Compattezza e ricoprimenti su R. Chiedo correzione ed integrazione
Arcobaleno
breve illustrazione di cosa è un ricoprimento e la compattezza su R?
Grazie!!
Compattezza ed intervalli su R.
SI PARLA UNICAMENTE DI R
Cosa è un ricoprimento?
Prendiamo l'intervallo (0, 4). Questo intervallo può essere ricoperto
da (-1, 1) U ( 1/2, 5).
Come si nota basta un numero FINITO di sottoinsiemi che uniti tra loro
ricoprono l'intervalo (0, 4).
Ma siamo sicuri che TUTTI i sottoinsiemi che sono in grado di
ricoprire l'intervallo (0, 4) siano in numero FINITO?
Se prendo per es la famiglia di sottoinsiemi tale che( 16/ 2 + n , 1/
n )
n appartiene ai Naturali. Con questa classe di insiemi riesco a
ricoprire l'intervallo (0, 4). Ma per farlo ho bisogno di un numero
INFINITO di insiemi. Questo perché il numero 0 potrà appartenere alla
classe dei sottoinsiemi solo se mi spingo ad un numero infinito.
Ovvero devo far tendere n all'infnito per ottenere 0 e quindi
ricoprire l'intervallo.
In pratica io posso ricoprire l'intervallo a patto di far tendere n ad
infinito.
Ma se io invece dell'intervallo (0, 4) aperto avessi l'intervallo [ 0,
4] chiuso, ecco che quella classe di insiemi, quella famiglia di
insiemi non riuscirebbe più a ricoprire l'intervallo [0, 4]. Questo
perché ora 0 appartiene all'intervallo. E quindi per quanto 1/n possa
tendere all'infinito, il numero 0 non verrà mai raggiunto, non
apparterrà mai all'insieme chiuso. Mentre nel caso di insieme aperto
l'intervallo viene ricoperto perché 0 NON appartiene all'intervallo
aperto.
0 è un punto di frontiera sia nell'intervallo aperto che chiuso. 0 non
è né un punto interno e nè un punto esterno quindi.
Nell'intervallo aperto è frontiera ma NON è un punto interno e NON
appartiene all'insieme aperto.
Nell'intervallo chiuso 0 è punto di frontiera, NON è un punto interno
ma APPARTIENE all'intervallo chiuso.
Quindi bisogna fare attenzione nella distinzione tra punti interni e
punti che appartengono. Un punto di frontiera NON è mai un punto
interno. La frontiera può appartenere all'intervallo o meno.Ma la
frontiera è tale, e non potrà mai essere interna o esterna
all'intervallo stesso.
Quindi non bisogna fare confusione tra punti interni e punti che
appartengono all'insieme. Sono concetti molto diversi anche se
appaiono simili e la loro distinzione è fondamentale per non cadere in
errore.
Nel caso di insieme chiuso la frontiera appartiene all'intervallo, nel
caso di insieme aperto la frontiera NON appartiene all'intervallo.
Quindi noi capiamo che un intervallo chiuso ha una proprietà.
L'intervallo chiuso può essere ricoperto da un numero FINITO di
sottoinsiemi la cui unione appunto ricopre l'intervallo chiuso.
Questa si chiama compattezza. Il concetto di compattezza nasce
dall'esigenza di estendere il teorema di Weierstrass(massimo e minimo
di una funzione) che vale nel caso in cui l'intervallo sia chiuso,
questo perché la frontiera appartiene all'intervallo e quindi anche il
massimo o il minimo potrebbero essere proprio i punti di frontiera.
che appartegono all'intervallo in questo caso.
Per provare a vedere se un insieme sia compatto o meno basta trovare
un suo ricoprimento INFINITO, cioè basta trovare una classe di insiemi
la cui unione darà luogo al ricoprimento dell'intervallo ma allo
stesso tempo sarà una classe composta da INFINITI elementi che uniti
ricopriranno l'intervallo.
A questo punto si nota che l'insieme NON è compatto.
Ovvero è un insieme APERTO.
Questo ragionamento vale su R, poi da R viene esteso ad altri ambiti.
Diventa più astratto e viene generalizzato. Ma la sua genesi è su R,
per estendere il teorema di Weierstrass ad altri ambiti.
Enrico Gregorio
> Per favore potete integrare, correggere, sistemare, commentare questa
> breve illustrazione di cosa � un ricoprimento e la compattezza su R?
> Grazie!!
>
>
>
> Compattezza ed intervalli su R.
>
> SI PARLA UNICAMENTE DI R
> [...]
> L'intervallo chiuso pu� essere ricoperto da un numero FINITO di
> sottoinsiemi la cui unione appunto ricopre l'intervallo chiuso.
>
> Questa si chiama compattezza.
Sciocchezza. Ogni insieme � l'unione di s� stesso.
> [...]
> A questo punto si nota che l'insieme NON � compatto.
> Ovvero � un insieme APERTO.
Un'altra sciocchezza. Esistono infiniti insiemi non compatti che
non sono nemmeno aperti.
> Questo ragionamento vale su R, poi da R viene esteso ad altri ambiti.
> Diventa pi� astratto e viene generalizzato. Ma la sua genesi � su R,
> per estendere il teorema di Weierstrass ad altri ambiti.
Ecco, perch� non ti studi un po' di topologia?
La propriet� di compattezza � molto pi� sottile di ci� che tu pensi:
� la richiesta che da un /qualsiasi/ ricoprimento con /aperti/ si possa
estrarre un ricoprimento finito.
L'esistenza di un ricoprimento finito con aperti � /ovvia/ per ogni
spazio e quindi non pu� essere la definizione di compattezza.
La nozione generale di compattezza nasce in connessione con la
continuit� uniforme e gli spazi funzionali, non per estendere il
teorema sui massimi e minimi di Weierstrass.
Ciao
Enrico
Giuseppe
> Arcobaleno <arcobalenocolor...@freemail.it> scrive:
>
> > Per favore potete integrare, correggere, sistemare, commentare questa
> > Grazie!!
>
> > Compattezza ed intervalli su R.
>
> > SI PARLA UNICAMENTE DI R
> > [...]
> > sottoinsiemi la cui unione appunto ricopre l'intervallo chiuso.
>
> > Questa si chiama compattezza.
>
>
> > [...]
> > A questo punto si nota che l'insieme NON è compatto.
> > Ovvero è un insieme APERTO.
>
> Un'altra sciocchezza. Esistono infiniti insiemi non compatti che
> non sono nemmeno aperti.
>
> > Questo ragionamento vale su R, poi da R viene esteso ad altri ambiti.
> > per estendere il teorema di Weierstrass ad altri ambiti.
>
>
> La proprietà di compattezza è molto più sottile di ciò che tu pensi:
> è la richiesta che da un /qualsiasi/ ricoprimento con /aperti/ si possa
> estrarre un ricoprimento finito.
>
> L'esistenza di un ricoprimento finito con aperti è /ovvia/ per ogni
> spazio e quindi non può essere la definizione di compattezza.
>
> La nozione generale di compattezza nasce in connessione con la
Scusa ma la continuità uniforme per gli spazi funzionali allora a che
cosa servirebbe?
Arcobaleno
>
Ciao,
la tua correzione si è capita. Però non ho compreso la tua
spiegazione. Per favore ti va di spiegarmi cosa è un ricoprimento?
Inoltre, per favore, puoi spiegare cosa è un ricoprimento finito?
Inoltre ancora, puoi spiegare per favore cosa è un ricoprimento
infinito?
In ultimo puoi spiegare cosa è quindi la compattezza?
Grazie!
A.
Enrico Gregorio
> On 17 Nov, 10:18, Enrico Gregorio <grego...@math.unipd.it> wrote:
> >
> >
> > Ecco, perch� non ti studi un po' di topologia?
> >
>
> Ciao,
>
> la tua correzione si � capita. Per� non ho compreso la tua
> spiegazione. Per favore ti va di spiegarmi cosa � un ricoprimento?
No.
> Inoltre, per favore, puoi spiegare cosa � un ricoprimento finito?
Ovvio se sai che cos'� un ricoprimento.
> Inoltre ancora, puoi spiegare per favore cosa � un ricoprimento
> infinito?
Stai scherzando?
> In ultimo puoi spiegare cosa � quindi la compattezza?
Ci sono parecchi libri che la spiegano benissimo. Leggine uno.
Poi ne riparliamo. Con le ciance non si fa matematica (e nemmeno
politica).
Ciao
Enrico
moebius
> Ciao,
>
> la tua correzione si � capita. Per� non ho compreso la tua
> spiegazione. Per favore ti va di spiegarmi cosa � un ricoprimento?
� una domanda retorica?
Se lo � sei cretino da paura, se non lo �, sei due volte
cretino perch� avresti due possibilit�, o studiare un libro
o prendere delle lezioni private. Ma non lo fai.
Ah, lo fai, ma non capisci il libro o il prof? Allora sei
tre volte cretino.
> Inoltre, per favore, puoi spiegare cosa � un ricoprimento finito?
> Inoltre ancora, puoi spiegare per favore cosa � un ricoprimento
> infinito?
>
> In ultimo puoi spiegare cosa � quindi la compattezza?
da ricovero!!
Arcobaleno
>
>
> > In ultimo puoi spiegare cosa è quindi la compattezza?
>
> Ci sono parecchi libri che la spiegano benissimo. Leggine uno.
> Poi ne riparliamo.
>
Grazie per il consiglio Enrico. C'è troppa ruggine e devo ripassare
sui libri come tu dici. Poi magari quando tra qualche giorno avrò le
idee più chiare, riproporrò il tema, così, come tu dici, ne
riparliamo.
Ciao
A.
Arcobaleno
> "Arcobaleno" <arcobalenocolor...@freemail.it> ha scritto
>
> > Ciao,
>
> > la tua correzione si è capita. Però non ho compreso la tua
> > spiegazione. Per favore ti va di spiegarmi cosa è un ricoprimento?
>
> è una domanda retorica?
>
No affatto. Chiedevo al professor Enrico Gregorio di spiegarmi un po'
come fanno i libri partendo, diciamo così, da zero. Ma lui giustamente
mi rimanda prima ai libri e poi se ne riparla. Ed ha ragione.
>
>Se lo è sei cretino da paura, se non lo è, sei due volte
> cretino perché avresti due possibilità, o studiare un libro
> o prendere delle lezioni private. Ma non lo fai.
>
Scusa ma perché bisogna passare subito agli insulti?
Io ho chiesto al ng, Il Professor Gregorio mi ha dato un consiglio e
stop.
Il fatto di chiedere un consiglio merita un insulto?
Quindi ne devo dedurre che non mi conviene chiedere più nulla ?
>
>Ah, lo fai, ma non capisci il libro o il prof? Allora sei
> tre volte cretino.
>
E' un modo da parte tua per dirmi: vattene via e non porre più
domande?
Perché non entri nel topic come ha fatto il Professero Gregorio invece
di insultarmi?
> > Inoltre, per favore, puoi spiegare cosa è un ricoprimento finito?
> > Inoltre ancora, puoi spiegare per favore cosa è un ricoprimento
> > infinito?
>
> > In ultimo puoi spiegare cosa è quindi la compattezza?
>
> da ricovero!!
>
Scusa, ma perché io sarei da ricovero?
Ho chiesto ad un bravo professore di chiarirmi cosa è la compattezza,
perché egli dice che è un concetto sottile, non è una cosa tanto
banale. Questo è un ng di matematica inoltre.
Cosa c'è che non va in me?
Permettimi di farti notare che tu più che parlare di compattezza parli
di me.
Prova a parlare di compattezza, entra in topic. Ricordati che stiamo
parlando pubblicamente e non in privato. Altri potrebbero leggere,
trarne spunti ed imparare.
Dai tuoi insulti cosa si può imparare a parte la maleducazione?
Tetis
Mi limiterò a delle integrazioni e qualche commento personale il
parentesi quadre.
> Per favore potete integrare, correggere, sistemare, commentare questa
> breve illustrazione di cosa è un ricoprimento e la compattezza su R?
> Grazie!!
>
> Compattezza ed intervalli su R.
>
> SI PARLA UNICAMENTE DI R
attrezzato con la topologia indotta dalla norma del valore assoluto.
[Divagazione personale: In particolar R è un esempio paradigmatico di
spazio vettoriale in topologico e normato e completo in dimensione
finita, che costituisce al tempo stesso un algebra ed un dominio di
integrità, ha quindi un ruolo privilegiato fra gli spazi di Banach: è
un campo ed è un campo di Banach. E' proficuo anche pensarlo come
esempio di completamento di PZ^1: lo spazio delle classi di
equivalenza in Z^2, equivalenza a meno di moltiplicazione per un
intero, pensato come modulo proiettivo sull'anello Z, può essere visto
come rete di Dedekind e completato univocamente ad uno spazio
continuo. Questa costruzione è del tutto generale nell'ambito delle
geometrie di incidenza infinitarie. Può essere ancora proficuo
pensarlo da un punto di vista logico algebrico come amalgamazione di
una logica con quattro tipi, ne risulta ancora una volta un ruolo
speciale nel contesto delle logiche quaternarie. Entrambe queste
costruzioni evidenziano che lo spazio R è uno spazio di Hausdorf che
verifica il primo ed il secondo assioma di numerabilità per la
topologia.]
> Cosa è un ricoprimento?
>
> Prendiamo l'intervallo (0, 4). Questo intervallo può essere ricoperto
> da (-1, 1) U ( 1/2, 5).
abbiamo quindi un esempio di ricoprimento finito di aperti.
> Come si nota basta un numero FINITO di sottoinsiemi che uniti tra loro
> ricoprono l'intervalo (0, 4).
>
> Ma siamo sicuri che TUTTI i sottoinsiemi che sono in grado di
> ricoprire l'intervallo (0, 4) siano in numero FINITO?
La risposta è no e qui di seguito presentiamo un contro-esempio:
> Se prendo per es la famiglia di sottoinsiemi tale che( 16/ 2 + n , 1/
> n )
> n appartiene ai Naturali. Con questa classe di insiemi riesco a
> ricoprire l'intervallo (0, 4). Ma per farlo ho bisogno di un numero
> INFINITO di insiemi. Questo perché il numero 0 potrà appartenere
nel senso che ogni suo intorno potrà intersecarla, non nel senso che 0
apparterrà direttamente
> alla
> classe dei sottoinsiemi solo se mi spingo ad un numero infinito.
in particolare noto che ogni restrizione finita di questo ricoprimento
non è un ricoprimento, questo perchè se considero un numero finito di
sotto insiemi del tipo (1/n, 8+n) per il principio di limitazione dei
sotto-insiemi finiti dei numeri interi positivi, risulterà un valore
massimo ed un valore minimo per n. Ed ogni punto del x sottoinsieme
risulterà appartenere ad almeno un intervallo, e se l'indice di questo
intervallo è m risulta m<n , e quindi x in (1/m,8+m) implica x>1/m>1/
n. Di conseguenza ogni punto 1/M con M>n pur appartenendo all'insieme
(0,1) non apparterrà ad alcun elemento delle classe finita perchè in
caso contrario dovrebbe risultare 1/M > 1/n.
> Ovvero devo far tendere n all'infnito per ottenere 0 e quindi
> ricoprire l'intervallo.
>
> In pratica io posso ricoprire l'intervallo a patto di far tendere n ad
> infinito.
ovvero devo considerare l'unione numerabile sfruttando appieno le
proprietà infinitarie attuali dell'insieme dei naturali.
> Ma se io invece dell'intervallo (0, 4) aperto avessi l'intervallo [ 0,
> 4] chiuso, ecco che quella classe di insiemi, quella famiglia di
> insiemi non riuscirebbe più a ricoprire l'intervallo [0, 4]. Questo
> perché ora 0 appartiene all'intervallo.
Mentre non appartiene a nessun insieme della famiglia di sottoinsiemi
considerata e quindi non appartiene alla loro unione.
> E quindi per quanto 1/n possa
> tendere all'infinito, il numero 0 non verrà mai raggiunto, non
> apparterrà mai all'insieme chiuso. Mentre nel caso di insieme aperto
> l'intervallo viene ricoperto perché 0 NON appartiene all'intervallo
> aperto.
>
> 0 è un punto di frontiera sia nell'intervallo aperto che chiuso. 0 non
> è né un punto interno e nè un punto esterno quindi.
> Nell'intervallo aperto è frontiera ma NON è un punto interno e NON
> appartiene all'insieme aperto.
>
> Nell'intervallo chiuso 0 è punto di frontiera, NON è un punto interno
> ma APPARTIENE all'intervallo chiuso.
>
> Quindi bisogna fare attenzione nella distinzione tra punti interni e
> punti che appartengono. Un punto di frontiera NON è mai un punto
> interno. La frontiera può appartenere all'intervallo o meno.Ma la
> frontiera è tale, e non potrà mai essere interna o esterna
> all'intervallo stesso.
> Quindi non bisogna fare confusione tra punti interni e punti che
> appartengono all'insieme. Sono concetti molto diversi anche se
> appaiono simili e la loro distinzione è fondamentale per non cadere in
> errore.
E la distinzione consiste in questo: ogni punto interno di un insieme
gli appartiene, ma esistono punti di un insieme che non gli sono
interni. Esistono per esempio insiemi affatto privi di punti interni
che sono tuttavia chiusi, un tale esempio è stato costruito da Cantor
nel contesto dell'analisi armonica ovvero nel contesto dello studio
dell'approssimazione di funzioni mediante funzioni trigonometriche
fondamentali, e prende il nome di insieme di Cantor. Al fine di
sviluppare una nozione unificata che con una sola parola indichi sia i
punti dell'insieme che i punti della sua frontiera è stata sviluppata
la nozione di punto aderente: un punto si dice aderente se è un punto
dell'insieme ovvero è un punto di accumulazione per l'insieme. Un
insieme si dice chiuso se contiene tutti i suoi punti aderenti. Si
dice aperto se è il complementare di un insieme chiuso. Esistono
ovviamente insiemi che non sono aperti né chiusi.
> Nel caso di insieme chiuso
che sia un intervallo,
> la frontiera appartiene all'intervallo, nel
> caso di insieme aperto la frontiera NON appartiene all'intervallo.
>
> Quindi noi capiamo che un intervallo chiuso ha una proprietà.
> L'intervallo chiuso può essere ricoperto da un numero FINITO di
> sottoinsiemi
aperti
> la cui unione appunto ricopre l'intervallo chiuso.
infatti ogni intervallo: [a,b] può essere ricoperto con un intervallo
aperto (a-k,b+k) per ogni k>0. Ogni semiretta [a,+oo) può essere
coperta da un aperto (a-k,+oo)... occorre quindi prestare attenzione
ad una circostanza, mentre da qualsiasi ricoprimento mediante
intervalli aperti di un intervallo chiuso e limitato, per esempio da
U_n ((-1/n,1/2+1/n) U (1/2-1/n),(1+1/n)) possiamo estrarre un
ricoprimento finito: per esempio (-1/2,1) U (0,3/2). Esistono
ricoprimenti degli intervalli aperti, ad esempio per (0,1) (1/n,1) e
degli intervalli chiusi ma non limitati per esempio (-1/2+n,1+n) per
[0,+oo) tali che ogni loro sottoinsieme finito non ricopre l'insieme.
E' possibile in effetti dimostrare che un intervallo chiuso e limitato
ha una proprietà che, per quanti esempi, sia possibile escogitare non
fa eccezione alla regola che dato un ricoprimento di aperti è
possibile estrarne un sottoricoprimento finito.
> Questa si chiama compattezza.
> Il concetto di compattezza nasce
> dall'esigenza di estendere il teorema di Weierstrass(massimo e minimo
> di una funzione
N.b.:
di una funzione continua)
che vale nel caso in cui l'intervallo sia chiuso,
> questo perché la frontiera appartiene all'intervallo e quindi anche il
> massimo o il minimo potrebbero essere proprio i punti di frontiera.
> che appartegono all'intervallo in questo caso.
>
> Per provare a vedere se un insieme sia compatto o meno basta trovare
> un suo ricoprimento INFINITO, cioè basta trovare una classe di insiemi
> la cui unione darà luogo al ricoprimento dell'intervallo ma allo
> stesso tempo sarà una classe composta da INFINITI elementi che uniti
> ricopriranno l'intervallo.
>
> A questo punto si nota che l'insieme NON è compatto.
> Ovvero è un insieme APERTO
oppure è un insieme illimitato. Occorre infatti prestare attenzione
alla distinzione fra insieme aperto ed insieme illimitato. Abbiamo
detto che, per definizione, un insieme è chiuso se contiene tutti i
suoi punti aderenti, ovvero anche tutti i suoi punti di accumulazione
(nozione unica che contiene sia i punti interni che i punti di
frontiera) ma esistono insiemi come la semiretta [0,+oo) che
contengono tutti i punti aderenti, quindi sono chiusi, e tuttavia non
sono sono compatti.
> Questo ragionamento vale su R, poi da R viene esteso ad altri ambiti.
> Diventa più astratto e viene generalizzato. Ma la sua genesi è su R,
> per estendere il teorema di Weierstrass ad altri ambiti.
Anche l'insieme di Cantor è stato costruito da Cantor pensando ai
ragionamenti di Weierstrass. Esiste infatti come ricorderai una
dimostrazione del teorema di Weierstrass con il metodo di bisezione.
Ad ogni modo la compattezza si è dimostrata una nozione più potente di
quanto potesse esserlo il teorema di Weierstrass ed esistono esempi di
insiemi compatti che non possono essere esplorati da reti di Cauchy.
Queste ultime due parole meritano un poco di discussione. Il punto
della compattezza sui reali, ed in generale negli spazi metrici
completi è che da ogni sequenza infinita in un insieme limitato si può
estrarre una sequenza di Cauchy, in particolare il metodo di bisezione
fornisce un criterio operativo per costruire una sequenza di Cauchy
che converge al punto di massimo o di minimo dell'insieme. Ovviamente
perchè il tutto funzioni occorre che il punto limite appartenga
all'insieme, per questo occorre la nozione di chiusura. Ora in
generale negli spazi finito dimensionali il metodo di bisezione può
essere efficacemente generalizzato in modo che risulti applicabile ad
ogni insieme limitato, quindi in dimensione finita tutto pare come
prima. In seguito è stato noto per lungo tempo, almeno dal tempo di
Alexandrov che, a prescindere dalla natura metrica dello spazio, basta
la definizione topologica di compatto per avere che l'immagine
continua di un insieme compatto è compatto, dal momento che comunque
una definizione si sostanzia di esempi, finchè mancavano esempi questa
definizione era di scarso interesse pratico. Ma nel 1930 Tychonov ha
dimostrato un teorema che ha reso la nozione di compattezza
immensamente più potente della nozione di sottospazio limitato e
chiuso in uno spazio metrico. Il teorema di Tychonov consente infatti
di costruire insiemi compatti infinito dimensionali come prodotto
cartesiano, con indici estratti da un insieme non necessariamente
finito e non necessariamente numerabile, di spazi compatti. Pochi anni
dopo il teorema di Weierstrass è diventato noto come teorema di
Weierstrass Stone, perchè Stone lo aveva applicato estensivamente a
spazi infinito dimensionali.
Peter11
"Enrico Gregorio" <greg...@math.unipd.it> ha scritto nel messaggio
news:171120091256292105%greg...@math.unipd.it...
> Arcobaleno <arcobalen...@freemail.it> scrive:
>
>
> Ci sono parecchi libri che la spiegano benissimo. Leggine uno.
> Poi ne riparliamo. Con le ciance non si fa matematica (e nemmeno
> politica).
>
> Ciao
> Enrico
Mamma mia come sei ombroso... Dai che con cinquecento punti di accumulazione
vinci la pirofila :-)
Enrico Gregorio
Dopo l'ennesimo filone pseudopolitico lanciato dall'OP con ciance che
nemmeno politici (che preferisco non nominare) nei giorni migliori
sarebbero capaci di concepire, viene qui a renderci eruditi del fatto,
gi� noto del resto, che non sa nulla di topologia.
Permetterai un po' di ombrosit�? O avrei forse dovuto spiegargli fatti
che parecchi libri spiegano benissimo, basterebbe avere la volont� di
studiarseli e non di leggiucchiare qua e l�.
Ciao
Enrico
LordBeotian
> la tua correzione si è capita. Però non ho compreso la tua
> spiegazione. Per favore ti va di spiegarmi cosa è un ricoprimento?
> Inoltre, per favore, puoi spiegare cosa è un ricoprimento finito?
> Inoltre ancora, puoi spiegare per favore cosa è un ricoprimento
> infinito?
>
> In ultimo puoi spiegare cosa è quindi la compattezza?
http://en.wikipedia.org/wiki/Compact_space
lì trovi anche tutti i sottolink alle definizioni delle cose che hai
chiesto
Giovanni
Provo a risponderti io, eventualmente posso essere corretto, e
s'impara qualcosa.
> Per favore ti va di spiegarmi cosa è un ricoprimento?
Un ricoprimento di un insieme e' una famiglia di insiemi nella cui
unione e' contenuto (sottoinsieme).
> Inoltre, per favore, puoi spiegare cosa è un ricoprimento finito?
Ovviamente vuol dire che la famiglia di insiemi e' finita.
> Inoltre ancora, puoi spiegare per favore cosa è un ricoprimento
> infinito?
E' il caso in cui la famiglia non e' finita.
>
> In ultimo puoi spiegare cosa è quindi la compattezza?
Leggo io stesso la definizione.
Sia X uno spazio topologico.
Consideriamo TUTTI i possibili ricoprimenti con insiemi aperti di X.
SE da OGNI ricoprimento si puo' estrarre un sottoricoprimento finito,
ALLORA
X e' COMPATTO.
I tuoi esempi di compatti non sono in linea con questa definizione.
.
Giovanni
Arcobaleno
>
>
> Permetterai un po' di ombrosità? O avrei forse dovuto spiegargli fatti
> che parecchi libri spiegano benissimo, basterebbe avere la volontà di
> studiarseli e non di leggiucchiare qua e là.
>
Ma certo Enrico. E' ovvio che leggo, ripasso, poi dimentico, poi cerco
di approfondire(in questi giorni ho preso anche la famosa influenza).
Purtroppo qui manca il body language e non ci è concesso dare la
giusta tonalità alle nostre espressioni più emotive che non razionali.
Io penso che sia il caso di passarci sopra.
D'altra parte io ti stimo molto come matematico, ed è questo quello
che conta su questo ng.
Inoltre scusami per gli off topic. Avete ragione da vendere. Posso
solo dire che a mio parere ogni tanto qualcosa dobbiamo dirla anche
noi, perché così come non è normale il mio off topic, non è neppure
normale avere la mafia al Ministero del Tesoro e altre cosette del
genere.
Ciao e ancora grazie
A.
p.s. quando dialogo con te sono unicamente interessato alla matematica
e stop. Se altri si intromettono e ti danno fastidio, lasciali
perdere, è gente che mette zizzania!!
Giovanni
Mi piace la tua svolta, come sei passato sopra con noncuranza agli
attacchi personali.
Giustissimo, quel che conta qui e' solo la matematica.
Guarda le critiche, ovviamente quando non sono meri attacchi alla
persona, come occasioni di apprendimento.
Qualcuno ha definito in maniera molto stringata ma allo stesso tempo
molto significativa l'INFORMAZIONE:
"Informazione e' DIFFERENZA".
Infatti se pensiamo all'atomo dell'informazione, il bit, esso e' una
pura differenza tra due stati.
Anche l'informazione ad alto livello (quello umano): un informazione
e' tale quando non ci giunge indifferente. Se ci lascia indifferenti
significa che gia' la possediamo.
Semplificando, acquisiamo un informazione, una conoscenza, quando (in
maniera piccola o grande) ci mette in CRISI, contrasta in qualche modo
con noi.
Per questo si dice anche che s'impara dai nostri errori.
Che bisogna naturalmente riconoscere e accettare.
I cosiddetti "troll" sono quelli per i quali l'informazione viaggia
solo in un senso: da loro agli altri e non vanno mai in crisi (almeno
in maniera evidente), non errano mai.
L'informazione passa su di loro senza scalfirli, senza modificarli. E
cosi' restano sempre uguali non diventano differenti acquisendo
differenze.
E restano essi stessi con poca informazione, e non sanno cosa perdono.
.
Giovanni
Arcobaleno
> Bravo Arcobaleno !
> Mi piace la tua svolta, come sei passato sopra con noncuranza agli
> attacchi personali.
>
Ciao,
ma infatti. Io non capisco questa gente che si iscrive una sola volta
al ng, e lo fa giusto per darmi del cretino e basta.
Invece, il professor Gregorio ha corretto e mi ha dato un bel
consiglio. Tetis si è speso moltissimo e non lo ringrazierò mai
abbastanza. Anche tu mi sei stato di grande aiuto.
Insomma, io non sto qui per litigare ma per imparare, e la tua bella
riflessione ce lo dimostra.
D'altra parte, non si può pretendere che gente come me che ha digerito
tanta matematica e non solo, si limiti a chiedere cose banali. Io lo
faccio sempre nella speranza che si riesca ad andare oltre, come tu
stesso auspicavi.
Anzi, queste sono belle occasioni per parlare di matematica in modo
meno formale e tentare di capire quali sono le motivazioni che stanno
dietro ecc ecc.
Non sempre ci riusciamo. Ma dobbiamo essere tolleranti tra di noi.
Sicuramente qui c'è gente che ha studiato matematica una vita e io
spero di ruiscire sempre ad imparare qualcosa da loro e non solo dai
libri.
Col libro non ci si può dialogare, non si può chiedere. Qui abbiamo
questo miracolo, e cioè la possibilità di poter chiedere.
Ed un uomo "dedito al sapere", che ispira la sua vita secondo le vie
della conoscenza, che da senso alla sua esistenza mirando giorno per
giorno(come diceva Aristotele rispetto alla "meraviglia" nel
protrettico) ha solo da guadagnare da questo tipo di interazione con
altri.
Ora purtroppo non posso entrare nel topic specifico sulla compattezza:
38 di febbre:)
Ma sono davvero contento che tutti voi siate intervenuti per darmi una
mano.
E' vero che posso fare, come sempre, tutto da solo io ed i libri. Ma
allora a cosa ci serve questo ng?
Ciao e sinceramente grazie a tutti:)
A.
?manu*
> Se prendo per es la famiglia di sottoinsiemi tale che( 16/ 2 + n , 1/
> n )
> n appartiene ai Naturali. Con questa classe di insiemi riesco a
> ricoprire l'intervallo (0, 4). Ma per farlo ho bisogno di un numero
> classe dei sottoinsiemi solo se mi spingo ad un numero infinito.
Ma non � necessario ricoprire lo 0, che infatti non viene coperto da
nessuno dei tuoi insiemi.
> Ovvero devo far tendere n all'infnito per ottenere 0 e quindi
> ricoprire l'intervallo.
No, non devi far *tendere* n all'infinito, ma devi proprio prendere
infiniti (infinito attuale) intervalli, tutti insieme.
> In pratica io posso ricoprire l'intervallo a patto di far tendere n ad
> infinito.
Direi che il concetto di limite non entra in questo ragionamento. n
varia su tutto l'insieme dei naturali quindi stai effettivamente
considerando una unione infinita.
> Quindi noi capiamo che un intervallo chiuso ha una propriet�.
> L'intervallo chiuso pu� essere ricoperto da un numero FINITO di
> sottoinsiemi la cui unione appunto ricopre l'intervallo chiuso.
Anche l'intervallo aperto.
E.
Peter11
"Enrico Gregorio" <greg...@math.unipd.it> ha scritto nel messaggio
news:171120092152243156%greg...@math.unipd.it...
Liber� ombrosit� in libero stato :-)
Peter11
"Arcobaleno" <arcobalen...@freemail.it> ha scritto nel messaggio
news:f38d6d8f-5d6e-4c85...@p8g2000yqb.googlegroups.com...
> On 17 Nov, 21:52, Enrico Gregorio <grego...@math.unipd.it> wrote:
>>
>>
>> Permetterai un po' di ombrosit�? O avrei forse dovuto spiegargli fatti
>> che parecchi libri spiegano benissimo, basterebbe avere la volont� di
>> studiarseli e non di leggiucchiare qua e l�.
>>
>
>
> Ma certo Enrico. E' ovvio che leggo, ripasso, poi dimentico, poi cerco
> di approfondire(in questi giorni ho preso anche la famosa influenza).
>
Io no so cosa fai di mestiere, ma io queste cose le ho studiate vent'anni fa
(tra l'altro non alla facolt� di matematica) e non mi ricordo pi� molto. Non
so neppure quanti anni hai, ma dopo i quaranta le cose che non ti servono le
butti in cantina a favore della quotidianit�...
Peter11
"Arcobaleno" <arcobalen...@freemail.it> ha scritto nel messaggio
news:edcb2c96-8972-42e9...@p8g2000yqb.googlegroups.com...
> On 17 Nov, 12:57, "moebius" <m...@bi.us> wrote:
>> "Arcobaleno" <arcobalenocolor...@freemail.it> ha scritto
>>
> Scusa, ma perch� io sarei da ricovero?
Potrei spiegartelo io (non perch� sei da ricovero, ma perch� l'ha scritto),
ma andrai abbondantemente fuori tema...
Elio Fabri
> Dopo l'ennesimo filone pseudopolitico lanciato dall'OP con ciance che
> nemmeno politici (che preferisco non nominare) nei giorni migliori
> sarebbero capaci di concepire, viene qui a renderci eruditi del fatto,
>
> Permetterai un po' di ombrosità? O avrei forse dovuto spiegargli fatti
> che parecchi libri spiegano benissimo, basterebbe avere la volontà di
> studiarseli e non di leggiucchiare qua e là.
Secondo me la reazione giusta sarebbe metterlo nel kill file (cosa che
io ho fatto da un pezzo).
Sarebbe un bel guadagno per tutto il NG.
--
Elio Fabri
Arcobaleno
> "Arcobaleno" <arcobalenocolor...@freemail.it> ha scritto nel messaggionews:f38d6d8f-5d6e-4c85...@p8g2000yqb.googlegroups.com...> On 17 Nov, 21:52, Enrico Gregorio <grego...@math.unipd.it> wrote:
>
> >> Permetterai un po' di ombrosità? O avrei forse dovuto spiegargli fatti
> >> che parecchi libri spiegano benissimo, basterebbe avere la volontà di
> >> studiarseli e non di leggiucchiare qua e là.
>
> > Ma certo Enrico. E' ovvio che leggo, ripasso, poi dimentico, poi cerco
> > di approfondire(in questi giorni ho preso anche la famosa influenza).
>
> Io no so cosa fai di mestiere, ma io queste cose le ho studiate vent'anni fa
>
E' vero, hai ragione. Queste cose che uno magari ha studiato in un
corso di laurea poi dopo anni le dimentica. Però in questo thread
molti si sono impegnati per spiegare quei concetti. Quei concetti a
mio parere sono interessanti a prescindere dalle applicazioni.
Forse perché io vedo ancora una volta presente il tema dell'infinito
in matematica che tanto mi attira.
Quello che più mi attira della matematica è il tema dell'infinito, e
solo dopo le applicazioni per la fisica matematica e la fisica
teorica.
A te quale temi attirano in particolare se posso permettermi di
chiederlo?
Ciao:)
A.
Arcobaleno
>
>
> > Scusa, ma perché io sarei da ricovero?
>
> Potrei spiegartelo io (non perché sei da ricovero, ma perché l'ha scritto),
> ma andrai abbondantemente fuori tema...
>
>
E allora usiamo il ng di psicologia:) Così proviamo a capire la
tematica tra genio e follia. Io non penso di essere un genio e quindi
non penso di dover essere ricoverato:))
Ti interessano le neuroscienze? La psichiatria? La cognitive science?
Ciao
A.
p.s. ne possiamo parlare sui ng adatti.
Arcobaleno
Certo che quando Gesù parlava di zizzania aveva i suoi buoni motivi:)
Ma perché devi mettere zizzania visto che tutti hanno parlato con me
ed io con loro?
Enrico è intervenuto, in passato abbiamo avuto dei battibecchi
piuttosto animati. Eppure lui ha mostrato disponibilità, io l'ho
ricambiato, riaffermando la mia stima verso lui in quanto matematico
(stima che non è mai venuta meno) e piano piano ci avvieremo ad un
dialogo su temi di matematica, e lui ovviamente sarà sempre molto più
in alto di me: è un bravissimo professore ed io ho tutto da imparare.
Ora, io mi chiedo......
Ma dove e quando io e te abbiamo avuto uno scontro verbale? Cosa ti ho
mai detto?
Tu un giorno di circa due anni fa, dicesti: ti metto nel kill file. E
non davi alcuna spiegazione.
Io risposi: sono ONORATO di stare nel tuo kill file.
Visto che inviti gli altri a fare la stessa cosa, vuoi spiegare il
motivo? Oppure devono accettare questa tua decisione senza una
spiegazione?
Sarebbe bello da parte tua MOTIVARE il perché gli altri dovrebbero
mettermi nel kill file e quindi evitare di dialogare con me: ognuno
poi dialoga a modo suo con me e non è questo il problema.
Non te lo chiedo per me: tanto io ti stimo come scienziato, leggo i
tuoi preziosi contributi on line ecc.
Ma poi, ora che mi viene in mente. Io chiesi la differenza tra RG
spiegata con la matematica più recente e quella spiegata ai tempi di
Einstein.
Tu fosti l'unico a soddisfare la mia richiesta, e dicesti che la
svolta per te fu Gravitation e che la RG si capiva meglio con la
matematica più recente.
Io davvero casco dalle nuvole. Se Enrico per es. si rivolge verso di
me in un certo modo, io so di quale passato stiamo parlando e posso
intuire subito i motivi di certo tipo di toni nelle risposte.
Ma io e te quando abbiamo avuto un dissenso?
Insomma tu mi hai dato tanto, ed hai dato tanto a TUTTI i
partecipanti, sei stato una luce, una guida per moltissimi. Ti sei
GUADAGNATO una stima sul campo. Altro che divulgazione scientifica da
quattro soldi. Tu hai spiegato la fisica a tanti studenti ed
appassionati giorno dopo giorno, mese dopo mese, anno dopo anno.
Questo è un dato di fatto. Io ti sarò sempre riconoscente.
Forse non ti piace il mio modo di dire, il mio modo di porre i
problemi ecc ecc.
Ma per te, che ne hai di esperienza da ng, può essere anche un modo
per farti quattro risate. Come quando alcuni invece di scrivere
accelerazione, scrivevano acceLLerazione:)))
Se non vuoi dare spiegazioni a me, penso che tu però sia obbligato a
spiegare agli altri perché dovrebbero evitare di dialogare con me.
Se non fornisci una spiegazione, una argomentazione, allora significa
che tu vuoi usare la tua outorevolezza per mettere ZIZZANIA.
Non è mio il problema ma è tra te e GLI ALTRI che dialogano con me.
A loro devi una spiegazione e non a me.
Saluti
A.
Arcobaleno
>
Ciao Manu,
prima di tutto scusami per eventuali distrazioni in quanto andrò a
dire, per provare a vedere se ho capito: la febbre è calata da poco:)
Arcobaleno ha scritto:
>
> > Se prendo per es la famiglia di sottoinsiemi tale che( 16/ 2 + n , 1/
> > n )
> > n appartiene ai Naturali. Con questa classe di insiemi riesco a
> > ricoprire l'intervallo (0, 4). Ma per farlo ho bisogno di un numero
> > INFINITO di insiemi. Questo perché il numero 0 potrà appartenere alla
> > classe dei sottoinsiemi solo se mi spingo ad un numero infinito.
>
> Ma non è necessario ricoprire lo 0, che infatti non viene coperto da
> nessuno dei tuoi insiemi.
>
Ed è proprio per questo che chiedevo chiarimenti ad Enrico su cosa si
deve intendere per ricoprimento. Perché per me è questo il punto
nodale. Infatti ho posto questo esempio non a caso.
>>
> > Ovvero devo far tendere n all'infnito per ottenere 0 e quindi
> > ricoprire l'intervallo.
>
> No, non devi far *tendere* n all'infinito, ma devi proprio prendere
> infiniti (infinito attuale) intervalli, tutti insieme.
>
EUREKA!!
Quindi avevo capito bene che c'era qualcosa che non mi convinceva.
Quindi io non devo assolutamente pensare al concetto di limite. Devo
pensare all'infinito attuale e stop.
>>
> > In pratica io posso ricoprire l'intervallo a patto di far tendere n ad
> > infinito.
>
> Direi che il concetto di limite non entra in questo ragionamento. n
> varia su tutto l'insieme dei naturali quindi stai effettivamente
> considerando una unione infinita.
>
>
Quindi prima di tutto devo usare il concetto di infinito in ATTO, come
dici tu, una unione composta da infiniti sottoinsiemi. E devo
abbandonare il concetto di limite.
Ora provo a spiegare(spero di riuscirci) dove è che io trovo un
blocco.
Devo pensare in termini di infinito attuale e questo per me è già più
problematico, visto che ho sempre usato il concetto di infinito
potenziale in matematica(limite ecc).
L'intervallo da ricoprire è aperto.
Uno dei possibili ricoprimenti è dato da quella famiglia composta da
INFINITI(in atto ) sottoinsiemi che uniti tra loro danno il
ricoprimento.
Lo 0 viene ovviamente lasciato fuori, anche perché si tratta di un
insieme aperto e la frontiera non appartiene all'intervallo aperto che
vogliamo ricoprire con gli elementi di quella famiglia(classe).
Ora però se io penso in termini di infinito in ATTO devo pensare che 1/
n con n UGUALE ad infinito(visto che non deve tendere) mi darà proprio
0.
Quindi 0 in questo caso appartiene.
Però se continuo ad usare l'infinito potenziale, il concetto di
limite, non è che le cose vadano tanto meglio.
Questo perché al tendere di n ad infinito, io avrò che 1/n tende a 0 e
non lo raggiungerò mai.
Ora qui io posso dire di aver ricoperto l'insieme aperto lasciando 0
fuori, come punto di frontiera.
Però per poterlo fare ho bisogno di INFINITI(nel senso di infinito
potenziale) elementi di quella famiglia(classe) che attueranno il
ricoprimento e non copriranno lo 0, cioè la frontiera: l'insieme è
aperto.
Quindi che tipo di infinito devo pensare?
Forse la cosa migliore sarebbe quella di pensare al ricoprimento come
essere formato da infiniti IN ATTO elementi della classe, ma questo
giusto per non farsi trarre in inganno. E poi però allo stesso tempo
continuare ad usare il concetto di infinito potenziale rispetto ad n
che tende ad infinito così da poter lasciare lo 0 fuori.
In pratica ancora una volta il dilemma è sull'infinito in atto e
quello potenziale. Qui però a me a prima vista sembra che vada meglio
l'infinito potenziale: rispetto all'esempio intendo dire.
Ciao
A.
Giovanni
> On 18 Nov, 20:48, Elio Fabri <elio.fa...@tiscali.it> wrote:
> Come quando alcuni invece di scrivere
> accelerazione, scrivevano acceLLerazione:)))
Ti riferisci forse a PIPITONE ?
(Ormai lontano 1998 o giu' di li')
.
Giovanni
Arcobaleno
Non ricordo chi sia:) Però Elio spesso si divertiva e ci scherzava
sopra.
Hai trovato interlocutori per i temi della logica matematica?
Io non me ne sto occupando. Un anno fa però ho visto alcuni libri come
quello di Palladino. Palladino cerca di fare un balzo oltre la crisi
dei fondamenti per demitizzarla.
Sinceramente non ho mai fatto una distinzione molto netta tra logica e
matematica. Invece la distinzione più netta la faccio tra logica e
filosofia della logica.
La filosofia della logica mi è più congeniale proprio perché si va
alle radici.
Ciao
A.
Arcobaleno
>
>
E' la prima volta che leggo una correzione ed integrazione così
lucida, perfetta e senza sbavature. E' talmente bella anche
estetiamente parlando, che non oso toccarla, anche perché mi mancano
molte energie fisiche e mentali per poterlo fare senza rovinare quello
che hai scritto.
Permettimi di isolare solo un punto. Un punto toccato da Manu per
sapere cosa ne pensi tu a riguardo.
>
> > Ma siamo sicuri che TUTTI i sottoinsiemi che sono in grado di
> > ricoprire l'intervallo (0, 4) siano in numero FINITO?
>
> La risposta è no e qui di seguito presentiamo un contro-esempio:
>
> > Se prendo per es la famiglia di sottoinsiemi tale che( 16/ 2 + n , 1/
> > n )
> > n appartiene ai Naturali. Con questa classe di insiemi riesco a
> > ricoprire l'intervallo (0, 4). Ma per farlo ho bisogno di un numero
> > INFINITO di insiemi. Questo perché il numero 0 potrà appartenere
>
> nel senso che ogni suo intorno potrà intersecarla, non nel senso che 0
> apparterrà direttamente
>
Qui ho sbagliato e solo in seguito mi sono accorto del mio errore
corretto da te. In effetti lo 0 non deve essere coperto. 1/n per n che
tende ad infinito(potenziale) rimane in questo modo frontiera che NON
appartiene all'insieme aperto.
Questo è chiarissimo per me.
Qui di seguito arriviamo al nodo per me centrale che mi ha spinto a
chiedere lumi a tutti voi.
>
> > Ma se io invece dell'intervallo (0, 4) aperto avessi l'intervallo [ 0,
> > 4] chiuso, ecco che quella classe di insiemi, quella famiglia di
> > insiemi non riuscirebbe più a ricoprire l'intervallo [0, 4]. Questo
> > perché ora 0 appartiene all'intervallo.
>
> Mentre non appartiene a nessun insieme della famiglia di sottoinsiemi
> considerata e quindi non appartiene alla loro unione.
>
Ora qui io intendevo dire quanto segue.
Nel far tendere 1/n a 0 facendo tendere n ad infinito (potenziale) io
riesco a ricoprire con una infinità di insiemi che appartengono alla
famiglia che ricopre tutto l'intervallo APERTO (0, 4).
Ora con lo stesso sistema di ricoprimento l'intervallo [0, 4] chiuso
non viene ricoperto. Questo perché io ho posto la infinità POTENZIALE.
Però posso decidermi anche per una infinità attuale. Ma come ho fatto
notare a Manu, in quel caso avrei che 1/n con n= infinito, è uguale a
0 e lo 0 apparterrebbe quindi alla famiglia che ricopre. Però in
realtà non sto più ottenendo un ricoprimento che mi permette di
lasciare fuori lo 0.
Quindi in realtà devo decidermi tra l'uso dell'infinito in atto e
l'uso dell'infinito potenziale.
Se uso l'infinito in atto, ecco che ricopro l'intervallo (0, 4)
compreso lo 0. A questo punto posso dire di aver ricoperto
l'intervallo e allo stesso tempo posso dire che la famiglia che
ricopre è composta da infiniti elementi(infinito in atto).
Allo stesso modo posso parlare dell'intervallo [0, 4], dove lo stesso
sistema di ricoprimento mi porta ad ottenere anche 0 come punto di
frontiera che appartiene all'intervallo chiuso. Però devo pensare
appunto all'infinito IN ATTO.
E' questo che mi ha ingannato, cioè l'uso dell'infinito in atto,
mentre io pensavo all'infinito potenziale.
In pratica io ottengo un ricoprimento di (0, 4) e mi rendo conto che è
infinito e quindi l'insieme NON è compatto.
Poi posso ottenere un ricoprimento dell'intervallo [0, 4] con lo
stesso sistema di ricoprimento usato prima, che è però sempre una
famiglia che ricopre con una infinità anche se attuale.
Ora, in che modo io posso usare quel sistema di ricoprimento per far
notare che non deve essere necessariamente una famiglia(classe)
composta da infiniti elementi?
Questo punto non mi è chiaro dai libri che ho avuto fino ad oggi sotto
mano.
E' su questo punto che ho bisogno di un chiarimento forte e limpido.
Solo dopo riuscirò ad affrontare il resto dei problemi che verranno di
conseguenza.
Per me è un po' come porre le premesse, i postulati per poi poter
continuare. Se non comprendo questo aspetto in profodità sarò sempre
limitato: e non mi va di imparare a memoria:)
Grazie!!
A.
Giovanni
> Ora però se io penso in termini di infinito in ATTO devo pensare che > 1/n con n UGUALE ad infinito(visto che non deve tendere) mi darà
> proprio 0.
> Quindi 0 in questo caso appartiene.
n varia sui numeri naturali.
E nessun numero naturale e' infinito.
Quindi come denominatore di 1/n avrai sempre numeri finiti.
Che che il denominatore tu lo prenda da una successione di numeri
naturali o che tu lo peschi dall'insieme infinito IN ATTO di tutti i
numeri, non cambia: n = infinito non lo avrai mai.
.
Giovanni
Arcobaleno
Anche questo è un problema. Però come avrai avuto modo di leggere, sia
Manu che Tetis rinunciano all'infinito potenziale per usare quello in
atto, ed in tal modo(così mi sembra di aver capito) ecco che con quel
sistema di ricoprimento che ho posto come esempio, ricopre anche
l'intervallo chiuso [0, 4]. Cioè in questo modo posso ottenere anche
0, lo posso ricoprire. E questo è importante perché 0 appartiene
all'intervallo.
Però tu fai notare che in pratica anche se penso all'infinito in atto
io non posso avere lo 0. Ma a questo punto quale sarebbe la differenza
tra infinito in atto e l'infinito potenziale?
Se penso al futuro del cosmo io posso pensare di avere un infinito
potenziale, che mai si realizzerà come in atto. Se invece penso alla
retta nello spazio infinito la posso anche pensare come infinito in
atto e questo non mi conduce a problemi.
Questo tipo di ragionamento a me serve semplicemente per fare due
esempi di infinito potenziale ed infinito in atto.
Mi sembra, ma posso sbagliare, che come hai posto tu la questione
(parlo in termini generali e non in riferimento alla compattezza: che
ancora devo capire in profondità) la differenza tra infinito in atto e
potenziale venga meno.
Spiegamo se puoi per favore.
Ciao
A.
Giovanni
> On 19 Nov, 13:03, Giovanni <stlam...@alice.it> wrote:
>
> > On 19 Nov, 09:48, Arcobaleno <arcobalenocolor...@freemail.it> wrote:
>
> > > Ora però se io penso in termini di infinito in ATTO devo pensare che > 1/n con n UGUALE ad infinito(visto che non deve tendere) mi darà
> > > proprio 0.
> > > Quindi 0 in questo caso appartiene.
>
> > n varia sui numeri naturali.
> > E nessun numero naturale e' infinito.
> > Quindi come denominatore di 1/n avrai sempre numeri finiti.
> > Che che il denominatore tu lo prenda da una successione di numeri
> > naturali o che tu lo peschi dall'insieme infinito IN ATTO di tutti i
> > numeri, non cambia: n = infinito non lo avrai mai.
> Anche questo è un problema. Però come avrai avuto modo di leggere, sia
> Manu che Tetis rinunciano all'infinito potenziale per usare quello in
> atto, ed in tal modo(così mi sembra di aver capito) ecco che con quel
> sistema di ricoprimento che ho posto come esempio,
ossia (16 / 2 + n , 1 / n) per n di N
Io non vedo traccia di infinito potenziale.
Io vedo una famiglia di insiemi dati TUTTI istantaneamente, uno per
ogni numero naturale.
> ricopre anche
> l'intervallo chiuso [0, 4].
Ma nessun insieme della famiglia contiene lo zero !
Ricopre (0, 4] e non [0 , 4]
> Cioè in questo modo posso ottenere anche
> 0, lo posso ricoprire. E questo è importante perché 0 appartiene
> all'intervallo.
>
> Però tu fai notare che in pratica anche se penso all'infinito in atto
> io non posso avere lo 0. Ma a questo punto quale sarebbe la differenza
> tra infinito in atto e l'infinito potenziale?
L'infinito potenziale e' quello dei limiti, ma nel nostro caso non
serve parlare di limiti.
> Se penso al futuro del cosmo io posso pensare di avere un infinito
> potenziale, che mai si realizzerà come in atto.
Il cosmo potrebbe essere anche infinito in atto.
> Se invece penso alla
> retta nello spazio infinito la posso anche pensare come infinito in
> atto e questo non mi conduce a problemi.
>
> Questo tipo di ragionamento a me serve semplicemente per fare due
> esempi di infinito potenziale ed infinito in atto.
>
> Mi sembra, ma posso sbagliare, che come hai posto tu la questione
> (parlo in termini generali e non in riferimento alla compattezza: che
> ancora devo capire in profondità) la differenza tra infinito in atto e
> potenziale venga meno.
Non capisco in che senso venga meno la differenza.
.
Giovanni
P.S.
Dai un occhiata qui: http://www.arrigoamadori.com/lezioni/StruttureMatematiche/SpaziTopologici/CompattConnSpaTop.htm
E' descritto tutto in modo molto chiaro e intuitivo, con illustrazioni
e esempi.
Per una introduzione alla topologia da zero:
http://www.arrigoamadori.com/lezioni/StruttureMatematiche/SpaziTopologici/SpaziTopologici.htm
Guarda altri argomenti che ti possono interessare:
http://www.arrigoamadori.com/lezioni/StruttureMatematiche/StruttureMatematiche.htm
.
Giovanni
Tetis
> On 17 Nov, 16:35, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
> > > Ma se io invece dell'intervallo (0, 4) aperto avessi l'intervallo [ 0,
> > > 4] chiuso, ecco che quella classe di insiemi, quella famiglia di
> > > insiemi non riuscirebbe più a ricoprire l'intervallo [0, 4]. Questo
> > > perché ora 0 appartiene all'intervallo.
>
> > Mentre non appartiene a nessun insieme della famiglia di sottoinsiemi
> > considerata e quindi non appartiene alla loro unione.
>
> Ora qui io intendevo dire quanto segue.
>
> Nel far tendere 1/n a 0 facendo tendere n ad infinito (potenziale) io
> riesco a ricoprire con una infinità di insiemi che appartengono alla
> famiglia che ricopre tutto l'intervallo APERTO (0, 4).
La definizione dell'unione di una famiglia infinita di insiemi
prescinde dalle considerazioni relative all'infinito attuale come
elemento numerico. Basta meditare su come è definita l'unione F = U_x
{A(x)} x è un elemento di un insieme, di indici questo insieme può
essere finito, infinito numerabile, infinito con potenza del continuo,
non ha nessuna importanza, la definizione è sempre la seguente:
"diciamo che un elemento z è in F se esiste x tale che z è in A(x)."
In subordine trovi poi questioni di decidibilità. Nel caso numerabile
la questione dell'appartenza di un elemento ad F si deve risolvere in
un tempo finito perchè gli indici sono numeri naturali ed i numeri
naturali, pur essendo infiniti non contengono l'elemento infinito,
quindi assegnato un elemento z abbiamo per definizione che se z è in F
allora esiste un numero naturale x in modo che z è in A(x), quindi se
un elemento è in F lo si stabilisce in un tempo finito. La questione
della non appartenza del resto può essere decisa solo in virtù di un
ragionamento. Perchè 0 appartenga all'unione occorrerebbe trovare un
numero naturale M in modo che (1/M,8+M) contenga 0. Se questo numero
esistesse dovrebbe risultare 1/M < 0. Per nessun naturale ciò è
possibile.
Aggiungo adesso un'ulteriore osservazione. Se in luogo dei numeri
naturali avessimo preso in considerazione un'estensione non - standard
dei medesimi, includendo fra gli elementi numerici l'infinito attuale
tutt'al più avremmo potuto considerare una qualche formalizzazione
nella quale 1/M = 0 ed anche in tal caso 0 non risulta appartenere
all'unione degli insiemi, infatti avremmo potuto includere, in virtù
dell'aggiunta di questo elemento non standard, un intervallo aperto
dell'unione, che contiene tutti gli altri: (1/oo,oo) = (0,oo). Va
precisato che nemmeno questo è generalmente esatto, infatti in molte
costruzioni logiche coerenti all'interno dell'analisi non standard,
non è corretto porre
1/oo = 0. Risulterà sempre 0 < 1/oo.
Nell'ordinaria topologia della retta reale, tuttavia non c'è spazio
per infinitesimi attuali e la topologia ordinaria non distingue 0 da 1/
oo. Ad esempio nel processo di costruzione della retta reale come
completamento di PZ^1 trova naturalmente luogo un elemento non
standard (1,0) che gioca la funzione di infinito ed anche il suo
inverso (0,1).
Tuttavia se vogliamo avere gli infiniti con segno dobbiamo
considerare non le coppie di interi equivalenti a meno di
moltiplicazione per un intero, ma le coppie di interi equivalenti a
meno di moltiplicazione per un naturale non nullo secondo una
relazione di equivalenza che illustrerò di seguito:
In tal caso è possibile considerare un'estensione non standard degli
interi definendo gli interi non standard come quelle coppie (m,n) (con
m ed n in Z non entrambi nulli) tali che m/n esiste in Z ovvero n è
zero. Abbiamo anche la seguente relazione d'ordine (che definisce
anche l'equivalenza)
(m,n) <= (m',n') sse delle tre l'una:
nn' diverso da zero e segno(nn') (mn'-m'n) <= 0.
n = 0 ed m < 0, (e vale il segno di uguale se n'=0 ed m'<0)
n' = 0 ed m' > 0.(e vale il segno di uguale se n = 0 ed m >0)
Il completamento di Cauchy di questo insieme diretto (che possiamo
pensare come un ampliamento dei razionali) rappresenta la cosiddetta
retta reale ampliata. Questa costruzione ha diversi difetti sul piano
algebrico per esempio gli elementi inversi dei numeri infiniti si
annullano e quindi l'operatore di costruzione dell'elemento inverso
non è involutivo non è possibile considerare la somma di un elemento
con (m,n), la somma di +oo e di -oo non ha significato, quindi i
razionali ampliati in questo modo non formano un gruppo additivo. Per
ovviare a questi difetti sono state inventate le estensioni non
standard basate sugli ultrafiltri.
> Ora con lo stesso sistema di ricoprimento l'intervallo [0, 4] chiuso
> non viene ricoperto. Questo perché io ho posto la infinità POTENZIALE.
>
> Però posso decidermi anche per una infinità attuale. Ma come ho fatto
> notare a Manu, in quel caso avrei che 1/n con n= infinito, è uguale a
> 0 e lo 0 apparterrebbe quindi alla famiglia che ricopre. Però in
> realtà non sto più ottenendo un ricoprimento che mi permette di
> lasciare fuori lo 0.
Riepilogando, se decidi di includere l'infinito attuale nel campo
degli indici puoi avere un problema solo se consideri l'unione di
insiemi chiusi, ma questo non comporta alcun problema rispetto al
carattere compatto degli intervalli chiusi, infatti anche in questo
caso non puoi ottenere un ricoprimento di aperti non raffinabile a
ricoprimento finito per un intervallo.
> Quindi in realtà devo decidermi tra l'uso dell'infinito in atto e
> l'uso dell'infinito potenziale.
>
> Se uso l'infinito in atto, ecco che ricopro l'intervallo (0, 4)
> compreso lo 0.
ripeto: ricopri l'intervallo solo se usi intervalli chiusi [1/n,4-1/n]
ad esempio. Ma ogni ricoprimento di aperti per [0,4] contiene un
ricoprimento finito.
A questo punto posso dire di aver ricoperto
> l'intervallo e allo stesso tempo posso dire che la famiglia che
> ricopre è composta da infiniti elementi(infinito in atto).
>
> Allo stesso modo posso parlare dell'intervallo [0, 4], dove lo stesso
> sistema di ricoprimento mi porta ad ottenere anche 0 come punto di
> frontiera che appartiene all'intervallo chiuso. Però devo pensare
> appunto all'infinito IN ATTO.
>
> E' questo che mi ha ingannato, cioè l'uso dell'infinito in atto,
> mentre io pensavo all'infinito potenziale.
>
> In pratica io ottengo un ricoprimento di (0, 4) e mi rendo conto che è
> infinito e quindi l'insieme NON è compatto.
Ripeto: il problema per la compattezza non è che esista un
ricoprimento infinito, quanto invece se questo non contiene alcun
ricoprimento finito di aperti. E' immediatamente evidente che
l'aggiunta di un indice infinito alla fine di tutti gli altri indici
non è un problema perchè l'ordine degli indici della copertura non
gioca alcun ruolo nella dimostrazione di compattezza dei sottoinsiemi
chiusi e limitati di R. Può solo essere un problema rispetto alla
definizione di limitatezza di insiemi nell'estensione di R se non si
aggiunge la clausola che i limiti siano finiti. Anche dal punto di
vista della compattezza sequenziale l'aggiunta di un elemento infinito
in atto può comportare una difficoltà solamente in relazione alla
costruzione di sequenze di Cauchy prive di limite nello spazio
considerato, non certamente in relazione alla possibilità di estrarre
una sequenza in corrispondenza con un sottoinsieme non limitato.
> Poi posso ottenere un ricoprimento dell'intervallo [0, 4] con lo
> stesso sistema di ricoprimento usato prima, che è però sempre una
> famiglia che ricopre con una infinità anche se attuale.
>
> Ora, in che modo io posso usare quel sistema di ricoprimento per far
> notare che non deve essere necessariamente una famiglia(classe)
> composta da infiniti elementi?
Anzitutto cominciando a persuaderti che non è un ricoprimento infinito
di aperti di [0,4], quindi, una volta che riconosci che gli estrimi
devi coprirli con aperti ulteriori, non ti risulterà intuitivo che non
puoi affatto costruire un ricoprimento infinito privo di
sottoricoprimenti finiti, ma per lo meno avrai riconosciuto che
l'infinito attuale non comporta la possibilità di costruire un
semplice controesempio al teoremo che ogni insieme chiuso e limitato
di R ammette per ogni ricoprimento di aperti un sottoricoprimento
finito.
Poi ripercorrendo da un testo qualsiasi i passi che conducono alla
individuazione di un sottoricoprimento finito dal ricoprimento di un
insieme sequenzialmente compatto per esempio cerca di capire in che
modo la considerazione di un infinito attuale potrebbe produrre
interferenze con la dimostrazione accorgendoti che nessuna di queste
interferenze è uno scoglio insormontabile.
?manu*
> Anche questo � un problema. Per� come avrai avuto modo di leggere, sia
> Manu che Tetis rinunciano all'infinito potenziale per usare quello in
> sistema di ricoprimento che ho posto come esempio, ricopre anche
> 0, lo posso ricoprire. E questo � importante perch� 0 appartiene
> all'intervallo.
No, � come dice Giovanni. l'indice n varia tra tutti i naturali, e
quindi l'unione � infinita. Ma n � sempre un numero naturale (e quindi
finito).
E.
Arcobaleno
>
>
> ossia (16 / 2 + n , 1 / n) per n di N
>
> Io non vedo traccia di infinito potenziale.
> Io vedo una famiglia di insiemi dati TUTTI istantaneamente, uno per
> ogni numero naturale.
>
>
Questo come sempre è un argomento(mi riferisco in che termini dobbiamo
pensare al concetto di infinito) molto bello, stimolante. Io
preferisco trattarlo in modo molto generale.
Rimanendo per un momento all'esempio, a me è più congeniale vedere
quell'infinito in termini potenziale. Perché? Perché così posso vedere
1/n che si approssima a 0 ma che non diverrà mai 0. E questo per es.
mi fa capire che lo 0 NON appartiene all'intervallo, che quindi è
aperto.
Ora leggendo quanto spiegava Tetis la faccenda (in relazione ai
ricoprimenti e alla compattezza) è più articolata e devo rifletterci
per bene.
Però hai notato al fatto che noi parliamo di infinito potenziale e
infinito in atto e lo vediamo in atto o potenziale a seconda di come
meglio ci risolve il problema?
>
> ricopre anche
> > l'intervallo chiuso [0, 4].
>
> Ma nessun insieme della famiglia contiene lo zero !
> Ricopre (0, 4] e non [0 , 4]
>
>
Infatti, prima io sbagliavo, perché provavo a usare l'infinito in atto
e commettevo l'erroraccio che hai corretto:))
>
> L'infinito potenziale e' quello dei limiti, ma nel nostro caso non
> serve parlare di limiti.
>
>
Questo in tutta onestà non te lo dire. Io vedo una matematica che usa
tanto il concetto di infinito potenziale quanto quello di infinito in
atto. Ormai noto una bella confusione nell'uso che se ne fa.
Spesso noto che parliamo di limite come di qualcosa che esiste ma
dimentichiamo che un conto è il limite altro è la f(x) che TENDE a
quel valore limite al tendere della x a infinito(è un esempio di
limite tra i varii).
Perfino questo può essere pensato come in atto a furia di pensare al
limite invece che ai valori che TENDONO.
>
> Se penso al futuro del cosmo io posso pensare di avere un infinito
> > potenziale, che mai si realizzerà come in atto.
>
> Il cosmo potrebbe essere anche infinito in atto.
>
Qui mi devi perdonare, ma non ho resistito, e l'occasione era troppo
ghiotta per non parlare in due righe di questo tema, almeno facendo un
esempio.
Io penso che il nostro modo di pensare all'infinito dipenda molto da
come immaginiamo il mondo che ci circonda.
Infatti anche io penso che il cosmo possa essere un infinito in atto,
pensarlo come tutto esistente infinito. Tutto di un colpo infinito.
Questo per es. a me da la possibilità di pensare ad una retta infinita
in atto. In questo modo mi è più congeniale pensare alla geometria
euclidea.
Un caso particolare mi accadde anni fa quando pensavo alle parallele.
Ora tu immagina per un atto queste due parallele infinite IN ATTO e al
fatto che però devi tenerle sempre alla stessa distanza, cioè che un
segmento che le interseca deve dare sempre 180 gradi da una parte e
dall'altra.
Appena 180 diventa 180 - eps, ecco che io devo andare a capire DOVE le
due parallele si toccano. cioè a che distanza. Ma se ho pensato al
fatto che questa distanza è infinita, come faccio a capire?
E' un bel problema almeno per me. Se le penso in atto, come faccio a
capire dove si incrociano? Penso che ci sia un punto molto distante
dove si incrociano. Ma basta davvero un INFINITESIMO un epsilon per
influire su distanze così forti.
Quindi i greci non avevano tutti i torti a vedere nel quinto postulato
qualcosa di poco chiaro, poco intuitivo.
>
> Non capisco in che senso venga meno la differenza.
>
Forse mi sono sbagliato e non ho capito bene cosa volevi intendere.
Spesso l'infinito potenziale è tale perché è qualcosa che non si
realizzerà mai. Se io penso ad oggi come punto di partenza e al futuro
infinito, ecco che questo tempo nella sua totalità non sarà mai
infinito, anche se andrà sempre ad aumentare. Quindi tende ad essere
infinito ma non sarà mai infinito. Quindi lo penso come potenziale,
come avente la possibilità di aggiungere giorni su giorni, secoli su
secoli ma non realizzerà mai il suo essere infinito.
Quindi l'infinito potenziale è un qualcosa che tende, che procede ma
che non si realizzerà mai come infinito.
Questa per es. per me è una buona differenza.
Se invece penso al passato ecco che sono costretto ad un regresso, ad
ammettere una causa precedente ecc ecc. Quindi avrò dal passato un
tempo passato infinito. Ma siccome l'infinito mi giunge dal passato,
ecco che questo infinito si è già realizzato ed allora lo penso come
infinito in atto, cioè già tutto dato.
Tempo fa, e concludo(è un tema infinito questo:)) elaborai un
approccio sistematico a questa tematica anche con esempi matematici.
Ora però dovrei rielaborarla. Un mio pregio difetto è che elaboro e
poi dimentico per poter rielaborare, andare oltre ecc, senza rimanere
ancorato oltre misura ad una elaborazione precedente.
Ora provo a concentrarmi sui temi proposti da Tetis. Voglio cercare di
capire meglio questa compattezza, e voi tre mi avete fatto venire un
bel po' di dubbi:))
In particolare non ho capito perché devo pensare all'infinito in atto
in quell'ambito. Ma ci devo riflettere con calma.
Ciao e grazie per i link molto belli
A.
Giovanni
> On 19 Nov, 15:50, Giovanni <stlam...@alice.it> wrote:
>
>
>
> > ossia (16 / 2 + n , 1 / n) per n di N
>
> > Io non vedo traccia di infinito potenziale.
> > Io vedo una famiglia di insiemi dati TUTTI istantaneamente, uno per
> > ogni numero naturale.
>
> Questo come sempre è un argomento(mi riferisco in che termini dobbiamo
> pensare al concetto di infinito) molto bello, stimolante. Io
> preferisco trattarlo in modo molto generale.
>
> Rimanendo per un momento all'esempio, a me è più congeniale vedere
> quell'infinito in termini potenziale. Perché? Perché così posso vedere
> 1/n che si approssima a 0 ma che non diverrà mai 0. E questo per es.
> mi fa capire che lo 0 NON appartiene all'intervallo, che quindi è
> aperto.
Ci sono situazioni in cui si usa esplicitamente il simbolo di limite.
In tali casi e' giusto immaginarsi un "processo di avvicinamento".
Ma nel nostro caso nulla spinge in tale direzione.
Si parla di un insieme che contiene degli intervalli di un certo tipo:
non mi da' la sensazione di un "approssimarsi", di un "movimento".
> Ora leggendo quanto spiegava Tetis la faccenda (in relazione ai
> ricoprimenti e alla compattezza) è più articolata e devo rifletterci
> per bene.
>
> Però hai notato al fatto che noi parliamo di infinito potenziale e
> infinito in atto e lo vediamo in atto o potenziale a seconda di come
> meglio ci risolve il problema?
Sostanzialmente si ha l'infinito potenziale quando si ha a che fare
con dei limiti e infinito in atto quando si parla di certi insiemi.
>
> > ricopre anche
> > > l'intervallo chiuso [0, 4].
>
> > Ma nessun insieme della famiglia contiene lo zero !
> > Ricopre (0, 4] e non [0 , 4]
>
> Infatti, prima io sbagliavo, perché provavo a usare l'infinito in atto
> e commettevo l'erroraccio che hai corretto:))
>
>
>
> > L'infinito potenziale e' quello dei limiti, ma nel nostro caso non
> > serve parlare di limiti.
>
> Questo in tutta onestà non te lo dire. Io vedo una matematica che usa
> tanto il concetto di infinito potenziale quanto quello di infinito in
> atto. Ormai noto una bella confusione nell'uso che se ne fa.
Fammi qualche esempio.
> Spesso noto che parliamo di limite come di qualcosa che esiste ma
> dimentichiamo che un conto è il limite altro è la f(x) che TENDE a
> quel valore limite al tendere della x a infinito(è un esempio di
> limite tra i varii).
>
> Perfino questo può essere pensato come in atto a furia di pensare al
> limite invece che ai valori che TENDONO.
Socratis, per es., ha una cronica assoluta incapacita' di distinguere
le due cose :-)
> > Se penso al futuro del cosmo io posso pensare di avere un infinito
>
> > > potenziale, che mai si realizzerà come in atto.
Nella concezione dello spazio-tempo tutti gli istanti di tempo
esistono contemporaneamente (passato, presente, futuro)
>
> > Il cosmo potrebbe essere anche infinito in atto.
>
> Qui mi devi perdonare, ma non ho resistito, e l'occasione era troppo
> ghiotta per non parlare in due righe di questo tema, almeno facendo un
> esempio.
>
> Io penso che il nostro modo di pensare all'infinito dipenda molto da
> come immaginiamo il mondo che ci circonda.
>
> Infatti anche io penso che il cosmo possa essere un infinito in atto,
> pensarlo come tutto esistente infinito. Tutto di un colpo infinito.
>
> Questo per es. a me da la possibilità di pensare ad una retta infinita
> in atto. In questo modo mi è più congeniale pensare alla geometria
> euclidea.
> Un caso particolare mi accadde anni fa quando pensavo alle parallele.
> Ora tu immagina per un atto queste due parallele infinite IN ATTO e al
> fatto che però devi tenerle sempre alla stessa distanza, cioè che un
> segmento che le interseca deve dare sempre 180 gradi da una parte e
> dall'altra.
> Appena 180 diventa 180 - eps, ecco che io devo andare a capire DOVE le
> due parallele si toccano. cioè a che distanza. Ma se ho pensato al
> fatto che questa distanza è infinita, come faccio a capire?
Qualunque sia eps > 0, si toccheranno sempre ad una distanza FINITA.
Nella geometria proiettiva, due rette parallele si toccano
all'infinito, per assioma.
Ma e' un altro discorso.
> E' un bel problema almeno per me. Se le penso in atto, come faccio a
> capire dove si incrociano? Penso che ci sia un punto molto distante
> dove si incrociano. Ma basta davvero un INFINITESIMO un epsilon per
> influire su distanze così forti.
>
> Quindi i greci non avevano tutti i torti a vedere nel quinto postulato
> qualcosa di poco chiaro, poco intuitivo
>
>
Mah, io all'infinito in atto ci penso in termini "finitissimi".
Prendi l'infinita' di N, l'insieme dei numeri naturali.
Io penso ad N non tanto come un oggetto infinito, ma semplicemente
come un insieme a cui non manca alcun numero.
Tu puoi pensare ad N con questa semplice caratteristica:
sia x un numero qualunque, allora x appartiene a N.
Oppure, di solito si dice questo:
x appartiene a N ? Allora anche x+1 appartiene a N.
Tutto qua.
Dove ci vedi l'infinito in questo ?
Il bello e' che puoi ricavare tutte le proprieta' di N e tutte le
conseguenze di esse postulando un fatto finitissimo: se x app N allora
x+1 app a N.
Cosi' anche per il fatto dei ricoprimenti di prima.
A me non me ne frega niente di infinito o non infinito, di infinito
potenziale o in atto:
so solo che per ogni n resta definito un intervallo, PUNTO.
Quando vado a ricavarne le conseguenze, se copre o non copre, ecc...
non mi serve pensare all'infinito e simili !
Prendi un libro di matematica che parla di infinito numerabile, di non
numerabile, di trasfinito, di potenze di insiemi infiniti, di raccolte
infinite di insieme infiniti, ecc...
Eppure e' fatto di un preciso numero finito di pagine, le parole e i
simboli che usa per parlare di infinito sono finitissime.
Per parlare di infinito, per pensare all'infinito, usi parole,
pensieri, ragionamenti FINITI.
E' come quando pensi ad una montagna: mica hai una montagna nella
testa !
Cosi' quando pensi all'infinito non c'e' bisogno di avere una testa
infinita.
.
Giovanni
Arcobaleno
>
Ti ringrazio sinceramente per quest'altra bella spiegazione.
Ora provo a commentare per vedere se ho capito. Non ho altra scelta
che andare punto su punto e vedere se ho inteso bene e riflettere su
quello che hai spiegato magari chiedendo ulteriori chiarimenti.
>
> La definizione dell'unione di una famiglia infinita di insiemi
> prescinde dalle considerazioni relative all'infinito attuale come
> elemento numerico.
>
Qui mi sembra di capire che non importa come penso l'infinito perché
la definizione di unione di una famiglia di insiemi ne prescinde.
Scusa se ripeto e chiedo conferma, ma solo così posso eliminare i miei
dubbi.
>
> Nell'ordinaria topologia della retta reale, tuttavia non c'è spazio
> per infinitesimi attuali e la topologia ordinaria non distingue 0 da 1/
> oo.
>
Di questo ne parlai settimane fa quando dicevo che la retta non è
composta da infiniti punti in senso di infinito in atto ma da infiniti
punti in senso di infinità potenziale. Era un discorso molto complesso
per me. Ed un argomento che mi aiutava era proprio quello di far
notare come un segmento di retta non potrà mai contenere una infinità
di segmentini piccoli a piacere se non in modo potenziale.
>
> Riepilogando, se decidi di includere l'infinito attuale nel campo
> degli indici puoi avere un problema solo se consideri l'unione di
> insiemi chiusi, ma questo non comporta alcun problema rispetto al
> carattere compatto degli intervalli chiusi, infatti anche in questo
> caso non puoi ottenere un ricoprimento di aperti non raffinabile a
> ricoprimento finito per un intervallo.
>
Chiarissimo!
>
> Ripeto: il problema per la compattezza non è che esista un
> ricoprimento infinito, quanto invece se questo non contiene alcun
> ricoprimento finito di aperti.
>
Vediamo se ho capito.
Noi possiamo ricoprire un intervallo con una famiglia di insiemi. Ora
questa famiglia può essere composta da una numero finito di elementi
(gli elementi della famiglia sono degli insiemi) oppure da un numero
infinito di elementi.
Nel caso degli insiemi chiusi e limitati su R OGNI tipo di
ricoprimento è finito, cioè ogni famiglia che ricopre l'intervallo
chiuso su R contiene un numero finito di elementi.
Nel caso di un insieme aperto invece(sempre su R) ho anche la
possibilità di poterlo ricoprire con una famiglia che contiene un
numero infinito di elementi. Questo tipo di ricoprimento è possibile
solo con un insieme aperto(mi riferisco sempre ad R).
Da qui ne discende la definizione secondo la quale la famiglia che
ricopre dovrà essere sempre composta da un numero finito di elementi e
solo così quell'insieme sarà compatto, altrimenti non lo sarà.
Quindi ritorna il discorso su Weierstrass e le utleriori astrazioni e
generalizzazioni.
Io ho un insieme chiuso e limitato e mi rendo conto che OGNI
ricoprimento di questo è una famiglia di insiemi, e che questa
famiglia ha un numero finito di elementi.
Nel caso di insieme aperto, ecco che ho la possibilità di avere anche
un ricoprimento che mi conduce a dover usare una famiglia composta da
infiniti elementi, infiniti insiemi che ricoprono.
In quest'ultimo caso però mi rendo conto che questo mi conduce alla
possibilità di potermi approssimare per es. a 0 tramite 1/n con n che
tende ad infinito. In questo modo il metodo, il sistema che ho usato
per ricoprire l'intervallo aperto, mi permette di lasciare fuori lo 0.
Infatti nel caso di un intervallo chiuso, quello non sarebbe un
ricoprimento perché lo 0 deve appartenere all'intervallo.
Allora ne viene tratta una considerazione generale. Ovvero un insieme
aperto avrà la possibilità di essere ricoperto da una famiglia di
insiemi composta di un numero infinito di elementi(gli elementi sono
gli insiemi). Se questa possibilità ce l'ho solo con gli insiemi
aperti e se ho deciso che questi devono essere NON compatti, ecco che
ho trovato il sistema per distinguere gli insiemi compatti da quelli
non compatti.
Ovvero vado a vedere OGNI tipo di ricoprimento e quando mi si presenta
un ricoprimento infinito di quel genere, allora ne deduco che sto
ricoprendo un insieme aperto e quindi questo non è compatto.
Su questo tema mi sono dilungato nell'altro thread dove ho portato
anche degli esempi.
In pratica a mio parere quella definizione di compattezza è un vero e
proprio metodo per distinguere tra un insieme chiuso e limitato ed un
insieme aperto. Poi ovviamente vi sono state ulteriori astrazioni e
generalizzazioni agli spazi normati per esempio. Però le radici mi
sembrano quelle.
Tu cosa ne pensi al riguardo?
>
> > Ora, in che modo io posso usare quel sistema di ricoprimento per far
> > notare che non deve essere necessariamente una famiglia(classe)
> > composta da infiniti elementi?
>
> Anzitutto cominciando a persuaderti che non è un ricoprimento infinito
> di aperti di [0,4], quindi, una volta che riconosci che gli estrimi
> devi coprirli con aperti ulteriori, non ti risulterà intuitivo che non
> puoi affatto costruire un ricoprimento infinito privo di
> sottoricoprimenti finiti,
>
(a, b) U (c, d).... Questo è un ricoprimento infinito , del tipo che
viene fuori da (1/n +2 , 1/ n ). La unione di questi ricopre (0, 1) e
sono ovviamente in numero infinito.
Però posso ricoprire (a, b) con due insiemi e basta. Ho fatto degli
esempi(purtroppo alcuni sbagliati: la febbre) che chiariscono questo
punto e mi farebbe piacere un tuo intervento anche in quel caso. Due
insiemi che si intersecano che superano le due frontiere a e b.
Questo per me è intuitivo. Oppure tu forse ti riferivi ad altro.
>
> Poi ripercorrendo da un testo qualsiasi i passi che conducono alla
> individuazione di un sottoricoprimento finito dal ricoprimento di un
> insieme sequenzialmente compatto per esempio cerca di capire in che
> modo la considerazione di un infinito attuale potrebbe produrre
> interferenze con la dimostrazione accorgendoti che nessuna di queste
> interferenze è uno scoglio insormontabile.
>
Devo confessarti che questo tema dell'infinito attuale mi disorienta
non poco. Faccio molta fatica a comprenderne a fondo l'utilità in
questo ambito. E anche tu mi sembra di aver capito, fai notare che
non è questo poi il problema principale, e cioè stare a vedere la
differenza tra inf potenziole e in atto.
Temo di averlo introdotto(il tema dell'infinito in atto) per chiarire
come mai un insieme CHIUSO e limitato potesse essere eventualmente
ricoperto anche da una famiglia di insiemi i cui elementi(gli insiemi)
sono in numero infinito.
Così facendo però non mi sono accorto di aver posto un problemino che
ha meritato i vostri chiarimenti ed approfondimenti.
Perdonami l'ulteriore domanda, anche se hai scritto tanto per
chiarire.
Ma devo usare il concetto di infinito in atto per poter capire la
compattezza o posso farne a meno?
Hai parlato di sottoricoprimenti finiti. Per es io voglio ricoprire
(4, 12)
E allora prendo (2, 6) U (5, 15). Ora questi due insiemi formano la
famiglia di insiemi che è composta da un numero finito(DUE) di elementi
(che sono degli insiemi).
Ora però posso ricoprire anche (2, 6) e nel farlo ho bisogno di una
ulteriore famiglia, che chiamerò sottofamiglia.
Questa sottofamiglia è la seguente (1, 3) U ( 2, 7) che ricopre UN
solo elemento della famiglia precedente.
Ora ricopro anche (5, 15) con ( 4, 9 ) U ( 8 , 16).
Quindi unendo entrambe le sottofamiglie ottengo (1, 3) U (2, 7) U
( 4 , 9 ) U ( 8, 16).
In pratica ho unito i due sottoricoprimenti e noto che continuano a
ricoprire (4, 12 ) e che sono in numero finito.
Però posso scegliere anche un ricoprimento diverso, e cioè ( 1 / n +
2 , 1 / n ).
Questo mi conduce ad ottenere una famiglia i cui elementi sono degli
insiemi, e il numero di questi insiemi (intervalli)è infinito.
(0 , 1) è incluso in (1/ 3 , 1) U ( 1/4 , 1/ 2) U ( 1/ 5 , 1/3 ) ...
Ora ogni elemento di questa famiglia lo posso ricoprire, per es prendo
(1 / 3 , 1) e lo ricopro con ( -1 , 1/2 ) U ( 1/4 , 2). Ottengo qui
due elementi di una sottofamiglia.
Se eseguo questo tipo di operazione per TUTTI gli elementi della
famiglia, ottengo una sottofamiglia composta ovviamente da INFINITI
elementi.
Nel caso precedente a questo la sottofamiglia rimaneva finita, in
questo caso anche la sottofamiglia si dovrà comporre ovviamente con
una infinità di elementi. Quindi questo è un sottoricoprimento
infinito.
Ora, e qui seguo il tuo consiglio, se considero questa infinità in
modo attuale non ho problemi. E non ho problemi perché penso
UNICAMENTE agli elementi della famiglia e della sottofamiglia.
Ma se dovessi pensare a 1/n con n = infinito e così otterrei 0, ecco
che a mio parere cambio il discorso.
Quindi e concludo, l'utilizzo dell'infinito in atto che ruolo ha in
questo caso?
E' vero che per la totalità infinita della famiglia e della
sottofamiglia non mi crea alcun problema. Ma per 1/n il problema si
pone e sono costretto a pensare ad un infinito potenziale.
Ma anche questo non mi impedisce di pensare ad un ricoprimento che
vada oltre lo 0 o che lo comprenda, perché in ogni caso otterrei pur
sempre un ricoprimento e sottoricoprimento infinito.
Era a questo a cui volevi condurmi?
Se era questo, ci sei riuscito:)
Grazie
A
Tetis
premessa:
il fatto che nella topologia di R non c'è spazio per gli infinitesimi
attuali significa che gli aperti di R hanno raggio finito e non
infinitesimo, quindi la topologia di R non può risolvere infinitesimi
attuali (in altre parole non è abbastanza fine). Ma questo non esclude
che la retta contiene infiniti punti. Significa solo che questi
infiniti punti non sono aperti, infatti i punti sono chiusi.
>
> > Ripeto: il problema per la compattezza non è che esista un
> > ricoprimento infinito, quanto invece se questo non contiene alcun
> > ricoprimento finito di aperti.
>
> Vediamo se ho capito.
>
> Noi possiamo ricoprire un intervallo con una famiglia di insiemi. Ora
> questa famiglia può essere composta da una numero finito di elementi
> (gli elementi della famiglia sono degli insiemi) oppure da un numero
> infinito di elementi.
>
> Nel caso degli insiemi chiusi e limitati su R OGNI tipo di
> ricoprimento è finito, cioè ogni famiglia che ricopre l'intervallo
> chiuso su R contiene un numero finito di elementi.
Non è esatto. Nel caso di insiemi chiusi e limitati su R ogni
ricoprimento mediante aperti contiene un sottoricoprimento finito.
>
> > Ripeto: il problema per la compattezza non è che esista un
> > ricoprimento infinito, quanto invece se questo non contiene alcun
> > ricoprimento finito di aperti.
>
Guarda che non è proprio intuitivo. Ti faccio un esempio che spero
risponda anche alle altre tue perplessità: consideriamo un
ricoprimento mediante intervalli chiusi [1/(n+1),1/n] dell'intervallo
chiuso e limitato [0,1]. A cui aggiungiamo l'intervallo [1/oo,1/oo]
che è un punto {0} ed è un chiuso.Questo ricoprimento non è
raffinabile, qualunque chiuso togli, vai a lasciare scoperta una parte
dell'intervallo. Ora sembremmo ad un passo dal riuscire a costruire un
ricoprimento di aperti di questo intervallo chiuso [0,1], non
raffinabile ad un ricoprimento finito. L'idea è che togliamo i punti
di frontiera otteniamo un ricoprimento parziale mediante aperti,
mancheranno tutti i punti della forma 1/n. Che sono infiniti. Per
ciascuno di questi andiamo a mettere un aperto piccolo a sufficienza
in modo da non avere intersezione fra aperti che coprono il punto 1/n
e l'aperto che copre il punto 1/(n+1), a questo scopo basta scegliere
come raggio dell'aperto che copre il punto 1/n il numero: 1/(2 n (n
+1)) Effettivamente dopo che abbiamo considerato l'unione di questi
aperti rimane un piccolissimo problema: il punto 0, non è coperto da
alcuno di essi, ed inoltre l'intervallo (1/oo,1/oo) è un intervallo
vuoto. Ora la questione è questa. Aggiungiamo un aperto che ricopra
anche il punto 0, nulla lo vieta, ma per quanto piccolo vogliamo
sceglierlo il suo raggio, r, sarà finito, poniamo che N sia il più
grande numero tale che 1/N => r. Allora significa che tutti i punti 1/
n con n>N sono coperti dall'aperto che copre 0. Di conseguenza anche
se abbiamo un ricoprimento infinito, questo, per via dell'esiziale, ma
necesssaria, aggiunta di un aperto che copra il punto 0 è largamente
ridondante possiamo infatti estrarre da esso un ricoprimento finito in
cui all'aperto che copre 0 aggiungiamo gli aperti che coprono i punti
1/n con n<=N e gli aperti che coprono gli intervalli aperti fra le
coppie di punti da 1/(N+1) ad 1/N. Questo è un ricoprimento estratto
dal ricoprimento infinito che abbiamo faticosamente costruito e
risulta finito. Uno potrebbe pensare che dipende dal modo in cui
abbiamo distribuito gli infiniti punti iniziali, o dal fatto che nella
sequenza c'è un solo punto di accumulazione per questi punti, ma
invece no. L'essenza della compattezza impedisce di ottenere un
ricoprimento di un chiuso limitato, mediante aperti, che non sia
raffinabile ad un ricoprimento finito.
Questo fatto dipende essenzialmente dal teorema di bisezione di
Weierstrass. Per dimostrare in generale che da un ricoprimento di
aperti si può estrarre un sottoricoprimento finito si può procedere in
questo modo, supponiamo che F = U_x A(x) sia una famiglia di aperti
che copre [0,1]. Ora io dimostrerò, avvalendomi del teorema di
Weierstrass, che se per ogni valore di m scelgo dei ricoprimenti
finiti per mezzo di intervalli aperti di raggio 1/(2^m) i cui centri
stanno in [0,1] deve esistere un valore di m tale che ognuno di questi
intorni è coperto da almeno un aperto di F. Ma siccome già questi
aperti, che sono in numero finito ricoprono l'intervallo lo stesso
deve fare l'unione degli aperti di F, A_ j scelto uno per ciascuno
degli intervalli di raggio 1/2^m che li ricoprono. Adesso j è un
indice che varia su un inisieme di indici di cardinalità finita.
Diciamo che non ci credo e al contrario voglio cercare cosa
caratterizza un aperto non raffinabile in modo da esibirne un esempio,
allora supponiamo che le cose stanno esattamente al contrario:
per ogni valore di m esiste un intervallo aperto del ricoprimento,
non coperto da alcun intorno di F, per ciascun m posso quindi
considerare l'aperto scoperto e proseguire così fino ad infinito.
Allora indico con x_m il centro di un intorno di raggio 1/2^m che non
è coperto da alcun aperto di F. Questa sequenza però è una sequenza
infinita che insiste su un intervallo, quindi deve accumularsi da
qualche parte (per il teorema di bisezione). Allora vado a considerare
questo punto di accumulazione che deve essere in [0,1] per il teorema
di Weierstrass, poichè però [0,1] è coperto da F deve esserci un
aperto che contiene questo punto di accumulazione. Di conseguenza,
poichè in questo aperto, che conterrà un intorno di raggio finito,
sono contenuti infiniti punti della sequenza a distanze
arbitrariamente piccole dal punto, dovrà esistere un qualche intorno
(ricordiamo che al crescere di m il raggio diminuisce) contenuto
nell'aperto considerato. Quindi succede che cercando di costruire un
esempio di ricoprimento infinito di aperti di un intervallo chiuso e
limitato sono condotto dal teorema di Weierstrass in contraddizione,
cioè da ogni ricoprimento, anche infinito, di aperti di un intervallo
chiuso e limitato posso estrarre un sottoricoprimento finito di questi
aperti.
Questa è l'essenza della compattezza, che per i reali si confonde, a
questo punto, con la validità del teorema di Weierstrass. E' dovuto
trascorrere tempo fino a Tychonov per comprendere che il teorema di
Weiestrass e la proprietà di compattezza in termini di raffinamenti
dei ricoprimenti aperti sono proprietà che si legano solo in una
classe relativamente ristretta di spazi topologici di cui R è un
rappresentante. Una parte importante di questi spazi è rappresentata
dagli spazi metrici: negli spazi metrici gli insiemi sequenzialmente
compatti sono anche topologicamente compatti. Inoltre negli spazi
metrici si ha anche la proprietà che l'immagine, mediante funzione
continua, di una sequenza convergente ad un punto, converge
all'immagine di tal punto.
Entrambe le proprietà sono verificate in tutti gli spazi primo
numerabili, in cui cioè la topologia è indotta da una base di intorni
che per ogni punto risulta numerabile. Ma anche la compattezza
sequenziale e topologica si equivalgono se lo spazio topologico è
primo numerabile. Il teorema di Tychonov consente di costruire esempi
di spazi non primo numerabili ma topologicamente compatti. Alcuni di
questi spazi sono anche uniformi e tuttavia non metrizzabili.
Il link fra la compattezza e la continuità sequenziale è dato dalla
circostanza che l'immagine continua di insiemi topologicamente
compatti è topologicamente compatta, allora se lo spazio è anche
sequenzialmente compatto ogni sequenza che converge ad un punto deve
avere immagine convergente ad almeno un punto. Può succedere che
converga ad punto diverso dall'immagine del punto limite? Se lo spazio
è primo numerabile questo è escluso.
Tetis
premessa:
il fatto che nella topologia di R non c'è spazio per gli infinitesimi
attuali significa che gli aperti di R hanno raggio finito e non
infinitesimo, quindi la topologia di R non può risolvere infinitesimi
attuali (in altre parole non è abbastanza fine). Ma questo non esclude
che la retta contiene infiniti punti. Significa solo che questi
infiniti punti non sono aperti, infatti i punti sono chiusi.
>
> > Ripeto: il problema per la compattezza non è che esista un
> > ricoprimento infinito, quanto invece se questo non contiene alcun
> > ricoprimento finito di aperti.
>
> Vediamo se ho capito.
>
> Noi possiamo ricoprire un intervallo con una famiglia di insiemi. Ora
> questa famiglia può essere composta da una numero finito di elementi
> (gli elementi della famiglia sono degli insiemi) oppure da un numero
> infinito di elementi.
>
> Nel caso degli insiemi chiusi e limitati su R OGNI tipo di
> ricoprimento è finito, cioè ogni famiglia che ricopre l'intervallo
> chiuso su R contiene un numero finito di elementi.
Non è esatto. Nel caso di insiemi chiusi e limitati su R ogni
ricoprimento mediante aperti contiene un sottoricoprimento finito.
>
> > Ripeto: il problema per la compattezza non è che esista un
> > ricoprimento infinito, quanto invece se questo non contiene alcun
> > ricoprimento finito di aperti.
>
Guarda che non è proprio intuitivo. Ti faccio un esempio che spero
caratterizza un ricoprimento aperto infinito non ridondante di un
sotto-ricoprimento finito in modo da esibirne un esempio,
allora supponiamo che le cose stanno esattamente al contrario:
per ogni valore di m esiste un intervallo aperto del ricoprimento,
non coperto da alcun intorno di F, per ciascun m posso quindi
considerare l'aperto scoperto e proseguire così fino ad infinito.
Allora indico con x_m il centro di un intorno di raggio 1/2^m che non
è coperto da alcun aperto di F. Questa sequenza però è una sequenza
infinita che insiste su un intervallo, quindi deve accumularsi da
qualche parte (per il teorema di bisezione). Allora vado a considerare
questo punto di accumulazione che deve essere in [0,1] per il teorema
di Weierstrass, poichè però [0,1] è coperto da F deve esserci un
aperto che contiene questo punto di accumulazione. Di conseguenza,
poichè in questo aperto, che conterrà un intorno di raggio finito,
sono contenuti infiniti punti della sequenza a distanze
arbitrariamente piccole dal punto, dovrà esistere un qualche intorno
(ricordiamo che al crescere di m il raggio diminuisce) contenuto
nell'aperto considerato. Quindi succede che cercando di costruire un
esempio di ricoprimento infinito di aperti, non raffinabile, di un
Peter11
"Arcobaleno" <arcobalen...@freemail.it> ha scritto nel messaggio
news:983ac019-a1c0-4c56...@u7g2000yqm.googlegroups.com...
> On 18 Nov, 20:50, "Peter11" <nos...@nospam.it> wrote:
>>
>
> Ti interessano le neuroscienze? La psichiatria? La cognitive science?
No, non so nulla di queste cose.
Peter11
"Arcobaleno" <arcobalen...@freemail.it> ha scritto nel messaggio
news:92649b80-8be0-4780...@b15g2000yqd.googlegroups.com...
> On 18 Nov, 20:45, "Peter11" <nos...@nospam.it> wrote:
>> "Arcobaleno" <arcobalenocolor...@freemail.it> ha scritto nel
>> messaggionews:f38d6d8f-5d6e-4c85...@p8g2000yqb.googlegroups.com...>
>> On 17 Nov, 21:52, Enrico Gregorio <grego...@math.unipd.it> wrote:
>>
>> >> Permetterai un po' di ombrosit�? O avrei forse dovuto spiegargli fatti
>> >> che parecchi libri spiegano benissimo, basterebbe avere la volont� di
>> >> studiarseli e non di leggiucchiare qua e l�.
>>
>> > Ma certo Enrico. E' ovvio che leggo, ripasso, poi dimentico, poi cerco
>> > di approfondire(in questi giorni ho preso anche la famosa influenza).
>>
>> Io no so cosa fai di mestiere, ma io queste cose le ho studiate vent'anni
>> fa
>> (tra l'altro non alla facolt� di matematica) e non mi ricordo pi� molto.
>>
>
> E' vero, hai ragione. Queste cose che uno magari ha studiato in un
> corso di laurea poi dopo anni le dimentica. Per� in questo thread
> molti si sono impegnati per spiegare quei concetti. Quei concetti a
> mio parere sono interessanti a prescindere dalle applicazioni.
S�, sono interessantissime, ma poi se devi ricordarti un sacco di cose
diverse la memoria diventa selettiva e scarta quello che non serve.
> A te quale temi attirano in particolare se posso permettermi di
> chiederlo?
>
>
Nulla in particolare. Seguo il ng per vedere quanto mi ricordo e, a volte,
riprendo in mano vecchi testi per vedere di risolvere, almeno per conto mio,
qualche quesito/esercizio che viene posto.