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Analisi De Marco: Errore? O forse no?!
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Di passaggio a nord ovest
Dec 16, 2012, 11:49:24 PM12/16/12
to
Nel libro "ANALISI DUE/1 " (il primo tomo dell'opera in due volumi,
che è diversa da quella più recente in un singolo volume) di De Marco
a pag 265 si chiede di provare una versione il teorema di Rolle
n-dimensionale.
Invece che io sappia il teorema di Rolle è un risultato unidimensionale.
Vedi pag 84 del libro "Tecniques of variational analysis" di Borwein e Zhu.
Nella bibliografia riportata pare si riporti come Ferrer nel 1996 abbia
pubblicato
in merito a una situazione dove il teorema di Rolle *non* funziona.
E pare che Borwein con altri abbiano costruito una funzione reale su R^2
di classe C^1 che non ottempera al teorema di Rolle nella palla unitaria,
e l'hanno resa pubblica nel 2002.
Ora pare che il libro di De Marco è uscito in prima edizione nel 1992.
E lascia la prova di cui sopra come esercizio.
E' considerabile un errore? O forse l'esercizio stava proprio capire
l'essenza
unidimensionale del teorema di Rolle?
Ad ogni modo magari anche grandi matematici hanno usato la versione
multidimensionale di quello che si pensa sia un teorema di Rolle
generalizzato
e magari con un certa disinvoltura.
In sostanza, per quanto pensiamo che la matematica sia certa,
essa è in realtà opera dell'uomo, almeno nella forma con la quale la
conosciamo.
Quindi niente è assoluto e immutabile. E l'errore sempre dietro l'angolo,
alcune stime sono migliorabili ecc.
Rudin corresse addirittura un errore di Dieudonnè o così mi pare si racconti
nel suo libro autobiografico. E' raro; ma anche i grandi sbagliono!
Più il matematico è "grande" più l'errore risulta vistoso. Ma passa in
secondo
piano. Anche al 'grande Lagrange è stata perdonata una qualche piccola cosa
:)
qualcuna mi pare corretta da Peano.
E' ancora più difficile che "un granchio" sfugga all'intera comunità
matematica.
Ma direi che non è così impossibile. Piccoli "granchi" vengono del resto
continuamente rimessi 'all'ordine': così procede la ricerca della
conoscenza.
P.S. Il De Marco è imho più avanzati libri di analisi in italiano coi quali
partire,
nonchè abbastanza completo. L'ho scoperto leggendovi su ism. Ottimo per
ripassare gran parte della materia :)
che è diversa da quella più recente in un singolo volume) di De Marco
a pag 265 si chiede di provare una versione il teorema di Rolle
n-dimensionale.
Invece che io sappia il teorema di Rolle è un risultato unidimensionale.
Vedi pag 84 del libro "Tecniques of variational analysis" di Borwein e Zhu.
Nella bibliografia riportata pare si riporti come Ferrer nel 1996 abbia
pubblicato
in merito a una situazione dove il teorema di Rolle *non* funziona.
E pare che Borwein con altri abbiano costruito una funzione reale su R^2
di classe C^1 che non ottempera al teorema di Rolle nella palla unitaria,
e l'hanno resa pubblica nel 2002.
Ora pare che il libro di De Marco è uscito in prima edizione nel 1992.
E lascia la prova di cui sopra come esercizio.
E' considerabile un errore? O forse l'esercizio stava proprio capire
l'essenza
unidimensionale del teorema di Rolle?
Ad ogni modo magari anche grandi matematici hanno usato la versione
multidimensionale di quello che si pensa sia un teorema di Rolle
generalizzato
e magari con un certa disinvoltura.
In sostanza, per quanto pensiamo che la matematica sia certa,
essa è in realtà opera dell'uomo, almeno nella forma con la quale la
conosciamo.
Quindi niente è assoluto e immutabile. E l'errore sempre dietro l'angolo,
alcune stime sono migliorabili ecc.
Rudin corresse addirittura un errore di Dieudonnè o così mi pare si racconti
nel suo libro autobiografico. E' raro; ma anche i grandi sbagliono!
Più il matematico è "grande" più l'errore risulta vistoso. Ma passa in
secondo
piano. Anche al 'grande Lagrange è stata perdonata una qualche piccola cosa
:)
qualcuna mi pare corretta da Peano.
E' ancora più difficile che "un granchio" sfugga all'intera comunità
matematica.
Ma direi che non è così impossibile. Piccoli "granchi" vengono del resto
continuamente rimessi 'all'ordine': così procede la ricerca della
conoscenza.
P.S. Il De Marco è imho più avanzati libri di analisi in italiano coi quali
partire,
nonchè abbastanza completo. L'ho scoperto leggendovi su ism. Ottimo per
ripassare gran parte della materia :)
Di passaggio a nord ovest
Dec 16, 2012, 11:56:01 PM12/16/12
to
"Di passaggio a nord ovest" ha scritto
> Nel libro "ANALISI DUE/1 " (il primo tomo dell'opera in due volumi,
> che č diversa da quella piů recente in un singolo volume) di De Marco
> a pag 265 si chiede di provare
>una versione il teorema di Rolle n-dimensionale.
^^^ ...provare una versione a n-dimensioni del teorema di Rolle.
>una versione il teorema di Rolle n-dimensionale.
Mi scuso per questo e altri miei errori/typo :)
Alessandro_
Dec 17, 2012, 6:41:10 AM12/17/12
to
On 17 Dic, 05:49, "Di passaggio a nord ovest"
De Marco, quindi riporto per esteso la versione di mia conoscenza:
Prendi un sottoinsieme compatto di R^n (il cui interno non sia vuoto),
e una funzione f definita e continua su questo sottoinsieme,
differenziabile nei punti interni dello stesso. Se f e' costante sulla
frontiera allora esiste un punto stazionario per f interno al
compatto.
La dimostrazione e' banale e non lascia adito a dubbi.
> Nella bibliografia riportata pare si riporti come Ferrer nel 1996 abbia
> pubblicato
> in merito a una situazione dove il teorema di Rolle *non* funziona.
> E pare che Borwein con altri abbiano costruito una funzione reale su R^2
> di classe C^1 che non ottempera al teorema di Rolle nella palla unitaria,
> e l'hanno resa pubblica nel 2002.
Non so se hai fatto il piccolo sforzo di cercarti questi articoli in
internet (sono facilmente disponibili, e io mi sono preso la briga di
darci un'occhiata prima di risponderti). Nel caso tu lo abbia fatto,
hai veramente preso fischi per fiaschi e in quest'ambito non sei
ancora in grado di capire quello che leggi.
La semplice estensione n-dimensionale del teorema di Rolle che ti ho
riportato non viene affatto messa in discussione, anzi viene data
esplicitamente per assodata (infatti e' un teorema!).
> Rudin corresse addirittura un errore di Dieudonnè o così mi pare si racconti
> nel suo libro autobiografico. E' raro; ma anche i grandi sbagliono!
Dieudonne'? Chi era costui?:-)
Il caso che menzioni e' arcifamoso. Rudin riporta nella sua
autobiografia "The way I remember it" un clamoroso errore di
Dieudonne', che il noto bourbakista non riusciva a comprendere neanche
dopo aver visto la trattazione corretta della faccenda da parte di
Rudin.
Nell'autobiografia ci sono altre frecciatine al movimento Bourbaki.
Pare che il vecchio Rudin non abbia mai gradito molto l'epiteto di
bourbakista, anche se la sua esposizione matematica ne fu sicuramente
influenzata. I bene informati sostengono non sia un caso che nei suoi
testi piu' famosi non si faccia mai riferimento al trattato di
Bourbaki, nemmeno nella bibliografia.
<nosp...@perfavorenientespam.it> wrote:
> Nel libro "ANALISI DUE/1 " (il primo tomo dell'opera in due volumi,
> che è diversa da quella più recente in un singolo volume) di De Marco
> a pag 265 si chiede di provare una versione il teorema di Rolle
> n-dimensionale.
>
> Invece che io sappia il teorema di Rolle è un risultato unidimensionale.
No, invece ha una semplice estensione n-dimensionale. Non conosco il
> Nel libro "ANALISI DUE/1 " (il primo tomo dell'opera in due volumi,
> che è diversa da quella più recente in un singolo volume) di De Marco
> a pag 265 si chiede di provare una versione il teorema di Rolle
> n-dimensionale.
>
> Invece che io sappia il teorema di Rolle è un risultato unidimensionale.
De Marco, quindi riporto per esteso la versione di mia conoscenza:
Prendi un sottoinsieme compatto di R^n (il cui interno non sia vuoto),
e una funzione f definita e continua su questo sottoinsieme,
differenziabile nei punti interni dello stesso. Se f e' costante sulla
frontiera allora esiste un punto stazionario per f interno al
compatto.
La dimostrazione e' banale e non lascia adito a dubbi.
> Nella bibliografia riportata pare si riporti come Ferrer nel 1996 abbia
> pubblicato
> in merito a una situazione dove il teorema di Rolle *non* funziona.
> E pare che Borwein con altri abbiano costruito una funzione reale su R^2
> di classe C^1 che non ottempera al teorema di Rolle nella palla unitaria,
> e l'hanno resa pubblica nel 2002.
internet (sono facilmente disponibili, e io mi sono preso la briga di
darci un'occhiata prima di risponderti). Nel caso tu lo abbia fatto,
hai veramente preso fischi per fiaschi e in quest'ambito non sei
ancora in grado di capire quello che leggi.
La semplice estensione n-dimensionale del teorema di Rolle che ti ho
riportato non viene affatto messa in discussione, anzi viene data
esplicitamente per assodata (infatti e' un teorema!).
> Rudin corresse addirittura un errore di Dieudonnè o così mi pare si racconti
> nel suo libro autobiografico. E' raro; ma anche i grandi sbagliono!
Il caso che menzioni e' arcifamoso. Rudin riporta nella sua
autobiografia "The way I remember it" un clamoroso errore di
Dieudonne', che il noto bourbakista non riusciva a comprendere neanche
dopo aver visto la trattazione corretta della faccenda da parte di
Rudin.
Nell'autobiografia ci sono altre frecciatine al movimento Bourbaki.
Pare che il vecchio Rudin non abbia mai gradito molto l'epiteto di
bourbakista, anche se la sua esposizione matematica ne fu sicuramente
influenzata. I bene informati sostengono non sia un caso che nei suoi
testi piu' famosi non si faccia mai riferimento al trattato di
Bourbaki, nemmeno nella bibliografia.
Di passaggio a nord ovest
Dec 17, 2012, 7:06:02 AM12/17/12
to
"Alessandro_" ha scritto:
>No, invece ha una semplice estensione n-dimensionale. Non conosco il
>De Marco, quindi riporto per esteso la versione di mia conoscenza:
>Prendi un sottoinsieme compatto di R^n (il cui interno non sia vuoto),
>e una funzione f definita e continua su questo sottoinsieme,
>differenziabile nei punti interni dello stesso. Se f e' costante sulla
>frontiera allora esiste un punto stazionario per f interno al
>compatto.
>La dimostrazione e' banale e non lascia adito a dubbi.
Sicuro?
Non ho un abbonamento o accesso ai paper.
Ma la funzione ideata da Borwein e altri leggo (non nel paper ufficiale
che non ho) che nella palla unitaria pare abbia punti critici.
E quindi niente f '(x,y)=0
Tra l'altro una volta lessi da qualche parte che a piů dimensioni
č possibile creare funzioni dove si annulla
f'x o f'y (le derivate parziali) ma *mai* entrambe.
Credo c'entri la nonsmooth analysis.
On 17 Dic, 05:49, "Di passaggio a nord ovest"
> Invece che io sappia il teorema di Rolle č un risultato unidimensionale.
>No, invece ha una semplice estensione n-dimensionale. Non conosco il
>De Marco, quindi riporto per esteso la versione di mia conoscenza:
>Prendi un sottoinsieme compatto di R^n (il cui interno non sia vuoto),
>e una funzione f definita e continua su questo sottoinsieme,
>differenziabile nei punti interni dello stesso. Se f e' costante sulla
>frontiera allora esiste un punto stazionario per f interno al
>compatto.
>La dimostrazione e' banale e non lascia adito a dubbi.
Non ho un abbonamento o accesso ai paper.
Ma la funzione ideata da Borwein e altri leggo (non nel paper ufficiale
che non ho) che nella palla unitaria pare abbia punti critici.
E quindi niente f '(x,y)=0
Tra l'altro una volta lessi da qualche parte che a piů dimensioni
č possibile creare funzioni dove si annulla
f'x o f'y (le derivate parziali) ma *mai* entrambe.
Credo c'entri la nonsmooth analysis.
Di passaggio a nord ovest
Dec 17, 2012, 7:07:08 AM12/17/12
to
"Di passaggio a nord ovest" ha scritto:
> Sicuro?
> Non ho un abbonamento o accesso ai paper.
> Ma la funzione ideata da Borwein e altri leggo (non nel paper ufficiale
> che non ho)
> che nella palla unitaria pare abbia punti critici.
^^^ pare *non* abbia
> Non ho un abbonamento o accesso ai paper.
> Ma la funzione ideata da Borwein e altri leggo (non nel paper ufficiale
> che non ho)
> che nella palla unitaria pare abbia punti critici.
Enrico Gregorio
Dec 17, 2012, 8:39:05 AM12/17/12
to
Di passaggio a nord ovest <nos...@perfavorenientespam.it> scrive:
> "Alessandro_" ha scritto:
> On 17 Dic, 05:49, "Di passaggio a nord ovest"
> > Invece che io sappia il teorema di Rolle � un risultato unidimensionale.
> � possibile creare funzioni dove si annulla
commento al teorema 1.3,
If g vanishes on the sphere in finite dimensions this
becomes a version of Rolle's theorem asserting that a
function vanishing on the sphere has a critical point
interior to the ball.
L'articolo d� un controesempio a una congettura molto
pi� forte. Do una traduzione del sunto.
In questo articolo costruiamo una funzione di classe
C^1 a valori reali definita sulla palla unitaria di R^2
che � pari sulla frontiera della palla e non ha punti
critici interni alla palla. Questo fornisce un
controesempio al teorema di tipo Rolle non liscio
cercato in [BF].
Nel caso di dimensione (finita) > 1, il teorema di Rolle
richiede comunque funzioni di classe C^1, non solo la
differenziabilit� in ogni punto interno al compatto.
Ciao
Enrico
> "Alessandro_" ha scritto:
> On 17 Dic, 05:49, "Di passaggio a nord ovest"
>
> >No, invece ha una semplice estensione n-dimensionale. Non conosco il
> >De Marco, quindi riporto per esteso la versione di mia conoscenza:
>
> >Prendi un sottoinsieme compatto di R^n (il cui interno non sia vuoto),
> >e una funzione f definita e continua su questo sottoinsieme,
> >differenziabile nei punti interni dello stesso. Se f e' costante sulla
> >frontiera allora esiste un punto stazionario per f interno al
> >compatto.
>
> >La dimostrazione e' banale e non lascia adito a dubbi.
>
> Sicuro?
> Non ho un abbonamento o accesso ai paper.
> Ma la funzione ideata da Borwein e altri leggo (non nel paper ufficiale
> che non ho) che nella palla unitaria pare abbia punti critici.
> E quindi niente f '(x,y)=0
>
> Tra l'altro una volta lessi da qualche parte che a pi� dimensioni
> >No, invece ha una semplice estensione n-dimensionale. Non conosco il
> >De Marco, quindi riporto per esteso la versione di mia conoscenza:
>
> >Prendi un sottoinsieme compatto di R^n (il cui interno non sia vuoto),
> >e una funzione f definita e continua su questo sottoinsieme,
> >differenziabile nei punti interni dello stesso. Se f e' costante sulla
> >frontiera allora esiste un punto stazionario per f interno al
> >compatto.
>
> >La dimostrazione e' banale e non lascia adito a dubbi.
>
> Sicuro?
> Non ho un abbonamento o accesso ai paper.
> Ma la funzione ideata da Borwein e altri leggo (non nel paper ufficiale
> che non ho) che nella palla unitaria pare abbia punti critici.
> E quindi niente f '(x,y)=0
>
> � possibile creare funzioni dove si annulla
> f'x o f'y (le derivate parziali) ma *mai* entrambe.
> Credo c'entri la nonsmooth analysis.
L'articolo � pubblicamente disponibile. Ci trovo, come
> Credo c'entri la nonsmooth analysis.
commento al teorema 1.3,
If g vanishes on the sphere in finite dimensions this
becomes a version of Rolle's theorem asserting that a
function vanishing on the sphere has a critical point
interior to the ball.
L'articolo d� un controesempio a una congettura molto
pi� forte. Do una traduzione del sunto.
In questo articolo costruiamo una funzione di classe
C^1 a valori reali definita sulla palla unitaria di R^2
che � pari sulla frontiera della palla e non ha punti
critici interni alla palla. Questo fornisce un
controesempio al teorema di tipo Rolle non liscio
cercato in [BF].
Nel caso di dimensione (finita) > 1, il teorema di Rolle
richiede comunque funzioni di classe C^1, non solo la
differenziabilit� in ogni punto interno al compatto.
Ciao
Enrico
Alessandro_
Dec 17, 2012, 9:43:46 AM12/17/12
to
On 17 Dic, 14:39, Enrico Gregorio wrote:
> Nel caso di dimensione (finita) > 1, il teorema di Rolle
> richiede comunque funzioni di classe C^1, non solo la
> differenziabilità in ogni punto interno al compatto.
> Nel caso di dimensione (finita) > 1, il teorema di Rolle
> richiede comunque funzioni di classe C^1, non solo la
No. Ero abbastanza certo del mio enunciato, ma ora ho controllato
anche i vecchi appunti, compiaciuto che tutti i miei 30 e lode negli
esami di analisi valgano ancora qualcosa;-) Antonio Marino, Luigi
Ambrosio e Sergio Spagnolo la pensano come me: che sia suff. la
differenziabilita'. E la dimostrazione e' ineccepibile. Ciao.
Enrico Gregorio
Dec 17, 2012, 9:46:34 AM12/17/12
to
Alessandro_ <alessa...@yahoo.it> scrive:
Probabilissimo che tu ricordi l'analisi meglio di me. Io presi
solo 30. :)
Ciao
Enrico
solo 30. :)
Ciao
Enrico
cometa_luminosa
Dec 17, 2012, 10:27:32 AM12/17/12
to
On Dec 17, 3:43 pm, Alessandro_ <alessandr...@yahoo.it> wrote:
> No. Ero abbastanza certo del mio enunciato, ma ora ho controllato
> anche i vecchi appunti, compiaciuto che tutti i miei 30 e lode negli
> esami di analisi valgano ancora qualcosa;-) Antonio Marino, Luigi
> Ambrosio e Sergio Spagnolo la pensano come me: che sia suff. la
> differenziabilita'. E la dimostrazione e' ineccepibile. Ciao.
Siccome sono un po' arrugginito e tu invece hai preso 30 e lode :-)
> No. Ero abbastanza certo del mio enunciato, ma ora ho controllato
> anche i vecchi appunti, compiaciuto che tutti i miei 30 e lode negli
> esami di analisi valgano ancora qualcosa;-) Antonio Marino, Luigi
> Ambrosio e Sergio Spagnolo la pensano come me: che sia suff. la
> differenziabilita'. E la dimostrazione e' ineccepibile. Ciao.
puoi fare un esempio di funzione differenziabile ma non C^1?
(In realta' queste cose le ho fatte, ma troppo tempo fa).
Ciao.
--
cometa_luminosa
Kiuhnm
Dec 17, 2012, 10:47:36 AM12/17/12
to
On 12/17/2012 15:46, Enrico Gregorio wrote:
> Alessandro_ <alessa...@yahoo.it> scrive:
>
>> On 17 Dic, 14:39, Enrico Gregorio wrote:
>>
>>> Nel caso di dimensione (finita) > 1, il teorema di Rolle
>>> richiede comunque funzioni di classe C^1, non solo la
>>> differenziabilit� in ogni punto interno al compatto.
> Alessandro_ <alessa...@yahoo.it> scrive:
>
>> On 17 Dic, 14:39, Enrico Gregorio wrote:
>>
>>> Nel caso di dimensione (finita) > 1, il teorema di Rolle
>>> richiede comunque funzioni di classe C^1, non solo la
>>
>> No. Ero abbastanza certo del mio enunciato, ma ora ho controllato
>> anche i vecchi appunti, compiaciuto che tutti i miei 30 e lode negli
>> esami di analisi valgano ancora qualcosa;-) Antonio Marino, Luigi
>> Ambrosio e Sergio Spagnolo la pensano come me: che sia suff. la
>> differenziabilita'. E la dimostrazione e' ineccepibile. Ciao.
>
> Probabilissimo che tu ricordi l'analisi meglio di me. Io presi
> solo 30. :)
Erano anche tempi diversi. Oggi la lode te la tirano dietro.
>> No. Ero abbastanza certo del mio enunciato, ma ora ho controllato
>> anche i vecchi appunti, compiaciuto che tutti i miei 30 e lode negli
>> esami di analisi valgano ancora qualcosa;-) Antonio Marino, Luigi
>> Ambrosio e Sergio Spagnolo la pensano come me: che sia suff. la
>> differenziabilita'. E la dimostrazione e' ineccepibile. Ciao.
>
> Probabilissimo che tu ricordi l'analisi meglio di me. Io presi
> solo 30. :)
Kiuhnm
Di passaggio a nord ovest
Dec 17, 2012, 12:04:31 PM12/17/12
to
"Alessandro_" ha scritto:
>No. Ero abbastanza certo del mio enunciato, ma ora ho controllato
>anche i vecchi appunti, compiaciuto che tutti i miei 30 e lode negli
>esami di analisi valgano ancora qualcosa;-) Antonio Marino, Luigi
>Ambrosio e Sergio Spagnolo la pensano come me: che sia suff. la
>differenziabilita'. E la dimostrazione e' ineccepibile. Ciao.
Eheheh, ok.
Ma se c'� un controesempio, ci deve essere un errore o nel
contresempio o il famoso "granchio" nella dimostrazione? ;)
Mi pare che in matematica non valga l' ipse-dixit ^_^
On 17 Dic, 14:39, Enrico Gregorio wrote:
>> Nel caso di dimensione (finita) > 1, il teorema di Rolle
>> richiede comunque funzioni di classe C^1, non solo la
>> differenziabilit� in ogni punto interno al compatto.
>> Nel caso di dimensione (finita) > 1, il teorema di Rolle
>> richiede comunque funzioni di classe C^1, non solo la
>No. Ero abbastanza certo del mio enunciato, ma ora ho controllato
>anche i vecchi appunti, compiaciuto che tutti i miei 30 e lode negli
>esami di analisi valgano ancora qualcosa;-) Antonio Marino, Luigi
>Ambrosio e Sergio Spagnolo la pensano come me: che sia suff. la
>differenziabilita'. E la dimostrazione e' ineccepibile. Ciao.
Ma se c'� un controesempio, ci deve essere un errore o nel
contresempio o il famoso "granchio" nella dimostrazione? ;)
Mi pare che in matematica non valga l' ipse-dixit ^_^
Di passaggio a nord ovest
Dec 17, 2012, 12:04:34 PM12/17/12
to
"Alessandro_" ha scritto:
"Foundation of Modern Analysis" è citato.
> "Di passaggio a nord ovest"
>influenzata. I bene informati sostengono non sia un caso che nei suoi
>testi piu' famosi non si faccia mai riferimento al trattato di
>Bourbaki, nemmeno nella bibliografia.
Uhm può darsi, nel "baby Rudin" però il trattato di Dieudonnè
>testi piu' famosi non si faccia mai riferimento al trattato di
>Bourbaki, nemmeno nella bibliografia.
"Foundation of Modern Analysis" è citato.
Di passaggio a nord ovest
Dec 17, 2012, 12:04:38 PM12/17/12
to
"Enrico Gregorio" <Facile.d...@in.rete.it> ha scritto:
> Di passaggio a nord ovest <nos...@perfavorenientespam.it> scrive:
.
>
> L'articolo dà un controesempio a una congettura molto
> più forte. Do una traduzione del sunto.
>
> In questo articolo costruiamo una funzione
> cut
> In questo articolo costruiamo una funzione
> che è pari sulla frontiera
^^^
Arair ho letto una cosa simile nel libro che ho indicato di Borwein e Zhu,
che rimanda al paper dove si afferma l'esistenza di una siffatta funzione,
ma con "even" avevo tradotto "costante" sulla frontiera,
invece di "pari".
Forse il teorema vale se si restringono
le funzioni considerate alle solo f armoniche?
Del resto mi pare sul De Marco 2/1 del quale dicevo,
si chiede di una versione a n dimensioni del teorema di Rolle
in un paragrafo dedicato al principio di massimo per le funzioni
armoniche, ma nell' eserzio dove provare un possibile versione
"Rolle-ndimensionale" si parla di funzione "costante" sulla frontiera.
Di più, ho letto anche altrove che il teorema di Rolle di Analisi 1
in realtà sfrutta una proprietà dell'insieme "numeri reali"
E' facile comprendere la dimostrazione data ad Analisi 1
ma in realtà il suo vero contenuto poggia su questioni proprie
della "reatta reale" e quindi ad una dimensione.
Aggiungo che troppo spesso leggo persone glissare con un
"banale qui", banale lì". In realtà di dovrebbe dire "immediato"
invece che banale, imho
E non vale così come è generalizzarlo a più dimensioni.
> critici interni alla palla. Questo fornisce un
> controesempio al teorema di tipo Rolle non liscio
> cercato in [BF].
>
> Nel caso di dimensione (finita) > 1, il teorema di Rolle
> richiede comunque funzioni di classe C^1, non solo la
Ma il controesempio di Borwein è C^1 o no?
Quanto al controesempio di Ferrer pare sia su l^2 quindi penso
un poco più complesso da studiare.
Enrico Gregorio
Dec 17, 2012, 12:09:40 PM12/17/12
to
> "Alessandro_" ha scritto:
> On 17 Dic, 14:39, Enrico Gregorio wrote:
>
> >> Nel caso di dimensione (finita) > 1, il teorema di Rolle
> >> richiede comunque funzioni di classe C^1, non solo la
> >> differenziabilità in ogni punto interno al compatto.
> On 17 Dic, 14:39, Enrico Gregorio wrote:
>
> >> Nel caso di dimensione (finita) > 1, il teorema di Rolle
> >> richiede comunque funzioni di classe C^1, non solo la
>
> >No. Ero abbastanza certo del mio enunciato, ma ora ho controllato
> >anche i vecchi appunti, compiaciuto che tutti i miei 30 e lode negli
> >esami di analisi valgano ancora qualcosa;-) Antonio Marino, Luigi
> >Ambrosio e Sergio Spagnolo la pensano come me: che sia suff. la
> >differenziabilita'. E la dimostrazione e' ineccepibile. Ciao.
>
> Eheheh, ok.
> Ma se c'è un controesempio, ci deve essere un errore o nel
> >No. Ero abbastanza certo del mio enunciato, ma ora ho controllato
> >anche i vecchi appunti, compiaciuto che tutti i miei 30 e lode negli
> >esami di analisi valgano ancora qualcosa;-) Antonio Marino, Luigi
> >Ambrosio e Sergio Spagnolo la pensano come me: che sia suff. la
> >differenziabilita'. E la dimostrazione e' ineccepibile. Ciao.
>
> Eheheh, ok.
> contresempio o il famoso "granchio" nella dimostrazione? ;)
> Mi pare che in matematica non valga l' ipse-dixit ^_^
Certo, ma finora il controesempio non l'hai portato.
> Mi pare che in matematica non valga l' ipse-dixit ^_^
Ciao
Enrico
Di passaggio a nord ovest
Dec 17, 2012, 1:06:44 PM12/17/12
to
Del resto quello nel mio subject era una domanda e curiosità:
J.M. Borwein, I. Kortezov, and H. Wiersma. "A C^1 function that is even on a
sphere and has no critical point in the ball."
J. Nonlinear Convex Anal., 3:1-16,2002
Jesús Ferrer. Rolle's theorem fails in l2. Amer. Math. Monthly,
103:161-165,1996
Poi c'è qualcosa che ho letto, forse su Google books e che non sono in grado
ahimè di ritrovare.
Nel teorema di Rolle classico si ha che f'(x) all'interno del'intervallo
preso in esame nell'enunciato, si *annulla*.
Io avevo letto di una funzione su un dominio a più dimensioni,
costruita in modo che le derivate parziali si annullassero
in ogni punto, ma mai *contemporaneamente*.
Quindi non si potrebbe dire che sia un punto "stazionario" vero e proprio.
E il discorso si sposterebbe su cosa è un punto critico.
Poi cito quanto segue perchè magari può esere utile a qualcuno
per ritracciare una traccia, e che magari non me la sono sognata solo io:
Ricordo (molto poco) di una funzione, una specie di
divisione fra funzioni polinomiali, dove derivandola
si ottiene una nuova f' e tale per la quale degli zeri
si spostavano da punti con coordinate razionali ad
altri con coordinate irrazionali; come punti
critici si sarebbero dovuto considerare anche
quelli dove f' non si annulla, come nel classico th di Rolle
ma dove presenta flessi verticali.
In sostanza il generalizzare il th. di Rolle "così come è"
non funzionava per quell'esempio.
Di per sè pensavo il post potesse essere origine di
una discussione interessante.
Ma se mi chiedi di inventare su due piedi una funzione
siffatta, e relativa dimostrazione, no. Mica sono matematico :D
Posso solo citare la letteratura di cui sopra.
Alessandro_
Dec 17, 2012, 1:49:33 PM12/17/12
to
On 17 Dic, 16:27, cometa_luminosa wrote:
> puoi fare un esempio di funzione differenziabile ma non C^1?
> (In realta' queste cose le ho fatte, ma troppo tempo fa).
Senza scomodare esempi tanto raffinati, ti ricorderai (?) che la
> puoi fare un esempio di funzione differenziabile ma non C^1?
> (In realta' queste cose le ho fatte, ma troppo tempo fa).
continuita' delle derivate parziali prime in un (intorno di un) punto
implica la differenziabilita' in quel punto. Ma il viceversa non e'
mica vero:
f(x,0)=0
f(x,y)=y^2cos(1/y) per y diverso da 0.
La derivata f_y non e' continua in (x,0) pero' la funzione f e'
differenziabile in (x,0).
Alessandro_
Dec 17, 2012, 1:56:44 PM12/17/12
to
On 17 Dic, 18:04, "Di passaggio a nord ovest" wrote:
> Ma se c' un controesempio, ci deve essere un errore o nel
> contresempio o il famoso "granchio" nella dimostrazione? ;)
Ribadisco che non hai ancora capito di cosa stai parlando.
> Ma se c' un controesempio, ci deve essere un errore o nel
> contresempio o il famoso "granchio" nella dimostrazione? ;)
Non puoi pretendere di portare avanti una discussione avento letto
cose qua e la', vaghi ricordi ecc. Fai una ricerca e leggi per intero
gli articoli che citi. Ti accorgerai, forse, che non smentiscono
affatto il teorema che ti propone come esercizio il De Marco.
Di passaggio a nord ovest
Dec 17, 2012, 2:04:19 PM12/17/12
to
"Alessandro_" ha scritto:
Quindi quello di Borwein non č un controesempio?
Di passaggio a nord ovest
Dec 17, 2012, 2:12:28 PM12/17/12
to
"Alessandro_" ha scritto:
E mi pare si presti come controesempio, no?
> On 17 Dic, 18:04, "Di passaggio a nord ovest" wrote:
>
>> Ma se c' un controesempio, ci deve essere un errore o nel
>> contresempio o il famoso "granchio" nella dimostrazione? ;)
>
> Ribadisco che non hai ancora capito di cosa stai parlando.
> Non puoi pretendere di portare avanti una discussione avento letto
> cose qua e la', vaghi ricordi ecc. Fai una ricerca e leggi per intero
> gli articoli che citi.
Non ho l'articolo:
>
>> Ma se c' un controesempio, ci deve essere un errore o nel
>> contresempio o il famoso "granchio" nella dimostrazione? ;)
>
> Ribadisco che non hai ancora capito di cosa stai parlando.
> Non puoi pretendere di portare avanti una discussione avento letto
> cose qua e la', vaghi ricordi ecc. Fai una ricerca e leggi per intero
> gli articoli che citi.
J.M. Borwein, I. Kortezov, and H. Wiersma. "A C^1 function that is even on a
sphere and has no critical point in the ball."
J. Nonlinear Convex Anal., 3:1-16,2002
Ma tradurne il senso in italiano non mi pare difficile.
sphere and has no critical point in the ball."
J. Nonlinear Convex Anal., 3:1-16,2002
E mi pare si presti come controesempio, no?
josh
Dec 17, 2012, 2:13:48 PM12/17/12
to
On 12/17/2012 02:39 PM, Enrico Gregorio wrote:
> L'articolo è pubblicamente disponibile. Ci trovo, come
Non credo che debba essere C^1 (ossia che le derivate parziali debbano
essere continue).
Teorema di Rolle in dimensione .N.
Ipotesi: Sia .A. un aperto limitato di .R^N., .f. una funzione di classe
.C^0(\bar{A}). dotata di derivate parziali in .A. e tale che .f(x)=c.
(.c. in .R.) per ogni .x. sulla frontiera @A di .A.
Tesi: Esiste almeno un punto di .A. in cui .grad f=0.
Dimostrazione. Essendo .f. continua sul compatto .\bar{A}., .f. è dotata
di almeno un minimo assoluto in .\bar{A}.
Se un punto di minimo è sulla frontiera di .A. allora .f. è costante
in .\bar{A}. e quindi la tesi è ovvia.
Se un punto di minimo è in .A. allora ogni derivata parziale è nulla
in tale punto e quindi la tesi.
> L'articolo dà un controesempio a una congettura molto
> più forte. Do una traduzione del sunto.
di Rolle: tale esempio mostra come pur valendo il teorema di Rolle
unidimensionale per la restrizione di .f. lungo ogni *segmento diametro*
della palla unitaria di R^2 (in quanto .f. è pari sulla frontiera e
quindi .f(x/|x|)=f(-x/|x|).), non esiste alcun punto interno alla palla
unitaria in cui il gradiente di .f. è nullo.
Cioè l'esempio mostra come esistano funzioni .f. che pure verificando il
teorema di Rolle unidimensionale lungo ogni diamtero, non verificano il
teorema di Rolle in dimensione .N.
Ciao, Josh.
> L'articolo è pubblicamente disponibile. Ci trovo, come
> commento al teorema 1.3,
>
> If g vanishes on the sphere in finite dimensions this
> becomes a version of Rolle's theorem asserting that a
> function vanishing on the sphere has a critical point
> interior to the ball.
>
>
> If g vanishes on the sphere in finite dimensions this
> becomes a version of Rolle's theorem asserting that a
> function vanishing on the sphere has a critical point
> interior to the ball.
>
> Nel caso di dimensione (finita) > 1, il teorema di Rolle
> richiede comunque funzioni di classe C^1, non solo la
> differenziabilità in ogni punto interno al compatto.
> richiede comunque funzioni di classe C^1, non solo la
Non credo che debba essere C^1 (ossia che le derivate parziali debbano
essere continue).
Teorema di Rolle in dimensione .N.
Ipotesi: Sia .A. un aperto limitato di .R^N., .f. una funzione di classe
.C^0(\bar{A}). dotata di derivate parziali in .A. e tale che .f(x)=c.
(.c. in .R.) per ogni .x. sulla frontiera @A di .A.
Tesi: Esiste almeno un punto di .A. in cui .grad f=0.
Dimostrazione. Essendo .f. continua sul compatto .\bar{A}., .f. è dotata
di almeno un minimo assoluto in .\bar{A}.
Se un punto di minimo è sulla frontiera di .A. allora .f. è costante
in .\bar{A}. e quindi la tesi è ovvia.
Se un punto di minimo è in .A. allora ogni derivata parziale è nulla
in tale punto e quindi la tesi.
> L'articolo dà un controesempio a una congettura molto
> più forte. Do una traduzione del sunto.
>
> In questo articolo costruiamo una funzione di classe
> C^1 a valori reali definita sulla palla unitaria di R^2
> che è pari sulla frontiera della palla e non ha punti
> In questo articolo costruiamo una funzione di classe
> C^1 a valori reali definita sulla palla unitaria di R^2
> critici interni alla palla. Questo fornisce un
> controesempio al teorema di tipo Rolle non liscio
> cercato in [BF].
>
L'esempio è interessante, ma coglie un altro aspetto legato al teorema
> controesempio al teorema di tipo Rolle non liscio
> cercato in [BF].
>
di Rolle: tale esempio mostra come pur valendo il teorema di Rolle
unidimensionale per la restrizione di .f. lungo ogni *segmento diametro*
della palla unitaria di R^2 (in quanto .f. è pari sulla frontiera e
quindi .f(x/|x|)=f(-x/|x|).), non esiste alcun punto interno alla palla
unitaria in cui il gradiente di .f. è nullo.
Cioè l'esempio mostra come esistano funzioni .f. che pure verificando il
teorema di Rolle unidimensionale lungo ogni diamtero, non verificano il
teorema di Rolle in dimensione .N.
Ciao, Josh.
Di passaggio a nord ovest
Dec 17, 2012, 2:19:45 PM12/17/12
to
"josh" ha scritto:
Ecco!!!!!
Quello che avevo letto io
Il th di rolle è usato anche negli spazi di Banach
*ma* per segmenti *unidimensinali*
Quello che avevo letto io
Il th di rolle è usato anche negli spazi di Banach
*ma* per segmenti *unidimensinali*
josh
Dec 17, 2012, 2:23:56 PM12/17/12
to
On 12/17/2012 08:13 PM, josh wrote:
> On 12/17/2012 02:39 PM, Enrico Gregorio wrote:
>
>> L'articolo è pubblicamente disponibile. Ci trovo, come
>> commento al teorema 1.3,
>>
>> If g vanishes on the sphere in finite dimensions this
>> becomes a version of Rolle's theorem asserting that a
>> function vanishing on the sphere has a critical point
>> interior to the ball.
>>
>> Nel caso di dimensione (finita) > 1, il teorema di Rolle
>> richiede comunque funzioni di classe C^1, non solo la
>> differenziabilità in ogni punto interno al compatto.
>
> Non credo che debba essere C^1 (ossia che le derivate parziali debbano
> essere continue).
>
> Teorema di Rolle in dimensione .N.
>
> Ipotesi: Sia .A. un aperto limitato di .R^N., .f. una funzione di classe
> .C^0(\bar{A}). dotata di derivate parziali in .A. e tale che .f(x)=c.
> (.c. in .R.) per ogni .x. sulla frontiera @A di .A.
>
> Tesi: Esiste almeno un punto di .A. in cui .grad f=0.
>
> Dimostrazione. Essendo .f. continua sul compatto .\bar{A}., .f. è dotata
> di almeno un minimo assoluto in .\bar{A}.
> Se un punto di minimo è sulla frontiera di .A. allora .f. è costante
> in .\bar{A}. e quindi la tesi è ovvia.
Errata Corridge: Se ha sia minimo che massimo su @A allora è costante in
> On 12/17/2012 02:39 PM, Enrico Gregorio wrote:
>
>> L'articolo è pubblicamente disponibile. Ci trovo, come
>> commento al teorema 1.3,
>>
>> If g vanishes on the sphere in finite dimensions this
>> becomes a version of Rolle's theorem asserting that a
>> function vanishing on the sphere has a critical point
>> interior to the ball.
>>
>> Nel caso di dimensione (finita) > 1, il teorema di Rolle
>> richiede comunque funzioni di classe C^1, non solo la
>> differenziabilità in ogni punto interno al compatto.
>
> Non credo che debba essere C^1 (ossia che le derivate parziali debbano
> essere continue).
>
> Teorema di Rolle in dimensione .N.
>
> Ipotesi: Sia .A. un aperto limitato di .R^N., .f. una funzione di classe
> .C^0(\bar{A}). dotata di derivate parziali in .A. e tale che .f(x)=c.
> (.c. in .R.) per ogni .x. sulla frontiera @A di .A.
>
> Tesi: Esiste almeno un punto di .A. in cui .grad f=0.
>
> Dimostrazione. Essendo .f. continua sul compatto .\bar{A}., .f. è dotata
> di almeno un minimo assoluto in .\bar{A}.
> Se un punto di minimo è sulla frontiera di .A. allora .f. è costante
> in .\bar{A}. e quindi la tesi è ovvia.
A e quindi la tesi è ovvia.
Se almeno un punto di minimo o di massimo è in A allora....
cometa_luminosa
Dec 17, 2012, 2:27:41 PM12/17/12
to
On Dec 17, 7:49 pm, Alessandro_ <alessandr...@yahoo.it> wrote:
> On 17 Dic, 16:27, cometa_luminosa wrote:
>
> > puoi fare un esempio di funzione differenziabile ma non C^1?
> > (In realta' queste cose le ho fatte, ma troppo tempo fa).
>
> Senza scomodare esempi tanto raffinati, ti ricorderai (?) che la
> continuita' delle derivate parziali prime in un (intorno di un) punto
> implica la differenziabilita' in quel punto.
Yes I remember.
> On 17 Dic, 16:27, cometa_luminosa wrote:
>
> > puoi fare un esempio di funzione differenziabile ma non C^1?
> > (In realta' queste cose le ho fatte, ma troppo tempo fa).
>
> Senza scomodare esempi tanto raffinati, ti ricorderai (?) che la
> continuita' delle derivate parziali prime in un (intorno di un) punto
> implica la differenziabilita' in quel punto.
> Ma il viceversa non e' mica vero:
>
> f(x,0)=0
> f(x,y)=y^2cos(1/y) per y diverso da 0.
>
> La derivata f_y non e' continua in (x,0) pero' la funzione f e'
> differenziabile in (x,0).
Seconda ed ultima domanda: la stessa cosa e' vera anche per funzioni
da R^2 in R?
Ciao.
--
cometa_luminosa
Giorgio Bibbiani
Dec 17, 2012, 2:44:34 PM12/17/12
to
Di passaggio a nord ovest ha scritto:
il titolo:
http://docserver.carma.newcastle.edu.au/140/1/01_164-Borwein-Kortezov-Wiersma.ps
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
> Non ho l'articolo:
> J.M. Borwein, I. Kortezov, and H. Wiersma. "A C^1 function that is
> even on a sphere and has no critical point in the ball."
> J. Nonlinear Convex Anal., 3:1-16,2002
Si trova come *prima* opzione con Google, ricercandone
> J.M. Borwein, I. Kortezov, and H. Wiersma. "A C^1 function that is
> even on a sphere and has no critical point in the ball."
> J. Nonlinear Convex Anal., 3:1-16,2002
il titolo:
http://docserver.carma.newcastle.edu.au/140/1/01_164-Borwein-Kortezov-Wiersma.ps
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Di passaggio a nord ovest
Dec 17, 2012, 5:23:21 PM12/17/12
to
"Giorgio Bibbiani" ha scritto:
Oh grazie mille
Ho dato un'occhiata ahimè veloce al pre-print originale
Se ho capito bene, la funzione creata è *pari*,
come aveva ben tradotto Gregorio. Questo cambia tutto.
Quindi l'estensione n-dimensionale del teorema di Rolle
che del quale scrive il De Marco pare ponga come ipotesi
che f sia *costante* sulla frontiera.
Mentre il controesempio di Borwein & altri sembra essere
diretto a un'altra versione *non smooth* del teorema di Rolle
che si andava cercando.
Cioè...nel caso unidmensionale, si parte da un intervallo
[a,b] e nelle ipotesi f si deve avere che f(a)=f(b),
e quindi un'uguaglianza di f agli estremi dell'intervallo.
Il caso n-dimensionale si presta a diverse versioni di generalizzazioni
e per quali va verificata la verità. E per alcune di esse la
generalizzazione
funziona mentre per altre no.
f(a)=f(b) potrebbe diventare un "f costante su *tutta* frontiera", ...
oppure f(a)=f(b) potrebbe suggerire altre ricerche dove nelle ipotesi si ha
ancora
f(x)=f(y) con x e y presi sulla frontiera, secondo una certa regola
ovvero uniti da un segmento. Cosa si può dire?
Nell'esempio di Borwein pare che l'insieme sia la palla unitaria di R^2
e l'ipotesi f(a)=f(b) è stata tradotta in questa generalizzazione:
si prende una f pari così che agli estemi di un diametro della palla
si ha f(x/|x|)=f(-x/|x|)
Il th di Rolle, come scrive Josh, continua qui a valere per questa f
di classe C^1 e *ristretta al segmento*/diametro; mentre nel
caso n-dimensionale il suo gradiente non si annulla in nessun
punto interno alla palla.
> Di passaggio a nord ovest ha scritto:
>> Non ho l'articolo:
>> J.M. Borwein, I. Kortezov, and H. Wiersma. "A C^1 function that is
>> even on a sphere and has no critical point in the ball."
>> J. Nonlinear Convex Anal., 3:1-16,2002
>
> Si trova come *prima* opzione con Google, ricercandone
> il titolo:
>
> docserver[cut]
>> Non ho l'articolo:
>> J.M. Borwein, I. Kortezov, and H. Wiersma. "A C^1 function that is
>> even on a sphere and has no critical point in the ball."
>> J. Nonlinear Convex Anal., 3:1-16,2002
>
> Si trova come *prima* opzione con Google, ricercandone
> il titolo:
>
Oh grazie mille
Ho dato un'occhiata ahimè veloce al pre-print originale
Se ho capito bene, la funzione creata è *pari*,
come aveva ben tradotto Gregorio. Questo cambia tutto.
Quindi l'estensione n-dimensionale del teorema di Rolle
che del quale scrive il De Marco pare ponga come ipotesi
che f sia *costante* sulla frontiera.
Mentre il controesempio di Borwein & altri sembra essere
diretto a un'altra versione *non smooth* del teorema di Rolle
che si andava cercando.
Cioè...nel caso unidmensionale, si parte da un intervallo
[a,b] e nelle ipotesi f si deve avere che f(a)=f(b),
e quindi un'uguaglianza di f agli estremi dell'intervallo.
Il caso n-dimensionale si presta a diverse versioni di generalizzazioni
e per quali va verificata la verità. E per alcune di esse la
generalizzazione
funziona mentre per altre no.
f(a)=f(b) potrebbe diventare un "f costante su *tutta* frontiera", ...
oppure f(a)=f(b) potrebbe suggerire altre ricerche dove nelle ipotesi si ha
ancora
f(x)=f(y) con x e y presi sulla frontiera, secondo una certa regola
ovvero uniti da un segmento. Cosa si può dire?
Nell'esempio di Borwein pare che l'insieme sia la palla unitaria di R^2
e l'ipotesi f(a)=f(b) è stata tradotta in questa generalizzazione:
si prende una f pari così che agli estemi di un diametro della palla
si ha f(x/|x|)=f(-x/|x|)
Il th di Rolle, come scrive Josh, continua qui a valere per questa f
di classe C^1 e *ristretta al segmento*/diametro; mentre nel
caso n-dimensionale il suo gradiente non si annulla in nessun
punto interno alla palla.
Alessandro_
Dec 19, 2012, 4:26:18 AM12/19/12
to
On 17 Dic, 20:27, cometa_luminosa wrote:
> > Senza scomodare esempi tanto raffinati, ti ricorderai (?) che la
> > continuita' delle derivate parziali prime in un (intorno di un) punto
> > implica la differenziabilita' in quel punto.
>
> Yes I remember.
Mi accorgo che volendo essere troppo succinto ho messo una parentesi
> > Senza scomodare esempi tanto raffinati, ti ricorderai (?) che la
> > continuita' delle derivate parziali prime in un (intorno di un) punto
> > implica la differenziabilita' in quel punto.
>
> Yes I remember.
in un punto infelice. Ovviamente e' la continuita' delle derivate
parziali nel punto (non in un intorno) a garantire la
differenziabilita' in quel punto. Le derivate parziali devono pero'
esserci in tutto un intorno del punto, altrimenti col cavolo che vale
il teorema del differenziale totale...Cio' non toglie che, essendo
questo teorema solo una condizione sufficiente, una funzione
"patologica" possa essere ugualmente differenziabile in certi punti,
senza che la funzione abbia derivate parziali altrove.
> Seconda ed ultima domanda: la stessa cosa e' vera anche per funzioni
> da R^2 in R?
qualunque testo di analisi. Ciao.
Alessandro_
Dec 21, 2012, 6:53:23 AM12/21/12
to
On 19 Dic, 10:26, Alessandro_ <alessandr...@yahoo.it> wrote:
>Ovviamente e' la continuita' delle derivate
> parziali nel punto (non in un intorno) a garantire la
> differenziabilita' in quel punto. Le derivate parziali devono pero'
> esserci in tutto un intorno del punto, altrimenti col cavolo che vale
> il teorema del differenziale totale...
E si puo' fare anche di meglio:
>Ovviamente e' la continuita' delle derivate
> parziali nel punto (non in un intorno) a garantire la
> differenziabilita' in quel punto. Le derivate parziali devono pero'
> esserci in tutto un intorno del punto, altrimenti col cavolo che vale
> il teorema del differenziale totale...
E' suff. che una sola delle derivate parziali esista in tutto un
intorno del punto (le altre sono richieste solo nel punto), e sia
continua in quel punto, per avere la differenziabilita'.
Sigh, il tempo che passa...:-(
Alessandro_
Dec 21, 2012, 11:03:29 AM12/21/12
to
On 21 Dic, 12:53, ho scritto:
> E si puo' fare anche di meglio: [...]
Ops stavo delirando: vale solo in R^2!
In R^n si traduce cosi': n-1 derivate parziali esistano in tutto un
intorno del punto e siano ivi continue. L'altra derivata parziale
esista nel punto suddetto.
Tanto vale tenersi il teorema del differenziale totale nella forma
solita.
Chiudo qui e scusate la follia.
> E si puo' fare anche di meglio: [...]
Ops stavo delirando: vale solo in R^2!
In R^n si traduce cosi': n-1 derivate parziali esistano in tutto un
intorno del punto e siano ivi continue. L'altra derivata parziale
esista nel punto suddetto.
Tanto vale tenersi il teorema del differenziale totale nella forma
solita.
Chiudo qui e scusate la follia.
cometa_luminosa
Dec 21, 2012, 2:27:05 PM12/21/12
to
R^2 in R, non ricordo se e' generalizzabile a funzioni da R^n in R.
> Comunque queste cose le trovi su
> qualunque testo di analisi. Ciao.
--
cometa_luminosa
Alessandro_
Dec 21, 2012, 3:03:40 PM12/21/12
to
On 21 Dic, 20:27, cometa_luminosa wrote:
> doveva essere un 3, non un 2. Il teorema me lo ricordo per funzioni da
> R^2 in R, non ricordo se e' generalizzabile a funzioni da R^n in R.
Se e' per questo, da R^n a R^m
> doveva essere un 3, non un 2. Il teorema me lo ricordo per funzioni da
> R^2 in R, non ricordo se e' generalizzabile a funzioni da R^n in R.
cometa_luminosa
Dec 23, 2012, 10:15:41 AM12/23/12
to
Ciao.
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