Sulla formula di Erone
Radicale
S^2 = p(p-a)(p-b)(p-c)
dove :
- S e' l' area del triangolo,
- p il semiperimetro
- (a,b,c) le lunghezze dei lati
La solita domanda "psico", tipica di radicale :
pero' questa formula si puo' costruire anche
quando a,b,c non sono lunghezze compatibili
con un triangolo.
Cioe' : non ci si puo' fare un triangolo.
per es a = 1cm, b = 2cm, c = 452.256cm
Ma allora, nei casi "fuori legge", che cosa rappresenta
S^2 ?
E se invece io ZAC ! Invertissi la definizione e dicessi
che *anche* quelli sono triangoli, di cui quelli noti ne
(quelli ... noti ... Quelli che si possono disegnare a
"triangolo) sono solo casi particolari della famiglia
piu' vasta ?
Radicale
> E se invece io ZAC ! Invertissi la definizione e dicessi
> che *anche* quelli sono triangoli, di cui quelli noti ne
> (quelli ... noti ... Quelli che si possono disegnare a
> "triangolo) sono solo casi particolari della famiglia
> piu' vasta ?
Ho detto una cazzata colossale perche'
siccome a,b,c sono qualunque, allora
QUALUNQUE cosa sarebbe un triangolo ...
:-)
Perdono.
Janez
semiperimetro) otterresti un'area di quadrato negativo.
--
____ Saluti dal | Eliminate .non.voglio.spam dall'indirizzo
(_ _) __ __ ___ | per rispondermi, se non vi piace quello che
)/ o\/ \/o_\>-_) | ho scritto considerate che, in un universo
(_\_-_|_|_\__/___> | parallelo, potrebbe essere anche diverso.
max
> Con un lato piu' lungo della somma degli altri (ossia piu' del
> semiperimetro) otterresti un'area di quadrato negativo.
Che ficata ! Perche' ?
Janez
> Che ficata ! Perche' ?
Perche' con a il "lato" maggiore si ha:
p-a < 0
Dunque:
S^2 = p(p-a)(p-b)(p-c) < 0
Enrico Gregorio
La formula di Erone dice che se S � l'area del triangolo di lati
a, b, c, allora vale
16S^2 = (a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(-a + b + c)
Esaminiamo i tre ultimi fattori e domandiamoci quando il prodotto
� positivo. Non � restrittivo supporre 0 < a <= b <= c, visto che
l'espressione non cambia permutando queste lettere.
Il prodotto � certamente positivo quando valgono le tre disuguaglianze
a < b+c, b < a+c, c < a+b
perch� i fattori sono tutti positivi. Supponiamo che uno non di questi
fattori non sia positivo. Dalla disuguaglianza a<=b, segue che -a+b>=0,
quindi il terzo fattore � certamente positivo. Perci� il prodotto pu�
essere positivo solo nel caso in cui
a + b - c < 0
a - b + c < 0
Se sommiamo membro a membro, troviamo 2a < 0, assurdo.
(Modifica di un'analoga dimostrazione di Tetis di qualche giorno fa.)
Ciao
Enrico
?manu*
> max ha scritto:
>
>> Che ficata ! Perche' ?
>
> Perche' con a il "lato" maggiore si ha:
>
> p-a < 0
non sempre, direi...
E.
Enrico Gregorio
Se a >= b >= c > 0 e p - a > 0, abbiamo b + c - a > 0, cio�
a < b + c. Se vogliamo che non siano i lati di un triangolo,
dobbiamo avere b >= a + c oppure c >= a + b, impossibile.
� essenzialmente la stessa dimostrazione che ho dato, semplificata
rispetto a quella di Tetis.
Ciao
Enrico
Teti_s
Tuttavia si pu� dire di pi�: qualora, a,b,c possano assumere valori reali
arbitrari, basta che i moduli verifichino le disuguaglianze triangolari
perch� sia: p(p-a)(p-b)(p-c) > 0. Dove sia p = (a+b+c)/2.
Tuttavia insistendo con l'interpretazione che eventuali lati di un triangolo
sono in corrispondenza con numeri positivi allora un'altra cosa che si pu�
ottenere � una caratterizzazione come radici di una cubica dei lati di un
triangolo. Infatti si ha la seguente equivalenza:
a+b+c > 0
ab+bc+ca>0
abc > 0
sse
a>0
b>0
c>0
ed inoltre si ha che p(p-a)(p-b)(p-c) = p[ - p^2 (a+b+c) + p(ab+bc+ca) - abc
]
Cio� la formula di Erone si esprime in termini degli invarianti simmetrici
omogenei costruiti da tre numeri (che sono i coefficienti della cubica, a
segni alterni, quando i tre numeri siano le sue radici).
In conclusione abbiamo risolto due possibili interpretazioni di un
esercizio. Caratterizzare i coefficienti di una cubica le cui radici siano i
lati di un triangolo. Sia nel caso si interpreti "i lati di un triangolo"
come tre numeri maggiori di zero che soggiacciono le disuguaglianze
triangolari, sia che si interpreti "i lati del triangolo" come tre numeri
che in modulo soggiacciono le disuguaglianze triangolari. Nel secondo caso
la risposta � pi� sintetica:
le soluzione di x^3 + Ax^2 + B x + C = 0 sono lati di un triangolo se:
[ - (A/2)^2 A + A/2 B + C ] > 0
nel primo caso la risposta �:
[ - (A/2)^2 A + A/2 B + C ] > 0
-A > 0
B > 0
-C > 0
Tuttavia si pu� dire di pi�: qualora, a,b,c possano assumere valori reali
arbitrari, basta che i moduli verifichino le disuguaglianze triangolari
perch� sia: p(p-a)(p-b)(p-c) > 0. Dove sia p = (a+b+c)/2.
Tuttavia insistendo con l'interpretazione che eventuali lati di un triangolo
sono in corrispondenza con numeri positivi allora un'altra cosa che si pu�
ottenere � una caratterizzazione come radici di una cubica dei lati di un
triangolo. Infatti si ha la seguente equivalenza:
a+b+c > 0
ab+bc+ca>0
abc > 0
sse
a>0
b>0
c>0
ed inoltre si ha che p(p-a)(p-b)(p-c) = p[ - p^2 (a+b+c) + p(ab+bc+ca) - abc
]
Cio� la formula di Erone si esprime in termini degli invarianti simmetrici
omogenei costruiti da tre numeri (che sono i coefficienti della cubica, a
segni alterni, quando i tre numeri siano le sue radici).
In conclusione abbiamo risolto due possibili interpretazioni di un
esercizio. Caratterizzare i coefficienti di una cubica le cui radici siano i
lati di un triangolo. Sia nel caso si interpreti "i lati di un triangolo"
come tre numeri maggiori di zero che soggiacciono le disuguaglianze
triangolari, sia che si interpreti "i lati del triangolo" come tre numeri
che in modulo soggiacciono le disuguaglianze triangolari. Nel secondo caso
la risposta � pi� sintetica:
le soluzione di x^3 + Ax^2 + B x + C = 0 sono lati di un triangolo se:
[ - (A/2)^2 A + A/2 B + C ] > 0
nel primo caso la risposta �:
[ - (A/2)^2 A + A/2 B + C ] > 0
-A > 0
B > 0
-C > 0
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