Perché una funzione monotona può ammettere solo discontinuità di prima specie?
Max
trovarmi una parte teorica relativa ad essa sui testi che ho...
Quello che ricordo � che se una successione � monotona ammette limite,
se � pure limitata allora ammette limite finito.
Per le funzioni vale qualcosa di simile?
In tal caso potrebbe esistere anche una discontinuit� di seconda specie...
Enrico Gregorio
Teorema. Ogni funzione monotona definita su un intervallo ha
in ogni punto dell'intervallo limite destro e limite sinistro.
I punti in cui il limite destro e quello sinistro differiscono
sono al pi� un'infinit� numerabile. Dunque una funzione monotona
� continua eccetto, al pi�, su un'infinit� numerabile di punti.
Vediamo per il limite sinistro in c di una funzione crescente f;
se prendiamo una successione crescente (a_n) che converge a c,
allora anche f(a_n) � crescente e limitata (da f(c)) e perci�
ha limite. Occorre vedere che questo limite � lo stesso per
ogni successione cos� fatta; finisci tu.
Ciao
Enrico
Max
Precisazione:
Poco fa ho trovato sul libro il "teorema sul limite delle funzioni
monotone" e in effetti � diverso da quello omonimo per le successioni...
> Teorema. Ogni funzione monotona definita su un intervallo ha
> in ogni punto dell'intervallo limite destro e limite sinistro.
> I punti in cui il limite destro e quello sinistro differiscono
> sono al pi� un'infinit� numerabile.
> Dunque una funzione monotona
> � continua eccetto, al pi�, su un'infinit� numerabile di punti.
> Vediamo per il limite sinistro in c di una funzione crescente f;
> se prendiamo una successione crescente (a_n) che converge a c,
> allora anche f(a_n) � crescente e limitata (da f(c)) e perci�
> ha limite.
>Occorre vedere che questo limite � lo stesso per
> ogni successione cos� fatta; finisci tu.
Non credo di essere in grado purtroppo :-(
Grazie.
Max
> Vediamo per il limite sinistro in c di una funzione crescente f;
> se prendiamo una successione crescente (a_n) che converge a c,
> allora anche f(a_n) � crescente e limitata (da f(c)) e perci�
> ha limite.
Possiamo dire che ha limite finito, no?
Enrico Gregorio
E certo! � crescente e limitata.
Riproviamo. La funzione f � definita in un intervallo; consideriamo
un punto c tale che il dominio contenga un intorno sinistro di c e
verifichiamo che f ha limite sinistro in c finito.
Fissa k>0 tale che c-k appartenga al dominio di f e considera
l'estremo superiore di f(x) per c-k<x<c. Questo estremo superiore
l � finito perch� f(x) <= f(c) quando x<c.
Vogliamo dimostrare che lim_{x->c-}f(x)=l. Fissa e>0; ci occorre
trovare d>0 tale che, per c-d < x < c si abbia |f(x)-l| < e.
Poich� l � l'estremo superiore, esiste x_0 con c-k<x_0<c tale che
l-f(x_0) <= e/2. Ma allora, per x_0 < x < c abbiamo anche
l - f(x) <= e/2, perch� la funzione f � crescente. Dunque basta
prendere d = c-x_0. La condizione l - f(x) <= e/2 implica
| f(x) - l | < e
perch� per c-d < x < c si ha, per definizione di l, f(x) <= l.
Fine. Per il limite destro si fa allo stesso modo.
Ciao
Enrico
Max
> Riproviamo. La funzione f � definita in un intervallo; consideriamo
> un punto c tale che il dominio contenga un intorno sinistro di c e
> verifichiamo che f ha limite sinistro in c finito.
> Fissa k>0 tale che c-k appartenga al dominio di f e considera
> l'estremo superiore di f(x) per c-k<x<c. Questo estremo superiore
> l � finito perch� f(x)<= f(c) quando x<c.
> Vogliamo dimostrare che lim_{x->c-}f(x)=l. Fissa e>0; ci occorre
> trovare d>0 tale che, per c-d< x< c si abbia |f(x)-l|< e.
Fin qui tutto chiaro, l'ultimo passo � la definizione di limite sinistro
finito.
> Poich� l � l'estremo superiore, esiste x_0 con c-k<x_0<c tale che
> l-f(x_0)<= e/2.
Ecco...purtroppo mi sfugge quest'ultima uguaglianza :-(
> Ma allora, per x_0< x< c abbiamo anche
> l - f(x)<= e/2, perch� la funzione f � crescente.
E quindi a maggior ragione vale la disuguaglianza, siccome ci
avviciniamo sempre pi� all'estremo superiore l per x_0>c-k (scrivo solo
per farti capire quello che ho capito io)
> Dunque basta
> prendere d = c-x_0.
Questo perch� c-d=c-c+x_0=x_0
>La condizione l - f(x)<= e/2 implica
>
> | f(x) - l |< e
>
> perch� per c-d< x< c si ha, per definizione di l, f(x)<= l.
>
> Fine. Per il limite destro si fa allo stesso modo.
Considerando l'estremo inferiore questa volta, che � sempre l.
Grazie infinite.
Enrico Gregorio
> On Monday/22/02/2010 23:25, Enrico Gregorio wrote:
>
> > Riproviamo. La funzione f � definita in un intervallo; consideriamo
> > un punto c tale che il dominio contenga un intorno sinistro di c e
> > verifichiamo che f ha limite sinistro in c finito.
> > Fissa k>0 tale che c-k appartenga al dominio di f e considera
> > l'estremo superiore di f(x) per c-k<x<c. Questo estremo superiore
> > l � finito perch� f(x)<= f(c) quando x<c.
> > Vogliamo dimostrare che lim_{x->c-}f(x)=l. Fissa e>0; ci occorre
> > trovare d>0 tale che, per c-d< x< c si abbia |f(x)-l|< e.
>
> Fin qui tutto chiaro, l'ultimo passo � la definizione di limite sinistro
> finito.
>
> > Poich� l � l'estremo superiore, esiste x_0 con c-k<x_0<c tale che
> > l-f(x_0)<= e/2.
>
> Ecco...purtroppo mi sfugge quest'ultima uguaglianza :-(
Definizione di estremo superiore: l � l'estremo superiore dell'insieme
S se
(1) per ogni x in S si ha x <= l;
(2) per ogni e>0 esiste x in S tale che l-x < e
> > Ma allora, per x_0< x< c abbiamo anche
> > l - f(x)<= e/2, perch� la funzione f � crescente.
>
> E quindi a maggior ragione vale la disuguaglianza, siccome ci
> avviciniamo sempre pi� all'estremo superiore l per x_0>c-k (scrivo solo
> per farti capire quello che ho capito io)
Esatto.
> > Dunque basta
> > prendere d = c-x_0.
>
> Questo perch� c-d=c-c+x_0=x_0
Eh, s�. :)
> >La condizione l - f(x)<= e/2 implica
> >
> > | f(x) - l |< e
> >
> > perch� per c-d< x< c si ha, per definizione di l, f(x)<= l.
> >
> > Fine. Per il limite destro si fa allo stesso modo.
>
> Considerando l'estremo inferiore questa volta, che � sempre l.
Sar� quello che sar�: l dipende da x, evidentemente.
C'� poi la parte in pi�: i punti in cui f non � continua sono
al pi� un'infinit� numerabile.
Dimostrazione. Per ogni x interno all'intervallo di definizione
di f si pone
G(x) = lim_{t->x+} f(t) - lim_{t->x-} f(t)
Chiaramente G(x)=0 nei punti x dove f � continua. Sia, per n>0 intero,
A_n = { x : G(x) > 1/n }
Allora l'unione A degli insiemi A_n � esattamente l'insieme dei punti
dove f non � continua. Ma ogni A_n � finito (perch�?) e quindi A �
al pi� numerabile.
Ciao
Enrico
Enrico Gregorio
> On Tuesday/23/02/2010 13:38, Enrico Gregorio wrote:
>
>
> > C'� poi la parte in pi�: i punti in cui f non � continua sono
> > al pi� un'infinit� numerabile.
> >
> > Dimostrazione. Per ogni x interno all'intervallo di definizione
> > di f si pone
> >
> > G(x) = lim_{t->x+} f(t) - lim_{t->x-} f(t)
> >
> > Chiaramente G(x)=0 nei punti x dove f � continua. Sia, per n>0 intero,
> >
> > A_n = { x : G(x)> 1/n }
> >
> > Allora l'unione A degli insiemi A_n � esattamente l'insieme dei punti
> > dove f non � continua. Ma ogni A_n � finito (perch�?) e quindi A �
> > al pi� numerabile.
>
>
> Ragioniamoci:
>
> A_1:
> {x : G(x)> 1}
>
> A_2:
> {x : G(x)> 1/2}
>
>
> G(x) � un metro per la discontinuit�, quando vale zero abbiamo una
> funzione continua, quando � G(x)>0 abbiamo una discontinuit� di prima
> specie, quando costruiamo gli insiemi A_n non stiamo facendo altro che
> dividere i punti in cui f � discontinua a seconda del salto che c'� in
> quel punto.
>
> Per rispondere alla tua domanda dovrei capire perch� ogni A_n �
> finito.
>
> Ogni insieme A_n � limitato inferiormente da 1, 1/2, 1/3...e cosi via...
> La discontinuit� � di prima specie...
>
> Non ci arrivo...mi sembro un criceto che gira sulla sua ruota senza fare
> un centimetro... :-(
In realt� non � corretto dire che ciascuno degli A_n � finito (pensavo
al caso in cui il dominio di f sia un intervallo chiuso).
Bene, supponiamo che il dominio di f sia un intervallo chiuso e
limitato [a,b]. Allora |A_1| <= f(b)-f(a), |A_2| <= 2(f(b)-f(a)),
..., |A_n| <= n(f(b)-f(a)), ...
Dunque ciascuno degli A_n � finito. Ogni intervallo � unione numerabile
di intervalli chiusi.
Ciao
Enrico
Max
> C'� poi la parte in pi�: i punti in cui f non � continua sono
> al pi� un'infinit� numerabile.
>
> Dimostrazione. Per ogni x interno all'intervallo di definizione
> di f si pone
>
> G(x) = lim_{t->x+} f(t) - lim_{t->x-} f(t)
>
> Chiaramente G(x)=0 nei punti x dove f � continua. Sia, per n>0 intero,
>
> A_n = { x : G(x)> 1/n }
>
> Allora l'unione A degli insiemi A_n � esattamente l'insieme dei punti
> dove f non � continua. Ma ogni A_n � finito (perch�?) e quindi A �
> al pi� numerabile.
?manu*
> C'� poi la parte in pi�: i punti in cui f non � continua sono
> al pi� un'infinit� numerabile.
Qui c'� una dimostrazione simpatica. Ogni discontinuit� contiene almeno
un razionale distinto (perch� abbiamo discontinuit� a salto e una
funzione crescente) dunque puoi trovare una iniezione tra l'insieme
delle discontinuit� e l'insieme dei numeri razionali, che � numerabile.
E.