Ci sono 2 fatti.
Il primo, e' che in tutte le dimostrazioni che hanno fatto qui,
compresa la tua e anche (Quasi) tutte le dimostrazioni che trovi
in rete, partono subito in quarta dando per scontate le
serie infinite.
Considera quelle che sembrano semplici operazioni sulle serie
infinite, tipo una moltiplicazione per tutti i termini della serie.
Appare ovvio il risultato, ma, si tratta comunque dell'estensione
all'infinito di un operazione che di solito si fa nel finito.
La giustificazione c'e' e non puo' che ricorrere ai limiti.
Insomma, se se ne puo' fare a meno tanto meglio.
Il secondo punto e' la DIMOSTRAZIONE in se'.
Tutte le solite dimostrazioni, come dicevo, sono fatte di
passaggi algebrici su serie infinite.
A me piaceva aggredire il problema "guardandolo negli occhi" !
Qual'era il problema ?
Dimostrare che 0,999... e' uguale a 1,
anche se "sembra" minore di 1.
Ecco la mia dimostrazione:
se fosse veramente minore di 1 deve per forza esserci un numero x
frapposto tra 0,9... e 1 !
Cosi' mi piaceva partire con la dimostrazione:
supporre che esista tale x e poi derivare una contraddizione.
Ho trovato che su Wikipedia inglese danno proprio come prima
dimostrazione una dimostrazione che parte proprio cosi' e
conclude SENZA usare l'infinito.
E non fa nemmeno riferimento alla RAPPRESENTAZIONE in cifre decimali
del numero (A parte ovviamente il 0,999...) come faccio io.
Guardati il paragrafo "Elementary proof":
[
https://en.wikipedia.org/wiki/0.999... ]