'_+(x_0) >= 0, f'_-(x_0) <= 0.
>> (Ancora, se x_0=a e' definita solo f'_+, se x_0=b solo f'_-.)
>>
>
> Mi sembra che ne pubblichino fin troppi, e piu' ne escono, piu'
> peggiorano!
Tranquillo, ho inventato il teorema al volo tanto per far comparire le
derivate sinistre e destre agli estremi dell'intervallo.
(Comunque si trova scritto anche di peggio...)
--
Ciao,
Graziano
fctk
da quello che ho capito la differenza è questa.
faccio un esempio:
f(x) = 5 considerata in [1,2]
f'(x) = 0 in (1,2) cioè f è dotata di derivata normale f'(x) per ogni x
appartenente a (1,2).
f'+(1) = 0
f'-(2) = 0
quindi f derivabile in [1,2].
a ritroso, ciò significa che:
1) f ammette f'(x) in (1,2)
2) f ammette f'+(1)
3) f ammette f'-(2)
cioè non significa che esiste f'(1) e/o f'(2).
in sintesi: se f è dotata di derivata f'(x0) in x = x0 allora f è
derivabile in x = x0; non vale il viceversa, e cioè che se f è
derivabile in x = x0 allora f è dotata di derivata f'(x0) in x= x0.
la cosa che mi da fastidio è proprio questa sottile ambiguità nel
linguaggio, che ti costringe di volta in volta a capire a cosa
precisamente l'autore si stia riferendo...
Simone
> Tranquillo, ho inventato il teorema al volo tanto per far comparire le
> derivate sinistre e destre agli estremi dell'intervallo.
> (Comunque si trova scritto anche di peggio...)
No, scusami :-) Mi riferivo al libro dell'original poster (!), non al tuo
teorema.
Simone
> la cosa che mi da fastidio è proprio questa sottile ambiguità nel
> linguaggio, che ti costringe di volta in volta a capire a cosa
> precisamente l'autore si stia riferendo...
>
Hai centrato il punto: e' sempre sgradevole, ma spesso suggestivo, usare
lo stesso nome o aggettivo per concetti parzialmente diversi. Nel
linguaggio delle distribuzioni di L. Schwarz, si suol dire che tutte le
funzioni sono derivabili. Bella forza, hanno cambiato la definizione di
derivata!!
Mi sembra che in tutto questo thread sia basilare dare delle definizioni e
ad esse attenersi il piu' possibile. E' spiacevolo che certi libri di
testo (non trattati per specialisti) abusino del linguaggio a questi
livelli. Ma forse sperano proprio che lo studente si fermi al livello del
linguaggio intuitivo, senza badare troppo alla matematica che si nasconde
dietro.
fctk
sta creando così tanti problemi:
" Se f è definita in un intervallo del tipo [a,b], allora x0 = a non è
un punto interno dell'intervallo, quindi non possiamo utilizzare la
Definizione 4.1 di derivata. Tuttavia possiamo, in quel punto, definire
ugualmente la derivata destra (se esiste finito il limite destro del
rapporto incrementale). Se f è derivabile a destra in x0 = a, diremo
semplicemente che f è derivabile in a. Analogamente si tratta il punto
x0 = b utilizzando la derivata sinistra. "
Quindi in pratica, come ha detto Graziano nell'altro post, si preferisce
estendere il concetto di derivata sinistra/destra piuttosto che alterare
quello di derivata "normale". ok, lo posso anche accettare, tuttavia mi
crea qualche problema rompere il legame che sussiste tra l'esistenza di
f'(x) e il dire che f è derivabile in x.
fctk
> No, scusami :-) Mi riferivo al libro dell'original poster (!), non al tuo
> teorema.
allora il libro sul quale l'original poster ( :D ) sta studiando è il
seguente:
Matematica 1 - Teoria ed Esercizi
Graziano Crasta - Annalisa Malusa
Pitagora Editrice Bologna
ho sotto mano anche:
Elementi di Analisi Matematica Uno
Paolo Marcellini - Carlo Sbordone
Liguori Editore
che mi sembra in generale un pelino più preciso ma, putroppo, non in
questo caso :(
fctk
allora credo di aver trovato un buon compromesso tra
1) ciò che dice il libro
2) ciò che dite voi
3) ciò che sembra ragionevole a me
4) semplicità e coerenza
*def* (*derivata*)
f: (a,b) --> R
x0 \in (a,b)
f *derivabile* in x0 se esiste finito:
f'(x0) = lim x --> x0 [ f(x) - f(x0) ] / ( x - x0 )
in questo caso f'(x0) è la *derivata* di f in x0.
*oss*
f derivabile in x0
esiste f'(x0) finito
f ammette derivata in x0
sono tutti _sinonimi_
*def* (*derivata sinistra/destra*)
f: [a,b] --> R
x0 \in [a,b]
1) x0 \in [a,b)
f *derivabile a destra* in x0 se esiste finito:
f'+(x0) = lim x --> x0+ [ f(x) - f(x0) ] / ( x - x0 )
in questo caso f'+(x0) è la *derivata destra* di f in x0.
2) x0 \in (a,b]
f *derivabile a sinistra* in x0 se esiste finito:
f'-(x0) = lim x --> x0- [ f(x) - f(x0) ] / ( x - x0 )
in questo caso f'-(x0) è la *derivata sinistra* di f in x0.
come vi sembra? posso memorizzare questo schema una volta per tutte?
Graziano
> allora il libro sul quale l'original poster ( :D ) sta studiando è il
> seguente:
>
> Matematica 1 - Teoria ed Esercizi
> Graziano Crasta - Annalisa Malusa
> Pitagora Editrice Bologna
>
Ho sotto mano il testo in questione: le derivate (anche sinistre e
destre) sono definite nei punti interni; viene poi osservato (Oss. 4.13)
che la derivata f'_+(a) puo' essere definita anche in a, mentre f'_-(b)
puo' essere definita anche in b (sempre che f:[a,b]->R). Viene aggiunto
che, se f e' derivabile a destra in a, si dice semplicemente che f e'
derivabile in a (analog. per b).
Non mi sembra ci siano ambiguita'. (*)
> ho sotto mano anche:
>
> Elementi di Analisi Matematica Uno
> Paolo Marcellini - Carlo Sbordone
> Liguori Editore
>
> che mi sembra in generale un pelino più preciso ma, putroppo, non in
> questo caso :(
Ho sotto mano anche questo testo: mi sembra che le cose siano definite
come nel testo precedente, con l'aggiunta della frase
"Si dice che f:[a,b]->R e' derivabile nell'intervallo chiuso [a,b] se e'
derivabile in ogni punto x in (a,b) e inoltre se f ammette derivata
destra nel punto x=a e sinistra nel punto x=b".
Anche in questo caso non mi sembra ci siano ambiguita' (*).
Peraltro questa tipo di definizione mi pare sia adottata anche in libri
di livello un po' piu' elevato (tipo Pagani-Salsa, Analisi Matematica 1).
Su libri tipo Rudin, "Principles..." (di livello decisamente piu'
elevato rispetto ai due da te citati), si definisce la derivata
direttamente per funzioni f:[a,b]->R (il limite in a del rapporto
incrementale e' dunque automaticamente il lim. destro, e analog. in b);
questo tipo di definizione risulta alla fine equivalente alle precedenti
(*).
Per concludere: non mi sembra che il fatto di adottare una o l'altra
definizione porti ad alcuna differenza.
Poi va benissimo che, di fronte ad una definizione (come a qualsiasi
altra cosa), ci si soffermi come hai fatto tu per cercare di capire
appieno che significato abbiano.
(*) Forse la situazione a cui tu pensi e' questa:
di fronte alla domanda "La funzione f:[0,1]->R definita da f(x)=x e'
derivabile in x=0?" cosa rispondo?
Rispetto a tutte le definizioni citate sopra, la risposta e' "Si'", in
quanto f e' derivabile in ogni punto di [0,1].
--
Ciao,
Graziano
Graziano
Vedi il mio post delle 17.21 (l'ora e' successiva a questo tuo post
perche' ho impiegato diverso tempo a scriverlo!)
Quello che hai scritto va bene. Incidentalmente mi sembra coincida con
quanto scritto nei testi da te citati.
L'unica aggiunta (che compare in questi testi) e' che se f e' derivabile
a destra in a, si puo' dire semplicemente che f e' derivabile in a
(analog. in b).
--
Ciao,
Graziano
Graziano
> [cut]
Per curiosita', chi e' il tuo docente di matematica?
--
Ciao,
Graziano
fctk
> fctk ha scritto:
> Per curiosita', chi e' il tuo docente di matematica?
>
la prof di analisi 1 si chiama Paola Magnaghi.
fctk
Salsa-Pagani va bene?
il Crasta-Malusa non mi sembra molto coerente e preciso... alla prima
lettura forse lo č, ma quando poi arrivi a rileggerlo una o piů volte
trovi le falle... :)
p.s. ma... non č che te sei uno degli autori del libro in questione
(Graziano...)?
Graziano
> che faccio allora? prendo direttamente il Rudin e via? o anche il
> Salsa-Pagani va bene?
>
Se vuoi approfondire qualcosa a livello di primo anno di ingegneria, il
Salsa-Pagani va bene (e' forse un po' difficile per i corsi attuali).
> il Crasta-Malusa non mi sembra molto coerente e preciso... alla prima
> lettura forse lo č, ma quando poi arrivi a rileggerlo una o piů volte
> trovi le falle... :)
>
Segnalale agli autori!
> p.s. ma... non č che te sei uno degli autori del libro in questione
> (Graziano...)?
Conosco il mio omonimo in questione.
--
Ciao,
Graziano
Simone
On Mon, 6 Feb 2006, it was written:
> Matematica 1 - Teoria ed Esercizi
> Graziano Crasta - Annalisa Malusa
> Pitagora Editrice Bologna
>
Gli autori sono "buoni", li conosco un po'.
> ho sotto mano anche:
>
> Elementi di Analisi Matematica Uno
> Paolo Marcellini - Carlo Sbordone
> Liguori Editore
>
> che mi sembra in generale un pelino più preciso ma, putroppo, non in questo
> caso :(
Oddio, questo e' un libro che non mi piace per niente, ma ha molto
successo per i primi corsi di analisi.
fctk
> fctk ha scritto:
>>trovi le falle... :)
>>
>
> Segnalale agli autori!
detto fatto :D
anche se non c'entra tanto con l'argomento iniziale, riporto di seguito
la mail che ho spedito, così potete darle uno sguardo anche voi.
> Buongiorno,
>
> Sono uno studente del primo anno di Ingegneria Informatica e il libro da me scelto per studiare Analisi I è il seguente:
>
> Matematica 1 - Teoria ed Esercizi
> Graziano Crasta, Annalisa Malusa
> Pitagora Editrice Bologna
> ISBN 88-371-1424-9
>
> Vorrei segnalare agli autori alcuni errori che mi pare di aver trovato durante la lettura dello stesso, nonchè proporre alcune modifiche.
>
> * Pagina 5 *
>
> Secondo me andrebbe elencato tra gli intervalli anche ( -infinito , +infinito ). Inoltre non trovo corretta la frase:
>
> "scrivere -infinito come estremo sinistro dell'intervallo vuol semplicemente dire che non c'è un estremo sinistro (intervallo illimitato)."
>
> A mio parere, invece, gli estremi di un intervallo esistono sempre e possono anche valere +-infinito. A questo proposito, a pagina...
>
> * Pagina 12 *
>
> ... ritengo che sia più opportuno specificare che se un insime A non è limitato superiormente (risp. inferiormente) allora supA = +infinito (risp. infA = -infinito).
>
> * Pagina 8 *
>
> Nella frase "Ricordiamo che, se (x,y) e (ro,teta) sono le coordinate cartesiane e polari di un punto P \in R2, valgono le relazioni" propongo di sostituire "P \in R2" con "P \in R2 - { (0,0) }".
>
> * Pagina 24 *
>
> Esercizio 1.6. Secondo me A - B = (-1,0] U [1,3), -1 escluso.
>
> * Pagina 28 *
>
> Frase: "Le funzioni che si considereranno nel seguito sono funzioni reali di variabile reale, ossia funzioni il cui dominio e codominio sono sottoinsiemi dei numeri reali (f: dom(f)\subseteq R --> R)."
>
> Dal momento che si dice che il codominio di una funzione reale di variabile reale può essere un qualunque sottoinsieme di R, trovo sbagliato poi scrivere f: dom(f)\subseteq R --> R. Forse sarebbe meglio scrivere f: dom(f)\subseteq R --> codom(f)\subseteq R e poi specificare nel seguito che la convenzione sarà quella di adottare sempre come codominio tutto R.
>
> * Pagina 33-34-35 *
>
> Frase: "Definiamo la funzione parte intera di x come quella funzione che associa ad ogni numero reale x il più grande numero intero che precede x" andrebbe forse corretta dicendo che: "...associa ad ogni numero reale x il più grande numero intero minore o uguale ad x". Inoltre sarebbe meglio evidenziare nel grafico di figura 2.8 che per ciascun "segmento" l'estremo sinistro è incluso mentre quello destro non lo è. Discorso analogo per il grafico di figura 2.10".
>
> * Pagina 38 *
>
> Secondo me la funzione 1/x non è suriettiva, in quanto l'insieme di livello è vuoto per y=0.
>
> * Pagina 51 *
>
> Frase: "Consideriamo la funzione f(x)=x^n, n \in N ...". Secondo me andrebbe specificato che n >= 2 in quanto altrimenti frasi quali "In generale, f(x)=x^n con n pari ha lo stesso comportamento qualitativo di x2" (errata per n=0) e "mentre f(x)=x^n con n dispari ha lo stesso comportamento qualitativo di x3" (errata per n=1). Sarebbe anche errata la frase "Il dominio di x^n è tutto R per ogni n \in N" in quanto x0 ha come dominio R - { 0 } ( a meno di non dare un significato al simbolo 00, ma in questo caso tale significato andrebbe specificato ).
>
> * Pagina 52 *
>
> Frase: " x^(n/m) = radice m-esima di x^n per ogni n,m \in N." Sarebbe meglio specificare che m >= 2".
>
> Frase: "Questo motiva il fatto che, per \alpha reale qualsiasi, si ha dom(x^\alpha)=(0,+infinito)." Secondo me andrebbe innanzitutto specificato che \alpha è un reale non intero (cioè \alpha \in R-Z) e quindi fare la distinzione tra \alpha > 0 (e in tal caso dom(x^\alpha)=[0,+infinito) e \alpha < 0 (in tal caso dom(x^\alpha)=(0,+infinito).
>
> * Pagina 67 *
>
> Teorema 2.26: "Sia T un triangolo di lati di lunghezza a,b,x e sia \gamma l'angolo sul vertice A. Allora c2=a2+b2-2abcos\theta". Secondo me sarebbe meglio, anche per ragioni puramente mnemoniche, sostituire il vertice A con il vertice C e l'angolo \theta con l'angolo \gamma.
>
> * Pagina 74 *
>
> 16) Forse sbaglio, ma le soluzioni dovrebbero essere: ( -\pi/2 + k\pi, -\pi/3+k\pi ] U [ \pi/3 + k\pi, \pi/2 + k\pi )
>
> * Pagina 95 *
>
> Teorema 3.27: "Il limite lim x-->x0 f(x) esiste se e solo se esistono i limiti destro e sinistro in x0 e sono uguali".
>
> Secondo me sarebbe meglio specificare che se esistono entrambi i limiti destro e sinistro e sono uguali allora sicuramente esiste il limite e assume lo stesso valore, mentre non mi pare vera l'implicazione opposta, in quanto non è detto che se esiste il limite allora esistono *entrambi* i limiti sinistro e destro.
>
> Ad esempio se si considera la funzione f(x) = x solo tra [0,1], ad esempio, si ha che:
>
> 1) lim x-->0 f(x) = 0
> 2) lim x-->0+ f(x) = 0
> 3) lim x-->0- f(x) non ha senso.
>
> cioè 1) esiste e vale 0, ma non è vero che esistono sia il 2) che il 3).
>
> Pertanto forse è meglio specificare che tale teorema vale soltanto quando ha senso parlare di tutti e tre i limiti.
>
> * Pagina 102 *
>
> Frase: "Ad esempio, la retta x=0 è un asintoto verticale per la funzione f(x)=1/x, definita per x diverso da 0."
>
> Trovo che la frase sia giusta, tuttavia consiglio di specificare che anche se la funzione f fosse definita per x = 0, la retta x = 0 continuerebbe ad essere un asintoto verticale. Mi riferisco ad una funzione come la seguente:
>
> f(x) = 1/x per x diverso da 0
> 5 per x = 0
>
> Spesso infatti si dice (erroneamente) che gli asintoti verticali vanno cercati *solo* dove nei punti in cui la funzione non è definita.
>
> * Pagina 105 *
>
> Definizione 3.40: "Sia f: I-->R, dove I \subset R è un intervallo. ..."
>
> Secondo me al posto di \subset sarebbe meglio mettere \subseteq.
>
> * Pagina 106 *
>
> Frase "Il limite lim x-->x0 f(x) esiste finito a non vale f(x0); questo è equivalente a dire che i limiti destro e sinistro [...] esistono finiti, sono uguali, ma il loro valore è diverso da f(x0)."
>
> Questo è legato al Teorema 3.27. Trovo che la prima parte della frase sia giusta, mentre la seconda parte andrebbe precisata, nel senso che l'equivalenza si ha solo quando ha senso parlare di entrambi i limiti sinistro e destro.
>
> * Pagina 109 *
>
> Teorema 3.49 : "... con f(I) \subset J." Secondo me al posto di \subset ci andrebbe \subseteq.
>
> * Pagina 112 *
>
> Esempio 3.60: "[...] cioè non esiste alcun punto c \in [0,2] tale che f(c) = 0." Secondo me dovrebbe essere "c \in (0,2)".
>
> * Pagina 115 *
>
> Teorema 3.67: A me sembra che la funzione f(x) = ( 1 + 1/x ) ^ x sia definita non solo in (0,+infinito), ma anche in (-infinito,-1).
>
> * Pagina 121 *
>
> Frase: "Se A \subset R, diciamo che un punto..." Secondo me al posto di \subset sarebbe meglio \subseteq.
>
> * Pagina 128 *
>
> Passaggio: "( \phi - 1 ) ^ { -1 } = ( 1 / \phi ) ^ { -1 }" Consiglierei di specificare come è stato effettuato questo passaggio, e cioè utilizzando la relazione:
>
> \phi = [ 1 + \sqrt{5} ] / 2
>
> * Pagina 147 *
>
> Significato geometrico della derivata: consiglierei di sottolineare maggiormente il fatto che una funzione non sia derivabile in un punto x0 non significa necessariamente che non esiste la retta tangente al grafico della funzione in x=x0, ma solo che sicuramente l'ipotetica retta tangente non è obliqua ma a limite è verticale.
>
> * Pagina 150 *
>
> Osservazione 4.11: "Per comodità di notazione si scrive spesso f'(x0) = +infinito (risp. f'(x0) = -infinito) quando la funzione è continua in x0 ed il limite del rapporto incrementale in x0 esiste e vale +infinito (risp. -infinito)."
>
> Secondo me è ancora più comodo rimuovere il requisito della continuità della funzione in x0; in tal modo si fa concidere direttamente il risultato del limite del rapporto incrementale in x0 con la scrittura f'(x0).
>
> * Pagina 151 *
>
> Osservazione 4.13: "Se f è derivabile a destra in x0=a, diremo semplicemente che f è derivabile in a."
>
> Secondo me questa convenzione può essere fonte di confusione da parte dello studente, nel senso che normalmente si associa al concetto di derivabilità in un punto x0 l'esistenza di f'(x0).
>
> * Pagina 151 *
>
> Esempio 4.15: "Come si intuisce dalla figura, il grafico di f non ammette retta tangente nell'origine."
>
> In realtà il grafico ammette nell'origine tangente verticale.
>
> * Pagina 154 *
>
> Esempio 4.20: "Sia n \in N; vogliamo mostrare che la funzione f(x) = x^n è derivabile in ogni punto e: d/dx x^n = nx^{n-1} per ogni x \in R, n \in N."
>
> Secondo me è opportuno specificare che n>=2 in quanto per n = 0 x^n non è definita in x=0, e quindi non è derivabile in ogni punto di R, mentre per n=1 si avrebbe che d/dx x = x0, e non sarebbe possibile calcolare il valore della derivata nel punto x=0.
>
> * Pagina 155 *
>
> Esempio 4.21: "d/dx x^\alpha = \alpha x ^ { \alpha - 1 } per qualsiasi x>0, \alpha \in R"
>
> Secondo me andrebbe precisato che \alpha \in R - Z, in quanto se \alpha \in Z la funzione x^\alpha è derivabile non soltanto in x > 0.
>
> * Pagina 161 *
>
> Esempio 4.33: Non capisco proprio perchè (f^{-1})'(1) = 1 e non 1/3.
>
> * Pagina 165 *
>
> Osservazione 4.41: Frase: "Chiaramente x0=0 è punto di minimo assuluto (quindi anche di minimo relativo), ma f'+(0)=1. Analogamente, x1=1 è punto di massimo assoluto, ma f'-(0)=1."
>
> Personalmente direi che nel caso in cui f sia definita in [a,b] il teorema di Fermat non è applicabile in quanto la funzione non è derivabile in x = a e in x = b.
>
> * Pagina 175 *
>
> lim x-->0 x / [ 2 + senx ] = 0 ma
> lim x-->0 1 / cosx = 1
>
> In questo caso specificherei che non si può applicare il Teorema di L'Hopital in quanto lim x-->0 [2 + senx] è diverso da zero.
Graziano
> Graziano ha scritto:
>> fctk ha scritto:
>>> il Crasta-Malusa non mi sembra molto coerente e preciso... alla prima
>>> trovi le falle... :)
>>>
>>
>> Segnalale agli autori!
>
> detto fatto :D
>
> anche se non c'entra tanto con l'argomento iniziale, riporto di seguito
> [cut]
Secondo me, a prescindere dalla correttezza delle segnalazioni, hai
fatto un ottimo lavoro.
Eventualmente facci sapere se ti hanno risposto.
--
Ciao,
Graziano
Simone
> detto fatto :D
>
> anche se non c'entra tanto con l'argomento iniziale, riporto di seguito
> la mail che ho spedito, così potete darle uno sguardo anche voi.
Beh, certo che alcune segnalazioni sono davvero puntigliose. In
particolare, non condivido la critica sul codominio. In analisi, nessuno
distingue l'insieme d'arrivo dall'immagine del dominio effettivo, almeno
in prima battuta...
fctk
ci sto ancora riflettendo sopra, quindi non ho ancora inviato una
risposta...
> 1) * Pagina 5 *
> Secondo me andrebbe elencato tra gli intervalli anche ( -infinito ,
> +infinito ). Inoltre non trovo corretta la frase:
> "scrivere -infinito come estremo sinistro dell'intervallo vuol
> semplicemente dire che non c'� un estremo sinistro (intervallo illimitato)."
> A mio parere, invece, gli estremi di un intervallo esistono sempre e
> possono anche valere +-infinito. A questo proposito, a pagina...
>
> R: E' corretta la prima osservazione (manca R nell'elenco esplicito dei
> possibili intervalli).
> Non sono d'accordo sulle altre. I *simboli* +inf e -inf non sono numeri
> reali; scrivere (-inf, 0), ad esempio, significa considerare l'insieme
> di tutti i numeri reali <0.
>
> 2) * Pagina 12 *
> .. ritengo che sia pi� opportuno specificare che se un insime A non �
> limitato superiormente (risp. inferiormente) allora supA = +infinito
> (risp. infA = -infinito).
>
> R: Non sono d'accordo. L'estremo superiore e' definito per sottoinsiemi
> non vuoti *e limitati superiormente* di R come il minimo dei maggioranti
> (cfr. Def. 1.8).
> Poi e' convenzione comune scrivere sup A = +inf per indicare che
> l'insieme A non e' limitato superiormente.
>
> 3) * Pagina 8 *
> Nella frase "Ricordiamo che, se (x,y) e (ro,teta) sono le coordinate
> cartesiane e polari di un punto P \in R2, valgono le relazioni" propongo
> di sostituire "P \in R2" con "P \in R2 - { (0,0) }".
>
> R: OK.
>
> 4) * Pagina 24 *
> Esercizio 1.6. Secondo me A - B = (-1,0] U [1,3), -1 escluso.
>
> R: OK.
>
> 5) * Pagina 28 *
> Frase: "Le funzioni che si considereranno nel seguito sono funzioni
> reali di variabile reale, ossia funzioni il cui dominio e codominio sono
> sottoinsiemi dei numeri reali (f: dom(f)\subseteq R --> R)."
>
> Dal momento che si dice che il codominio di una funzione reale di
> variabile reale pu� essere un qualunque sottoinsieme di R, trovo
> sbagliato poi scrivere f: dom(f)\subseteq R --> R. Forse sarebbe meglio
> scrivere f: dom(f)\subseteq R --> codom(f)\subseteq R e poi specificare
> nel seguito che la convenzione sar� quella di adottare sempre come
> codominio tutto R.
>
> R: Tecnicamente ha ragione. Tuttavia per le funzioni reali di variabile
> reale non si usa (quasi) mai una notazione del tipo
> f: dom(f)\subseteq R --> codom(f)\subseteq R.
> Vedro' come sistemare la cosa per sciogliere l'ambiguita'.
>
> 6) * Pagina 33-34-35 *
> Frase: "Definiamo la funzione parte intera di x come quella funzione che
> associa ad ogni numero reale x il pi� grande numero intero che precede
> x" andrebbe forse corretta dicendo che: "...associa ad ogni numero reale
> x il pi� grande numero intero minore o uguale ad x". Inoltre sarebbe
> meglio evidenziare nel grafico di figura 2.8 che per ciascun "segmento"
> l'estremo sinistro � incluso mentre quello destro non lo �. Discorso
> analogo per il grafico di figura 2.10".
>
> R: Il termine "precedere" va inteso nel senso della relazione d'ordine
> "minore o uguale" definita a pag. 3.
> Seguiro' tuttavia il suo suggerimento per evitare qualsiasi ambiguita'.
> Aggiungero' i "bullet" sulle figure.
>
> 7) * Pagina 38 *
> Secondo me la funzione 1/x non � suriettiva, in quanto l'insieme di
> livello � vuoto per y=0.
>
> R: OK. Questo errore e' gia' stato corretto nell'ultima ristampa.
>
> 8) * Pagina 51 *
> Frase: "Consideriamo la funzione f(x)=x^n, n \in N ...". Secondo me
> andrebbe specificato che n >= 2 in quanto altrimenti frasi quali "In
> generale, f(x)=x^n con n pari ha lo stesso comportamento qualitativo di
> x2" (errata per n=0) e "mentre f(x)=x^n con n dispari ha lo stesso
> comportamento qualitativo di x3" (errata per n=1). Sarebbe anche errata
> la frase "Il dominio di x^n � tutto R per ogni n \in N" in quanto x0 ha
> come dominio R - { 0 } ( a meno di non dare un significato al simbolo
> 00, ma in questo caso tale significato andrebbe specificato ).
>
> R: E' implicito dal contesto che si stanno considerando i casi n>=2
> (tanto che si dice "...abbiamo gia' considerato i casi n=2 e n=3").
> Comunque, per maggior chiarezza, aggiungero' n>=2.
>
> 9) * Pagina 52 *
> Frase: " x^(n/m) = radice m-esima di x^n per ogni n,m \in N." Sarebbe
> meglio specificare che m >= 2".
>
> R: Deve essere m>=1. In quella pagina sono saltati degli N^+ (naturali
> zero escluso) che provvedero' a correggere.
>
> 10) Frase: "Questo motiva il fatto che, per \alpha reale qualsiasi, si ha
> dom(x^\alpha)=(0,+infinito)." Secondo me andrebbe innanzitutto
> specificato che \alpha � un reale non intero (cio� \alpha \in R-Z) e
> quindi fare la distinzione tra \alpha > 0 (e in tal caso
> dom(x^\alpha)=[0,+infinito) e \alpha < 0 (in tal caso
> dom(x^\alpha)=(0,+infinito).
>
> R: Come e' scritto nella frase precedente a quella da lei citata, non
> abbiamo effettuato la costruzione della potenza x^a con a reale.
> La costruzione di tale potenza non e' affatto banale.
> Fissato x reale positivo, sono gia' state definite le potenze x^q, con q
> numero razionale.
> Per a reale, si puo' definire
> x^a = sup{x^q; q razionale, q<a}
> oppure, in maniera che si dimostra equivalente,
> x^a = lim_{n-> +inf} x^{q_n},
> con (q_n) successione crescente di numeri razionali che converge ad a
> (la definizione si dimostra essere indipendente dalla scelta della
> successione).
> Rimane vero che, se scrivo x2, questa potenza e' definita per qualsiasi
> x reale.
> Tuttavia, quando si parla di potenze ad esponente reale, si intende che
> la base sia positiva per avere garanzia che si possa effettuare la
> costruzione accennata sopra.
> Questa e' la convenzione seguita, ad esempio, quando si considerano
> funzioni del tipo f(x) = [g(x)]^h(x); in tal caso, il dominio di f e'
> {x in R; x in dom(g) e g(x) > 0}.
>
>
> 11) * Pagina 67 *
> Teorema 2.26: "Sia T un triangolo di lati di lunghezza a,b,x e sia
> \gamma l'angolo sul vertice A. Allora c2=a2+b2-2abcos\theta". Secondo me
> sarebbe meglio, anche per ragioni puramente mnemoniche, sostituire il
> vertice A con il vertice C e l'angolo \theta con l'angolo \gamma.
>
> R: Francamente questa non l'ho capita...
>
> 12) * Pagina 74 *
> Es. 16) Forse sbaglio, ma le soluzioni dovrebbero essere:
> ( -\pi/2 + k\pi, -\pi/3+k\pi ] U [ \pi/3 + k\pi, \pi/2 + k\pi )
>
> R: Ha ragione. La diseq. e' col >=.
>
> 13) * Pagina 95 *
> Teorema 3.27: "Il limite lim x-->x0 f(x) esiste se e solo se esistono i
> limiti destro e sinistro in x0 e sono uguali".
> Secondo me sarebbe meglio specificare che se esistono entrambi i limiti
> destro e sinistro e sono uguali allora sicuramente esiste il limite e
> assume lo stesso valore, mentre non mi pare vera l'implicazione opposta,
> in quanto non � detto che se esiste il limite allora esistono *entrambi*
> i limiti sinistro e destro.
> Ad esempio se si considera la funzione f(x) = x solo tra [0,1], ad
> esempio, si ha che:
> 1) lim x-->0 f(x) = 0
> 2) lim x-->0+ f(x) = 0
> 3) lim x-->0- f(x) non ha senso.
> cio� 1) esiste e vale 0, ma non � vero che esistono sia il 2) che il 3).
> Pertanto forse � meglio specificare che tale teorema vale soltanto
> quando ha senso parlare di tutti e tre i limiti.
>
> R: In questo caso l'imprecisione e' voluta, per non appesantire troppo
> la trattazione. E' sottinteso che i due limiti (sinistro e destro) si
> debbano poter fare. Forse e' meglio precisarlo.
>
> 14) * Pagina 102 *
> Frase: "Ad esempio, la retta x=0 � un asintoto verticale per la funzione
> f(x)=1/x, definita per x diverso da 0."
> Trovo che la frase sia giusta, tuttavia consiglio di specificare che
> anche se la funzione f fosse definita per x = 0, la retta x = 0
> continuerebbe ad essere un asintoto verticale. Mi riferisco ad una
> funzione come la seguente:
> f(x) = 1/x per x diverso da 0
> 5 per x = 0
> Spesso infatti si dice (erroneamente) che gli asintoti verticali vanno
> cercati *solo* dove nei punti in cui la funzione non � definita.
>
> R: In questo caso abbiamo una diversa percezione delle cose. Infatti in
> quel punto intendevo proprio dire "la retta x=0 e' as. vert.
> *nonostante* la funzione non sia definita in x=0".
> Magari aggiungero' qualche ulteriore esempio.
>
> 15) * Pagina 105 *
> Definizione 3.40: "Sia f: I-->R, dove I \subset R � un intervallo. ..."
> Secondo me al posto di \subset sarebbe meglio mettere \subseteq.
>
> R: La convenzione (anche se non universalmente adottata) e' che \subset
> significhi proprio \subseteq, tanto che per dire che A e' contenuto
> propriamente in B si sbarra il simbolo di uguale sotto a quello di
> inclusione. E' vero che non costa niente eliminare l'ambiguita' usando
> \subseteq (cosa che faro').
>
>
> 16) * Pagina 106 *
> Frase "Il limite lim x-->x0 f(x) esiste finito a non vale f(x0); questo
> � equivalente a dire che i limiti destro e sinistro [...] esistono
> finiti, sono uguali, ma il loro valore � diverso da f(x0)."
> Questo � legato al Teorema 3.27. Trovo che la prima parte della frase
> sia giusta, mentre la seconda parte andrebbe precisata, nel senso che
> l'equivalenza si ha solo quando ha senso parlare di entrambi i limiti
> sinistro e destro.
>
> R: Veda la risposta alla domanda 13)
>
> 17) * Pagina 109 *
> Teorema 3.49 : "... con f(I) \subset J." Secondo me al posto di \subset
> ci andrebbe \subseteq.
>
> R: Veda la risposta alla domanda 15)
>
> 18) * Pagina 112 *
> Esempio 3.60: "[...] cio� non esiste alcun punto c \in [0,2] tale che
> f(c) = 0." Secondo me dovrebbe essere "c \in (0,2)".
>
> R: La frase scritta sul libro e' corretta. La funzione in questione non
> si annulla in nessun punto di [0,2]; ovviamente, non si annulla nemmeno
> in nessun punto di (0,2).
> Li' ho scritto [0,2] perche' in alcune "versioni" del teorema degli zeri
> si consente l'annullamento della funzione negli estremi (ma in tal caso
> la tesi diviene banale).
>
> 19) * Pagina 115 *
> Teorema 3.67: A me sembra che la funzione f(x) = ( 1 + 1/x ) ^ x sia
> definita non solo in (0,+infinito), ma anche in (-infinito,-1).
>
> R: Il dominio naturale della funzione h(x) = ( 1 + 1/x ) ^ x e' quello
> da lei indicato (cfr. domanda 10).
> In questo caso, consideriamo f solo in (0,+inf), perche' i valori x<-1
> non servono in quel contesto.
> (Come lei sa, il dominio e' quello naturale solo se non e' specificato
> diversamente.)
>
> 20) * Pagina 121 *
> Frase: "Se A \subset R, diciamo che un punto..." Secondo me al posto di
> \subset sarebbe meglio \subseteq.
>
> R: Veda la risposta alla domanda 15)
>
> 21) * Pagina 128 *
> Passaggio: "( \phi - 1 ) ^ { -1 } = ( 1 / \phi ) ^ { -1 }" Consiglierei
> di specificare come � stato effettuato questo passaggio, e cio�
> utilizzando la relazione:
> \phi = [ 1 + \sqrt{5} ] / 2
>
> R: Effettivamente il passaggio non e' immediato. Come pero' avra'
> notato, nelle appendici si assume un maggior livello di preparazione di
> base e abilita' dello studente. Vedro' se aggiungere qualche dettaglio.
>
> 22) * Pagina 147 *
> Significato geometrico della derivata: consiglierei di sottolineare
> maggiormente il fatto che una funzione non sia derivabile in un punto x0
> non significa necessariamente che non esiste la retta tangente al
> grafico della funzione in x=x0, ma solo che sicuramente l'ipotetica
> retta tangente non � obliqua ma a limite � verticale.
>
> R: In questo contesto il concetto (geometrico) di retta tangente si
> identifica col concetto (analitico) di differenziabilita'.
> Geometricamente la sua considerazione e' ineccepibile: vedra' l'anno
> prossimo (posto che gia' non lo sappia) come definire la retta tangente
> ad una curva parametrica.
> Questa questione e' spiegata nell'Oss. 4.11.
>
> 23) * Pagina 150 *
> Osservazione 4.11: "Per comodit� di notazione si scrive spesso f'(x0) =
> +infinito (risp. f'(x0) = -infinito) quando la funzione � continua in x0
> ed il limite del rapporto incrementale in x0 esiste e vale +infinito
> (risp. -infinito)."
> Secondo me � ancora pi� comodo rimuovere il requisito della continuit�
> della funzione in x0; in tal modo si fa concidere direttamente il
> risultato del limite del rapporto incrementale in x0 con la scrittura
> f'(x0).
>
> R: Riprendo la risposta precedente.
> La richiesta di continuita' serve proprio per fare in modo che, quando
> f'(x_0)=+inf (oppure -inf), allora il grafico di f ammette in
> (x_0,f(x_0)) retta tangente verticale.
> In tal modo si ha l'identificazione fra esistenza della derivata
> (eventualmente infinita, secondo la convenzione adottata sopra) ed
> esistenza della retta tangente (eventualmente verticale).
>
> 24) * Pagina 151 *
> Osservazione 4.13: "Se f � derivabile a destra in x0=a, diremo
> semplicemente che f � derivabile in a."
> Secondo me questa convenzione pu� essere fonte di confusione da parte
> dello studente, nel senso che normalmente si associa al concetto di
> derivabilit� in un punto x0 l'esistenza di f'(x0).
>
> R: Su questa questione della definizione delle derivate negli estremi di
> un intervallo non c'e' una convenzione universalmente adottata.
> La convenzione seguita nel testo (che poi e' un po' quella utilizzata da
> quasi tutti i testi di Analisi 1) e' la seguente (suppongo per comodita'
> f:[a,b]->R):
> - definisco la derivata, ed anche le derivate sinistra e destra, nei
> punti interni x_0 in (a,b);
> - in a definisco la derivata destra;
> - in b definisco la derivata sinistra;
> se esiste finita f'_+(a), dico semplicemente che f e' derivabile in a;
> analogamente in b.
> In tal modo, dicendo che f:[a,b]->R e' derivabile, intendo dire che e'
> derivabile a destra in a, a sinistra in b, e nel solito senso nei punti
> x_0 in (a,b).
>
> 25) * Pagina 151 *
> Esempio 4.15: "Come si intuisce dalla figura, il grafico di f non
> ammette retta tangente nell'origine."
> In realt� il grafico ammette nell'origine tangente verticale.
>
> R: No. In questo caso il grafico non ammette nemmeno tangente verticale
> (si tratta infatti di un punto di cuspide).
>
> 26) * Pagina 154 *
> Esempio 4.20: "Sia n \in N; vogliamo mostrare che la funzione f(x) = x^n
> � derivabile in ogni punto e: d/dx x^n = nx^{n-1} per ogni x \in R, n
> \in N."
> Secondo me � opportuno specificare che n>=2 in quanto per n = 0 x^n non
> � definita in x=0, e quindi non � derivabile in ogni punto di R, mentre
> per n=1 si avrebbe che d/dx x = x0, e non sarebbe possibile calcolare il
> valore della derivata nel punto x=0.
>
> R: I casi n=0 ed n=1 sono trattati esplicitamente subito sotto.
> Riguardo a 00, si utilizza spesso la convenzione 00 = 1 (attenzione,
> non si tratta di forme indeterminate come nei limiti!).
> In particolare, la funzione x0 si pensa definita su tutto R e
> costantemente uguale a 1 (confesso che non so se questa convenzione e'
> universalmente accettata).
> 0^(-1) non ha invece senso.
> Penso che eliminero' il caso n=0 che genera solo confusione.
>
> 27) * Pagina 155 *
> Esempio 4.21: "d/dx x^\alpha = \alpha x ^ { \alpha - 1 } per qualsiasi
> x>0, \alpha \in R"
> Secondo me andrebbe precisato che \alpha \in R - Z, in quanto se \alpha
> \in Z la funzione x^\alpha � derivabile non soltanto in x > 0.
>
> R: Veda la risposta alla domanda 10).
>
> 28) * Pagina 161 *
> Esempio 4.33: Non capisco proprio perch� (f^{-1})'(1) = 1 e non 1/3.
>
> R: Ha ragione, si tratta di un refuso. E' sparito il 3 a denominatore.
>
> 29) * Pagina 165 *
> Osservazione 4.41: Frase: "Chiaramente x0=0 � punto di minimo assoluto
> (quindi anche di minimo relativo), ma f'+(0)=1. Analogamente, x1=1 �
> punto di massimo assoluto, ma f'-(0)=1."
> Personalmente direi che nel caso in cui f sia definita in [a,b] il
> teorema di Fermat non � applicabile in quanto la funzione non �
> derivabile in x = a e in x = b.
>
> R: Veda anche la risposta alla dom. 24).
> In realta', spesso il teor. di Fermat si formula in questo modo:
> "Teor: sia f: A -> R e sia x_0 in A. Supponiamo che:
> i) x_0 sia un punto interno di A;
> ii) x_0 sia un punto di estremo relativo di f;
> iii) f sia derivabile in x_0.
> Allora f'(x_0)=0."
> Nella versione presente sul libro e' implicito che x_0 sia un punto
> interno di A. L'Oss. 4.41 serve proprio per sottolineare questo fatto.
>
> 30) * Pagina 175 *
> lim x-->0 x / [ 2 + senx ] = 0 ma
> lim x-->0 1 / cosx = 1
> In questo caso specificherei che non si pu� applicare il Teorema di
> L'Hopital in quanto lim x-->0 [2 + senx] � diverso da zero.
>
> R: Quell'esempio comincia con la frase:
> "Un errore assai frequente consiste nell'utilizzare il Teorema di
> l'Hopital anche quando non si e' in presenza di una forma di
> indeterminazione."
> Peraltro, riguardo il primo limite, c'e' anche scritto
> "lim x-->0 x / [ 2 + senx ] = 0 in quanto il numeratore tende a 0
> mentre il denominatore tende a 2". Piu' chiaro di cosi'...
Kiuhnm
> ecco le risposte.
> ci sto ancora riflettendo sopra, quindi non ho ancora inviato una
Quota, quota, quota!!!
Kiuhnm
fctk
> Quota, quota, quota!!!
>
> Kiuhnm
?
Simone
On Thu, 9 Feb 2006, it was written:
> ?
>
Intendeva dire che, va bene la chiarezza, pero' anche allegare pagine e
pagine di email rende complicato districarsi fra le varie cose la'
contenute...