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piccolo problema di geometria analitica
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Farag
Aug 12, 2014, 5:32:46 AM8/12/14
to
vi chiedo un consiglio su questo apparentemente banale esercizio:
1) Scrivi l'equazione della circonferenza con il diametro di estremi A(1;1)
e B(3;5) e della parabola con asse parallelo all'asse y passante per A e
con il vertice in B. trova l'ulteriore punto C di intersezione fra la
circonferenza e la parabola e verifica che in tale punto le due curve hanno
la stessa tangente t. trova poi per quale valore del punto P della parabola
si verifica che:
radq 5PQ + PR=2 essendo Q e R le proiezioni di P rispettivamente sulla
retta t e sull'asse x. (E' questo il punto che capisco del tutto)
risultato: P(5;1)
Allora ho risolto tutto e mi viene la soluzione solo che ho un dubbio.
P(x;-x²+6x-4)
PQ = (- 2x + 12 + x² - 6x + 4)/√5 = (x² - 8x + 16)/√5 = (x - 4)²/√5
PR = |yP| = |-x²+6x-4| = - x² + 6x - 4 (se prendo il valore assoluto così
mi viene la soluzione del libro ma sarei tentato di prendere anche x² -6x
+4 e in effetti mi verrebbe un'altra soluzione. Perché però sul libro
indicano solo quella soluzione?)
Grazie.
FG
1) Scrivi l'equazione della circonferenza con il diametro di estremi A(1;1)
e B(3;5) e della parabola con asse parallelo all'asse y passante per A e
con il vertice in B. trova l'ulteriore punto C di intersezione fra la
circonferenza e la parabola e verifica che in tale punto le due curve hanno
la stessa tangente t. trova poi per quale valore del punto P della parabola
si verifica che:
radq 5PQ + PR=2 essendo Q e R le proiezioni di P rispettivamente sulla
retta t e sull'asse x. (E' questo il punto che capisco del tutto)
risultato: P(5;1)
Allora ho risolto tutto e mi viene la soluzione solo che ho un dubbio.
P(x;-x²+6x-4)
PQ = (- 2x + 12 + x² - 6x + 4)/√5 = (x² - 8x + 16)/√5 = (x - 4)²/√5
PR = |yP| = |-x²+6x-4| = - x² + 6x - 4 (se prendo il valore assoluto così
mi viene la soluzione del libro ma sarei tentato di prendere anche x² -6x
+4 e in effetti mi verrebbe un'altra soluzione. Perché però sul libro
indicano solo quella soluzione?)
Grazie.
FG
exMauri
Aug 12, 2014, 7:54:21 AM8/12/14
to
Il 12/08/2014 11.32, Farag ha scritto:
>
> Allora ho risolto tutto e mi viene la soluzione solo che ho un dubbio.
>
> P(x;-x²+6x-4)
>
> PQ = (- 2x + 12 + x² - 6x + 4)/√5 = (x² - 8x + 16)/√5 = (x - 4)²/√5
>
> PR = |yP| = |-x²+6x-4| = - x² + 6x - 4 (se prendo il valore assoluto così
> mi viene la soluzione del libro ma sarei tentato di prendere anche x² -6x
> +4 e in effetti mi verrebbe un'altra soluzione. Perché però sul libro
> indicano solo quella soluzione?)
Quando scrivi, al posto del modulo, il suo argomento trovi una soluzione
>
> Allora ho risolto tutto e mi viene la soluzione solo che ho un dubbio.
>
> P(x;-x²+6x-4)
>
> PQ = (- 2x + 12 + x² - 6x + 4)/√5 = (x² - 8x + 16)/√5 = (x - 4)²/√5
>
> PR = |yP| = |-x²+6x-4| = - x² + 6x - 4 (se prendo il valore assoluto così
> mi viene la soluzione del libro ma sarei tentato di prendere anche x² -6x
> +4 e in effetti mi verrebbe un'altra soluzione. Perché però sul libro
> indicano solo quella soluzione?)
che va d'accordo con la condizione che l'argomento sia >0
Evidentemente c'è contraddizione tra la soluzione di x^2-6x+4>0 e la
soluzione finale che trovi quando consideri al posto del modulo x^2-6x+4.
Cioè, tu puoi sciogliere il valore assoluto scrivendo x^2-6x+4 ma lo
puoi fare sotto la condizione x< di... o x> di... e questo non va
d'accordo con la soluzione che trovi.
El Filibustero
Aug 12, 2014, 8:39:08 AM8/12/14
to
On Tue, 12 Aug 2014 09:32:46 +0000 (UTC), Farag wrote:
>1) Scrivi l'equazione della circonferenza con il diametro di estremi A(1;1)
>e B(3;5) e della parabola con asse parallelo all'asse y passante per A e
>con il vertice in B. trova l'ulteriore punto C di intersezione fra la
>circonferenza e la parabola e verifica che in tale punto le due curve hanno
>la stessa tangente t. trova poi per quale valore del punto P della parabola
>si verifica che:
>radq 5PQ + PR=2 essendo Q e R le proiezioni di P rispettivamente sulla
>retta t e sull'asse x. (E' questo il punto che capisco del tutto)
>risultato: P(5;1)
>
>Allora ho risolto tutto e mi viene la soluzione solo che ho un dubbio.
>
>P(x;-x�+6x-4)
>
>PQ = (- 2x + 12 + x� - 6x + 4)/?5 = (x� - 8x + 16)/?5 = (x - 4)�/?5
>1) Scrivi l'equazione della circonferenza con il diametro di estremi A(1;1)
>e B(3;5) e della parabola con asse parallelo all'asse y passante per A e
>con il vertice in B. trova l'ulteriore punto C di intersezione fra la
>circonferenza e la parabola e verifica che in tale punto le due curve hanno
>la stessa tangente t. trova poi per quale valore del punto P della parabola
>si verifica che:
>radq 5PQ + PR=2 essendo Q e R le proiezioni di P rispettivamente sulla
>retta t e sull'asse x. (E' questo il punto che capisco del tutto)
>risultato: P(5;1)
>
>Allora ho risolto tutto e mi viene la soluzione solo che ho un dubbio.
>
>P(x;-x�+6x-4)
>
>
>PR = |yP| = |-x�+6x-4| = - x� + 6x - 4 (se prendo il valore assoluto cos�
>mi viene la soluzione del libro ma sarei tentato di prendere anche x� -6x
>+4 e in effetti mi verrebbe un'altra soluzione.
Effettivamente c'e un'altra soluzione.
>+4 e in effetti mi verrebbe un'altra soluzione.
Finche' P ha ordinata positiva, radq 5PQ + PR non e' altro che la
lunghezza del segmento QS, dove S e' l'intersezione di t con la retta
PR, la quale e' // all'asse y. Avendo S ordinata -2x+12, si ha QS=2
per x=5, quindi P=(5;1)
Ma se P ha ordinata negativa yP, radq 5PQ + PR e' dato da
PR+PS = (-yP+yS)+(-yP) = yS - 2yP = -2x+12 + 2(xx-6x+4)
e quindi radq 5PQ + PR vale 2 anche se x=(radq13 + 7)/2 =~ 5.3. Ciao
Farag
Aug 12, 2014, 8:58:38 AM8/12/14
to
> Quando scrivi, al posto del modulo, il suo argomento trovi una soluzione
> che va d'accordo con la condizione che l'argomento sia >0
> Evidentemente c'è contraddizione tra la soluzione di x^2-6x+4>0 e la
> soluzione finale che trovi quando consideri al posto del modulo x^2-6x+4.
>
> Cioè, tu puoi sciogliere il valore assoluto scrivendo x^2-6x+4 ma lo puoi
> fare sotto la condizione x< di... o x> di... e questo non va d'accordo
> con la soluzione che trovi.
perché?
> che va d'accordo con la condizione che l'argomento sia >0
> Evidentemente c'è contraddizione tra la soluzione di x^2-6x+4>0 e la
> soluzione finale che trovi quando consideri al posto del modulo x^2-6x+4.
>
> Cioè, tu puoi sciogliere il valore assoluto scrivendo x^2-6x+4 ma lo puoi
> fare sotto la condizione x< di... o x> di... e questo non va d'accordo
> con la soluzione che trovi.
fai i calcoli...appunto se l'argomento è <0 allora x<-3-rad(13) V
x>-3+rad(13) e sciolgo il valore assoluto così x^2-6x+4
La soluzione che trovo è (7+rad(13))/2 ed è compatibile quindi accettabile.
Mi sbaglio?
--
FG
Farag
Aug 12, 2014, 8:58:39 AM8/12/14
to
> Effettivamente c'e un'altra soluzione.
>
> Finche' P ha ordinata positiva, radq 5PQ + PR non e' altro che la
> lunghezza del segmento QS, dove S e' l'intersezione di t con la retta
> PR, la quale e' // all'asse y. Avendo S ordinata -2x+12, si ha QS=2
> per x=5, quindi P=(5;1)
>
> Ma se P ha ordinata negativa yP, radq 5PQ + PR e' dato da
>
> PR+PS = (-yP+yS)+(-yP) = yS - 2yP = -2x+12 + 2(xx-6x+4)
>
> e quindi radq 5PQ + PR vale 2 anche se x=(radq13 + 7)/2 =~ 5.3. Ciao
si quella che avevo trovato anch'io! allora avevo ragione!
>
> Finche' P ha ordinata positiva, radq 5PQ + PR non e' altro che la
> lunghezza del segmento QS, dove S e' l'intersezione di t con la retta
> PR, la quale e' // all'asse y. Avendo S ordinata -2x+12, si ha QS=2
> per x=5, quindi P=(5;1)
>
> Ma se P ha ordinata negativa yP, radq 5PQ + PR e' dato da
>
> PR+PS = (-yP+yS)+(-yP) = yS - 2yP = -2x+12 + 2(xx-6x+4)
>
> e quindi radq 5PQ + PR vale 2 anche se x=(radq13 + 7)/2 =~ 5.3. Ciao
Grazie.
--
FG
BlueRay
Aug 12, 2014, 9:47:34 AM8/12/14
to
Il giorno martedì 12 agosto 2014 11:32:46 UTC+2, Farag ha scritto:
> vi chiedo un consiglio su questo apparentemente banale esercizio:
> 1) Scrivi l'equazione della circonferenza con il diametro di estremi A(1;1)
> e B(3;5)
>
Centro = (2;3); r = v5 --> (x-2)^2 + (y-3)^2 - 5 = 0.
> vi chiedo un consiglio su questo apparentemente banale esercizio:
> 1) Scrivi l'equazione della circonferenza con il diametro di estremi A(1;1)
> e B(3;5)
>
>
> e della parabola con asse parallelo all'asse y passante per A e
> con il vertice in B.
>
y = ax^2 + bx + c;
> e della parabola con asse parallelo all'asse y passante per A e
> con il vertice in B.
>
a + b +c = 1
-b/2a = 3
-(b^ - 4ac)/4a = 5
--> a = -1; b = 6; c = -4
y = -x^2 + 6x - 4
> trova l'ulteriore punto C di intersezione fra la
> circonferenza e la parabola
(x-1)(x-3)(x-4)^2 = 0
quindi C = (4;4).
> e verifica che in tale punto le due curve hanno
> la stessa tangente t.
cerchio: 2(x-2)dx + 2(y-3)dy = 0 --> dy/dx = (2-x)/(y-3)
dy/dx calcolato in (4;4) fa -2.
> trova poi per quale valore del punto P della parabola
> si verifica che:
> retta t e sull'asse x.
cerco la retta t: y = -2x + q; 4 = -2*4 + q --> q = 12
t: y = -2x + 12; 2x + y - 12 = 0.
(E' questo il punto che capisco del tutto)
> risultato: P(5;1)
> Allora ho risolto tutto e mi viene la soluzione solo che ho un dubbio.
> P(x;-x²+6x-4)
> PR = |yP| = |-x²+6x-4| = - x² + 6x - 4 (se prendo il valore assoluto così
> mi viene la soluzione del libro ma sarei tentato di prendere anche x² -6x
> +4 e in effetti mi verrebbe un'altra soluzione. Perché però sul libro
> indicano solo quella soluzione?)
Viene anche a me un'altra soluzione: P = 1/2[7+sqrt(13);3-sqrt(13)]
> mi viene la soluzione del libro ma sarei tentato di prendere anche x² -6x
> +4 e in effetti mi verrebbe un'altra soluzione. Perché però sul libro
> indicano solo quella soluzione?)
P.S. Vedo solo ora le altre risposte che ti hanno dato.
--
BlueRay
exMauri
Aug 12, 2014, 9:55:16 AM8/12/14
to
Il 12/08/2014 14.58, Farag ha scritto:
> perché?
> fai i calcoli...appunto se l'argomento è <0 allora x<-3-rad(13) V
> x>-3+rad(13) e sciolgo il valore assoluto così x^2-6x+4
> La soluzione che trovo è (7+rad(13))/2 ed è compatibile quindi accettabile.
> Mi sbaglio?
E' vero, scusa. Facendo i calcoli si trova un'altra soluzione
> perché?
> fai i calcoli...appunto se l'argomento è <0 allora x<-3-rad(13) V
> x>-3+rad(13) e sciolgo il valore assoluto così x^2-6x+4
> La soluzione che trovo è (7+rad(13))/2 ed è compatibile quindi accettabile.
> Mi sbaglio?
accettabile. Anche se a me risulta x^2-6x+4>0 per x<-3+rad5 v x>-3+rad5.
exMauri
Aug 12, 2014, 10:04:08 AM8/12/14
to
Il 12/08/2014 15.55, exMauri ha scritto:
acc...
risulta x^2-6x+4>0 per x<3-rad5 v x>3+rad5.
acc...
risulta x^2-6x+4>0 per x<3-rad5 v x>3+rad5.
Farag
Aug 12, 2014, 3:57:40 PM8/12/14
to
> Viene anche a me un'altra soluzione: P = 1/2[7+sqrt(13);3-sqrt(13)]
>
> P.S. Vedo solo ora le altre risposte che ti hanno dato.
>
> --
> BlueRay
ok anche a me viene così.
>
> P.S. Vedo solo ora le altre risposte che ti hanno dato.
>
> --
> BlueRay
--
FG
Farag
Aug 12, 2014, 3:57:41 PM8/12/14
to
> E' vero, scusa. Facendo i calcoli si trova un'altra soluzione
> accettabile. Anche se a me risulta x^2-6x+4>0 per x<-3+rad5 v x>-3+rad5.
ah si scusa ho sbagliato io il delta :)
> accettabile. Anche se a me risulta x^2-6x+4>0 per x<-3+rad5 v x>-3+rad5.
--
FG
garbuggiobig...@benedettitommaseo.org
May 6, 2018, 3:54:43 PM5/6/18
to
Il giorno martedì 12 agosto 2014 11:32:46 UTC+2, Farag ha scritto:
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