Una dimostrazione della non completezza di Q...
raymond
Qualche giorno fa, per togliermi un po' di polvere di dosso, ho ripreso
il libro di analisi matematica per un ripasso. Dopo aver introdotto
l'assioma di completezza, e' riportata una succinta argomentazione della
non completezza di Q, che magari e' nota ai piu'.
Dopo aver mostrato che non esiste q razionale tale che q^2 = 2, si
considerano i due insiemi
A = {x in Q | x <= 0} U {x in Q | x > 0 e x^2 < 2}, e
B = {x in Q | x > 0 e x^2 > 2}.
Di conseguenza, qualunque sia q razionale, deve essere q in A o q in B
(e, ovviamente, A e B sono disgiunti e A U B = Q). L'autore poi osserva
che
1) non esiste il massimo di A, e che
2) non esiste il minimo di B,
e, quindi, Q non soddisfa l'assioma di completezza.
Per provare 1), considera un qualunque q in A e afferma che e' possibile
costruire un razionale p > q tale che p^2 < 2. Per provare 2),
l'argomento e' simile. In particolare, pone, senza ulteriori
giustificazioni, p = 2(q+1)/(q+2).
Ecco, quel che mi incuriosisce e' con quale costruzione si ricavi p.
Certamente, svolgendo i conti e' abbastanza semplice verificare, ad
esempio, che p^2 - 2 < 0. Meno immediato e' stato convincermi che p > q,
se q in A. Cosi', ingenuamente, son partito dall'osservare che q^2 < 2
equivale a q^2 + 2q - 2q < 2, e, con pochi calcoli, sono arrivato alla
disuguaglianza 2(q+1)/(q+2) < q. A questo punto, pero', non sono stato
in grado di fare altre osservazioni per convincermi che p =
[2(q+1)/(q+2)]^2 < 2, se non imponendo che [2(q+1)/(q+2)]^2 > 2 che,
calcoli a parte, equivale a q^2 > 2, chiaramente una contraddizione.
Percio', mi chiedo se non ci sia qualcosa di piu' evidente, e che mi
sfugge, che suggerisca che [2(q+1)/(q+2)]^2 < 2, o se ci sia altro modo
per costruire il numero p.
Enrico Gregorio
4(q+1)^2/(q+2)^2 < 2 equivale a 2(q+1)^2 < (q+2)^2, cioč
2q^2 + 4q + 2 < q^2 + 4q + 4
Ecco qui:
q^2 < 2
2q^2 < q^2 + 2
Completiamo il quadrato a destra:
2q^2 + 4q + 2 < q^2 + 4q + 4
A questo punto sappiamo che
[2(q+1)/(q+2)]^2 < 2
Ci basta verificare che q < 2(q+1)/(q+2), cioč che
q^2 + 2q < 2q + 2
che č ancora q^2 < 2, vera.
Si tratta di una "dimostrazione a posteriori". C'č un modo
leggermente migliore di fare la stessa cosa.
Dato q^2 < 2, cerchiamo x > 0 tale che (q + x)^2 < 2.
La relazione equivale a q^2 + 2qx + x^2 < 2. Se ci limitiamo
a x < 1, sappiamo che x^2 < x, quindi č sufficiente trovare
un x, con 0 < x < 1, tale che
q^2 + 2qx + x < 2
e questa si ha purché
x < (2 - q^2)/(2q + 1).
Č evidente che numeri razionali di questo tipo esistono.
Ciao
Enrico
radicale 003
> 1) non esiste il massimo di A, e che
> 2) non esiste il minimo di B,
>
> e, quindi, Q non soddisfa l'assioma di completezza.
> Per provare 1), considera un qualunque q in A e afferma che e' possibile
> costruire un razionale p > q tale che p^2 < 2. Per provare 2),
> l'argomento e' simile. In particolare, pone, senza ulteriori
> giustificazioni, p = 2(q+1)/(q+2).
Non capisco, abbi pazienza.
per ogni q in A : q^2 < 2
allora p = (2 + q^2)/2 e' un razionale
e inoltre q < p < 2
Quindi A non ha massimo.
------------------------------------------------
per ogni q in B : q^2 > 2
allora p = (2 + q^2)/2 e' un razionale
e inoltre 2 < p < q
Quindi B non ha minimo.
E' talmente semplice che sicuramente
sbaglio qualcosa. Ma se avessi ragione,
quel tizio lavora all' ufficio complicazione
casi semplici. Decisamente :-))
raymond
Ti ringrazio, Enrico, e mi scuso per gli errori di battitura nel
messaggio precedente.
> Si tratta di una "dimostrazione a posteriori". C'č un modo
> leggermente migliore di fare la stessa cosa.
Bene, č quel che mi interessava, soprattutto. La tua
seconda costruzione č quella che ho sempre conosciuto, e mi pare,
come dici, migliore. O, quanto meno, ha un evidenza quasi intuitiva.
Infatti il mio cruccio non era tanto convincermi della validitŕ
delle disuguaglianze, quanto il ragionamento che portava a costruire
il numero 2(q+1)/(q+2) sapendo solo che q^2 < 2, con semplici deduzioni.
Cosě ho provato a partire dall'equivalenza che dicevo nell'altro
messaggio, ottenendo facilmente 2(q+1)/(q+2) > q, ma non
trovavo verso di provare che [2(q+1)/(q+2)]^2 < 2, se non svolgendo
i calcoli esplicitamente, il che mi ha convinto che ci fossero altre
considerazioni piů evidenti da fare e che mancavo. Chiaramente, partivo
col piede sbagliato :)
> Ciao
> Enrico
Ciao
raymond
> Non capisco, abbi pazienza.
>
> per ogni q in A : q^2< 2
>
> allora p = (2 + q^2)/2 e' un razionale
> e inoltre q< p< 2
>
> Quindi A non ha massimo.
Aspetta, quel che è da provarsi è che, considerato q in A,
esiste un p in A tale che q < p. Quindi, deve essere
p^2 < 2. Se poni p = (2 + q^2)/2, non è detto che p in A,
cioè che p^2 < 2. È immediato verificarlo se consideri q = 1.
Senz'altro q in A. Allora p = (2 + 1)/2 = 3/2 > q, ma
(3/2)^2 = 9/4, ed è chiaro che 9/4 > 2, quindi p \notin A.
> E' talmente semplice che sicuramente
> sbaglio qualcosa. Ma se avessi ragione,
> quel tizio lavora all' ufficio complicazione
> casi semplici. Decisamente :-))
Non è difficile, infatti. Ad esemepio, se q in A è facile
considerare q + 1/n, con n in N. A questo punto il tutto si riduce a
provare che esiste n abbastanza grande affinche' sia verificata
(q + 1/n)^2 < 2. Poca roba. Il punto è che io ho incontrato quella
posizione (p = 2(q+1)/(q+2)), senza precisazioni e mi interessava
capire i passaggi che l'autore ha sottinteso per arrivarci.
Perche' non è certo evidente a "colpo d'occhio" che 2(q+1)/(q+2) in A.
In particolare, mi veniva difficile trovare qualche relazione da cui
dedurre che il suo quadrato fosse minore di 2. Enrico mi ha fatto capire
che partivo da considerazioni infeconde. Che poi ci siano strade
più semplici per dimostrare la non completezza di Q è noto ed è solo un
bene :)
Enrico Gregorio
> Il 05/apr/2011 00.01, Enrico Gregorio ha scritto:
>
> Ti ringrazio, Enrico, e mi scuso per gli errori di battitura nel
> messaggio precedente.
>
> > Si tratta di una "dimostrazione a posteriori". C'è un modo
> > leggermente migliore di fare la stessa cosa.
>
> Bene, è quel che mi interessava, soprattutto. La tua
> seconda costruzione è quella che ho sempre conosciuto, e mi pare,
> come dici, migliore. O, quanto meno, ha un evidenza quasi intuitiva.
> Infatti il mio cruccio non era tanto convincermi della validità
> delle disuguaglianze, quanto il ragionamento che portava a costruire
> il numero 2(q+1)/(q+2) sapendo solo che q^2 < 2, con semplici deduzioni.
> Così ho provato a partire dall'equivalenza che dicevo nell'altro
> messaggio, ottenendo facilmente 2(q+1)/(q+2) > q, ma non
> trovavo verso di provare che [2(q+1)/(q+2)]^2 < 2, se non svolgendo
> i calcoli esplicitamente, il che mi ha convinto che ci fossero altre
> considerazioni più evidenti da fare e che mancavo. Chiaramente, partivo
> col piede sbagliato :)
In realtà ci si può arrivare anche "a priori": partiamo dal fatto
ovvio che sqrt(2) < 2. Prendiamo ora q > 0 tale che q^2 < 2.
Allora sqrt(2) + q < 2 + q, quindi
0 < (sqrt(2) + q)/(2 + q) < 1
da cui
0 < (2 - q^2)/(2 + q) < sqrt(2) - q
e quindi
q < q + (2 - q^2)/(2 + q) < sqrt(2)
Il termine di mezzo è proprio 2(q + 1)/(2 + q).
Ciao
Enrico
raymond
> In realtà ci si può arrivare anche "a priori": partiamo dal fatto
> ovvio che sqrt(2)< 2. Prendiamo ora q> 0 tale che q^2< 2.
>
> Allora sqrt(2) + q< 2 + q, quindi
>
> 0< (sqrt(2) + q)/(2 + q)< 1
>
> da cui
>
> 0< (2 - q^2)/(2 + q)< sqrt(2) - q
>
> e quindi
>
> q< q + (2 - q^2)/(2 + q)< sqrt(2)
>
> Il termine di mezzo è proprio 2(q + 1)/(2 + q).
Interessante :) Ma, se non mi confondo, funziona soltanto
se "conosco" già i reali, visto che sqrt(2) esiste in virtu'
della completezza, altrimenti non saprei che significato dare
a sqrt(2) < 2. Quindi in un certo senso anche questa è una
dimostrazione a posteriori?
Enrico Gregorio
Puoi rifare tutto senza usare la radice di due; è solo un po'
più complicato. E non occorre scomodare i reali per questo,
basta considerare il campo
Q[X]/(X^2 - 2)
che è definito in modo puramente algebrico.
Ciao
Enrico
raymond
> Puoi rifare tutto senza usare la radice di due; è solo un po'
> più complicato. E non occorre scomodare i reali per questo,
> basta considerare il campo
>
> Q[X]/(X^2 - 2)
>
> che è definito in modo puramente algebrico.
Capisco. Temo che sia ancora oltre le mie modeste cognizioni,
ma hai colto l'animo con cui ho posto la questione. Terrò da
parte il suggerimento, per ora. Ho ancora parecchio da studiare
per rendere meno "magiche" cose del tutto ragionevoli :)
> Ciao
> Enrico
Ciao e grazie per la puntualità :)