equazione parametrica ellisse traslata

binaryone

unread,

Feb 13, 2012, 11:15:24 AM2/13/12

to

Ciao,

l'eq di un'ellisse traslata è :

(X-x°)^2/a^2 + (Y-y°)^2/b^2

quella parametrica (riferita al centro degli assi)

x = a * cos alfa
y = b * sen alfa

come diventa quest'ultima se è riferita alla prima eq ?

grazie

cometa_luminosa

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Feb 13, 2012, 12:59:20 PM2/13/12

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On Feb 13, 5:15 pm, binaryone <binary...@binaryone.it> wrote:

> l'eq di un'ellisse traslata è :
> (X-x°)^2/a^2 + (Y-y°)^2/b^2

= 1

> quella parametrica (riferita al centro degli assi)
> x = a * cos alfa
> y = b * sen alfa
> come diventa quest'ultima se è riferita alla prima eq ?

Nota pero' che nell'equazione parametrica a e b non sono costanti, ma
funzioni di alfa, se per alfa si intende l'angolo formato dall'asse x
e dal raggio vettore che va dall'origine al punto sull'ellisse.

Comunque quella traslata e':

x - x° = a * cos alfa
y - y° = b * sen alfa

binaryone

unread,

Feb 13, 2012, 4:21:18 PM2/13/12

to

grazie!

Giorgio Pastore

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Feb 13, 2012, 5:48:07 PM2/13/12

to

On 2/13/12 6:59 PM, cometa_luminosa wrote:
...

>> quella parametrica (riferita al centro degli assi)
>> x = a * cos alfa
>> y = b * sen alfa

...

> Nota pero' che nell'equazione parametrica a e b non sono costanti, ma
> funzioni di alfa, se per alfa si intende l'angolo formato dall'asse x
> e dal raggio vettore che va dall'origine al punto sull'ellisse.

??? a e b non sono costanti ? funzioni di alfa ? E allora che ellisse e' ?

Forse intendevi dire qualcos' altro ?

Giorgio

El Filibustero

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Feb 13, 2012, 6:34:23 PM2/13/12

to

On Mon, 13 Feb 2012 23:48:07 +0100, Giorgio Pastore wrote:

>>> quella parametrica (riferita al centro degli assi)
>>> x = a * cos alfa
>>> y = b * sen alfa
>...
>> Nota pero' che nell'equazione parametrica a e b non sono costanti, ma
>> funzioni di alfa, se per alfa si intende l'angolo formato dall'asse x
>> e dal raggio vettore che va dall'origine al punto sull'ellisse.

>??? a e b non sono costanti ? funzioni di alfa ? E allora che ellisse e' ?
>
>Forse intendevi dire qualcos' altro ?

Probabilmente questa:

x = ab cos(alfa)/sqrt(aa sin(alfa)^2 + bb cos(alfa)^2)
y = ab sin(alfa)/sqrt(aa sin(alfa)^2 + bb cos(alfa)^2)

Ciao

Socratis

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Feb 13, 2012, 8:00:19 PM2/13/12

to

> x = ab cos(alfa)/sqrt(aa sin(alfa)^2 + bb cos(alfa)^2)
> y = ab sin(alfa)/sqrt(aa sin(alfa)^2 + bb cos(alfa)^2)

con la tunze viene meglio

y = ab sin(alfai)/sqrt(aai sin(alfai)^2i + bbi cos(alfa)^2i)

cometa_luminosa

unread,

Feb 14, 2012, 10:02:19 AM2/14/12

to

Coordinate polari:

x = r*cos(t)
y = r*sin(t)

Quindi il coefficiente di cos(t) e' uguale al coefficiente di sin(t)
e ovviamente deve dipendere da t. Vediamo come.

r^2 = x^2 + y^2

Nel caso dell'ellisse: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 si ha che:

y^2 = b^2 - (b^2/a^2)x^2

percio':

r^2 = x^2 + y^2 = x^2 + b^2 - (b^2/a^2)x^2 =

= (a^2 - b^2)/a^2 * x^2 + b^2

= (a^2 - b^2)/a^2 * r^2 * cos^2(t) + b^2

--> r^2 = b^2 / [1 - (a^2 - b^2)/a^2 * cos^2(t)] =

= a^2 b^2 /[a^2 sin^2(t) + b^2 sin^2(t)].

In definitiva, se si parametrizza l'ellisse cosi':

x = a*cos(alfa)
y = b*sin(alfa)

va benissimo se uno la vuole disegnare o calcolarne la lunghezza,
l'area ecc., pero' alfa NON e' l'angolo delle coordinate polari.
Ciao.

--
cometa_luminosa

Giorgio Pastore

unread,

Feb 14, 2012, 6:08:56 PM2/14/12

to

On 2/14/12 4:02 PM, cometa_luminosa wrote:
> On Feb 13, 11:48 pm, Giorgio Pastore<past...@units.it> wrote:
>> On 2/13/12 6:59 PM, cometa_luminosa wrote:
>> ...
>>
>>>> quella parametrica (riferita al centro degli assi)
>>>> x = a * cos alfa
>>>> y = b * sen alfa
>> ...
>>> Nota pero' che nell'equazione parametrica a e b non sono costanti, ma
>>> funzioni di alfa, se per alfa si intende l'angolo formato dall'asse x
>>> e dal raggio vettore che va dall'origine al punto sull'ellisse.
>>
>> ??? a e b non sono costanti ? funzioni di alfa ? E allora che ellisse e' ?
>>
>> Forse intendevi dire qualcos' altro ?

...

> In definitiva, se si parametrizza l'ellisse cosi':
>
> x = a*cos(alfa)
> y = b*sin(alfa)
>
> va benissimo se uno la vuole disegnare o calcolarne la lunghezza,
> l'area ecc., pero' alfa NON e' l'angolo delle coordinate polari.

Che nell' ultima formula alfa non sia l' angolo polare non avevo dubbi.

La mia obiezione era ed e' che se a e b hanno il significato usuale di
semiasse maggiore e minore (come peraltro evidente dall' equazione
canonica scritta dal' OP) non ha senso, ed e' scorretto, dire che "a e b
non sono costanti nell' equazione parametrica".

Il punto e' che l' equazione parametrica,

- o la si scrive come

> x = a*cos(alfa)
> y = b*sin(alfa)

dove a e b sono i semiassi (costanti) e allora alfa non e' l' angolo
polare;

- o la si scrive come
x = c(t)*cos(t)
y = d(t)*sin(t)
con t = angolo polare, ma allora c e d sono funzioni di t e NON sono i
semiassi (a e b dell' equazione cartesiana).

Giorgio

cometa_luminosa

unread,

Feb 15, 2012, 10:19:26 AM2/15/12

to

Ma siccome l'OP non aveva chiaro come fare una semplice traslazione di
coordinate, avergli detto una cosa in piu', che poi gli puo' essere
utile, secondo me non gli fa male.

Io glie lo ho scritto perche' ho dovuto sbatterci il capo: diversi
anni fa (si, ero un tantino piu' ingenuo...) cercavo di risolvere un
problema, forse di fisica, sull'ellisse, e ci sono stato parecchio
tempo finche' mi sono reso conto che quella parametrizzazione era
sbagliata se volevo che alfa rappresentasse l'angolo tra il raggio
vettore e l'asse delle ascisse.

Tutto qui.
Ciao.

--
cometa_luminosa