Infinitesimi equivalenti.
Manuel
infinitesimi (ed infiniti) equivalenti, magari con
qualche esempio...?
Mi sembra di capire che nel calcolo
dei limiti posso sostituire funzioni
anche molto complesse e fastidiose
con il proprio infinitesimo (o infinito)
equivalente. Per esempio per x-->0
e' lecito sostituire
sen x + 2(x^2)
semplicemente con x.
Ma perche'? Basta che siano infinitesimi (o infiniti)
dello stesso ordine?
Grazie,
Manuel
Lazzaroni Fabio Arrigoni Marco
> Potreste darmi una definizione precisa di
> infinitesimi (ed infiniti) equivalenti, magari con
> qualche esempio...?
>
Cosi', a memoria e a buon senso, direi che
due infiniti o infinitesimi sono equivalenti se il loro rapporto tende
ad
un numero L diverso da zero e da infinito.
per x->0 ad esempio senx ed x sono infinitesimi equivalenti;
per x-> +inf x^2 ed 3x^2+5 sono infiniti equivalenti (esempio banale);
per x->0 1-cosx ed x^2 sono equivalenti (se non ricordo male lo sviluppo
in serie del coseno)
> Mi sembra di capire che nel calcolo
> dei limiti posso sostituire funzioni
> anche molto complesse e fastidiose
> con il proprio infinitesimo (o infinito)
> equivalente.
Con un po' di attenzione non e' che puoi sempre farlo. Devi vedere se
gli infiniti/infinitesimi
di ordini inferiori che perdi con la sostituzione sono trascurabili o
no.
Per esempio senx con x->0 e' uguale a x + un termine in x^3 + un termine
in x^5 ecc...
Quando lo sostituisco con x perdo i termini da x^3 in poi.
> Per esempio per x-->0
> e' lecito sostituire
>
> sen x + 2(x^2)
>
> semplicemente con x.
>
Si, perdendo pero' i termini da x^2 in poi.
E' corretto scrivere a scanso di equivoci che per x->0
sen x+ 2(x^2)= x + O(x^2) per indicare che dopo x ho altri termini che
contano come x^2 o meno.
>
> Ma perche'? Basta che siano infinitesimi (o infiniti)
> dello stesso ordine?
>
Direi di si.
>
> Grazie,
>
> Manuel
Fabio.
max101000010.01000101
"Manuel" <mbas...@tiscalinet.it> ha scritto nel messaggio
news:act9to$r5c$1...@lacerta.tiscalinet.it...
> Potreste darmi una definizione precisa di
> infinitesimi (ed infiniti) equivalenti, magari con
> qualche esempio...?
>
> Mi sembra di capire che nel calcolo
> dei limiti posso sostituire funzioni
> anche molto complesse e fastidiose
> con il proprio infinitesimo (o infinito)
> equivalente. Per esempio per x-->0
> e' lecito sostituire
>
> sen x + 2(x^2)
>
> semplicemente con x.
in generale no. esempio:
(sin(x)+2*x^2-x)/x^2 -> 2
(x-x)/x^2 -> 0
ciao
max
Manuel
> per x->0 ad esempio senx ed x sono infinitesimi equivalenti;
> per x-> +inf x^2 ed 3x^2+5 sono infiniti equivalenti (esempio banale);
> per x->0 1-cosx ed x^2 sono equivalenti (se non ricordo male lo sviluppo
> in serie del coseno)
> gli infiniti/infinitesimi
> di ordini inferiori che perdi con la sostituzione sono trascurabili o
> no.
> Per esempio senx con x->0 e' uguale a x + un termine in x^3 + un termine
> in x^5 ecc...
> Quando lo sostituisco con x perdo i termini da x^3 in poi.
> sen x+ 2(x^2)= x + O(x^2) per indicare che dopo x ho altri termini che
> contano come x^2 o meno.
Dunque il concetto di infinitesimo equivalente e' solo un altro modo di
vedere l'uso dello sviluppo
in serie (trascurando poi gli infinitesimi di ordine maggiore)?
Manuel
> in generale no. esempio:
> (sin(x)+2*x^2-x)/x^2 -> 2
> (x-x)/x^2 -> 0
Ed infatti io ci sarei caduto in pieno!! Come
si fa in questi casi ad accorgersi dell'errore?
Cioe' come sapere quando si puo' o non si
puo' applicare l'infinitesimo equivalente?
Ti confesso che mi hai fatto venire il
panico: quanto è facile sbagliare!!!
Manuel
Manuel
> Con un po' di attenzione non e' che puoi sempre farlo. Devi vedere se
> gli infiniti/infinitesimi
> di ordini inferiori che perdi con la sostituzione sono trascurabili o
> no.
> Per esempio senx con x->0 e' uguale a x + un termine in x^3 + un termine
> in x^5 ecc...
> Quando lo sostituisco con x perdo i termini da x^3 in poi.
Questo non dovrebbe causare alcun problema, visto che gli infinitesimi di
ordine maggiore sono trascurabili...giusto?
Lazzaroni Fabio Arrigoni Marco
Per lo + i casi che creano problemi sono quelli dove ci sono sottrazioni
come sopra
xche' puo' darsi che il termine + importante si annulli ed allora
diventa dominante un termine trascurato.
Un modo x essere sicuri di non sbagliare e' scrivere l'ordine del
termine + importante che trascuri quando
sostituisci.
Esempio sopra:
hai (sen(x)+2*x^2-x)/x^2
Pensi: metto x al posto di sen(x)+2*x^2 xche' non vedi o non ti
preoccupi del fatto che dopo c'e' una sottrazione (magari in un caso +
complesso la sottrazione "appare" dopo un po' di passaggi ed al momento
sembrerebbe che il termine x^2 effettivamente non conti niente).
Allora scrivi sen(x)+2*x^2= x + O(x^2)
Poi fai x + O(x^2) -x = O(x^2). A questo punto e' evidente che x^2 non
puoi trascurarlo xche'
non c'e' nessun termine di ordine superiore
allora torni indietro e correggi sen(x)+2*x^2= x+ 2*x^2+O(x^3)
stavolta ottieni x+2*x^2+ O(x^3)-x= 2*x^2+O(x^3) ed effettivamente x^3
e' ancora trascurabile
xche' c'e' un x^2 (termine di ordine superiore). Ovviamente se il limite
e' + lungo e ci sono
altri passaggi da fare ti porti dietro l'O(x^3) per verificare che non
possa diventare significativo + avanti.
In tal caso devi tornare indietro al seno e calcolare il coefficiente
giusto dell'x^3, calcolarlo e poi mettere
O(x^5) termine successivo che trascuri.
Con un po' d'occhio ovviamente si capisce quasi sempre al volo l'ordine
che si puo' trascurare
( a meno di casi particolarmente complicati) e xcio' questa operazione
di tornare indietro
si effettua molto di rado.
Fra l'altro ovviamente per fare la sostituzione non basta che gli ordini
siano uguali:
non posso sostituire sen x con 2*x ad esempio: mi serve che il loro
rapporto
tenda ad 1 e non ad un numero qualsiasi diverso da zero e da infinito.
Ciao.Fabio.
Simone Secchi
> Dunque il concetto di infinitesimo equivalente e' solo un altro modo
> di vedere l'uso dello sviluppo
> in serie (trascurando poi gli infinitesimi di ordine maggiore)?
No. Nessuno ti dice che devi per forza confrontare una funzione con un
polinomio. In teoria potresti usare infinitesimi equivalenti di altro
tipo. In pratica pero' si usano i polinomi.
max101000010.01000101
"Manuel" <manu...@hotmail.com> ha scritto nel messaggio
news:ANrI8.90461$CN3.2...@news2.tin.it...
niente panico.
esiste un principio, detto "di sostituzione degli infinitesimi", che dice:
"il limite del rapporto di due infinitesimi simultanei e' uguale al limite
del rapporto delle loro parti principali".
che cos'e' la parte principale di un infinitesimo?
semplice: se per esempio x e' il tuo "infinitesimo campione", e se esistono
un k!=0 e un r>0 tale che f(x)/(k*x^r) tenda a 1, allora f(x) e' un
"infinitesimo di ordine r" e k*x^r e' la sua "parte principale".
ti faccio notare che la parte principale di f(x) e' il primo termine non
nullo del suo sviluppo di taylor.
nel nostro caso:
sin(x)+2*x^2-x = 2*x^2-x + x + O(3) = 2*x^2 + O(3)
percio' la p.p. di sin(x)+2*x^2-x e' 2*x^2
e quindi
lim((sin(x)+2*x^2-x)/x^2)=lim((2*x^2)/x^2)=2.
ti faccio altreso' notare che il principio si applica ai *rapporti* fra
infinitesimi e non alle differenze, poiche' nelle differenze possono
avvenire le cosiddette "cancellazioni catsatrofiche", esempio (di sbaglio):
la p.p. di sin(x)+2*x^2 e' x
la p.p. di x e' x
"quindi"
lim((sin(x)+2*x^2-x)/x^2)=lim((x-x)/x^2)=0.
ciao
max
max101000010.01000101
> Dunque il concetto di infinitesimo equivalente e' solo un altro modo di
> vedere l'uso dello sviluppo
> in serie (trascurando poi gli infinitesimi di ordine maggiore)?
si', se per "infinitesimo equivalente" intendi la "parte principale"
dell'infinitesimo (vedi altro post) e se l'infinitesimo "campione" e' x-x_0.
altrimenti no.
ciao
max
max101000010.01000101
"Simone Secchi" <sec...@sitoverde.com> ha scritto nel messaggio
news:actjeb$e5u$2...@newsfeed.cineca.it...
in pratica, con quale polinomio confronteresti f(x)=x^(3/2) ?
max101000010.01000101
> nullo del suo sviluppo di taylor.
ovviamente, ammesso che tale sviluppo esista...;)
sviluppo
scritto:
che bello
essere sulla bocca di tutti! :-)
si accettano scommesse...
--------------------------------
Inviato via http://usenet.iol.it
Gian Paolo Bronzetti
>
> Potreste darmi una definizione precisa di
> infinitesimi (ed infiniti) equivalenti, magari con
> qualche esempio...?
Ai miei tempi si chiamavano infinitesimi e infiniti dello stesso ordine,
ma non formalizziamoci sulla nomenclatura.
Due funzioni di una variabile (nel nostro caso "x") sono infinitesimi
(infiniti) dello stesso ordine, se, al tendere della variabile ad un valore
"a", entrambe tendono a zero (infinito) e il loro rapporto tende ad una
costante finita diversa da zero.
> Mi sembra di capire che nel calcolo
> dei limiti posso sostituire funzioni
> anche molto complesse e fastidiose
> con il proprio infinitesimo (o infinito)
> equivalente. Per esempio per x-->0
> e' lecito sostituire
>
> sen x + 2(x^2)
>
> semplicemente con x.
lim_x->0 [sen x + 2(x^2)] = 0
lim_x->0 [x] = 0
lim_x->0 [(sen x + 2(x^2)) / x] = 1
Si!
> Ma perche'?
Nel nostro caso non ci preoccupa x^2 poiche' e' un infinitesimo di ordine 2
rispetto a sin x che a sua volta e' di ordine 1 rispetto a x.
[L'ordine e' dato dall'esponente della potenza della funzione di paragone
(nel nostro caso x) con cui si realizza la "equivalenza" degli infinitesimi
(infiniti)]
Nell'intorno del punto limite il suo contributo al valore della funzione
diventa trascurabile.
Prova a disegnare e fare zoom del grafico delle tre funzioni.
La sinusoide y = sin x,
la retta y = x
la funzione y = sin x + 2 x^2
Si sovrappongono!
>Basta che siano infinitesimi (o infiniti)
> dello stesso ordine?
Penso proprio di si!
> Manuel
Ciao,
Gian Paolo
Manuel
Grazie a tutti! Quando ho acceso il computer
sono rimasto spaventato dal gran numero di risposte.
Non credo di aver risolto tutti i dubbi,
ma prima di poter chiedere qualcosa dovro'
studiare a fondo i vostri esaurienti post!
Grazie di cuore!
Manuel
Simone Secchi
> in pratica, con quale polinomio confronteresti f(x)=x^(3/2) ?
Mi sfugge la domanda. Lo puoi confrontare con quello che vuoi.
max101000010.01000101
> max101000010.01000101 wrote:
>
>
> > in pratica, con quale polinomio confronteresti f(x)=x^(3/2) ?
>
> Mi sfugge la domanda. Lo puoi confrontare con quello che vuoi.
non esiste nessun polinomio in x con cui confrontare f(x)=x^(3/2) ai fini
della determinazione del suo ordine di infinitesimo. chiaro?
per esempio, f e' infintesimo rispetto a x, ma non rispetto a x^2, quindi il
suo "infinitesimo equivalente" non puo' essere un polinomio.
questo dimostra che - in pratica e anche in teoria - il confronto coi
polinomi non sempre fornisce una risposta definitiva ai fini del calcolo di
un limite.
ciao
max
Simone Secchi
>
>
> non esiste nessun polinomio in x con cui confrontare f(x)=x^(3/2) ai
> fini della determinazione del suo ordine di infinitesimo. chiaro?
> per esempio, f e' infintesimo rispetto a x, ma non rispetto a x^2,
> quindi il suo "infinitesimo equivalente" non puo' essere un polinomio.
> questo dimostra che - in pratica e anche in teoria - il confronto coi
> polinomi non sempre fornisce una risposta definitiva ai fini del
> calcolo di un limite.
Beh, certo, chi ha mai detto il contrario? Non ho mai detto che tutte
le funzioni possiedono un infinitesimo equivalente rispetto
all'infinitesimo standard. Resta il fatto che non bisogna per forza
cercare infinitesimi equivalenti. A volte basta confrontarli (i
cosiddetti "o piccolo" e "O grande") per eliminare termini che non
contribuiscono al limite. Anche la scelta di x --> |x-x0| come termine
di paragone e' arbitraria. In questo senso, posso parlare di ordine di
infinitesimo rispetto a qualunque funzione che tende a zero nel punto
x0. In pratica, si omette di specificare la funzione di confronto
perche' si sceglie quella scritta prima come funzione di paragone. E'
perfettamente corretto dire che l'identita' e' un infinitesimo di
ordine uno rispetto alla funzione sen. Oppure che x --> x^2 e' di
ordine uno rispetto a x--> 1- cos x.
Siccome esiste il teorema di Taylor, risulta molto piu' ragionevole
usare x --> |x-x0| per fare i confronti, ma il punto e' che non e'
l'undicesimo comandamento a dirci di usarlo.
Quello che assolutamente non deve essere frainteso e' che quello del
confronto degli infinitesimi e' un metodo, non una definizione
equivalente. Funziona sotto alcune ipotesi, ecco tutto.
fatti
>max101000010.01000101 wrote:
>Quello che assolutamente non deve essere
frainteso e' che quello del
>confronto degli infinitesimi e' un metodo,
non una definizione
>equivalente. Funziona sotto alcune ipotesi, ecco
tutto.
Naturale, tutta la matematica funziona sotto ipotesi. Perfino la
Tunze funziona sotto ipotesi. Un sacco di costruzioni mentali, con teoremi
e corollari vari, funzionano SOLO sotto determinate ipotesi. Ho in mente
varie di queste costruzioni, non solo matematiche, che sono state
utilizzate per un sacco di tempo, trascurando, o meglio, dando per
scontato, che certe ipotesi di base fossero verificate. Compito di
verificare le ipotesi è, in ultima analisi, quello degli sperimentali. Come
sai, molto difficilmente, in un ng si può andare oltre le congetture, che
sono in pratica, solo un esercizio di bravura e di logica. Senza alcun
fondamento nè verifica, senza alcun legame con la realtà. E' fiction,
qualcuno diceva. Io mi rifiuto di scartare a priori un'ipotesi, solo perchè
non posso, per ora, verificarla. Se essa è plausibile, e coerente con
resto, la prendo in considerazione eccome, anche se questo non ti garba.
Anche a me spesso non vanno a genio le tue ipotesi, ma cerco di dimostrare
coi FATTI che non sono fondate. Se riesci, dimostra coi fatti, se no
rassegnati.
max101000010.01000101
> max101000010.01000101 wrote:
>
> >
> >
> > non esiste nessun polinomio in x con cui confrontare f(x)=x^(3/2) ai
> > fini della determinazione del suo ordine di infinitesimo. chiaro?
> > per esempio, f e' infintesimo rispetto a x, ma non rispetto a x^2,
> > quindi il suo "infinitesimo equivalente" non puo' essere un polinomio.
> > questo dimostra che - in pratica e anche in teoria - il confronto coi
> > polinomi non sempre fornisce una risposta definitiva ai fini del
> > calcolo di un limite.
>
> Beh, certo, chi ha mai detto il contrario? Non ho mai detto che tutte
> le funzioni possiedono un infinitesimo equivalente rispetto
> all'infinitesimo standard.
ti cito:
"In teoria potresti usare infinitesimi equivalenti di altro
tipo. In pratica pero' si usano i polinomi."
cosa volevi dire con "in pratica"?
Simone Secchi
??????
max101000010.01000101
lascia perdere... e' un troll...
Simone Secchi
> ti cito:
> "In teoria potresti usare infinitesimi equivalenti di altro
> tipo. In pratica pero' si usano i polinomi."
> cosa volevi dire con "in pratica"?
O mamma mia, ma parliamo due lingue diverse? Volevo dire esattamente
quello che ho scritto nel messaggio di prima. Non mi sembra il caso di
ripeterlo, no? Riassumendo: non si puo' dire che "infinitesimi
equivalenti" significa "espandere in serie di Maclaurin (per
semplificare, x0=0)" come sembrava aver capito il nostro amico. E' vero
che, spesso, e' molto utile scrivere il polinomio di Maclaurin di un
certo grado e rimpiazzare con esso la funzione all'interno di un
limite. Pero' sarebbe altrettanto rigoroso rimpiazzare la funzione con
un qualunque infinitesimo equivalente. Insomma, se devo calcolare il
limite, per x che tende a zero, di [1- (cos x)^2] / sen x, non e' forse
piu' immediato sostituire 1-cos x con l'infinitesimo equivalente (sen
x)^2 piuttosto che sviluppare tutto rispetto a x ?
Lazzaroni Fabio Arrigoni Marco
> max101000010.01000101 wrote:
>
> > ti cito:
> > "In teoria potresti usare infinitesimi equivalenti di altro
> > tipo. In pratica pero' si usano i polinomi."
> > cosa volevi dire con "in pratica"?
>
Provo ad interpretare
-in pratica = nel 99% dei casi nel compito di analisi I
che probabilmente e' il problema principale di Manuel
(almeno credo).
Poi avete mostrato entrambi che talvolta non si puo'
usare un polinomio e talvolta non e' utile usare un polinomio.
Simone Secchi
> Provo ad interpretare
>
> -in pratica = nel 99% dei casi nel compito di analisi I
>
> che probabilmente e' il problema principale di Manuel
> (almeno credo).
>
> Poi avete mostrato entrambi che talvolta non si puo'
> usare un polinomio e talvolta non e' utile usare un polinomio.
Beh, da un punto di vista molto pragmatico, direi che si puo' dire
cosi'.
max101000010.01000101
> max101000010.01000101 wrote:
>
>
> > ti cito:
> > "In teoria potresti usare infinitesimi equivalenti di altro
> > tipo. In pratica pero' si usano i polinomi."
> > cosa volevi dire con "in pratica"?
>
> O mamma mia, ma parliamo due lingue diverse? Volevo dire esattamente
> quello che ho scritto nel messaggio di prima. Non mi sembra il caso di
> ripeterlo, no? Riassumendo: non si puo' dire che "infinitesimi
> equivalenti" significa "espandere in serie di Maclaurin (per
> semplificare, x0=0)" come sembrava aver capito il nostro amico. E' vero
> che, spesso, e' molto utile scrivere il polinomio di Maclaurin di un
> certo grado e rimpiazzare con esso la funzione all'interno di un
> limite.
ecco, non son molto d'accordo con l'avverbio "spesso". infatti in buona
parte degli esercizi di analisi 1 (di esame, intendo) le funzioni di cui
calcolare il limite non hanno sviluppo di taylor, nel punto considerato.
esempio:
(sin(1/x)*(exp(x)+2ln(cos(x))/x^2))/sqrt(x)
per x->0+
> Pero' sarebbe altrettanto rigoroso rimpiazzare la funzione con
> un qualunque infinitesimo equivalente. Insomma, se devo calcolare il
> limite, per x che tende a zero, di [1- (cos x)^2] / sen x, non e' forse
> piu' immediato sostituire 1-cos x con l'infinitesimo equivalente (sen
> x)^2 piuttosto che sviluppare tutto rispetto a x ?
si', ma non vedo cosa c'entri questo.
ciao
max