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Esercizio: bisettrice di un triangolo
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kurt...@gmail.com
Dec 15, 2018, 4:46:18 AM12/15/18
to
Mediante il calcolo vettoriale scrivere una bisettrice di un triangolo in funzione dei lati.
Se qualcuno è interessato, entro una settimana scrivo una mia soluzione. Lascio il tempo ad altri di intervenire.
W Hamilton…
ciao
GL
Se qualcuno è interessato, entro una settimana scrivo una mia soluzione. Lascio il tempo ad altri di intervenire.
W Hamilton…
ciao
GL
Elio Fabri
Dec 15, 2018, 5:04:36 AM12/15/18
to
kurt...@gmail.com ha scritto:
Definisco C tale che OC = (u+v)/2.
La bisettrice cercata è h = |OC|.
|OC|^2 = (|u|^2 + |v|^2 + 2 u.v)/4
Abbiamo
|AB|^2 = |u-v|^2 = |u|^2 + |v|^2 - 2 u.v
pertanto
4 |OC|^2 + |AB|^2 = 2(|u^|^2 + |v|^2).
Ponendo |OA| = a. |OB| = b, |AB| = c risulta
4 h^2 + c^2 = 2(a^2 + b^2)
h^2 = [2(a^2 + b^2) - c^2]/4
--
Elio Fabri
> Mediante il calcolo vettoriale scrivere una bisettrice di un triangolo
> in funzione dei lati.
Sia OAB il triangolo. Pongo OA = u (vettore), OB = v (vettore).
> in funzione dei lati.
Definisco C tale che OC = (u+v)/2.
La bisettrice cercata è h = |OC|.
|OC|^2 = (|u|^2 + |v|^2 + 2 u.v)/4
Abbiamo
|AB|^2 = |u-v|^2 = |u|^2 + |v|^2 - 2 u.v
pertanto
4 |OC|^2 + |AB|^2 = 2(|u^|^2 + |v|^2).
Ponendo |OA| = a. |OB| = b, |AB| = c risulta
4 h^2 + c^2 = 2(a^2 + b^2)
h^2 = [2(a^2 + b^2) - c^2]/4
--
Elio Fabri
Elio Fabri
Dec 15, 2018, 5:31:22 AM12/15/18
to
Ho scritto:
> Sia OAB il triangolo. Pongo OA =D u (vettore), OB = v (vettore).
> ...
una colossale c@%%@ta. Mediana invece di bisettrice.
Come non detto :-(
--
Elio Fabri
> Sia OAB il triangolo. Pongo OA =D u (vettore), OB = v (vettore).
> ...
una colossale c@%%@ta. Mediana invece di bisettrice.
Come non detto :-(
--
Elio Fabri
kurt...@gmail.com
Dec 15, 2018, 5:45:26 AM12/15/18
to
Una distrazione puo' capitare, questo non toglie nulla all'intervento di Elio.
ngs
Dec 15, 2018, 7:03:22 AM12/15/18
to
On 15/12/2018 10:46, kurt...@gmail.com wrote:
> Mediante il calcolo vettoriale scrivere una bisettrice di un triangolo in funzione dei lati.
Se i vettori dei lati sono u e v, allora il vettore bisettrice è (u/|u|
> Mediante il calcolo vettoriale scrivere una bisettrice di un triangolo in funzione dei lati.
+ v/|v|)/2.
Kiuhnm
JTS
Dec 15, 2018, 7:11:04 AM12/15/18
to
ed hai la formula richiesta.
JTS
Dec 15, 2018, 7:16:44 AM12/15/18
to
Am 15.12.2018 um 12:11 schrieb JTS:
>
> Ora devi scrivere il prodotto scalare u.v in funzione del terzo lato c
> ed hai la formula richiesta.
>
>
Naturalmente la lunghezza del terzo lato si chiama |w| ;-)
>
> Ora devi scrivere il prodotto scalare u.v in funzione del terzo lato c
> ed hai la formula richiesta.
>
>
ngs
Dec 15, 2018, 7:25:07 AM12/15/18
to
sono chiaramente funzioni dei 3 lati.
Kiuhnm
P.S. Dividere per 2 non serve, tra l'altro.
ngs
Dec 15, 2018, 7:26:56 AM12/15/18
to
On 15/12/2018 12:11, JTS wrote:
Kiuhnm
JTS
Dec 15, 2018, 7:31:07 AM12/15/18
to
Am 15.12.2018 um 13:26 schrieb ngs:
>
> E poi cosa s'intende per "lato" esattamente?
>
> Kiuhnm
Lo ho inteso come "lunghezza del lato".
>
> E poi cosa s'intende per "lato" esattamente?
>
> Kiuhnm
Teomondo Scrofolo
Dec 15, 2018, 7:35:05 AM12/15/18
to
Errore blu, 3½
JTS
Dec 15, 2018, 7:37:02 AM12/15/18
to
Teomondo Scrofolo
Dec 15, 2018, 7:46:26 AM12/15/18
to
Il Sat, 15 Dec 2018 13:25:03 +0100, ngs ha scritto:
> A rigor di logica, quella è già la formula richiesta, visto che u e v
> sono chiaramente funzioni dei 3 lati.
>
> Kiuhnm
>
> P.S. Dividere per 2 non serve, tra l'altro.
Errare è umano perseverare è diabolico.
> A rigor di logica, quella è già la formula richiesta, visto che u e v
> sono chiaramente funzioni dei 3 lati.
>
> Kiuhnm
>
> P.S. Dividere per 2 non serve, tra l'altro.
Torniamo alle basi:
Un vettore è una grandezza dotata di modulo, direzione e verso.
A parte cazzatelle varie, come bisognerebbe anche specificare che
se il vettore è controvariante o covariante, ed il litigio tra la scuola
europea e la scuola anglosassone che, basandosi su un concetto errato di
direzione e su una imprecisione sull'espressione "versi opposti", vuole i
vettori dotati solo di direzione e non di verso, tu manchi una proprietà
fondamentale dei vettori che nemmeno gli anglosassoni mettono in dubbio
e che tu proditoriamente ignori:
QUALE È IL MODULO DEL VETTORE BISETTRICE?
Teomondo Scrofolo
Dec 15, 2018, 7:50:18 AM12/15/18
to
Il Sat, 15 Dec 2018 12:46:24 +0000, Teomondo Scrofolo ha scritto:
> ... specificare che se...
Errata
Eliminare la parola "che"
Corrige
> ... specificare che se...
Errata
Eliminare la parola "che"
Corrige
JTS
Dec 15, 2018, 7:54:46 AM12/15/18
to
dato il vettore b = u/|u| + v/|v|
cerco il punto di intersezione tra b e il vettore "applicato" terzo
lato, che trovo con il sistema
t*b = u + s*(v-u)
dove s e t sono scalari.
Ottengo due equazioni scalari proiettando l'equazione vettoriale prima
su u e poi su v. In queste equazioni compare solo il prodotto scalare
u.v che posso esprimere in funzione di |u|, |v| e |w|.
Da questo ottengo t e da t la lunghezza della bisettrice.
Pero' non ho fatto ancora i calcoli e per il momento non ho piu' voglia ;-)
uno_tantum
Dec 15, 2018, 10:08:07 AM12/15/18
to
On 15/12/2018 13:46:24 Teomondo Scrofolo wrote:
> Il Sat, 15 Dec 2018 13:25:03 +0100, ngs ha scritto:
>> A rigor di logica, quella è già la formula richiesta, visto che u e v
>> sono chiaramente funzioni dei 3 lati.
>>
>> Kiuhnm
>>
>> P.S. Dividere per 2 non serve, tra l'altro.
> Errare è umano perseverare è diabolico.
Pero' e' vero che non serve dividere per 2, perche' dividendo per 2
> Il Sat, 15 Dec 2018 13:25:03 +0100, ngs ha scritto:
>> A rigor di logica, quella è già la formula richiesta, visto che u e v
>> sono chiaramente funzioni dei 3 lati.
>>
>> Kiuhnm
>>
>> P.S. Dividere per 2 non serve, tra l'altro.
> Errare è umano perseverare è diabolico.
non si trova, generalmene, il versore come invece gli hai detto tu.
> Torniamo alle basi:
> Un vettore è una grandezza dotata di modulo, direzione e verso.
> A parte cazzatelle varie, come bisognerebbe anche specificare che
> se il vettore è controvariante o covariante, ed il litigio tra la scuola
controvarianti, un vettore e' un vettore e basta.
Hai qualche testo di riferimento?
> QUALE È IL MODULO DEL VETTORE BISETTRICE?
tanto per il modulo... per Kiuhnm:
Se u e' 1 km e v 1 cm a squadra, u+v e' sulla diagonale del rettangolo...
ngs
Dec 15, 2018, 10:56:38 AM12/15/18
to
On 15/12/2018 12:54, JTS wrote:
> Per me:
>
> dato il vettore b = u/|u| + v/|v|
>
> cerco il punto di intersezione tra b e il vettore "applicato" terzo
> lato, che trovo con il sistema
>
> t*b = u + s*(v-u)
>
> dove s e t sono scalari.
>
> Ottengo due equazioni scalari proiettando l'equazione vettoriale prima
> su u e poi su v. In queste equazioni compare solo il prodotto scalare
> u.v che posso esprimere in funzione di |u|, |v| e |w|.
>
> Da questo ottengo t e da t la lunghezza della bisettrice.
>
> Pero' non ho fatto ancora i calcoli e per il momento non ho piu' voglia ;-)
Non ricordavo che la bisettrice fosse un segmento quando si parla di
> Per me:
>
> dato il vettore b = u/|u| + v/|v|
>
> cerco il punto di intersezione tra b e il vettore "applicato" terzo
> lato, che trovo con il sistema
>
> t*b = u + s*(v-u)
>
> dove s e t sono scalari.
>
> Ottengo due equazioni scalari proiettando l'equazione vettoriale prima
> su u e poi su v. In queste equazioni compare solo il prodotto scalare
> u.v che posso esprimere in funzione di |u|, |v| e |w|.
>
> Da questo ottengo t e da t la lunghezza della bisettrice.
>
> Pero' non ho fatto ancora i calcoli e per il momento non ho piu' voglia ;-)
triangoli. Consideravo la semiretta e non avevo capito che si volessero
le lunghezze.
In realtà non occorre risolvere un sistema di equazioni. Ogni punto del
"terzo lato" è combinazione convessa di u e v, quindi basta trovare t
t.c. tb sia anch'esso una combinazione convessa, cioè
t/|u| + t/|v| = 1
Poi ci serve la lunghezza di b che conterrà un uv il cui valore in
funzione dei 3 lati si trova sviluppando |c|^2 = (u-v)(u-v) (che poi dà
il teorema di Carnot).
Kiuhnm
JTS
Dec 15, 2018, 11:12:36 AM12/15/18
to
Am 15.12.2018 um 16:56 schrieb ngs:
> Poi ci serve la lunghezza di b che conterrà un uv il cui valore in
> funzione dei 3 lati si trova sviluppando |c|^2
|c| si chiama |w| ;-)
> Poi ci serve la lunghezza di b che conterrà un uv il cui valore in
> funzione dei 3 lati si trova sviluppando |c|^2
Alla combinazione convessa ci penso con calma - ho capito solo l'algebra
per il momento.
El Filibustero
Dec 15, 2018, 11:19:28 AM12/15/18
to
On Sat, 15 Dec 2018 01:46:17 -0800 (PST), kurt...@gmail.com wrote:
>Mediante il calcolo vettoriale scrivere una bisettrice di un triangolo
>in funzione dei lati.
la bisettrice dei lati vettore "a" e vettore "b" e'
>Mediante il calcolo vettoriale scrivere una bisettrice di un triangolo
>in funzione dei lati.
b + |b|/(|a|+|b|) (a-b)
(o scambiando a e b). Ciao
El Filibustero
Dec 15, 2018, 11:21:25 AM12/15/18
to
On Sat, 15 Dec 2018 17:19:30 +0100, El Filibustero wrote:
>la bisettrice dei lati vettore "a" e vettore "b" e'
>
>b + |b|/(|a|+|b|) (a-b)
Hint: in un triangolo, la bisettrice di un angolo divide il lato
>la bisettrice dei lati vettore "a" e vettore "b" e'
>
>b + |b|/(|a|+|b|) (a-b)
opposto in parti proporzionali ai lati dell'angolo bisecato. Ciao
JTS
Dec 15, 2018, 11:30:40 AM12/15/18
to
problema. Quella (non completa) che ho dato io e' (adesso mi accorgo) la
soluzione ad un testo leggermente diverso (trovare la lunghezza della
bisettrice data la lunghezza dei lati).
Tommaso Russo, Trieste
Dec 15, 2018, 7:20:05 PM12/15/18
to
On 15/12/18 13:35, Teomondo Scrofolo wrote:
> Il Sat, 15 Dec 2018 13:03:17 +0100, ngs ha scritto:
>> Se i vettori dei lati sono u e v, allora il vettore bisettrice è (u/|u|
>> + v/|v|)/2.
> Il Sat, 15 Dec 2018 13:03:17 +0100, ngs ha scritto:
>> Se i vettori dei lati sono u e v, allora il vettore bisettrice è (u/|u|
>> + v/|v|)/2.
> Quello è il versore della bisettrice.
Neanche. Non ha necessariamente modulo 1.
Ma se per "bisettrice" si intende una semiretta, la individua.
--
TRu-TS
buon vento e cieli sereni
Bruno Campanini
Dec 16, 2018, 9:54:21 AM12/16/18
to
El Filibustero used his keyboard to write :
Beh ma questo lo sapevano tutti... o no?
Comunque, dato un triangolo del quale siano noti i soli lati A, B, C,
la determinazione di:
1 - equazione della retta bisettrice di a (angolo opposto ad A)
2 - dimensione della bisettrice di a
calcolo vettoriale alla mano... la cosa è più semplice o più complessa?
Bruno
Comunque, dato un triangolo del quale siano noti i soli lati A, B, C,
la determinazione di:
1 - equazione della retta bisettrice di a (angolo opposto ad A)
2 - dimensione della bisettrice di a
calcolo vettoriale alla mano... la cosa è più semplice o più complessa?
Bruno
Bruno Campanini
Dec 17, 2018, 12:56:01 PM12/17/18
to
JTS was thinking very hard :
Approfitto della tua disponibilità... non volermene.
E ti faccio la stessa domanda già qui formulata senza risposta:
"""
... dato un triangolo del quale siano noti i soli lati A, B, C,
"""
Grazie
Bruno
E ti faccio la stessa domanda già qui formulata senza risposta:
"""
... dato un triangolo del quale siano noti i soli lati A, B, C,
la determinazione di:
1 - equazione della retta bisettrice di a (angolo opposto ad A)
2 - dimensione della bisettrice di a
calcolo vettoriale alla mano... è cosa più semplice o più complessa?
1 - equazione della retta bisettrice di a (angolo opposto ad A)
2 - dimensione della bisettrice di a
"""
Grazie
Bruno
JTS
Dec 17, 2018, 1:22:28 PM12/17/18
to
Am 17.12.2018 um 18:56 schrieb Bruno Campanini:
>
> Approfitto della tua disponibilità... non volermene.
> E ti faccio la stessa domanda già qui formulata senza risposta:
>
> """
> ... dato un triangolo del quale siano noti i soli lati A, B, C,
> la determinazione di:
> 1 - equazione della retta bisettrice di a (angolo opposto ad A)
> 2 - dimensione della bisettrice di a
> calcolo vettoriale alla mano... è cosa più semplice o più complessa?
> """
>
Intendi 1 rispetto a 2?
>
> Approfitto della tua disponibilità... non volermene.
> E ti faccio la stessa domanda già qui formulata senza risposta:
>
> """
> ... dato un triangolo del quale siano noti i soli lati A, B, C,
> la determinazione di:
> 1 - equazione della retta bisettrice di a (angolo opposto ad A)
> 2 - dimensione della bisettrice di a
> calcolo vettoriale alla mano... è cosa più semplice o più complessa?
> """
>
E "dati i lati" intendi "dati i lati come vettori"?
Se cosi', l'equazione della retta e' piu' semplice della lunghezza delle
bisettrice IMHO (non devi trovare l'intersezione).
===
Se invece intendi "trovare la retta bisettrice e' piu' facile con il
calcolo vettoriale o con la geometria sintetica" mi sembra con la
geometria sintetica (ho provato a pensarci e mi sembra facile, mi pare
si faccia con tre cerchi); invece per la lunghezza della bisettrice non
ho provato con la geometria sintetica quindi non lo so, pero' ad
intuizione forse e' piu' facile con il calcolo vettoriale (mi aspetto
sara' necessario adoperare il teorema di Pitagora, che e' gia'
"nascosto" dentro il calcolo vettoriale).
===
Se intendi qualcos'altro ... allora non avevo capito la domanda;-)
Bruno Campanini
Dec 17, 2018, 4:31:39 PM12/17/18
to
JTS wrote :
dati i lati come scalari e un po' di analisi dal triangolo si può
estrarre TUTTO (angoli, altezze, bisettrici, etc.) con poca spesa.
dati i lati come vettori e calcolo vettoriale alla mano si può fare
la stessa cosa?
Immagino di sì... e con quale spesa?
Bruno
> Am 17.12.2018 um 18:56 schrieb Bruno Campanini:
> Intendi 1 rispetto a 2?
>
> E "dati i lati" intendi "dati i lati come vettori"?
L'appetito vien mangiando, per cui:
> Intendi 1 rispetto a 2?
>
> E "dati i lati" intendi "dati i lati come vettori"?
dati i lati come scalari e un po' di analisi dal triangolo si può
estrarre TUTTO (angoli, altezze, bisettrici, etc.) con poca spesa.
dati i lati come vettori e calcolo vettoriale alla mano si può fare
la stessa cosa?
Immagino di sì... e con quale spesa?
Bruno
JTS
Dec 17, 2018, 4:56:35 PM12/17/18
to
spesa maggiore sia avere "nascosto" i principi della geometria dentro le
regole per la manipolazione dei vettori. Cioe' fatta prima, e una volta
per tutte.
Bruno Campanini
Dec 17, 2018, 5:42:12 PM12/17/18
to
JTS wrote on 17-12-18 :
Mi hai già risposto... è quello che penso anch'io.
Merry Xmas
Bruno
Merry Xmas
Bruno
Teomondo Scrofolo
Dec 21, 2018, 8:38:02 AM12/21/18
to
Il Sun, 16 Dec 2018 01:19:55 +0100, Tommaso Russo, Trieste ha scritto:
> On 15/12/18 13:35, Teomondo Scrofolo wrote:
>> Il Sat, 15 Dec 2018 13:03:17 +0100, ngs ha scritto:
>
>>> Se i vettori dei lati sono u e v, allora il vettore bisettrice è
>>> (u/|u| + v/|v|)/2.
>
>> Quello è il versore della bisettrice.
>
> Neanche. Non ha necessariamente modulo 1.
Effettivamente...
> On 15/12/18 13:35, Teomondo Scrofolo wrote:
>> Il Sat, 15 Dec 2018 13:03:17 +0100, ngs ha scritto:
>
>>> Se i vettori dei lati sono u e v, allora il vettore bisettrice è
>>> (u/|u| + v/|v|)/2.
>
>> Quello è il versore della bisettrice.
>
> Neanche. Non ha necessariamente modulo 1.
Il Sun, 16 Dec 2018 01:19:55 +0100, Tommaso Russo, Trieste ha scritto:
> Ma se per "bisettrice" si intende una semiretta, la individua.
Non perché quel vettore non individua la semiretta ma perché nell'OP era
chiarissimo che si doveva determinare il segmento.
Teomondo Scrofolo
Dec 21, 2018, 8:45:42 AM12/21/18
to
Il Sat, 15 Dec 2018 15:08:05 +0000, uno_tantum ha scritto:
>
> Strano, avrei detto che non esistono vettori covarianti e
> controvarianti, un vettore e' un vettore e basta. Hai qualche testo di
> riferimento?
In realtà c'è un abuso di linguaggio: i vettori e gli altri elementi
>
> Strano, avrei detto che non esistono vettori covarianti e
> controvarianti, un vettore e' un vettore e basta. Hai qualche testo di
> riferimento?
fisici sono assoluti, cioè indipendenti dal riferimento; quelli ad essere
covarianti o controvarianti sono le componenti cartesiane del vettore.
Per riferimento puoi prendere il classico testo di Levi-Civita ed Amaldi
oppure un qualsiasi testo di meccanica razionale dove sono definiti anche
cose come le freccette, i vettori liberi, i vettori applicati, i vettori
polari, i vettori assiali, gli pseudovettori ed in generale le grandezze
tensoriali di ordine 0, 1, 2, 3, ...
Bruno Campanini
Dec 21, 2018, 2:48:07 PM12/21/18
to
Teomondo Scrofolo explained :
[...]
A = area da Erone
h = 2A/a
bisettrice = Sqrt[h^2 + (Sqrt[b^2 - h^2] - (a b)/(b + c))^2]
E non è il solo.
Che in linguaggio vettoriale si traduce in???
Bruno
[...]
>> Ma se per "bisettrice" si intende una semiretta, la individua.
>
> Assolutamente no.
> Non perché quel vettore non individua la semiretta ma perché nell'OP era
> chiarissimo che si doveva determinare il segmento.
Lati a, b, c (a lato maggiore)
>
> Assolutamente no.
> Non perché quel vettore non individua la semiretta ma perché nell'OP era
> chiarissimo che si doveva determinare il segmento.
A = area da Erone
h = 2A/a
bisettrice = Sqrt[h^2 + (Sqrt[b^2 - h^2] - (a b)/(b + c))^2]
E non è il solo.
Che in linguaggio vettoriale si traduce in???
Bruno
uno_tantum
Dec 21, 2018, 3:59:32 PM12/21/18
to
On 21/12/2018 14:45:40 Teomondo Scrofolo wrote:
> Il Sat, 15 Dec 2018 15:08:05 +0000, uno_tantum ha scritto:
>> Strano, avrei detto che non esistono vettori covarianti e
>> controvarianti, un vettore e' un vettore e basta. Hai qualche testo di
>> riferimento?
> In realtà c'è un abuso di linguaggio: i vettori e gli altri elementi
Ah be' allora Ok.
> Il Sat, 15 Dec 2018 15:08:05 +0000, uno_tantum ha scritto:
>> Strano, avrei detto che non esistono vettori covarianti e
>> controvarianti, un vettore e' un vettore e basta. Hai qualche testo di
>> riferimento?
> In realtà c'è un abuso di linguaggio: i vettori e gli altri elementi
> Per riferimento puoi prendere il classico testo di Levi-Civita ed Amaldi
> oppure un qualsiasi testo di meccanica razionale dove sono definiti anche
> cose come le freccette, i vettori liberi, i vettori applicati, i vettori
> polari, i vettori assiali, gli pseudovettori ed in generale le grandezze
> tensoriali di ordine 0, 1, 2, 3, ...
non per il calcolo vettoriale o per la leggi di controvarianza
e covarianza.
Ciao
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