esistono le radici dei numeri negativi ?
Lu
Sappiamo che le radici ennesime reali di numeri reali negativi NON
esistono SE l'indice della radice e' un numero pari.
Il mio problema riguarda le radici di indice dispari.
Esempio illuminante. Possiamo calcolare la radice cubica di (-8) ? In
apparenza si', perche' (-2) ^ 3 = (-8) e quindi la radice esiste e
vale (-2).
Ma....
Ecco dove nasce il mio problema. Se vogliamo rappresentare quella
radice come una potenza ad esponente frazionario ecco quello che
succede:
(-8) ^ (1/3)
Ebbene, questa interpretazione delle potenze (cioe' il significato che
noi diamo delle potenze ad esponente frazionario) soffre di una grave
lacuna: NON e' indipendente dalla scelta dei rappresentanti.
Mi spiego... Sappiamo che la frazione 1/3 "uno su tre" a rigore NON e'
un numero. Piuttosto e' un RAPPRESENTANTE del numero razionale (non
negativo) "un terzo". Esistono tante altre frazioni che rappresentano
lo stesso numero razionale: 2/6, 3/9, 4/12, .... tant'e' che i numeri
razionali si definiscono come le classi di equivalenza di piu'
frazioni tra loro equivalenti.
Ebbene... tutti gli algoritmi di operazioni coinvolgenti numeri
razionali devono soddisfare la proprieta' di INDIPENDENZA DALLA SCELTA
DEI RAPPRESENTANTI. Cioe' si deve dimostrare che se si cambia il
rappresentante di un numero razionale coinvolto nell'operazione, il
risultato non cambia (ovvero, e' equivalente a quello di prima).
Tutte le operazioni devono rispettare questa proprieta', fossero anche
delle banali addizioni o moltiplicazioni. E in effetti la
dimostrazione di tale proprieta' rappresenta un importante passaggio
nel processo di costruzione dei numeri razionali.
Ebbene..... l'operazione (-8) ^ (1/3) NON rispetta questa proprieta'.
Avevamo prima visto che (-8) ^ (1/3) = radice cubica di (-8) = (-2)
Ora, se al posto di 1/3 prendiamo 2/6 otteniamo:
(-8) ^ (2/6) = (-8) ^ (2:6) = (-8) ^ [2 * (1/6)]
E a questo punto possono essere seguite due strade, utilizzando la
proprieta' che afferma che "una potenza di potenza e' un potenza che
ha per esponente il prodotto degli esponenti"
(-8) ^ [2 * (1/6)] = [(-8) ^ 2] ^ (1/6) = 64 ^ (1/6) = radice sesta di
64 = +2
(-8) ^ [2 * (1/6)] = [(-8) ^ (1/6)] ^ 2 = [radice sesta di (-8)] ^ 2 =
NON ESISTE
Otteniamo quindi due risultati diversi tra loro e diversi a loro volta
del risultato ottenuto utilizzando la frazione 1/3.
Con cio' e' provato che l'estensione dell'operazione di potenza ad
esponente frazionario NON GODE della proprieta' di indipendenza dalla
scelta dei rappresentanti.
E' interessante notare come questa proprieta' e' invece soddisfatta se
si considerano potenze con basi esclusivamente non negative.
Se ne potrebbe concludere che l'operazione di potenza con esponente
frazionario non e' definita (o quantomento non e' definita bene) per
basi negative.
Ora ecco la mia domanda.
Se non esistono potenze ad esponente frazionario di numeri negativi,
che fine fanno le radici dei numeri negativi? Parlo delle radici ad
indice dispari, perche' quelle ad indice pari gia' non esistono.
Mi scuso per la lunghezza del post, ma ho voluto immodestamente
evitare che mi fossero rispiegati concetti che gia' conosco.
Ho tentato gia' da solo a dare delle risposte a questo quesito. Per
esempio:
1) l'operazione di radice e quella di potenza sono due cose divese.
Per cui se (-8) ^ (1/3) non esiste cio' non ha alcuna influenza
sull'esistenza della radice cubica di (-8).
Ma poi rifletto sul fatto che molti strumenti di calcolo matematico
(dalle calcolatrici tascabili ai potenti programmi informatici)
neanche prevedono l'operazione di radice ennesima, dirottando gli
utenti all'utilizzo della corrispondente potenza ad esponente
frazionario.
2) la radice dei numeri negativi a rigore non esiste, ed il fatto di
dire "radice cubica di (-8) = (-2)" e' una semplificazione che va
abbandonata quanto prima.
Ma sono illazioni, non confortate da nulla. Qualcuno sa qual e'
l'orientamento che i matematici danno al problema?
Grazie per la lettura :-) e per la risposta
Lu
Stefano Gibellini
> Il quesito e' in apparenza banale.
> Sappiamo che le radici ennesime reali di numeri reali negativi NON
> esistono SE l'indice della radice e' un numero pari.
[CUT]
Non so se tu l'abbia gi� letto o se ti possa aiutare, ma prova a guardare
qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation
In particolare potrebbero interessarti queste parti:
http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation#Principal_n-th_root
http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation#Rational_powers
http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation#Negative_n-th_roots
Stefano Gibellini
--
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito
http://www.newsland.it/news segnala gli abusi ad ab...@newsland.it
Lu
>
> Non so se tu l'abbia già letto o se ti possa aiutare, ma prova a guardare
> qui:
>
> http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation
>
> In particolare potrebbero interessarti queste parti:
>
> http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation#Principal_n-th_roothttp://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation#Rational_powershttp://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation#Negative_n-th_roots
>
> Stefano Gibellini
In effetti su wikipedia si parla di un esponente frazionario, in cui
la frazione deve apparire ridotta ai minimi termini. Si tratta di una
semplificazione a cui avevo gia' pensato, e mi pare molto forte,
almeno altrettanto rispetto a quella di ammettere la non esistenza di
radici di numeri negativi.
Ma tant'e'. Se questa semplificazione, per quanto drastica, fosse
almeno riconosciuta da tutta la comunita' matematica ok: la
definizione la prendiamo per buona. Ma e' questo il punto. Chiunque
puo' operare le semplificazioni che meglio crede o esiste una
posizione condivisa su questo argomento del resto abbastanza
elementare della matematica ?
Lu
Lu
> Non so se tu l'abbia già letto o se ti possa aiutare, ma prova a guardare
> qui:
>
> http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation
> Stefano Gibellini
PS curiosando su wikipedia, dato che c'ero, ecco cosa si dice a
proposito della radice ennesima:
"For even values of n, positive numbers also have a negative nth root,
while negative numbers do not have a real nth root. For odd values of
n, every negative number x has a real negative nth root. For example
-2 has a real 5th root: radice quinta di (-2) = -1,148698354 but -2
does not have any real 6th roots."
Quindi per wikipedia le radici dei numeri negativi esistono. Daltronde
nella stessa pagina e' pero' scritto:
"In calculus, roots are treated as special cases of exponentiation,
where the exponent is a fraction: radice ennesima di x = x ^ (1/n)"
Quindi viene data per scontata l'equivalenza tra le due operazioni. E
senza esplicitare restrizioni.
I miei dubbi restano....
fm2766
> 2) la radice dei numeri negativi a rigore non esiste,
Mica vero! Mica esiste solo R!
Esiste anche C, per esempio!
Perch� ragionate sempre solo in R? :-)
Francesco
"Lu" <elil...@libero.it> ha scritto nel messaggio
news:316025e1-8db9-4120...@upsg2000gro.googlegroups.com...
> Il quesito e' in apparenza banale.
>
> Sappiamo che le radici ennesime reali di numeri reali negativi NON
> esistono SE l'indice della radice e' un numero pari.
>
> Il mio problema riguarda le radici di indice dispari.
>
> Esempio illuminante. Possiamo calcolare la radice cubica di (-8) ? In
> apparenza si', perche' (-2) ^ 3 = (-8) e quindi la radice esiste e
> vale (-2).
> Ma sono illazioni, non confortate da nulla. Qualcuno sa qual e'
> l'orientamento che i matematici danno al problema?
Non credo esista una convenzione ufficiale.
Faccio 3 prime osservazioni a quello che dici.
1. Che dire della funzione in IR y = Cuberoot(x)?
2. Guarda caso ancora su quasi tutti i testi del liceo,
quando si fanno i radicali ci sono 50 pagine dedicate ai
radicali in IR+, cosi si evita il tuo problema salvaguardando la
propriet�
invariantiva. Si dedica poi 1 sola pagina ai "radicali algebrici" in IR.
Dove cuberoot(-8) esiste e vale -2, ma non vale la proprit� invariantiva
per i motivi che hai ben evidenziato.
3. Mathematica, sicuramente un software di riferimento, alla domanda
"quanto vale cuberoot(-8)" risponde 1+rad(3)i, cio� prende
per sua convenzione la radice nel primo quadrante del piano complesso.
Per questo motivo, per Mathematica, il grafico di y=cuberoot(x) �
limitato
al primo quadrante.
__________ Information from ESET Smart Security, version of virus signature database 4737 (20100102) __________
The message was checked by ESET Smart Security.
Giorgio Pastore
E se uno invece *vuole* ragionare in R e non in C ? � vietato ?
Mi sembra che Lu abbia toccato una delle "zone grigie" dove la
questione principale sta nell' utilit� e compatibilit� di
definizioni. Eventualmente ci si pu� *anche* porre il problema della
consistenza tra quel che succede in R in C.
Giorgio
Lu
>
> Mica vero! Mica esiste solo R!
> Esiste anche C, per esempio!
> Perché ragionate sempre solo in R? :-)
Nel post ho premesso che mi riferivo al campo dei numeri reali. Vedi,
ogni insieme numerico ha le sue regole, per esempio la teoria dei
numeri vive quasi esclusivamente in N, li' la radice quadrata di 7, ad
esempio, non esiste e non e' certo un problema.
Lu
>
> Non credo esista una convenzione ufficiale.
>
> Faccio 3 prime osservazioni a quello che dici.
>
> 1. Che dire della funzione in IR y = Cuberoot(x)?
>
> 2. Guarda caso ancora su quasi tutti i testi del liceo,
> quando si fanno i radicali ci sono 50 pagine dedicate ai
> radicali in IR+, cosi si evita il tuo problema salvaguardando la
> invariantiva. Si dedica poi 1 sola pagina ai "radicali algebrici" in IR.
> per i motivi che hai ben evidenziato.
Il fatto che non valga la proprieta' invariantiva per radicandi
negativi rende secondo me troppo debole la definizione stessa di
radicale. In effetti, una potenza a ^ (m/n) dovrebbe a questo punto
sempre essere accompagnata dalla precisazione: "a condizione che MCD
(m,n) = 1".
Precisazione che a questo punto a me sembra necessaria ma che non ho
mai visto in nessun calcolo.
>
> 3. Mathematica, sicuramente un software di riferimento, alla domanda
> "quanto vale cuberoot(-8)" risponde 1+rad(3)i, cioè prende
> per sua convenzione la radice nel primo quadrante del piano complesso.
> Per questo motivo, per Mathematica, il grafico di y=cuberoot(x) è
> limitato
> al primo quadrante.
Anche Derive si comporta nello stesso modo, ma si puo' forzarlo a
restituire una radice reale, se esiste. In tal caso il grafico di x ^
(1/3) appare definito su tutto R.
fm2766
> fm2766 wrote:
>> Lu ha scritto:
>>> 2) la radice dei numeri negativi a rigore non esiste,
>> Mica vero! Mica esiste solo R!
>> Esiste anche C, per esempio!
>> Perch� ragionate sempre solo in R? :-)
> E se uno invece *vuole* ragionare in R e non in C ? � vietato ?
Non � vietato, ma se vuoi restringere il discorso ad un certo ambito,
devi dichiararlo.
Se, invece, chiedi se esistono *in assoluto* le radici, allora non puoi
ragionare solo in R.
Poi, perch� in R e non in N? Tanto, se non hai dichiarato nulla...
Io ho stigmatizzato quello che � un errore comune dei nostri giovani:
dare per scontato che si ragioni in un ambito, mentre, magari,
l'interlocutore sta ragionando in altri ambiti.
fm2766
> On 2 Gen, 16:22, fm2766 <fm2...@yahoo.it> wrote:
>
>> Mica vero! Mica esiste solo R!
>> Esiste anche C, per esempio!
>
> Nel post ho premesso che mi riferivo al campo dei numeri reali. Vedi,
> ogni insieme numerico ha le sue regole, per esempio la teoria dei
> numeri vive quasi esclusivamente in N, li' la radice quadrata di 7, ad
> esempio, non esiste e non e' certo un problema.
Touch�! Mi era sfuggito... :-(
LordBeotian
> Mi spiego... Sappiamo che la frazione 1/3 "uno su tre" a rigore NON e'
> un numero. Piuttosto e' un RAPPRESENTANTE del numero razionale (non
> negativo) "un terzo". Esistono tante altre frazioni che rappresentano
> lo stesso numero razionale: 2/6, 3/9, 4/12, .... tant'e' che i numeri
> razionali si definiscono come le classi di equivalenza di piu'
> frazioni tra loro equivalenti.
>
> Ebbene... tutti gli algoritmi di operazioni coinvolgenti numeri
> razionali devono soddisfare la proprieta' di INDIPENDENZA DALLA SCELTA
> DEI RAPPRESENTANTI. Cioe' si deve dimostrare che se si cambia il
> rappresentante di un numero razionale coinvolto nell'operazione, il
> risultato non cambia (ovvero, e' equivalente a quello di prima).
E se per definire a^m/n consideriamo l' algoritmo che *prima* riduce
ai minimi termini e poi esegue la radice e la potenza corrispondenti a
numeratore e denominatore?
Enrico Gregorio
> Il quesito e' in apparenza banale.
Non del tutto.
Argomento gi� dibattuto, naturalmente senza trovare una "soluzione".
La mia posizione � nota: la notazione esponenziale va usata solo
con esponenti interi se si vuole che la base sia qualsiasi (eccetto
che non pu� essere 0 con esponenti interi negativi); altrimenti
la base deve essere positiva.
Scrivere come fa la pagina in italiano di Wikipedia
<http://it.wikipedia.org/wiki/Potenza_(matematica)>
che (-1)^(2/6) non � definito � una sciocchezza madornale; infatti
2/6 � uguale a 1/3 e si � detto poco prima che (-1)^(1/3) /�/ definito.
� il conto in s� che � errato, perch� usa propriet� non valide. Il
problema � che la "propriet� invariantiva" dei radicali vale
solo quando la base � positiva.
Si pu� ricorrere al trucco di dire che il calcolo di x^(m/n) va
eseguito prima riducendo la frazione ai minimi termini e poi
valutando il risultato; questo ovviamente impedisce di usare
le regole algebriche sulle propriet� delle potenze.
� una questione di convenienza: a che ti serve la notazione
esponenziale? A fare i conti. Se i conti non si possono fare,
perch� dare definizioni complicate e /inutili/?
Diverso � "dov'� definita la funzione inversa di x -> x^3"?
Bene, questa � definita su tutto R e da secoli si usa per
essa la notazione con il radicale. Se ci devi fare conti devi
prendere precauzioni, per esempio scrivendo
radicecubica(x) = segno(x) |x|^(1/3)
dove la funzione "segno" vale 1 sui numeri positivi, 0 su 0
e -1 sui numeri negativi.
Ciao
Enrico
radicale
> E se per definire a^m/n consideriamo l' algoritmo che *prima* riduce
> ai minimi termini e poi esegue la radice e la potenza corrispondenti a
> numeratore e denominatore?
Giusto !
Lu
> E se per definire a^m/n consideriamo l' algoritmo che *prima* riduce
> ai minimi termini e poi esegue la radice e la potenza corrispondenti a
> numeratore e denominatore?
Sarebbe giusto...
In effetti quando parliamo di divisione a : b dobbiamo considerare
prima b!= 0, e quando parliamo di radice quadrata di a dobbiamo
controllare se a >= 0.
Nello stesso modo, tu dici, dovremmo controllare che, dato a ^ (m/n),
m ed n siano coprimi.
Solo che francamente in tutti i calcoli ed i passaggi cho ho
incontrato non si fa mai questo controllo di coprimalita', mentre ad
ogni pie' sospinto si verifica che i divisori siano non nulli nelle
divisioni e che i radicandi siano non negativi nelle radici quadrate,
eccetera
cometa_luminosa
> Con cio' e' provato che l'estensione dell'operazione di potenza ad
> esponente frazionario NON GODE della proprieta' di indipendenza dalla
> scelta dei rappresentanti.
Ti propongo una definizione di (-1) ^ (m/n) , un po' contorta, ma che
pero' e' indipendente dalla scelta dei rappresentanti.
Si trova il minimo naturale k per cui (m/n) * (1 + 2k) e' intero. Se
tale intero e' dispari, allora (-1) ^ (m/n) = -1; se e' pari allora
(-1) ^ (m/n) = 1.
(Deriva dal definire in campo complesso (-1) ^ (m/n) come exp[ (m/n) *
log(-1)] e poi prendere solo le soluzioni reali).
Lu
>
> La mia posizione è nota: la notazione esponenziale va usata solo
> con esponenti interi se si vuole che la base sia qualsiasi (eccetto
> la base deve essere positiva.
>
Della qual cosa sono sempre piu' convinto anche io.
> Scrivere come fa la pagina in italiano di Wikipedia
> <http://it.wikipedia.org/wiki/Potenza_(matematica)>
> che (-1)^(2/6) non è definito è una sciocchezza madornale; infatti
> 2/6 è uguale a 1/3 e si è detto poco prima che (-1)^(1/3) /è/ definito.
> È il conto in sé che è errato, perché usa proprietà non valide. Il
> problema è che la "proprietà invariantiva" dei radicali vale
> solo quando la base è positiva.
>
Qui sono in disaccordo. Dire che una certa operazione e' valida, ma
non rispetta la proprieta' invariantiva impone una tale limitazione a
quella operazione che conviene, secondo me, rendere non lecita tout
court quella operazione.
Di conseguenza (-1) ^ (1/3) non dovrebbe essere definito (in accordo a
quanto dicevi tu stesso all'inizio).
> Si può ricorrere al trucco di dire che il calcolo di x^(m/n) va
> eseguito prima riducendo la frazione ai minimi termini e poi
> valutando il risultato; questo ovviamente impedisce di usare
> le regole algebriche sulle proprietà delle potenze.
Ed inoltre richiederebbe il controllo di coprimalita' tra m ed n per
ogni potenza del tipo
(-8) ^ (m/n)
controllo che potrebbe essere non banale se m ed n non sono dei numeri
noti, ma delle incognite ovvero dei numeri parzialmente noti. Ad ogni
buon conto non mi e' mai capitato di imbattermi in controlli di tal
specie.
> radicecubica(x) = segno(x) |x|^(1/3)
Questa mi sembra interessante e merita qualche riflessione in piu' ...
ti faro' sapere.
Grazie
Tetis
Io, per quanto mi riguarda, evito accuratamente di scrivere a^(m/n) =
sqrt^n(a^m) se non mi sono assicurato mentalmente che a>0. Infatti se
a non è reale positivo la mia solida convinzione è che a^(m/n) abbia
significato univoco solo se è ammessa una rappresentazione di Eulero,
e commutativa fra modulo e fase, del numero (che può essere anche un
quaternione a quel punto). Per contro, per quanto riguarda le radici,
è mio abito mentale distinguere fra radice-aritmetica-naturale, che è
definita solo se l'argomento è un reale maggiore di zero, e radice-
algebrica, o anche radice aritmetica algebrica, della quale penso
sempre che sia un elemento di una classe e penso anche che per
elementi diversi possano sussistere proprietà diverse a meno che
queste proprietà non dipendano siano garantite da teoremi, non è raro
trovare per esempio in algebra discreta accanto alla specificazione
che si tratta di una radice ulteriori specificazioni come primitiva,
con riferimento al fatto che nessuna sua potenza intera di esponente
più piccolo dell'ordine massimo valga 1. Nel caso dei reali questa
prudenza è superflua perché esiste una sola radice reale. Non so se è
un atteggiamento mentale troppo rigido, ma di certo mi si è formato
nel tempo in modo dipendente dalla letteratura.
Winston Smith
> ogni insieme numerico ha le sue regole, per esempio la teoria dei
> numeri vive quasi esclusivamente in N,
Ma neanche per sogno. La teoria dei numeri ha un ramo analitico e uno
algebrico, ed entrambi vivono ovunque tranne che su N. Pensa solo
all'ipotesi di Riemann: difficile formularla senza conoscere i
complessi.
Saluti,
ws
Lu
della operazione di potenza a^x, con a,x elementi di R.
x= 0: a^x = 1 se a!= 0, non esiste se a = 0;
x= 1: a^x = a;
x elemento di N - {0,1}: a^x sempre definito (tramite procedimento
ricorsivo);
x elemento di Z - N: a^x definito come reciproco di a^(-x) se a!= 0,
non definito se a = 0;
x elemento di Q+ - N: ossia x = m/n con m,n elementi di N; n!= 0, n!=
1, m!= 0:
se a >= 0 allora esiste a^x = (radice ennesima di a^m) = (radice
ennesima di a)^m
se a < 0 sono aperte ancora due possibili interpretazioni:
1) a^x non esiste;
2) necessariamente si richiede che MCD (m,n) = 1, quindi:
2a) se n e' dispari allora esiste a^x = (radice ennesima di a^m) =
(radice ennesima di a)^m;
2b) se n e' pari allora a^x non esiste.
x elemento di Q - Q+: a^x definito come reciproco di a ^ (-x) se a!=
0, non definito se a = 0;
x elemento di R - Q:
a^x definito (come estremo superiore ecc ecc) se (a > 1) v (0 < a < 1)
a^x = 1 se a = 1;
a^x = 0 se a = 0 (ed x != 0), non definito ne caso 0^0;
a^x non definito per a < 0.
Sembra tutto chiaro tranne che per quell'incertezza che poi ha
generato il mio post. Non sembra essereci un'opinione consolidata. Per
a<0 alcuni rigettano che possa esistere a^(m/n) altri sono piu'
tolleranti. Per quanto mi riguarda diventa a questo punto importante
il test di coprimalita', che pero' non ho praticamente mai visto
svolgere da nessuno nei loro calcoli.....
Lu
>
> Ma neanche per sogno. La teoria dei numeri ha un ramo analitico e uno
> algebrico, ed entrambi vivono ovunque tranne che su N. Pensa solo
> all'ipotesi di Riemann: difficile formularla senza conoscere i
> complessi.
>
> Saluti,
> ws
Ottima precisazione, si puo' quindi dire che una parte della teoria
dei numeri vive (esco da un mese di studio intensivo sul teorema di
Fermat, caso n=4) esclusivamente in N, no?
Lu
> x elemento di Q+ - N: ossia x = m/n con m,n elementi di N; n!= 0, n!=
> 1, m!= 0:
si deve premettere il concetto di radice ennesima di un reale a, con n
elemento di N - {0,1}. Definita come operazione inversa della potenza
ennesima:
a >= 0 esiste sempre
a < 0 esiste per n dispari, non esiste per n pari.
> x elemento di R - Q:
> a^x = 0 se a = 0 (ed x != 0), non definito ne caso 0^0;
In realta'
a^x = 0 se a = 0 (ed x > 0), non definito se a <= 0
Lu
AndreaM
In matematica si può dire qualunque cosa, ma bisogna dargli un senso
(preciso).
"Vivere su N" non capisco proprio che senso abbia.
Winston Smith
>> Ottima precisazione, si puo' quindi dire che una parte della teoria
>> dei numeri vive (esco da un mese di studio intensivo sul teorema di
>> Fermat, caso n=4) esclusivamente in N, no?
>
> (preciso).
>
> "Vivere su N" non capisco proprio che senso abbia.
Io l'ho interpretato (magari sbagliando) come la richiesta di lavorare
in un sistema deduttivo che si occupi solo dei numeri naturali, ad
esempio prendendo gli assiomi di Peano. Quindi solo induzione; niente
analisi, etc.
Saluti,
ws
Lu
> > "Vivere su N" non capisco proprio che senso abbia.
>
> Io l'ho interpretato (magari sbagliando) come la richiesta di lavorare
> in un sistema deduttivo che si occupi solo dei numeri naturali, ad
> esempio prendendo gli assiomi di Peano. Quindi solo induzione; niente
> analisi, etc.
>
> Saluti,
> ws
"Vivere su N" ha solo senso lato, interpretabile come ha fatto Winston
AndreaM
e perché mai uno dovrebbe mettersi in condizioni così restrittive ed
innaturali?
?manu*
> Mi spiego... Sappiamo che la frazione 1/3 "uno su tre" a rigore NON e'
> un numero. Piuttosto e' un RAPPRESENTANTE del numero razionale (non
> negativo) "un terzo". Esistono tante altre frazioni che rappresentano
> lo stesso numero razionale: 2/6, 3/9, 4/12, .... tant'e' che i numeri
> razionali si definiscono come le classi di equivalenza di piu'
> frazioni tra loro equivalenti.
Io direi che 1/3 � il rapporto tra i due numeri razionali 1 e 3, e
dunque � un numero. Ed � lo stesso numero che ottieni dall'operazione
2/6. Se pensi alle classi di equivalenza dovresti usare un'altra
notazione. Ad esempio potresti dire che 1/3 � la classe di equivalenza
di (1,3) rispetto alla relazione di equivalenza bla bla...
> Ebbene... tutti gli algoritmi di operazioni coinvolgenti numeri
> razionali devono soddisfare la proprieta' di INDIPENDENZA DALLA SCELTA
> DEI RAPPRESENTANTI. Cioe' si deve dimostrare che se si cambia il
> rappresentante di un numero razionale coinvolto nell'operazione, il
> risultato non cambia (ovvero, e' equivalente a quello di prima).
Pi� precisamente: se definisci una operazione sui rappresentanti, devi
verificare che sia invariante rispetto alla relazione di equivalenza.
Solo in tal modo l'operazione � ben definita sulle classi di equivalenza
che in questo caso sono i numeri razionali. Altrimenti puoi definire
l'operazione direttamente sulle classi di equivalenza, e in tal caso non
c'� alcuna verifica da fare.
> Ebbene..... l'operazione (-8) ^ (1/3) NON rispetta questa proprieta'
E' possibile definire x^y quando x � negativo e y � un numero razionale
che ridotto ai minimi termini abbia denominatore dispari. Solo che poi
non sono soddisfatte le usuali regole delle potenze. Questo potrebbe
essere un buon motivo per NON definire x^y quando x � negativo.
> E a questo punto possono essere seguite due strade, utilizzando la
> proprieta' che afferma che "una potenza di potenza e' un potenza che
> ha per esponente il prodotto degli esponenti"
Questa propriet� vale solo per potenze con base positiva.
> Se ne potrebbe concludere che l'operazione di potenza con esponente
> frazionario non e' definita (o quantomento non e' definita bene) per
> basi negative.
S�, bisogna fare molta attenzione.
> Se non esistono potenze ad esponente frazionario di numeri negativi,
> che fine fanno le radici dei numeri negativi? Parlo delle radici ad
> indice dispari, perche' quelle ad indice pari gia' non esistono.
Conviene distinguere tra radice n-esima e potenza. La radice n-esima �
comodo che sia definita anche per x<0 quando n � dispari. Non c'� alcuna
difficolt� in questo e non c'� ambiguit� perch� le radici n-esime si
scrivono con un simbolo diverso dalle potenze.
> 1) l'operazione di radice e quella di potenza sono due cose divese.
S�, opterei per questa conclusione.
> Per cui se (-8) ^ (1/3) non esiste cio' non ha alcuna influenza
> sull'esistenza della radice cubica di (-8).
> Ma poi rifletto sul fatto che molti strumenti di calcolo matematico
> (dalle calcolatrici tascabili ai potenti programmi informatici)
> neanche prevedono l'operazione di radice ennesima, dirottando gli
> utenti all'utilizzo della corrispondente potenza ad esponente
> frazionario.
Se sai fare le radici di numeri positivi puoi facilmente dedurre i
valori delle radici di numeri negativi (quando esistono). Non mi sembra
una grossa carenza. Alcuni strumenti di calcolo lavorano invece
direttamente sui numeri complessi. In tal caso si rinunci alle usuali
propriet� delle potenze.
> 2) la radice dei numeri negativi a rigore non esiste, ed il fatto di
> dire "radice cubica di (-8) = (-2)" e' una semplificazione che va
> abbandonata quanto prima.
No, prima di abbandonare una radice, guardala negli occhi! ;-)
E.
Lu
>
> Io direi che 1/3 il rapporto tra i due numeri razionali 1 e 3, e
> dunque un numero. Ed lo stesso numero che ottieni dall'operazione
> 2/6. Se pensi alle classi di equivalenza dovresti usare un'altra
> notazione. Ad esempio potresti dire che 1/3 la classe di equivalenza
> di (1,3) rispetto alla relazione di equivalenza bla bla...
Concordo con te, 1/3 indica la divisione tra 1 e 3, mentre (1,3) e' un
rappresentante del quoziente. Mi sono espresso imprecisamente.
>
> Pi precisamente: se definisci una operazione sui rappresentanti, devi
> verificare che sia invariante rispetto alla relazione di equivalenza.
> Solo in tal modo l'operazione ben definita sulle classi di equivalenza
> che in questo caso sono i numeri razionali. Altrimenti puoi definire
> l'operazione direttamente sulle classi di equivalenza, e in tal caso non
> c' alcuna verifica da fare.
Le mie definizioni di addizione, moltiplicazione e relazione d'ordine
in Q+ sono tutte impostate sui rappresentanti.
>
> > Ebbene..... l'operazione (-8) ^ (1/3) NON rispetta questa proprieta'
>
> E' possibile definire x^y quando x negativo e y un numero razionale
> che ridotto ai minimi termini abbia denominatore dispari. Solo che poi
> non sono soddisfatte le usuali regole delle potenze. Questo potrebbe
> essere un buon motivo per NON definire x^y quando x negativo.
(*) Gia'.... un buon motivo. Ma perche' allora non lo si fa? Intendo:
perche' tuttora ci sono tanti che dicono che questa operazione non
merita definizione ed altrettanti che invece dicono che si puo' fare?
Eppure non stiamo parlando di un tema "di frontiera" della matematica.
Il concetto di potenza sta proprio alla base. Possibile che non ci sia
accordo?
E poi, questo fatto dell'esponente ridotto ai minimi termini... se e'
cosi' importante (come credo) non dovremmo forse, davanti ad ogni
potenza ad esponente frazionario, controllare se l'esponente stesso e'
davvero ridotto ai minimi termini? Cosi' come del resto controlliamo
sempre che nelle normali divisioni i denominatori siano diversi da
zero e che nelle radici quadrate i radicandi siano non negativi....
>
> > E a questo punto possono essere seguite due strade, utilizzando la
> > proprieta' che afferma che "una potenza di potenza e' un potenza che
> > ha per esponente il prodotto degli esponenti"
>
> Questa propriet vale solo per potenze con base positiva.
Ma ( (-2) ^ 2 ) ^ 3 = ( (-2) ^ 3 ) ^ 2 = (-2) ^ (2*3) = 64
> > Se ne potrebbe concludere che l'operazione di potenza con esponente
> > frazionario non e' definita (o quantomento non e' definita bene) per
> > basi negative.
>
> S , bisogna fare molta attenzione.
Vedi mia nota su (*)
PS cosa intendevi dicendo che "non sono soddisfatte le usuali regole
delle potenze" ?
> Conviene distinguere tra radice n-esima e potenza. La radice n-esima
> comodo che sia definita anche per x<0 quando n dispari. Non c' alcuna
> difficolt in questo e non c' ambiguit perch le radici n-esime si
> scrivono con un simbolo diverso dalle potenze.
>
> > 1) l'operazione di radice e quella di potenza sono due cose divese.
>
> S , opterei per questa conclusione.
Ok, mi sono convinto su questo aspetto....
>
> No, prima di abbandonare una radice, guardala negli occhi! ;-)
>
Ok, ormai le radici non mi fanno piu' paura :-)
Le potenze ancora si :-(
x^(1/5), x^(2/5), x^(6/5), x^(7/5), se esistete per x < 0 battete un
colpo!
Grazie della risposta
Lu
?manu*
>>> E a questo punto possono essere seguite due strade, utilizzando la
>>> proprieta' che afferma che "una potenza di potenza e' un potenza che
>>> ha per esponente il prodotto degli esponenti"
>> Questa propriet vale solo per potenze con base positiva.
>
> Ma ( (-2) ^ 2 ) ^ 3 = ( (-2) ^ 3 ) ^ 2 = (-2) ^ (2*3) = 64
In molti casi la regola vale, ma non sempre:
((-1)^2)^(1/2) = 1
(-1)^(2*(1/2)) = -1
E.
Lu
> Lu ha scritto:
> >> Questa propriet vale solo per potenze con base positiva.
>
> > Ma ( (-2) ^ 2 ) ^ 3 = ( (-2) ^ 3 ) ^ 2 = (-2) ^ (2*3) = 64
>
> In molti casi la regola vale, ma non sempre:
>
> ((-1)^2)^(1/2) = 1
> (-1)^(2*(1/2)) = -1
>
Diciamo allora che la regola vale sempre se l'esponente (o in questo
caso gli esponenti) e' in N o in Z, mentre se e' in Q+ si ritorna al
discorso di prima...
Lu