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Perché ci fu la necessità di dimostrare il quinto postulato?
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Oceano
Jan 23, 2013, 10:43:37 AM1/23/13
to
Si vuole dimostrare qualcosa perché non è evidente, quindi si ha
bisogno di un ragionamento più accurato(dimostrazione) che ci conduca a
vedere l'evidenza della asserzione che si vuole dimostrare.
Perché il quinto postulato non è evidente?
Ecco il famoso enunciato:
<<Se una retta taglia altre due rette determinando dallo stesso lato
angoli interni la cui somma è minore di quella di due angoli retti,
prolungando indefinitamente le due rette, esse si incontreranno dalla
parte dove la somma dei due angoli è minore di due angoli retti.>>
http://it.wikipedia.org/wiki/V_postulato_di_Euclide
Sembra che non lo fosse all'epoca dei greci perché il foglio di carta
dove si effettuano i disegni delle rette parallele è FINITO. Quindi se
io affermo che due linee rette non si incontrano mai da ENTRAMBI i lati
(parallele) ecco che affermo qualcosa che non ha sufficiente evidenza e
che quindi andrà dimostrato.
Come a dire: e chi me lo assicura che se l'angolo tra le due rette è
MINORE di PI (magari un angolo di 90° + 89°)ecco che si incontrano. E
allora devo andare a vedere, ma la distanza tra le due rette è per es
di tre metri, l'angolo è quasi di 180 gradi e cioè mancano pochi decimi.
Un po' come dire: e chi lo sa se uscendo dal foglio per venti metri o
duecento metri ecco che le due linee rette si incontrano magari proprio
da ENTRAMBI i lati?
Da qui l'esigenza di procedere alla dimostrazione.
Ma io NON SONO D'ACCORDO con questo modo di procedere.
La geometria euclidea è IDEALIZZAZIONE della geometria REALE, cioè
idealizzazione di quell'insieme di misure che noi effettuiamo nel mondo
reale.
Se io disegno un triangolo sul foglio che per sua stessa natura (il
disegno intendo) è TRIDIMENSIONALE ecco che ho bisogno di IDEALIZZARLO
e di renderlo bidimensionale e pensare inoltre i segmenti come
monodimensionali, cioè senza estensione bidimensionale.
Ora però _STATE ATTENTI PER FAVORE (ho concluso)_ se io IDEALIZZO su
punto e retta e penso che la retta sia infinita non è che posso andare
a controllare e quindi accetto che sia infinita, almeno potenzialmente
infinita.
Se dico che la retta non ha estension bidimensionale ma solo
monodimensionale, non è che ho bisogno di andare a controllare per
chilometri che questo sia vero.
E allo stesso identico modo, se dico che due rette parallele NON si
incontrano MAI da entrambi i lati, o che si incontrano non è che ho
bisogno di andarlo a verificare per OGNI distanza tra le due rette.
Se per es prendo le due rette nel disegno che si vede su wikipedia e
che distano pochi centimetri tra loro ecco che è EVIDENTE che si
incontrano, lo si vede dal disegno. Se però le due rette distano per es
dieci metri ecco che dovrò andare a centinaia di metri di distanza per
vedere questo incontro, quindi non posso verificare per tutte le
distanze.
Oppure (problema dell'infinitamente piccolo) non posso verificare per
OGNI angolo piccolo a piacere.
Mano mano che mi approssimo al LIMITE di 180° partendo per es da 179° e
approssimandomi per decimi di gradi ecco che arrivato a 180° MI FERMO e
andrò ad approssimoare non più per decimi ma per ventesimi, poi magari
per trentesimi, poi per quarantesimi ecc ecc.
Ed è per me oggi EVIDENTE che fu la mancanza del concetto di limite a
far vedere questo enunciato come poco evidente.
Se io dico che al TENDERE dell'angolo tra le due rette a 180° queste
tendono a NON incontrarsi mentre per angoli inferiori si incontrano.
Infatti Euclide non dovette dimostrare l'enunciato secondo il quale
quando tra le due rette l'angolo è PARI a 180° ecco che non si
incontrano mai.
E la soluzione al problema e cioè la creazione delle geometrie NON
euclidee dovette essere una svolta epocale perché si comprese
finalmente la NATURA di quel sistema assiomatico euclideo. Cioè si
comprese finalmente che uno può affermare quello che vuole negli
assiomi, poi basta dedurre di conseguenza e non è compito del sistema
formale stabilire la verità o la falsità degli assiomi.
Oggi per noi parlare di assiomi veri o falsi è quasi privo di
signficato. Per noi un assioma viene posto e basta e poi da quello si
deduce altro. Ma per i greci la geometria per quanto ideale, era pur
sempre idealizzazione di una geometria reale e cioè quella dei disegni.
La geometria dei disegni, delle misure concrete è realissima ed è su
quella che loro si basavano, per questo avevano bisogno di prove.
Anche Gauss non fu da meno e si mise a fare le sue misure astrali così
come fece Lobachevski.
I due si convinsero che forse la geometria dell'universo potesse essere
non euclidea, magari la luce, i raggi seguono linee geodediche che non
sono linee rette. Il problema della parallasse fu uno di questo,
l'altro forse la velocità della luce che devia nel campo gravitazionale
e che ispirò la RR ed RG ad Einstein.
Per non parlare poi della scoperta della sfericità del pianeta e che in
effetti la distanza tra Parigi e Mosca in linea retta NON esiste mentre
si tratta di una geodetica.
E secondo me (secondo voi?) dovette essere questa la principale
motivazione che ispirò Gauss come altri e cioè usare una geometria
UTILIZZABILE sulla sfera dove su quest'ultima non vale neppure il
teorema di pitagora e bisogna trovare altre relazioni tra gli enti.
--
Pace e Bene
bisogno di un ragionamento più accurato(dimostrazione) che ci conduca a
vedere l'evidenza della asserzione che si vuole dimostrare.
Perché il quinto postulato non è evidente?
Ecco il famoso enunciato:
<<Se una retta taglia altre due rette determinando dallo stesso lato
angoli interni la cui somma è minore di quella di due angoli retti,
prolungando indefinitamente le due rette, esse si incontreranno dalla
parte dove la somma dei due angoli è minore di due angoli retti.>>
http://it.wikipedia.org/wiki/V_postulato_di_Euclide
Sembra che non lo fosse all'epoca dei greci perché il foglio di carta
dove si effettuano i disegni delle rette parallele è FINITO. Quindi se
io affermo che due linee rette non si incontrano mai da ENTRAMBI i lati
(parallele) ecco che affermo qualcosa che non ha sufficiente evidenza e
che quindi andrà dimostrato.
Come a dire: e chi me lo assicura che se l'angolo tra le due rette è
MINORE di PI (magari un angolo di 90° + 89°)ecco che si incontrano. E
allora devo andare a vedere, ma la distanza tra le due rette è per es
di tre metri, l'angolo è quasi di 180 gradi e cioè mancano pochi decimi.
Un po' come dire: e chi lo sa se uscendo dal foglio per venti metri o
duecento metri ecco che le due linee rette si incontrano magari proprio
da ENTRAMBI i lati?
Da qui l'esigenza di procedere alla dimostrazione.
Ma io NON SONO D'ACCORDO con questo modo di procedere.
La geometria euclidea è IDEALIZZAZIONE della geometria REALE, cioè
idealizzazione di quell'insieme di misure che noi effettuiamo nel mondo
reale.
Se io disegno un triangolo sul foglio che per sua stessa natura (il
disegno intendo) è TRIDIMENSIONALE ecco che ho bisogno di IDEALIZZARLO
e di renderlo bidimensionale e pensare inoltre i segmenti come
monodimensionali, cioè senza estensione bidimensionale.
Ora però _STATE ATTENTI PER FAVORE (ho concluso)_ se io IDEALIZZO su
punto e retta e penso che la retta sia infinita non è che posso andare
a controllare e quindi accetto che sia infinita, almeno potenzialmente
infinita.
Se dico che la retta non ha estension bidimensionale ma solo
monodimensionale, non è che ho bisogno di andare a controllare per
chilometri che questo sia vero.
E allo stesso identico modo, se dico che due rette parallele NON si
incontrano MAI da entrambi i lati, o che si incontrano non è che ho
bisogno di andarlo a verificare per OGNI distanza tra le due rette.
Se per es prendo le due rette nel disegno che si vede su wikipedia e
che distano pochi centimetri tra loro ecco che è EVIDENTE che si
incontrano, lo si vede dal disegno. Se però le due rette distano per es
dieci metri ecco che dovrò andare a centinaia di metri di distanza per
vedere questo incontro, quindi non posso verificare per tutte le
distanze.
Oppure (problema dell'infinitamente piccolo) non posso verificare per
OGNI angolo piccolo a piacere.
Mano mano che mi approssimo al LIMITE di 180° partendo per es da 179° e
approssimandomi per decimi di gradi ecco che arrivato a 180° MI FERMO e
andrò ad approssimoare non più per decimi ma per ventesimi, poi magari
per trentesimi, poi per quarantesimi ecc ecc.
Ed è per me oggi EVIDENTE che fu la mancanza del concetto di limite a
far vedere questo enunciato come poco evidente.
Se io dico che al TENDERE dell'angolo tra le due rette a 180° queste
tendono a NON incontrarsi mentre per angoli inferiori si incontrano.
Infatti Euclide non dovette dimostrare l'enunciato secondo il quale
quando tra le due rette l'angolo è PARI a 180° ecco che non si
incontrano mai.
E la soluzione al problema e cioè la creazione delle geometrie NON
euclidee dovette essere una svolta epocale perché si comprese
finalmente la NATURA di quel sistema assiomatico euclideo. Cioè si
comprese finalmente che uno può affermare quello che vuole negli
assiomi, poi basta dedurre di conseguenza e non è compito del sistema
formale stabilire la verità o la falsità degli assiomi.
Oggi per noi parlare di assiomi veri o falsi è quasi privo di
signficato. Per noi un assioma viene posto e basta e poi da quello si
deduce altro. Ma per i greci la geometria per quanto ideale, era pur
sempre idealizzazione di una geometria reale e cioè quella dei disegni.
La geometria dei disegni, delle misure concrete è realissima ed è su
quella che loro si basavano, per questo avevano bisogno di prove.
Anche Gauss non fu da meno e si mise a fare le sue misure astrali così
come fece Lobachevski.
I due si convinsero che forse la geometria dell'universo potesse essere
non euclidea, magari la luce, i raggi seguono linee geodediche che non
sono linee rette. Il problema della parallasse fu uno di questo,
l'altro forse la velocità della luce che devia nel campo gravitazionale
e che ispirò la RR ed RG ad Einstein.
Per non parlare poi della scoperta della sfericità del pianeta e che in
effetti la distanza tra Parigi e Mosca in linea retta NON esiste mentre
si tratta di una geodetica.
E secondo me (secondo voi?) dovette essere questa la principale
motivazione che ispirò Gauss come altri e cioè usare una geometria
UTILIZZABILE sulla sfera dove su quest'ultima non vale neppure il
teorema di pitagora e bisogna trovare altre relazioni tra gli enti.
--
Pace e Bene
oid
Jan 24, 2013, 4:29:10 AM1/24/13
to
"Oceano" <padree...@yahoo.it> ha scritto nel messaggio
news:201301231...@mynewsgate.net...
> Si vuole dimostrare qualcosa perch� non � evidente,
No. Questo forse per il senso comune.
In matematica non � cos�.
In un sistema ipotetico deduttivo si cerca
di minimizzare le ipotesi ci�� i postulati.
Per rendersene conto basta vedere i
pi� semplici teoremi della geometria
elementare per accorgersi che spesso
la tesi � molto pi� evidente del teorema
che la dimostra. Non ti sembra evidente,
ad esempio che un triangolo isoscele
abbia gli angoli alla base uguali?
oid
Jan 24, 2013, 4:49:13 AM1/24/13
to
> Perch� il quinto postulato non � evidente?
>
Per secoli il quinto postulato � sembrato
a tutti estremamente evidente.
Saccheri (1667-1733), come i matematici del tempo,
non aveva alcun dubbio sulla sua evidenza
proprio per questo voleva dimostrarlo partendo dai primi quattro
postulati migliorando cos� la costruzione di Euclide che si basava
su cinque postulati. Quando pubblic� "Euclides ab omni naevo vindicatus"
era convinto di essere riuscito nel suo intento.
Credeva di aver dimostrato che i primi 4 postulati di euclide pi� il
quinto negato portavano ad un assurdo.
Saccheri mor� l'anno stesso della pubblicazione della sua opera
prima di rendersi conto che quello che gli pareva
assurdo era invece del tutto corretto
e costituiva lo sviluppo di una geometria non euclidea.
>
Per secoli il quinto postulato � sembrato
a tutti estremamente evidente.
Saccheri (1667-1733), come i matematici del tempo,
non aveva alcun dubbio sulla sua evidenza
proprio per questo voleva dimostrarlo partendo dai primi quattro
postulati migliorando cos� la costruzione di Euclide che si basava
su cinque postulati. Quando pubblic� "Euclides ab omni naevo vindicatus"
era convinto di essere riuscito nel suo intento.
Credeva di aver dimostrato che i primi 4 postulati di euclide pi� il
quinto negato portavano ad un assurdo.
Saccheri mor� l'anno stesso della pubblicazione della sua opera
prima di rendersi conto che quello che gli pareva
assurdo era invece del tutto corretto
e costituiva lo sviluppo di una geometria non euclidea.
Oceano
Jan 24, 2013, 5:56:59 AM1/24/13
to
oid <oid...@tin.it> ha scritto:
> > Si vuole dimostrare qualcosa perchￜ non ￜ evidente,
>
Prima di tutto ti confermo tutta la mia stima per
il TUO punto di vista che hai voluto esprimere
in modo cosￜ perentorio qui sopra.
E' tuttavia un TUO punto di vista che non condivido
in pieno e proverￜ a spiegarti il perchￜ in modo dettagliato
nel seguito.
>
>In un sistema ipotetico deduttivo si cerca
> di minimizzare le ipotesi ciￜￜ i postulati.
>
Temo che tu stia confondendo UNA (una delle tanti)
sistematizzazione assiomatica di una(una delle tanti)
teoria con la matematica tutta.
Un conto ￜ procedere nella ricerca matematica in generale
e quindi si vuole ricercare una evidenza la dove non c'ￜ
altro ￜ procedere ad una SISTEMATICA derivazione di tutti
i teoremi una volta scelti gli assiomi.
Insomma, anche tu cadi nella trappola nella quale cade l'uomo
della strada nel vedere la ricerca matematica come un insieme
di confezioni(teorie assiomatiche) date una volta per tutte
e dalle quali trarre tutti i possibili teoremi.
La matematica non ￜ solo questo genere di attivitￜ ma qualcosa di molto
piￜ ampio e creativo dove il matematico ricerca in modo del tutto
originale.
Per es un matematico puￜ partire SENZA conoscere gli Elementi di Euclide
e provare a calcolare la lunghezza della diagonale di un quadrato.
A questo punto il matematico si accorge di scoprire i numeri irrazionali
e procede con delle dimostrazioni affinchￜ possa vedere quello che non ￜ
immediatamente evidente.
Ovvero la dimostrazione qui deve essere intesa non come qualcosa da
dovere esibire ad un altro affinchￜ possa convincersi della giustezza del
ragionamento ma come un passo fondamentale verso la scoperta stessa.
Ed ￜ questo che si intende per dimostrazione in generale, cioￜ una serie
di ragionamenti capaci di approfondire e tirare fuori delle conclusioni
che non si notano in modo immediato.
Il TANTATIVO (perchￜ di questo si tratta) di FORMALIZZARE in un secondo
momento questi ragionamenti puￜ riuscire come puￜ non riuscire e cosￜ
otteniamo quelle teorie (confezioni) che il matematico vede come CORNICE
entro la quale porre il proprio sapere e mentre l'uomo della strada vede
qualcosa di dato una volta per tutte chissￜ da quale divinitￜ.
Insomma, la matematica non la si scopre gia assiomatizzata, quello ￜ solo
l'ultimo passaggio di una lunga ricerca, una sorta di mettere in bella
copia i risultati ottenuti.
>
>Per rendersene conto basta vedere i
> piￜ semplici teoremi della geometria
> che la dimostra.
>
Quello di cui parli tu ￜ la dimostrazione FORMALE
quella che io ho studiato in LOGICA MATEMATICA.
Ma la dimostrazione in senso formale ￜ limitata,
fosse solo per quella, la conoscenza non potrebbe procedere.
Sarebbe come volere affidare ad un computer tutto il sapere
e vedere se questo fosse in grado di procedere nella conoscenza.
Al massimo (vedi teoremi di incompletezza di Goedel) il computer
andrￜ in tilt:)
>
>Non ti sembra evidente,
> ad esempio che un triangolo isoscele
> abbia gli angoli alla base uguali?
>
Puￜ magari a te sembrare del tutto evidente ad OCCHIO diciamo come a me e
ad altri ma poi si puￜ avere anche il desiderio di INSISTERE nel cercare
una evidenza maggiore ed ecco che uno prova a CREARE un ragionamento ad
hoc.
Ciao
Oceano
--
Pace e Bene
> > Si vuole dimostrare qualcosa perchￜ non ￜ evidente,
>
> No. Questo forse per il senso comune.
> In matematica non ￜ cosￜ.
> No. Questo forse per il senso comune.
>
Prima di tutto ti confermo tutta la mia stima per
il TUO punto di vista che hai voluto esprimere
in modo cosￜ perentorio qui sopra.
E' tuttavia un TUO punto di vista che non condivido
in pieno e proverￜ a spiegarti il perchￜ in modo dettagliato
nel seguito.
>
>In un sistema ipotetico deduttivo si cerca
>
Temo che tu stia confondendo UNA (una delle tanti)
sistematizzazione assiomatica di una(una delle tanti)
teoria con la matematica tutta.
Un conto ￜ procedere nella ricerca matematica in generale
e quindi si vuole ricercare una evidenza la dove non c'ￜ
altro ￜ procedere ad una SISTEMATICA derivazione di tutti
i teoremi una volta scelti gli assiomi.
Insomma, anche tu cadi nella trappola nella quale cade l'uomo
della strada nel vedere la ricerca matematica come un insieme
di confezioni(teorie assiomatiche) date una volta per tutte
e dalle quali trarre tutti i possibili teoremi.
La matematica non ￜ solo questo genere di attivitￜ ma qualcosa di molto
piￜ ampio e creativo dove il matematico ricerca in modo del tutto
originale.
Per es un matematico puￜ partire SENZA conoscere gli Elementi di Euclide
e provare a calcolare la lunghezza della diagonale di un quadrato.
A questo punto il matematico si accorge di scoprire i numeri irrazionali
e procede con delle dimostrazioni affinchￜ possa vedere quello che non ￜ
immediatamente evidente.
Ovvero la dimostrazione qui deve essere intesa non come qualcosa da
dovere esibire ad un altro affinchￜ possa convincersi della giustezza del
ragionamento ma come un passo fondamentale verso la scoperta stessa.
Ed ￜ questo che si intende per dimostrazione in generale, cioￜ una serie
di ragionamenti capaci di approfondire e tirare fuori delle conclusioni
che non si notano in modo immediato.
Il TANTATIVO (perchￜ di questo si tratta) di FORMALIZZARE in un secondo
momento questi ragionamenti puￜ riuscire come puￜ non riuscire e cosￜ
otteniamo quelle teorie (confezioni) che il matematico vede come CORNICE
entro la quale porre il proprio sapere e mentre l'uomo della strada vede
qualcosa di dato una volta per tutte chissￜ da quale divinitￜ.
Insomma, la matematica non la si scopre gia assiomatizzata, quello ￜ solo
l'ultimo passaggio di una lunga ricerca, una sorta di mettere in bella
copia i risultati ottenuti.
>
>Per rendersene conto basta vedere i
> elementare per accorgersi che spesso
> la tesi ￜ molto piￜ evidente del teorema
> che la dimostra.
>
Quello di cui parli tu ￜ la dimostrazione FORMALE
quella che io ho studiato in LOGICA MATEMATICA.
Ma la dimostrazione in senso formale ￜ limitata,
fosse solo per quella, la conoscenza non potrebbe procedere.
Sarebbe come volere affidare ad un computer tutto il sapere
e vedere se questo fosse in grado di procedere nella conoscenza.
Al massimo (vedi teoremi di incompletezza di Goedel) il computer
andrￜ in tilt:)
>
>Non ti sembra evidente,
> ad esempio che un triangolo isoscele
> abbia gli angoli alla base uguali?
>
ad altri ma poi si puￜ avere anche il desiderio di INSISTERE nel cercare
una evidenza maggiore ed ecco che uno prova a CREARE un ragionamento ad
hoc.
Ciao
Oceano
--
Pace e Bene
Oceano
Jan 24, 2013, 6:19:52 AM1/24/13
to
oid <oid...@tin.it> ha scritto:
>
> "Oceano" <padree...@yahoo.it> ha scritto nel messaggio
> news:201301231...@mynewsgate.net...
> >
> > Perchￜ il quinto postulato non ￜ evidente?
> >
> Per secoli il quinto postulato ￜ sembrato
> a tutti estremamente evidente.
>
Temo che tu ti stia confondendo e mi dispiace dovere
insistere perchￜ si tratta di FATTI e non di opinioni
che esprimi sopra.
http://lcalighieri.racine.ra.it/lavori-
ipertesti/pescetti/ricerca_geometrie_non_euclidee_2004_05/somm_none/anomal
ia.htm
Ti rimando a questo articolo che ho lincato sopra e poi a diversi
libri di storia della matematica che puoi cercare tu stesso on line dove
si spiega nei dettagli la intera vicenda.
>
>Saccheri (1667-1733), come i matematici del tempo,
> non aveva alcun dubbio sulla sua evidenza
> proprio per questo voleva dimostrarlo partendo dai primi quattro
> postulati migliorando cosￜ la costruzione di Euclide che si basava
> su cinque postulati.
>
Il discorso ￜ molto piￜ complesso di come lo stai riportando tu che
ricordi male.
In effetti il quinto postulato appare evidente fino a quando
si ha a che fare con un angolo del tipo 90ￜ + 80ￜ.
Ora perￜ succede che man mano che ti l'angolo di 80ￜ TENDE
a quello di 90ￜ, ecco che non ￜ piￜ evidente DAI DISEGNI
se le due rette DISEGNATE si incontrano o meno.
In pratica ￜ l'errore del disegno, la APPROSSIMAZIONE
che metteva i dubbi nell'antichitￜ.
Per un angolo per es di 89ￜ nel disegno questo ￜ APPROSSIMAZIONE
in pratica di un angolo di 90ￜ.
Se poi vogliamo diminuire L'ERRORE DI MISURA ecco che il nostro disegno
approssima fino per es ai decimi di gradi, poi ai ventesimi ecc ecc.
Ma ottieni sempre delle approssimazioni.
Se per es tu DISEGNI le due parallele con angoli 90ￜ + 90ￜ
ecco che ottieni la evidenza dal disegno che non si incontrano da entrmbi
i lati.
Ma il quinto postulato NON parla di questo, il quinto postulato parla del
fatto che SEMPRE si incontrano dal lato dove l'angolo ￜ MINORE di 90ￜ +
90ￜ.
Ora puoi TU col disegno dimostrarmi per un angolo di 90ￜ + 89ￜ 59' 59'' ?
E se io volessi una APPROSSIMAZIONE ancora maggiore andando oltre i
secondi?
Tu saresti costretto a fare dei disegni sempre piￜ accurati e per
renderli piￜ accurati saresti costretto (non potendo usare una matita
sempre piￜ sottile)ad INGRANDIRE il disegno.
Ingrandendo il disegno lasci inalterato lo spessore della matita.
A questo punto magari (per aumentare la tua precisione) disegni due
parallele distanti per es 4 metri. Quindi bisogna andare a verificare a
trenta metri o quaranta metri se le due si incontrano o meno.
Come vedi, come spiegano Agazzi e Palladino nel loro noto libro, si ESCE
DAL FOGLIO DA DISEGNO. Se invece ci vuoi rimanere entro il foglio sei
costretto a dire che NON sai se per angoli sempre minori le due rette si
incontrano o meno.
Quindi il disegno CI NEGA l'evidenza in questo discorso.
Ma la geometria euclidea ￜ FONDATA sui disegni sulla evidenza dei disegni.
Da qui allora si cercￜ di derivare il quinto postulato da altri DISEGNI.
Tieni anche presente che all'epoca non esisteva la geometria cartesiana
arrivata solo dopo. Inoltre la geometria cartesiana si fonda sulla
geometria euclidea e quindi se anche usi la metrica del teorema di
pitagora lo puoi fare solo se PRIMA hai dimostrato il risultato delle
rette parallele altrimenti non puoi dimostrare il teorema di Pitagora.
Ti dico questo perchￜ molti amici di questo ng anni fa insistevano nel
voler dimostrare il teorema di pitagora per via analitica, dimenticando
che quel risultato lo si ottiene assumendo gia il teorema di pitagora.
Ma questo ￜ un altro ragionamento e lo lascio perdere:)
>
>Quando pubblicￜ "Euclides ab omni naevo vindicatus"
Le geometrie non euclidee nascono dalla NON accettazione del quinto
postulato in quanto non ￜ evidente per i ragionamenti che ho fatto prima:
i disegni approssimati.
Magari se dopo ho piￜ tempo approfondisco io stesso questo punto cosￜ ti
rinfresco la memoria:)
ciao e grazie per essere intervenuto
>
> "Oceano" <padree...@yahoo.it> ha scritto nel messaggio
> news:201301231...@mynewsgate.net...
> >
> >
> Per secoli il quinto postulato ￜ sembrato
> a tutti estremamente evidente.
>
Temo che tu ti stia confondendo e mi dispiace dovere
insistere perchￜ si tratta di FATTI e non di opinioni
che esprimi sopra.
http://lcalighieri.racine.ra.it/lavori-
ipertesti/pescetti/ricerca_geometrie_non_euclidee_2004_05/somm_none/anomal
ia.htm
Ti rimando a questo articolo che ho lincato sopra e poi a diversi
libri di storia della matematica che puoi cercare tu stesso on line dove
si spiega nei dettagli la intera vicenda.
>
>Saccheri (1667-1733), come i matematici del tempo,
> non aveva alcun dubbio sulla sua evidenza
> proprio per questo voleva dimostrarlo partendo dai primi quattro
> su cinque postulati.
>
Il discorso ￜ molto piￜ complesso di come lo stai riportando tu che
ricordi male.
In effetti il quinto postulato appare evidente fino a quando
si ha a che fare con un angolo del tipo 90ￜ + 80ￜ.
Ora perￜ succede che man mano che ti l'angolo di 80ￜ TENDE
a quello di 90ￜ, ecco che non ￜ piￜ evidente DAI DISEGNI
se le due rette DISEGNATE si incontrano o meno.
In pratica ￜ l'errore del disegno, la APPROSSIMAZIONE
che metteva i dubbi nell'antichitￜ.
Per un angolo per es di 89ￜ nel disegno questo ￜ APPROSSIMAZIONE
in pratica di un angolo di 90ￜ.
Se poi vogliamo diminuire L'ERRORE DI MISURA ecco che il nostro disegno
approssima fino per es ai decimi di gradi, poi ai ventesimi ecc ecc.
Ma ottieni sempre delle approssimazioni.
Se per es tu DISEGNI le due parallele con angoli 90ￜ + 90ￜ
ecco che ottieni la evidenza dal disegno che non si incontrano da entrmbi
i lati.
Ma il quinto postulato NON parla di questo, il quinto postulato parla del
fatto che SEMPRE si incontrano dal lato dove l'angolo ￜ MINORE di 90ￜ +
90ￜ.
Ora puoi TU col disegno dimostrarmi per un angolo di 90ￜ + 89ￜ 59' 59'' ?
E se io volessi una APPROSSIMAZIONE ancora maggiore andando oltre i
secondi?
Tu saresti costretto a fare dei disegni sempre piￜ accurati e per
renderli piￜ accurati saresti costretto (non potendo usare una matita
sempre piￜ sottile)ad INGRANDIRE il disegno.
Ingrandendo il disegno lasci inalterato lo spessore della matita.
A questo punto magari (per aumentare la tua precisione) disegni due
parallele distanti per es 4 metri. Quindi bisogna andare a verificare a
trenta metri o quaranta metri se le due si incontrano o meno.
Come vedi, come spiegano Agazzi e Palladino nel loro noto libro, si ESCE
DAL FOGLIO DA DISEGNO. Se invece ci vuoi rimanere entro il foglio sei
costretto a dire che NON sai se per angoli sempre minori le due rette si
incontrano o meno.
Quindi il disegno CI NEGA l'evidenza in questo discorso.
Ma la geometria euclidea ￜ FONDATA sui disegni sulla evidenza dei disegni.
Da qui allora si cercￜ di derivare il quinto postulato da altri DISEGNI.
Tieni anche presente che all'epoca non esisteva la geometria cartesiana
arrivata solo dopo. Inoltre la geometria cartesiana si fonda sulla
geometria euclidea e quindi se anche usi la metrica del teorema di
pitagora lo puoi fare solo se PRIMA hai dimostrato il risultato delle
rette parallele altrimenti non puoi dimostrare il teorema di Pitagora.
Ti dico questo perchￜ molti amici di questo ng anni fa insistevano nel
voler dimostrare il teorema di pitagora per via analitica, dimenticando
che quel risultato lo si ottiene assumendo gia il teorema di pitagora.
Ma questo ￜ un altro ragionamento e lo lascio perdere:)
>
>Quando pubblicￜ "Euclides ab omni naevo vindicatus"
> era convinto di essere riuscito nel suo intento.
> Credeva di aver dimostrato che i primi 4 postulati di euclide piￜ il
> quinto negato portavano ad un assurdo.
> Saccheri morￜ l'anno stesso della pubblicazione della sua opera
> prima di rendersi conto che quello che gli pareva
> assurdo era invece del tutto corretto
> e costituiva lo sviluppo di una geometria non euclidea.
>
Anche qui ti stai confondendo, ricordi cioￜ male quello che hai studiato.
> assurdo era invece del tutto corretto
> e costituiva lo sviluppo di una geometria non euclidea.
>
Le geometrie non euclidee nascono dalla NON accettazione del quinto
postulato in quanto non ￜ evidente per i ragionamenti che ho fatto prima:
i disegni approssimati.
Magari se dopo ho piￜ tempo approfondisco io stesso questo punto cosￜ ti
rinfresco la memoria:)
ciao e grazie per essere intervenuto
radica...@gmail.com
Jan 24, 2013, 6:25:35 AM1/24/13
to
Il giorno giovedì 24 gennaio 2013 10:49:13 UTC+1, oid ha scritto:
> Per secoli il quinto postulato � sembrato a tutti
> estremamente evidente.
Vero.
> Per secoli il quinto postulato � sembrato a tutti
> estremamente evidente.
E si scambio' "l' essere evidente" con "l' essere dimostrabile
a partire da ...".
Ma l' evidenza e' un qualcosa che appare ovvia al nostro
spirito, alla nostra intuizione (spaziale, in questo caso).
Null' altro che questo.
Perche' mai se e' "evidente" ALLORA deve essere possibile
farlo discendere da altre "evidenze" ? E' questo salto
logico l' errore.
fma...@gmail.com
Jan 24, 2013, 6:37:09 AM1/24/13
to
On Thursday, January 24, 2013 10:49:13 AM UTC+1, oid wrote:
> "Oceano" <padree...@yahoo.it> ha scritto nel messaggio
> "Oceano" <padree...@yahoo.it> ha scritto nel messaggio
> > Perch� il quinto postulato non � evidente?
> Per secoli il quinto postulato � sembrato
> a tutti estremamente evidente.
> [..]
> Per secoli il quinto postulato � sembrato
> a tutti estremamente evidente.
> Saccheri mor� l'anno stesso della pubblicazione della sua opera
> prima di rendersi conto che quello che gli pareva
> assurdo era invece del tutto corretto
> e costituiva lo sviluppo di una geometria non euclidea.
Per curiosità mia...
> prima di rendersi conto che quello che gli pareva
> assurdo era invece del tutto corretto
> e costituiva lo sviluppo di una geometria non euclidea.
Negando il V postulato si ottengono le geometrie non euclidee "famose".
Ce n'è qualcuna costruita sulla negazione di uno o più degli altri quattro
postulati?
Ciao!
Oceano
Jan 24, 2013, 7:36:42 AM1/24/13
to
fma...@gmail.com <fma...@gmail.com> ha scritto:
per es in geometria proiettiva non c'� l'assioma sulle parallele, non
esiste il concetto di parallele, in geometria affine poi esiste il concetto
di parallelismo euclideo ma mancano quei concetti che possono condurre a
ricavare una metrica euclidea.
poi ci sono le geometrie non archimedee.
per ora pi� di questo non ti so dire.....dovrei vedere nei libri o on line
ciao
esiste il concetto di parallele, in geometria affine poi esiste il concetto
di parallelismo euclideo ma mancano quei concetti che possono condurre a
ricavare una metrica euclidea.
poi ci sono le geometrie non archimedee.
per ora pi� di questo non ti so dire.....dovrei vedere nei libri o on line
ciao
Oceano
Jan 24, 2013, 8:11:11 AM1/24/13
to
radica...@gmail.com <radica...@gmail.com> ha scritto:
> Il giorno giovedì 24 gennaio 2013 10:49:13 UTC+1, oid ha scritto:
>
> > Per secoli il quinto postulato � sembrato a tutti
> > estremamente evidente.
>
> Vero.
>
<<Sempre nell'ottica euclidea, il Postulato delle parallele non
è ‘evidentemente vero', infatti non rimanda ad alcuna costruzione
geometrica che possa limitarsi sempre ad una porzione finita di piano. Pare
che lo stesso Euclide non fosse convinto dell'evidenza[2] del postulato e
questo è dimostrato dall'uso limitato che ne ha fatto nelle dimostrazioni
dei teoremi della sua geometria. Negli oltre duemila anni successivi alla
diffusione degli Elementi di Euclide, molti sono stati i tentativi di
dimostrare il V postulato o di riformularlo o, addirittura, di sostituirlo
con altri equivalenti. Tuttavia tali tentativi sono falliti in quanto i
ragionamenti riconducevano sempre all'uso del V postulato.>>
http://it.wikipedia.org/wiki/Geometria_non_euclidea
>
> E si scambio' "l' essere evidente" con "l' essere dimostrabile
> a partire da ...".
>
A leggere wikipedia in italiano ed in inglese e a leggere tutti i libri di
storia della matematica che parlano di questo problema non viene fuori
nulla di questo che dici tu qui sopra:)
Ma forse tu hai delle fonti a noi altri ignote e quindi citale pure a
conforto delle tue affermazioni:)
>
> Ma l' evidenza e' un qualcosa che appare ovvia al nostro
> spirito, alla nostra intuizione (spaziale, in questo caso).
> Null' altro che questo.
>
Ma vedi in effetti all'epoca di Euclide basavano tutto sui disegni. Ora,
come ho spiegato io dettagliatamente negli altri interventi, succede che
più l'angolo si approssimo a 180° e più il disegno diventa MENO preciso,
cioè meno approssimato e viene meno l'evidenza grafica.
Se poi vuoi approssimare maggiormente hai bisogno di ingrandire il disegno
e però per vedere se due rette si incontrano o meno hai bisogno di andare a
fare un disegno di cento metri magari:)
Ora, ti pare normale affidarsi ad un disegno così grande con tutti gli
errori di precisione che si possono avere?
Inoltre, se anche un disegno così grande ti dimostra che le parallele si
TOCCANO magari a cento metri di distanza ecco che io posso sempre RIDURTI
ancora aumentare l'angolo (la somma degli angoli interni) da una parte ma
NON è pari a 180°, magari mancano altri centesimi di secondo e tu sei
costretto a fare un disegno di un CHILOMETRO:)
Puoi tu fare un disegno di un chilometro per dimostrarmi il quinto
postulato?:)
Ora, tu dici che noi umani abbiamo bisogno di VEDERE con gli occhi. Ma se
il disegno è fatto benissimo e tu vedi due rette e GIURI, cioè ci metti la
mano sul fuoco che NON si incontrano mai, poi magari arriva uno che ha
fatto il disegno, PROLUNGA per mezzo metro e ti fa vedere che le due rette
si incontrano. Il disegno ci ha INGANNATI!
E sono questi i ragionamenti che facevano all'epoca di Euclide e quindi il
quinto postulato appariva poco evidente.
Cioè è evidente che se l'angolo è per es di 170° allora il disegno è facile
farlo e tu dici ok, ci credo, lo vedo, si incontrano.
Ma se l'angolo è 179° come fai a dire che si incontrano?
Dove lo vedi che si incontrano?
Più che altro uno lo DEDUCE da altri ragionamenti che si incontrano.
Ed ecco che allora questi ALTRI RAGIONAMENTI furono fatti e però non
riuscirono nell'intento di dimostrare il quinto postulato che rimaneva
quindi poco evidente.
A tal punto era poco evidente che Gauss si mise a fare le misure sulle tre
cime dei monti. Al tal punto poco evidente che si elaborarono le geometrie
non euclidee.
Infatti la geometria iperbolica ti dice: ho una unica parallela fino per es
a 170°, per gli angoli che vanno da 170 a 180 ho INFINITE parallele.
Da qui ti ricavi la geometria iperbolica.
POi, sta attento per favore, all'epoca si accorsero che la terra è SFERICA,
con tutto quello che ne deriva. Cioè si accorsero che per es la distanza
tra Roma e Parigi non è un segmento di retta ma una geodetica.
Quindi PARADOSSALMENTE non potevano neppure dire che SUL TERRENO si possono
fare quei famosi disegni.
Dove li fai quei disegni se la terra è curva e non piana?
Se tu fai il disegno di un km ecco che non puoi neppure dire che segui il
terreno piano, perché il terreno non è piano: a parte il fatto che
bisognerebbe livellarlo sempre.
Quindi l'evidenza non c'era, cioè la evidenza fisica diciamo. Resta però
l'evidenza logica.
Ma questa evidenza logica non si riesce a derivarla da altre evidenze
logiche e cioè da altri postulati.
Ed ecco che in realtà Euclide aveva ragione:)
Ebbe ragione lui a dire che il quinto postulato non lo puoi dimostrare in
alcun modo partendo da altri o facendo disegni.
Tu ed altri amici parlate del quinto postulato come di un fatto storico e
come se noi oggi avessimo risolto il problema.
Noi oggi non abbiamo risolto alcun problema, cioè dobbiamo convincerci
della esistenza della unicità della parallela per vie "torbide" del nostro
ragionamento, quelle vie che ha cercato Saccheri come altri.
Non c'è quindi nessuna forte evidenza a favore ma neppure una forte
evidenza contraria e quindi lo si accetta.
Ma al medesimo tempo è matematicamente logico fondare altre geometrie e
cioè le non euclidee. Gauss lo fece anche se con timore e altri lo
seguirono.
Se poi a questo aggiungi le faccende di astronomia (parallasse) e di fisica
teorica(relatività) ecco che il quadro si complica ulteriormente perché
Einstein parla di spazio-tempo curvo.
A questo punto allora la confusione su quale fosse la vera geometria regna
sovrana perché la fisica dice che la geometria dello spazio tempo è
qualcosa di ellittico.
La RIVOLUZIONE in matematica dell'Ottocento fu anche questa, e cioè la
geometria non era più scienza fisica, evidente fisicamemente parlando ma si
doveva FONDARE tutto su di un sistema assiomatico.
Questa sarà l'epoca della logica matematica, della distinzione fregeana
della sintassi dalla semantica fino poi a Russell e Goedel e ad oggi.
Tanto è vero che "accademicamente" nessuno più parla della VERA geometria,
ormai parlano tutti delle geometriE tra le quali c'è quella euclidea che
appare sensorialmente più intuitiva.
Io poi, ma io non conto nulla, sto cercando di dimostrare che la relatività
non funziona, ma questa è fisica. In ogni caso si va ad eliminare quello
spazio tempo curvo che tanta confusione in fisica ha generato ed anche in
matematica.
Ma a questo livello del discorso stiamo ancora facendo fisica o matematica?
Ti rendi conto che abbiamo fatto una infinità di riflessioni su cosa è lo
spazio, il tempo, la mente umana che indaga questo?
Quindi ecco che si ha la esigenza di FONDARE il discorso stesso e quindi
fare gnoseologia o epistemologia. Insomma siamo ancora una volta costretti
a ridefinire i termini del discorso per cercare la verità perfino sulle
parallele.
Ma se così procediamo usciamo dall'ambito (matematica e fisica) entro il
quale ci siamo collocati e facciamo filosofia come si suol dire, cioè
mettiamo dentro tutto quello che ci pare opportuno pur di giungere ad una
conclusione accettabile.
Magari ti vengono in mente (filosoficamente parlando) due raggi laser che
spari nello spazio e che sono in direzione PARALLELA e però poi si
incontrano. E se non si incontrano vanno all'infinito. Ma come facciamo a
saperlo?
Vedi c'è di mezzo l'infinitamente grande e piccolo nelle rette parallele:)
>
> Perche' mai se e' "evidente" ALLORA deve essere possibile
> farlo discendere da altre "evidenze" ? E' questo salto
> logico l' errore.
>
>
Ma tu qui parli SAPENDO dei sistemi assiomatici, loro non ne sapevano nulla
all'epoca e procedevano per intuizione.
Cioè partivano da altre evidenze che poi erano pure assiomi tanto meglio,
ma non è che volevano sistemare il sistema assiomatico. Quella è roba del
novecento, roba nostra insomma:)
ciao
Oceano
p.s. oh, in un modo o nell'altro è finita l'epoca di socratis e parenti:)
Ed il bello è che questo risultato (ottenuto da me:) è stato raggiunto
senza segare la linea a nessuno e senza neppure minacciare di segarla.
Hai visto come è potente la mente umana(la mia in questo caso) quando
indaga bene?:)
--
Pace e Bene
> Il giorno giovedì 24 gennaio 2013 10:49:13 UTC+1, oid ha scritto:
>
> > Per secoli il quinto postulato � sembrato a tutti
> > estremamente evidente.
>
> Vero.
>
è ‘evidentemente vero', infatti non rimanda ad alcuna costruzione
geometrica che possa limitarsi sempre ad una porzione finita di piano. Pare
che lo stesso Euclide non fosse convinto dell'evidenza[2] del postulato e
questo è dimostrato dall'uso limitato che ne ha fatto nelle dimostrazioni
dei teoremi della sua geometria. Negli oltre duemila anni successivi alla
diffusione degli Elementi di Euclide, molti sono stati i tentativi di
dimostrare il V postulato o di riformularlo o, addirittura, di sostituirlo
con altri equivalenti. Tuttavia tali tentativi sono falliti in quanto i
ragionamenti riconducevano sempre all'uso del V postulato.>>
http://it.wikipedia.org/wiki/Geometria_non_euclidea
>
> E si scambio' "l' essere evidente" con "l' essere dimostrabile
> a partire da ...".
>
storia della matematica che parlano di questo problema non viene fuori
nulla di questo che dici tu qui sopra:)
Ma forse tu hai delle fonti a noi altri ignote e quindi citale pure a
conforto delle tue affermazioni:)
>
> Ma l' evidenza e' un qualcosa che appare ovvia al nostro
> spirito, alla nostra intuizione (spaziale, in questo caso).
> Null' altro che questo.
>
come ho spiegato io dettagliatamente negli altri interventi, succede che
più l'angolo si approssimo a 180° e più il disegno diventa MENO preciso,
cioè meno approssimato e viene meno l'evidenza grafica.
Se poi vuoi approssimare maggiormente hai bisogno di ingrandire il disegno
e però per vedere se due rette si incontrano o meno hai bisogno di andare a
fare un disegno di cento metri magari:)
Ora, ti pare normale affidarsi ad un disegno così grande con tutti gli
errori di precisione che si possono avere?
Inoltre, se anche un disegno così grande ti dimostra che le parallele si
TOCCANO magari a cento metri di distanza ecco che io posso sempre RIDURTI
ancora aumentare l'angolo (la somma degli angoli interni) da una parte ma
NON è pari a 180°, magari mancano altri centesimi di secondo e tu sei
costretto a fare un disegno di un CHILOMETRO:)
Puoi tu fare un disegno di un chilometro per dimostrarmi il quinto
postulato?:)
Ora, tu dici che noi umani abbiamo bisogno di VEDERE con gli occhi. Ma se
il disegno è fatto benissimo e tu vedi due rette e GIURI, cioè ci metti la
mano sul fuoco che NON si incontrano mai, poi magari arriva uno che ha
fatto il disegno, PROLUNGA per mezzo metro e ti fa vedere che le due rette
si incontrano. Il disegno ci ha INGANNATI!
E sono questi i ragionamenti che facevano all'epoca di Euclide e quindi il
quinto postulato appariva poco evidente.
Cioè è evidente che se l'angolo è per es di 170° allora il disegno è facile
farlo e tu dici ok, ci credo, lo vedo, si incontrano.
Ma se l'angolo è 179° come fai a dire che si incontrano?
Dove lo vedi che si incontrano?
Più che altro uno lo DEDUCE da altri ragionamenti che si incontrano.
Ed ecco che allora questi ALTRI RAGIONAMENTI furono fatti e però non
riuscirono nell'intento di dimostrare il quinto postulato che rimaneva
quindi poco evidente.
A tal punto era poco evidente che Gauss si mise a fare le misure sulle tre
cime dei monti. Al tal punto poco evidente che si elaborarono le geometrie
non euclidee.
Infatti la geometria iperbolica ti dice: ho una unica parallela fino per es
a 170°, per gli angoli che vanno da 170 a 180 ho INFINITE parallele.
Da qui ti ricavi la geometria iperbolica.
POi, sta attento per favore, all'epoca si accorsero che la terra è SFERICA,
con tutto quello che ne deriva. Cioè si accorsero che per es la distanza
tra Roma e Parigi non è un segmento di retta ma una geodetica.
Quindi PARADOSSALMENTE non potevano neppure dire che SUL TERRENO si possono
fare quei famosi disegni.
Dove li fai quei disegni se la terra è curva e non piana?
Se tu fai il disegno di un km ecco che non puoi neppure dire che segui il
terreno piano, perché il terreno non è piano: a parte il fatto che
bisognerebbe livellarlo sempre.
Quindi l'evidenza non c'era, cioè la evidenza fisica diciamo. Resta però
l'evidenza logica.
Ma questa evidenza logica non si riesce a derivarla da altre evidenze
logiche e cioè da altri postulati.
Ed ecco che in realtà Euclide aveva ragione:)
Ebbe ragione lui a dire che il quinto postulato non lo puoi dimostrare in
alcun modo partendo da altri o facendo disegni.
Tu ed altri amici parlate del quinto postulato come di un fatto storico e
come se noi oggi avessimo risolto il problema.
Noi oggi non abbiamo risolto alcun problema, cioè dobbiamo convincerci
della esistenza della unicità della parallela per vie "torbide" del nostro
ragionamento, quelle vie che ha cercato Saccheri come altri.
Non c'è quindi nessuna forte evidenza a favore ma neppure una forte
evidenza contraria e quindi lo si accetta.
Ma al medesimo tempo è matematicamente logico fondare altre geometrie e
cioè le non euclidee. Gauss lo fece anche se con timore e altri lo
seguirono.
Se poi a questo aggiungi le faccende di astronomia (parallasse) e di fisica
teorica(relatività) ecco che il quadro si complica ulteriormente perché
Einstein parla di spazio-tempo curvo.
A questo punto allora la confusione su quale fosse la vera geometria regna
sovrana perché la fisica dice che la geometria dello spazio tempo è
qualcosa di ellittico.
La RIVOLUZIONE in matematica dell'Ottocento fu anche questa, e cioè la
geometria non era più scienza fisica, evidente fisicamemente parlando ma si
doveva FONDARE tutto su di un sistema assiomatico.
Questa sarà l'epoca della logica matematica, della distinzione fregeana
della sintassi dalla semantica fino poi a Russell e Goedel e ad oggi.
Tanto è vero che "accademicamente" nessuno più parla della VERA geometria,
ormai parlano tutti delle geometriE tra le quali c'è quella euclidea che
appare sensorialmente più intuitiva.
Io poi, ma io non conto nulla, sto cercando di dimostrare che la relatività
non funziona, ma questa è fisica. In ogni caso si va ad eliminare quello
spazio tempo curvo che tanta confusione in fisica ha generato ed anche in
matematica.
Ma a questo livello del discorso stiamo ancora facendo fisica o matematica?
Ti rendi conto che abbiamo fatto una infinità di riflessioni su cosa è lo
spazio, il tempo, la mente umana che indaga questo?
Quindi ecco che si ha la esigenza di FONDARE il discorso stesso e quindi
fare gnoseologia o epistemologia. Insomma siamo ancora una volta costretti
a ridefinire i termini del discorso per cercare la verità perfino sulle
parallele.
Ma se così procediamo usciamo dall'ambito (matematica e fisica) entro il
quale ci siamo collocati e facciamo filosofia come si suol dire, cioè
mettiamo dentro tutto quello che ci pare opportuno pur di giungere ad una
conclusione accettabile.
Magari ti vengono in mente (filosoficamente parlando) due raggi laser che
spari nello spazio e che sono in direzione PARALLELA e però poi si
incontrano. E se non si incontrano vanno all'infinito. Ma come facciamo a
saperlo?
Vedi c'è di mezzo l'infinitamente grande e piccolo nelle rette parallele:)
>
> Perche' mai se e' "evidente" ALLORA deve essere possibile
> farlo discendere da altre "evidenze" ? E' questo salto
> logico l' errore.
>
>
all'epoca e procedevano per intuizione.
Cioè partivano da altre evidenze che poi erano pure assiomi tanto meglio,
ma non è che volevano sistemare il sistema assiomatico. Quella è roba del
novecento, roba nostra insomma:)
ciao
Oceano
p.s. oh, in un modo o nell'altro è finita l'epoca di socratis e parenti:)
Ed il bello è che questo risultato (ottenuto da me:) è stato raggiunto
senza segare la linea a nessuno e senza neppure minacciare di segarla.
Hai visto come è potente la mente umana(la mia in questo caso) quando
indaga bene?:)
--
Pace e Bene
Giorgio Pastore
Jan 24, 2013, 4:22:55 PM1/24/13
to
On 1/24/13 12:37 PM, fma...@gmail.com wrote:
....
ellittica e' esclusa.
> Ce n'è qualcuna costruita sulla negazione di uno o più degli altri quattro
> postulati?
quella ellittica: p.es. puoi ottenerla negando l' unicita' della retta
che passa per due punti.
Giorgio
....
> Per curiosità mia...
> Negando il V postulato si ottengono le geometrie non euclidee "famose".
geometriE ? si ottiene solo quella iperbolica (Lobachevsky). Quella
> Negando il V postulato si ottengono le geometrie non euclidee "famose".
ellittica e' esclusa.
> Ce n'è qualcuna costruita sulla negazione di uno o più degli altri quattro
> postulati?
che passa per due punti.
Giorgio
Tetis
Jan 24, 2013, 5:07:39 PM1/24/13
to
Giorgio Pastore ha pensato forte :
>> Per curiositￜ mia...
fosse nota al tempo di Euclide, dal momento che non piￜ essere immersa
in alcuno spazio euclideo. E' caratterizzata dal fatto che la sua
assiomatica ￜ completamente contenuta nella geometria euclidea, senza
altra modifica se non la rinuncia al quinto postulato (ed ammettendo
gli assiomi di secondo ordine necessari alla categoricitￜ, altrimenti
esistono infiniti modelli piani ed infiniti modelli iperbolici) La
geometria ellittica, distinta dalla geometria sferica, ￜ la seconda
geometria non euclidea ad essere scoperta in tempi recenti ed ￜ ancora
una geometria senza quinto postulato che non puￜ essere immersa in
alcuno spazio euclideo.
>> Ce n'ￜ qualcuna costruita sulla negazione di uno o piￜ degli altri quattro
geometrie non euclidee con il quinto postulato. La risposta ￜ
affermativa ed un gran numero di esse furono studiate da Hilbert, Fano
e Dehn. Alcune di queste sono dette non archimedee perchￜ rinunciano al
postualato di Archimede, esistono poi geometrie che assumono modifiche
importanti all'impianto degli assiomi di incidenza, d'ordine, e vari
altri. Quelle studiate sono molto meno di quelle che esistono nel mondo
platonico delle idee, ma sono studiate o per precise ragioni
concettuali, (dimostrazioni di indipendenza o dipendenza di certi
teoremi da certi assiomi), o per ragioni pratiche (principalmente avere
un'assiomatica geometrica per certi sistemi algebrici di relazioni
scaturiti dalla geometria algebrica e dall'algebra)
> Giorgio
>> Per curiositￜ mia...
>> Negando il V postulato si ottengono le geometrie non euclidee "famose".
>
> geometriE ? si ottiene solo quella iperbolica (Lobachevsky). Quella ellittica
> e' esclusa.
:-) La geometria iperbolica ￜ la prima geometria non euclidea che non
>
> geometriE ? si ottiene solo quella iperbolica (Lobachevsky). Quella ellittica
> e' esclusa.
fosse nota al tempo di Euclide, dal momento che non piￜ essere immersa
in alcuno spazio euclideo. E' caratterizzata dal fatto che la sua
assiomatica ￜ completamente contenuta nella geometria euclidea, senza
altra modifica se non la rinuncia al quinto postulato (ed ammettendo
gli assiomi di secondo ordine necessari alla categoricitￜ, altrimenti
esistono infiniti modelli piani ed infiniti modelli iperbolici) La
geometria ellittica, distinta dalla geometria sferica, ￜ la seconda
geometria non euclidea ad essere scoperta in tempi recenti ed ￜ ancora
una geometria senza quinto postulato che non puￜ essere immersa in
alcuno spazio euclideo.
>> Ce n'ￜ qualcuna costruita sulla negazione di uno o piￜ degli altri quattro
>> postulati?
>
> quella ellittica: p.es. puoi ottenerla negando l' unicita' della retta che
> passa per due punti.
Secondo me la domanda di fmassei era mirata a scoprire se esistono
>
> quella ellittica: p.es. puoi ottenerla negando l' unicita' della retta che
> passa per due punti.
geometrie non euclidee con il quinto postulato. La risposta ￜ
affermativa ed un gran numero di esse furono studiate da Hilbert, Fano
e Dehn. Alcune di queste sono dette non archimedee perchￜ rinunciano al
postualato di Archimede, esistono poi geometrie che assumono modifiche
importanti all'impianto degli assiomi di incidenza, d'ordine, e vari
altri. Quelle studiate sono molto meno di quelle che esistono nel mondo
platonico delle idee, ma sono studiate o per precise ragioni
concettuali, (dimostrazioni di indipendenza o dipendenza di certi
teoremi da certi assiomi), o per ragioni pratiche (principalmente avere
un'assiomatica geometrica per certi sistemi algebrici di relazioni
scaturiti dalla geometria algebrica e dall'algebra)
> Giorgio
El Filibustero
Jan 24, 2013, 5:53:48 PM1/24/13
to
On Thu, 24 Jan 2013 22:22:55 +0100, Giorgio Pastore wrote:
>> Negando il V postulato si ottengono le geometrie non euclidee "famose".
>
>geometriE ? si ottiene solo quella iperbolica (Lobachevsky). Quella
>ellittica e' esclusa.
>
>> Ce n'� qualcuna costruita sulla negazione di uno o pi� degli altri quattro
>> Negando il V postulato si ottengono le geometrie non euclidee "famose".
>
>geometriE ? si ottiene solo quella iperbolica (Lobachevsky). Quella
>ellittica e' esclusa.
>
>> postulati?
>
>quella ellittica: p.es. puoi ottenerla negando l' unicita' della retta
>che passa per due punti.
No. In geometria ellittica la retta passante per due punti e' unica: si
>
>quella ellittica: p.es. puoi ottenerla negando l' unicita' della retta
>che passa per due punti.
nega piuttosto la prolungabilita' indefinita di un segmento. Ciao
Giorgio Pastore
Jan 24, 2013, 7:00:52 PM1/24/13
to
On 1/24/13 11:53 PM, El Filibustero wrote:
...
Per quel che vedo, storicamente sono state considerate tutte e due le
scelte.
Se utilizzi come modello per una geometria nel piano ellittico la
superficie della sfera, e se consideri "punto" la coppia di punti dello
spazio euclideo diametralmente opposti, hai l' unicita' della retta
(cerchio massimo) per 2 punti non coincidenti. Ma violeresti la
punto non euclideo, violi l' unicita' della retta per due punti non
coincidenti, oltre alla prolungabilita', ma, fin dove riesco a vedere,
continui ad avere un modello consistente di geometria ellittica.
Dimentico qualcosa ?
Giorgio
...
> No. In geometria ellittica la retta passante per due punti e' unica: si
> nega piuttosto la prolungabilita' indefinita di un segmento.
E' una vecchia storia.
> nega piuttosto la prolungabilita' indefinita di un segmento.
Per quel che vedo, storicamente sono state considerate tutte e due le
scelte.
Se utilizzi come modello per una geometria nel piano ellittico la
superficie della sfera, e se consideri "punto" la coppia di punti dello
spazio euclideo diametralmente opposti, hai l' unicita' della retta
(cerchio massimo) per 2 punti non coincidenti. Ma violeresti la
prolungabilita' indefinita di un segmento.
Se invece usi un punto euclideo sulla sup. della sfera come modello del
punto non euclideo, violi l' unicita' della retta per due punti non
coincidenti, oltre alla prolungabilita', ma, fin dove riesco a vedere,
continui ad avere un modello consistente di geometria ellittica.
Dimentico qualcosa ?
Giorgio
Tetis
Jan 25, 2013, 7:02:00 AM1/25/13
to
Giorgio Pastore ha pensato forte :
> On 1/24/13 11:53 PM, El Filibustero wrote:
> ...
>> No. In geometria ellittica la retta passante per due punti e' unica: si
>> nega piuttosto la prolungabilita' indefinita di un segmento.
>
> E' una vecchia storia.
> Per quel che vedo, storicamente sono state considerate tutte e due le scelte.
> Se utilizzi come modello per una geometria nel piano ellittico la superficie
> della sfera, e se consideri "punto" la coppia di punti dello spazio euclideo
> diametralmente opposti, hai l' unicita' della retta (cerchio massimo) per 2
> punti non coincidenti. Ma violeresti la prolungabilita' indefinita di un
> segmento.
E' solo una questione di nomenclatura: geometria ellittica non è
> ...
>> No. In geometria ellittica la retta passante per due punti e' unica: si
>> nega piuttosto la prolungabilita' indefinita di un segmento.
>
> E' una vecchia storia.
> Per quel che vedo, storicamente sono state considerate tutte e due le scelte.
> Se utilizzi come modello per una geometria nel piano ellittico la superficie
> della sfera, e se consideri "punto" la coppia di punti dello spazio euclideo
> diametralmente opposti, hai l' unicita' della retta (cerchio massimo) per 2
> punti non coincidenti. Ma violeresti la prolungabilita' indefinita di un
> segmento.
sinonimo di geometria sferica. Entrambe le geometrie si chiamano
geometrie riemanniane sulla base del fatto che fanno spazio ad un
assioma sostitutivo del V, introdotto da Riemann appunto, che dice:
"due rette qualsiasi nel piano hanno almeno un punto in comune".
La geometria sferica si ottiene modificando il I assioma di Hilbert con
l'introduzione delle coppie di punti antipodali: per punti appartenenti
a coppie distinte passa una ed una sola retta, per punti della stesse
coppia passano più rette. Vanno modificati di conseguenza gli assiomi
del secondo gruppo, che riguardano l'ordinamento, sostituendo la
nozione di "un punto sta tra" con la nozione di "una coppia di punti
separa un'altra coppia" che è un concetto primitivo le cui proprietà
sono precisate dai cinque assiomi del II gruppo, opportunamente
modificati. La geometria ellittica richiede meno modifiche, in
particolare gli assiomi del I gruppo rimangono invariati.
Oceano
Jan 25, 2013, 7:15:06 AM1/25/13
to
Tetis <lje...@yahoo.it> ha scritto:
>
>
> E' solo una questione di nomenclatura: geometria ellittica non è
> sinonimo di geometria sferica. Entrambe le geometrie si chiamano
> geometrie riemanniane sulla base del fatto che fanno spazio ad un
> assioma sostitutivo del V, introdotto da Riemann appunto, che dice:
> "due rette qualsiasi nel piano hanno almeno un punto in comune".
>
Quando Einstein si mise all'opera sul modello di De Sitter usò la geometria
ellittica di Riemann? Oppure in definitiva pensava ad una sfera immensa sulla
quale collocare le galassie? In questo secondo caso poteva fare a meno della
geometria ellittica e rifarsi unicamente alla geometria sulla sfera?
Fano(1935) non è molto chiaro al riguardo, o almeno io non l'ho capito bene.
Ciao
>
>
> E' solo una questione di nomenclatura: geometria ellittica non è
> sinonimo di geometria sferica. Entrambe le geometrie si chiamano
> geometrie riemanniane sulla base del fatto che fanno spazio ad un
> assioma sostitutivo del V, introdotto da Riemann appunto, che dice:
> "due rette qualsiasi nel piano hanno almeno un punto in comune".
>
ellittica di Riemann? Oppure in definitiva pensava ad una sfera immensa sulla
quale collocare le galassie? In questo secondo caso poteva fare a meno della
geometria ellittica e rifarsi unicamente alla geometria sulla sfera?
Fano(1935) non è molto chiaro al riguardo, o almeno io non l'ho capito bene.
Ciao
Oceano
Jan 25, 2013, 7:37:45 AM1/25/13
to
Giorgio Pastore <pas...@units.it> ha scritto:
> .....
come stai? :)
Vedo che ti diletti a fare sempre il bastian contrario:)
Secondo quanto affermi qui sopra bisognerebbe cambiare i titoli
ad una infinità di libri che parlano al PLURALE delle geometrie non euclidee:)
Entrando nel dettaglio, tu sai che il quinto postulato afferma quanto segue:
<<Se una retta taglia altre due rette determinando dallo stesso lato angoli
interni la cui somma è minore di quella di due angoli retti, prolungando
indefinitamente le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove la somma
dei due angoli è minore di due angoli retti.>>
http://it.wikipedia.org/wiki/V_postulato_di_Euclide
Mi piace richiamare subito la tua cortese attenzione sul fatto che questo
famoso quinto postulato in effetti non è che definisca il parallelismo.
Euclide infatti definisce il parallelismo altrove.
Però il quinto postulato è passato alla storia (e chissà perché) come se
stesse lì a definire il parallelismo ma in realtà parla solo di rette
INCIDENTI che si ottengono al di sotto di un ben preciso anglo e cioè per
angoli minore di 90° + 90°.
A rigore quindi se uno non accetta questo famoso quinto postulato non è che
scompare la parallela, quella a noi nota, quella unica insomma.
Quella RIMANE:)
Scopare ovviamente la sua unicità.
In pratica per angoli compresi tra 180° e per es 90° + 80° tu fai passare
INFINITE parallele perché dici che NON si incontrano e quindi VIOLI il quinto
postulato che afferma altro come puoi leggere sopra.
Per angoli al di sotto poi di 90 + 80 fai valere il quinto postulato.
Quindi a rigore il quinto postulato uno lo cambia e lo riafferma solo per
angoli al di sotto PER ESEMPIO (è un esempio il valore che ho scelto) 90 + 80.
Ora qui la evidenza c'è, perché ho ho già spiegato nei posts precedenti, il
disegno DIMOSTRA, cioè non ho il bisogno di fare continue approssimazioni e
se anche le facessi a 90 + 80 ecco che riuscirò sempre a VEDERE l'incidenza.
Fino a qui Lobachesvi come hai detto giustamente tu:)
Ma io potrei anche negare il quinto postulato in toto e cioè dire: NON ESISTE
alcuna retta B data per un punto esterno alla retta A che non la incontra mai.
In pratica sto negando la esistenza di qualsiasi parallela, pure quella che
noi vediamo abitualmente e che intuitivamente accettiamo da sempre, cioè
quando l'angolo tra le rette è esattamente 90° + 90°.
Tanto è vero che qui ne viene fuori una geometria ellittica dove TUTTE le
rette (geodetiche) si incontrano SEMPRE.
Ed è esattamente per questo motivo che la geometria costruibile sulla sfera
(piuttosto che sul piano) è ellittica. E' una geometria NON euclidea proprio
perché non si accetta il quinto postulato.
Quindi la geometria sulla sfera è a tutti gli effetti una geometria non
euclidea, ed infatti non vale il teorema di pitagora per es e la distanza
minima tra due punti è data dalla geodetica e non dal segmento di retta.
Ma noi la accettiamo come MODELLO di geometria ellittica (non è l'unico
modello) proprio perché le geodetiche si incontrano SEMPRE ai poli.
Ora se io mi inventassi un'altra superficie dove le geodetiche si incontrano
sempre e quindi dove non esiste alcuna parallela ecco che avrei UN ALTRO
modello di geometria ellittica.
In pratica la geometria ellittica è OGNI geometria costruibile su una qualche
superficie dove NON esiste alcuna parallela. La geometria sferica è una di
queste ma non l'unica.
Da qui allora la esigenza di NON far coincidere la geometria ellittica con la
geometria sferica perché quest'ultima è solo una delle possibili.
Un po' come quando uno parla di spazio vettoriale e però sa bene che non c'è
solo quello i cui elementi sono vettori geometrici ma anche quello dove i cui
elementi sono matrici o FUNZIONI in dato intervallo (a,b) o serie ecc.
Quindi il concetto di spazio vettoriale (spazio lineare) diventa GENERALE
cioè astratto e denota una pluralità (molteplicità) di spazi vettoriali.
Ciao, grazie per la tua attenzione e stammi bene:)
Oceano
p.s. OFF TOPIC Hai visto il MontI paschi siena che ha salvato la banca
omonima insieme a BERLUSANI? Chissà come mai lo scandalo è venuto fuori
proprio ora durante la campgna elettorale:)
Renzi?:) E' stato Renzi a imbeccare quelli della rai?
Oppure lo stesso Berlusconi?
Secondo me è stato Berlusconi che sta presentando il conto, cioè che da i
colpi di coda prima di uscire definitivamente di scena.
Un bel po' di ricatti insomma affinché le leggi ad personam e la sua azienda
non vengano toccate.
Cosa ne pensi al riguardo?
Magari se ne può parlare sul ng di economia, dove sto spiegando a diversi
amici di quel ng i libri di Antonella Randazzo e la sua visione della storia.
So del tuo sincero interesse per la storia, l'antropologia, la sociologia e
quindi per una visione critica della politica.
Sei il benvenuto insomma!
--
Pace e Bene
> .....
> > Per curiosità mia...
> > Negando il V postulato si ottengono le geometrie non euclidee "famose".
>
> geometriE ? si ottiene solo quella iperbolica (Lobachevsky). Quella
> ellittica e' esclusa.
>
>
Ciao Giorgio,
> > Negando il V postulato si ottengono le geometrie non euclidee "famose".
>
> geometriE ? si ottiene solo quella iperbolica (Lobachevsky). Quella
> ellittica e' esclusa.
>
>
come stai? :)
Vedo che ti diletti a fare sempre il bastian contrario:)
Secondo quanto affermi qui sopra bisognerebbe cambiare i titoli
ad una infinità di libri che parlano al PLURALE delle geometrie non euclidee:)
Entrando nel dettaglio, tu sai che il quinto postulato afferma quanto segue:
<<Se una retta taglia altre due rette determinando dallo stesso lato angoli
interni la cui somma è minore di quella di due angoli retti, prolungando
indefinitamente le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove la somma
dei due angoli è minore di due angoli retti.>>
http://it.wikipedia.org/wiki/V_postulato_di_Euclide
famoso quinto postulato in effetti non è che definisca il parallelismo.
Euclide infatti definisce il parallelismo altrove.
Però il quinto postulato è passato alla storia (e chissà perché) come se
stesse lì a definire il parallelismo ma in realtà parla solo di rette
INCIDENTI che si ottengono al di sotto di un ben preciso anglo e cioè per
angoli minore di 90° + 90°.
A rigore quindi se uno non accetta questo famoso quinto postulato non è che
scompare la parallela, quella a noi nota, quella unica insomma.
Quella RIMANE:)
Scopare ovviamente la sua unicità.
In pratica per angoli compresi tra 180° e per es 90° + 80° tu fai passare
INFINITE parallele perché dici che NON si incontrano e quindi VIOLI il quinto
postulato che afferma altro come puoi leggere sopra.
Per angoli al di sotto poi di 90 + 80 fai valere il quinto postulato.
Quindi a rigore il quinto postulato uno lo cambia e lo riafferma solo per
angoli al di sotto PER ESEMPIO (è un esempio il valore che ho scelto) 90 + 80.
Ora qui la evidenza c'è, perché ho ho già spiegato nei posts precedenti, il
disegno DIMOSTRA, cioè non ho il bisogno di fare continue approssimazioni e
se anche le facessi a 90 + 80 ecco che riuscirò sempre a VEDERE l'incidenza.
Fino a qui Lobachesvi come hai detto giustamente tu:)
Ma io potrei anche negare il quinto postulato in toto e cioè dire: NON ESISTE
alcuna retta B data per un punto esterno alla retta A che non la incontra mai.
In pratica sto negando la esistenza di qualsiasi parallela, pure quella che
noi vediamo abitualmente e che intuitivamente accettiamo da sempre, cioè
quando l'angolo tra le rette è esattamente 90° + 90°.
Tanto è vero che qui ne viene fuori una geometria ellittica dove TUTTE le
rette (geodetiche) si incontrano SEMPRE.
Ed è esattamente per questo motivo che la geometria costruibile sulla sfera
(piuttosto che sul piano) è ellittica. E' una geometria NON euclidea proprio
perché non si accetta il quinto postulato.
Quindi la geometria sulla sfera è a tutti gli effetti una geometria non
euclidea, ed infatti non vale il teorema di pitagora per es e la distanza
minima tra due punti è data dalla geodetica e non dal segmento di retta.
Ma noi la accettiamo come MODELLO di geometria ellittica (non è l'unico
modello) proprio perché le geodetiche si incontrano SEMPRE ai poli.
Ora se io mi inventassi un'altra superficie dove le geodetiche si incontrano
sempre e quindi dove non esiste alcuna parallela ecco che avrei UN ALTRO
modello di geometria ellittica.
In pratica la geometria ellittica è OGNI geometria costruibile su una qualche
superficie dove NON esiste alcuna parallela. La geometria sferica è una di
queste ma non l'unica.
Da qui allora la esigenza di NON far coincidere la geometria ellittica con la
geometria sferica perché quest'ultima è solo una delle possibili.
Un po' come quando uno parla di spazio vettoriale e però sa bene che non c'è
solo quello i cui elementi sono vettori geometrici ma anche quello dove i cui
elementi sono matrici o FUNZIONI in dato intervallo (a,b) o serie ecc.
Quindi il concetto di spazio vettoriale (spazio lineare) diventa GENERALE
cioè astratto e denota una pluralità (molteplicità) di spazi vettoriali.
Ciao, grazie per la tua attenzione e stammi bene:)
Oceano
p.s. OFF TOPIC Hai visto il MontI paschi siena che ha salvato la banca
omonima insieme a BERLUSANI? Chissà come mai lo scandalo è venuto fuori
proprio ora durante la campgna elettorale:)
Renzi?:) E' stato Renzi a imbeccare quelli della rai?
Oppure lo stesso Berlusconi?
Secondo me è stato Berlusconi che sta presentando il conto, cioè che da i
colpi di coda prima di uscire definitivamente di scena.
Un bel po' di ricatti insomma affinché le leggi ad personam e la sua azienda
non vengano toccate.
Cosa ne pensi al riguardo?
Magari se ne può parlare sul ng di economia, dove sto spiegando a diversi
amici di quel ng i libri di Antonella Randazzo e la sua visione della storia.
So del tuo sincero interesse per la storia, l'antropologia, la sociologia e
quindi per una visione critica della politica.
Sei il benvenuto insomma!
--
Pace e Bene
El Filibustero
Jan 25, 2013, 8:30:31 AM1/25/13
to
ellittica, si intende comunemente senz'altro quella teoria del primo
modello che hai citato. Se vuoi chiamare "geometria ellittica" anche quella
del secondo modello, *che e' un'altra teoria*, fallo pure, ma non parleremo
piu' delLA geometria ellittica, ma di UNA geometria ellittica. E questo non
va tanto d'accordo con quanto intendevi all'inizio del post:
>geometriE ? si ottiene solo quella iperbolica (Lobachevsky). Quella
>ellittica e' esclusa.
Oceano
Jan 25, 2013, 9:00:43 AM1/25/13
to
El Filibustero <spal...@gmail.com> ha scritto:
> On Fri, 25 Jan 2013 01:00:52 +0100, Giorgio Pastore wrote:
>
> >> No. In geometria ellittica la retta passante per due punti e' unica: si
> >> nega piuttosto la prolungabilita' indefinita di un segmento.
> >
ah ecco, forse ho capito dove ￜ nata la confusione.
In effetti noi stiamo VIOLANDO il quinto postulato e sia lobachesvski (geo
iperbolica) che Riemann (geo ellittica) lo violano come ho giￜ spiegato in
risposta al nostro Giorgio.
Lobachevski prende una infinitￜ di parallele al di sotto di un certo angolo con
in piￜ la solita parallela, quella che definisce anche Euclide.
Riemann invece ELIMINA ogni possibile parallela, cioￜ TUTTE le rette sono
incidenti, non esiste alcuna parallela.
In ENTRAMBI in casi abbiamo VIOLATO il quinto postulato.
Tanto ￜ vero questo che i modelli di geo iperbolica sulla pseudosfera si vede
che le rette incidenti sul piano lￜ disegnate non si incidono mai. Invece sulla
sfera si incidono tutte ai poli.
In questo senso allora la geometria sulla sfera ￜ UNA (una delle tante)
geometrie ellittiche e non l'unica. Infatti potrei avere anche la geometria s
ull'ELLISSOIDE o su altra superficie, IN PICCOLO OVVIAMENTE.
Che poi _ATTENZIONE_ Riemann abbia mantenuto il postulato sulla unicitￜ della
retta per due punti ￜ altro discorso ancora.
In ogni caso la geometria sulla sfera VIOLA il quinto postulato ed ￜ un modello
di geometria ellittica, non l'unico.
In ogni caso siamo in presenza delle GEOMETRIE non euclidee, infatti qui
abbiamo chiarito meglio il perchￜ.
>>
> >E' una vecchia storia.
> >Per quel che vedo, storicamente sono state considerate tutte e due le
> >scelte.
> >Se utilizzi come modello per una geometria nel piano ellittico la
> >superficie della sfera, e se consideri "punto" la coppia di punti dello
> >spazio euclideo diametralmente opposti, hai l' unicita' della retta
> >(cerchio massimo) per 2 punti non coincidenti. Ma violeresti la
> >prolungabilita' indefinita di un segmento.
> >
Ma qui stai parlando di MODELLI e Giorgio invece diceva
che la geo non euclidea ￜ solo quella Lobachevki (geo iperbolica)mentre
anche quella di Riemann (geo ellittica) VIOLA il quinto postulato.
>>
> >Se invece usi un punto euclideo sulla sup. della sfera come modello del
> >punto non euclideo, violi l' unicita' della retta per due punti non
> >coincidenti, oltre alla prolungabilita', ma, fin dove riesco a vedere,
> >continui ad avere un modello consistente di geometria ellittica.
> >Dimentico qualcosa ?
>
Dimentichi di dire IN PICCOLO, cosￜ come sulla pseudosfera.
In pratica dobbiamo evitare di pensare alla superficie in termini infiniti.
>
> L'OP ha parlato di *famose* geometrie non euclidee:
>
E vediamo il Ghedini di turno cosa ha da dirci in difesa
del suo imputato che come ￜ ovvio andrￜ interpretato come il
credente interpreta le Sacre Scritture:)
>
>se si dice LA geometria
> ellittica, si intende comunemente senz'altro quella teoria del primo
> modello che hai citato.
>
Si intende quella di Riemann, che come quella di Lobachevskij
VIOLA il quinto postulato. Riemann lo VIOLA perchￜ dice: per una retta
data ogni retta passante per un punto fuori di essa la INCIDE SEMPRE.
In pratica abbiamo la INESISTENZA della parallela con Riemann, con Lobachesvkij
invece ne abbiamo di infinite.
COn Euclide ne abbiamo UNA ed UNA sola.
>
>Se vuoi chiamare "geometria ellittica" anche quella
> del secondo modello, *che e' un'altra teoria*, fallo pure,
>
Perchￜ dici che sarebbe un'altra teoria?
QUello ￜ un MODELLO, lo hanno usato tutti i grandi matematici
come Klein, Poincarￜ, Hilbert ed in tutti gli incontri internazionali non gli
hanno mai detto: quella ￜ un'altra teoria ma falla pure:)
Conosci ARTICOLI di riviste specializzate che la pensano come te?
Insomma, tu Ghedini puoi confortare la TUA tesi (che rispetto) citandoci studi
internazionali?
Perchￜ non pubblichi tu qualcosa allora su questo caso?:)
>
> ma non parleremo
> piu' delLA geometria ellittica, ma di UNA geometria ellittica. E questo non
> va tanto d'accordo con quanto intendevi all'inizio del post:
>
Klein diceva che noi tutti siamo chiamati a fare continua chiarezza
in questo mare di concetti apparentemente univoci e dati una volta per tutte.
Tu a modo tuo hai fatto chiarezza ma secondo me non a sufficienza:)
Se quella sulla pseudosfera ￜ un modello lo ￜ anche quella sulla sfera.
Le geometrie sono tali anche se non siamo in grado di fare i disegni e quindi
di visualizzarle. Pensa lo spazio ad n dimensioni per es.
Ora nel nostro caso abbiamo la fortuna di visualizzare su alcune superfici sia
la geometria euclidea(piano) che la geometria ellittica (sfera e ellissoide)
che la iperbolica (pseudosfera).
Hai mai visto tu un piano infinito? Hai solo visto rettangoli:)
Cosￜ anche la sfera o l'ellissoide o la pseudosfera ci confermano le due non
euclidee in PICCOLO.
Il fatto che si possano incontrare poi ai poli le due geodetiche posso perfino
evitarlo parlando di una sfera INFINITA:)
Se la sfera ￜ infinita e questo ￜ un infinito potenziale, ecco, dove ￜ che si
incontrano le due geodetiche?
Quando tu disegni il piano, ￜ vero o non ￜ vero che parti dal CENTRO del piano?
Pensi poi di allungarti in tutte le direzioni e tu ti senti al centro di quel
piano.
Anche per la sfera o la pseudosfera puoi fare la stessa cosa.
Immagina di disegnare sul foglio di carta che ￜ a sua volta POGGIATO su di una
sfera o ellissoide o pseudosfera.
A quel punto tu prolunghia destra o sinistra e perￜ dici che quella superficie
ￜ INFINITA.
Quindi, in PICCOLO quelle superfici vanno bene se pensate infinite poi
risolvono il problema alla radice.
Ma, e concludo, ￜ anche vero che un conto ￜ parlare di sfera (che ￜ FINITA)
altro ￜ parlare di superficie sferica infinita, che ￜ altro discorso e segue la
impostazione del piano euclideo infinito.
Ciao
Oceano
p.s. Salutami Berlusconi:) ah ah
si scherza!
--
Pace e Bene
> On Fri, 25 Jan 2013 01:00:52 +0100, Giorgio Pastore wrote:
>
> >> No. In geometria ellittica la retta passante per due punti e' unica: si
> >> nega piuttosto la prolungabilita' indefinita di un segmento.
> >
In effetti noi stiamo VIOLANDO il quinto postulato e sia lobachesvski (geo
iperbolica) che Riemann (geo ellittica) lo violano come ho giￜ spiegato in
risposta al nostro Giorgio.
Lobachevski prende una infinitￜ di parallele al di sotto di un certo angolo con
in piￜ la solita parallela, quella che definisce anche Euclide.
Riemann invece ELIMINA ogni possibile parallela, cioￜ TUTTE le rette sono
incidenti, non esiste alcuna parallela.
In ENTRAMBI in casi abbiamo VIOLATO il quinto postulato.
Tanto ￜ vero questo che i modelli di geo iperbolica sulla pseudosfera si vede
che le rette incidenti sul piano lￜ disegnate non si incidono mai. Invece sulla
sfera si incidono tutte ai poli.
In questo senso allora la geometria sulla sfera ￜ UNA (una delle tante)
geometrie ellittiche e non l'unica. Infatti potrei avere anche la geometria s
ull'ELLISSOIDE o su altra superficie, IN PICCOLO OVVIAMENTE.
Che poi _ATTENZIONE_ Riemann abbia mantenuto il postulato sulla unicitￜ della
retta per due punti ￜ altro discorso ancora.
In ogni caso la geometria sulla sfera VIOLA il quinto postulato ed ￜ un modello
di geometria ellittica, non l'unico.
In ogni caso siamo in presenza delle GEOMETRIE non euclidee, infatti qui
abbiamo chiarito meglio il perchￜ.
>>
> >E' una vecchia storia.
> >Per quel che vedo, storicamente sono state considerate tutte e due le
> >scelte.
> >Se utilizzi come modello per una geometria nel piano ellittico la
> >superficie della sfera, e se consideri "punto" la coppia di punti dello
> >spazio euclideo diametralmente opposti, hai l' unicita' della retta
> >(cerchio massimo) per 2 punti non coincidenti. Ma violeresti la
> >prolungabilita' indefinita di un segmento.
> >
che la geo non euclidea ￜ solo quella Lobachevki (geo iperbolica)mentre
anche quella di Riemann (geo ellittica) VIOLA il quinto postulato.
>>
> >Se invece usi un punto euclideo sulla sup. della sfera come modello del
> >punto non euclideo, violi l' unicita' della retta per due punti non
> >coincidenti, oltre alla prolungabilita', ma, fin dove riesco a vedere,
> >continui ad avere un modello consistente di geometria ellittica.
> >Dimentico qualcosa ?
>
In pratica dobbiamo evitare di pensare alla superficie in termini infiniti.
>
> L'OP ha parlato di *famose* geometrie non euclidee:
>
del suo imputato che come ￜ ovvio andrￜ interpretato come il
credente interpreta le Sacre Scritture:)
>
>se si dice LA geometria
> ellittica, si intende comunemente senz'altro quella teoria del primo
> modello che hai citato.
>
VIOLA il quinto postulato. Riemann lo VIOLA perchￜ dice: per una retta
data ogni retta passante per un punto fuori di essa la INCIDE SEMPRE.
In pratica abbiamo la INESISTENZA della parallela con Riemann, con Lobachesvkij
invece ne abbiamo di infinite.
COn Euclide ne abbiamo UNA ed UNA sola.
>
>Se vuoi chiamare "geometria ellittica" anche quella
> del secondo modello, *che e' un'altra teoria*, fallo pure,
>
QUello ￜ un MODELLO, lo hanno usato tutti i grandi matematici
come Klein, Poincarￜ, Hilbert ed in tutti gli incontri internazionali non gli
hanno mai detto: quella ￜ un'altra teoria ma falla pure:)
Conosci ARTICOLI di riviste specializzate che la pensano come te?
Insomma, tu Ghedini puoi confortare la TUA tesi (che rispetto) citandoci studi
internazionali?
Perchￜ non pubblichi tu qualcosa allora su questo caso?:)
>
> ma non parleremo
> piu' delLA geometria ellittica, ma di UNA geometria ellittica. E questo non
> va tanto d'accordo con quanto intendevi all'inizio del post:
>
in questo mare di concetti apparentemente univoci e dati una volta per tutte.
Tu a modo tuo hai fatto chiarezza ma secondo me non a sufficienza:)
Se quella sulla pseudosfera ￜ un modello lo ￜ anche quella sulla sfera.
Le geometrie sono tali anche se non siamo in grado di fare i disegni e quindi
di visualizzarle. Pensa lo spazio ad n dimensioni per es.
Ora nel nostro caso abbiamo la fortuna di visualizzare su alcune superfici sia
la geometria euclidea(piano) che la geometria ellittica (sfera e ellissoide)
che la iperbolica (pseudosfera).
Hai mai visto tu un piano infinito? Hai solo visto rettangoli:)
Cosￜ anche la sfera o l'ellissoide o la pseudosfera ci confermano le due non
euclidee in PICCOLO.
Il fatto che si possano incontrare poi ai poli le due geodetiche posso perfino
evitarlo parlando di una sfera INFINITA:)
Se la sfera ￜ infinita e questo ￜ un infinito potenziale, ecco, dove ￜ che si
incontrano le due geodetiche?
Quando tu disegni il piano, ￜ vero o non ￜ vero che parti dal CENTRO del piano?
Pensi poi di allungarti in tutte le direzioni e tu ti senti al centro di quel
piano.
Anche per la sfera o la pseudosfera puoi fare la stessa cosa.
Immagina di disegnare sul foglio di carta che ￜ a sua volta POGGIATO su di una
sfera o ellissoide o pseudosfera.
A quel punto tu prolunghia destra o sinistra e perￜ dici che quella superficie
ￜ INFINITA.
Quindi, in PICCOLO quelle superfici vanno bene se pensate infinite poi
risolvono il problema alla radice.
Ma, e concludo, ￜ anche vero che un conto ￜ parlare di sfera (che ￜ FINITA)
altro ￜ parlare di superficie sferica infinita, che ￜ altro discorso e segue la
impostazione del piano euclideo infinito.
Ciao
Oceano
p.s. Salutami Berlusconi:) ah ah
si scherza!
--
Pace e Bene
Giorgio Pastore
Jan 25, 2013, 6:40:06 PM1/25/13
to
On 1/25/13 2:30 PM, El Filibustero wrote:
....
Considero la mia osservazione di sostanza. Se si tiene tutto di
Euclide, tranne il V postulato, l' esistenza di una parallela ad una
retta per un punto esterno e' un teorema. Ma non l' unicita'. In questo
senso, dalla negazione del V postulato da solo, la geometria della
superficie della sfera in cui le rette sono rppresenta, comunque la si
voglia chiamare, non puo' venir fuori. Occorre eliminare o modificare
anche qualcos' altro, oltre il V postulato, per arrivare a dei postulati
che descrivano la geometria sulla superficie a curvatura costante
positiva. Come la aveva messa l' OP, in accordo con molta vulgata
presente anche su libri di testo, dalla negazione de V postulato,
potrebbero scaturire anche geometrie su superfici di curvatura costante
positiva.
Era questo il punto che volevo sollevare obiettando sul plurale.
Giorgio
....
> L'OP ha parlato di *famose* geometrie non euclidee: se si dice LA geometria
> ellittica, si intende comunemente senz'altro quella teoria del primo
> modello che hai citato. Se vuoi chiamare "geometria ellittica" anche quella
> del secondo modello, *che e' un'altra teoria*, fallo pure, ma non parleremo
> piu' delLA geometria ellittica, ma di UNA geometria ellittica. E questo non
> va tanto d'accordo con quanto intendevi all'inizio del post:
>
>> geometriE ? si ottiene solo quella iperbolica (Lobachevsky). Quella
>> ellittica e' esclusa.
Separiamo le questioni di nomenclatura da quelle di sostanza.
> ellittica, si intende comunemente senz'altro quella teoria del primo
> modello che hai citato. Se vuoi chiamare "geometria ellittica" anche quella
> del secondo modello, *che e' un'altra teoria*, fallo pure, ma non parleremo
> piu' delLA geometria ellittica, ma di UNA geometria ellittica. E questo non
> va tanto d'accordo con quanto intendevi all'inizio del post:
>
>> geometriE ? si ottiene solo quella iperbolica (Lobachevsky). Quella
>> ellittica e' esclusa.
Considero la mia osservazione di sostanza. Se si tiene tutto di
Euclide, tranne il V postulato, l' esistenza di una parallela ad una
retta per un punto esterno e' un teorema. Ma non l' unicita'. In questo
senso, dalla negazione del V postulato da solo, la geometria della
superficie della sfera in cui le rette sono rppresenta, comunque la si
voglia chiamare, non puo' venir fuori. Occorre eliminare o modificare
anche qualcos' altro, oltre il V postulato, per arrivare a dei postulati
che descrivano la geometria sulla superficie a curvatura costante
positiva. Come la aveva messa l' OP, in accordo con molta vulgata
presente anche su libri di testo, dalla negazione de V postulato,
potrebbero scaturire anche geometrie su superfici di curvatura costante
positiva.
Era questo il punto che volevo sollevare obiettando sul plurale.
Giorgio
Oceano
Jan 26, 2013, 6:47:18 AM1/26/13
to
> comunque la si
> voglia chiamare, non puo' venir fuori. Occorre eliminare o modificare
> anche qualcos' altro, oltre il V postulato, per arrivare a dei postulati
> che descrivano la geometria sulla superficie a curvatura costante
> positiva.
>
E' vero, hai ragione e mi sembra che nessuno
> voglia chiamare, non puo' venir fuori. Occorre eliminare o modificare
> anche qualcos' altro, oltre il V postulato, per arrivare a dei postulati
> che descrivano la geometria sulla superficie a curvatura costante
> positiva.
>
ti abbia detto il contrario, neppure io:)
Solo ti si faceva notare che in ogni caso anche quella
che costruisci sulla superficie della sfera è una geometria
NON euclidea, da qui il fatto che siamo costretti a parlare
di geometrie NON euclidee.
Per es sul TORO che geometria viene fuori?
Sul cilindro viene fuori quella euclidea.
>
>Come la aveva messa l' OP, in accordo con molta vulgata
> presente anche su libri di testo, dalla negazione de V postulato,
> potrebbero scaturire anche geometrie su superfici di curvatura costante
> positiva.
>
> Era questo il punto che volevo sollevare obiettando sul plurale.
>
>
Ti dico come la penso io al riguardo, così ampliamo il discorso.
1. Secondo la vulgata il quinto postulato verte sulle rette parallele.
Questo è vero ma solo in parte, perché Euclide definisce altrove il
parallelismo e l'unicità della parallela.
Il quinto postulato verte sulla retta incidente per per un punto esterno alla
retta data, infatti il quinto postulato parla unicamente per un angolo MINORE
di PI e non dice nulla sull'angolo uguale a PI, in quest'ultimo caso Euclide è
chiaro e perentorio nella definizione 28 o 29 o altrove se non sbaglio.
2. La non evidenza del quinto postulato è tutta da CHIARIRE.
Non è chiaro in CHE SENSO non è evidente questo quinto postulato, tanto è vero
sono stato proprio io a spiegarmi in che modo non sarebbe evidente pensando
ad approssimare l'angolo che tende a PI infinitesimalmente.
Ma una volta chiarita la questione, se adotto il concetto di limite(come ho
detto) il quinto postulato è evidente.
Ovvero al tendere dell'angolo a PI le due rette non si incontrano più, negli
altri casi si incontrano sempre.
Al massimo si dovrebbe mettere in discussione la definizione sulla unicità
della parallela, perché in quel caso uno potrebbe dire: ma come faccio a
verificare che per un angolo pari a PI non si incontrano mai? Non posso mica
andare all'infinito!
Forse, e siccome i greci non volevano tirare in ballo l'infinito, la
definizione sulla unicità della parallela tira in ballo l'infinito, non
piacendo questa allora ci si appoggiava al quinto postulato, che però, non
essendo chiaro il concetto di limite ecco che non veniva visto in modo chiaro,
evidente.
MI spiego meglio:
Se io EVITO la definizione sulla unicità della parallela, neppure parlo della
retta parallela.
Euclide però dice che per angoli inferiori a PI le due rette si incontrano da
questo lato, dall'altra non si incontrano, e questo è evidente.
Ma al TENDERE dell'angolo a PI la cosa diventa meno evidente, cioè meno
evidente che NON si incontrano per un angoolo pari a PI.
In pratica il quinto postulato RIMANDA alla definizione sulla unicità perché
pressuppone (per come fu enunciato) l'esistenza della parallela unica e quindi
il discorso sull'infinito che loro non accettavano.
CIoè, per angoli inferiori a PI si incontrano, dall'altra parte non si
incontrano. E fino a qui ci siamo.
Ma questo modo di ragionare IMPLICA che per angoli pari a PI non si incontrano
più.
Quindi il quinto postulato parla INDIRETTAMENTE, e cioè IMPLICA la unicità
della parallela anche se non ne parla in modo esplicito.
Quindi, probabilmente (a differenza di come gli storici hanno interpretato la
faccenda) non è la INCIDENZA che viene messa in discussione quanto la NON
incidenza per un angolo pari a PI.
Ma allora come mai la definizione di parallelismo è stata passata inosservata?
Ed è qui che io ora per es dovrei andarmi a leggere l'epistolario di Gauss e
altri per capire BENE come la pensavano senza farmi mediare dal solito storico.
Ma io non ho ne il tempo ne conosco il tedesco:)
In ogni caso spero sia chiaro in CHE SENSO il quinto postulato non andava bene,
come vedi ancora oggi ci solleva tanti dubbi.
Però noi a differenza dei greci assiomatizziamo anche cose NON evidenti e
quindi la cosa non ci disturba. Come a dire: sarà fisicamente vera la
asserzione, sarà fisicamente falsa, chi se ne frega, io la enuncio poi derivo e
poi si vedrà.
Noi a differenza dei greci enunciamo qualsiasi cosa e poi deriviamo e poi
vediamo dove si va a finire e non potendo dimostrare vero o falso in senso
semantico (questo lo fa la fisica con gli esperimenti) accettiamo il tutto per
via sintattica, cioè osserviamo solo la correttezza del discorso inferenziale e
basta.
Tetis
Jan 27, 2013, 10:39:42 AM1/27/13
to
Giorgio Pastore ha spiegato il 26/01/2013 :
parallela.
> In questo senso, dalla
> negazione del V postulato da solo, la geometria della superficie della sfera
> in cui le rette sono rppresenta, comunque la si voglia chiamare, non puo'
> venir fuori. Occorre eliminare o modificare anche qualcos' altro, oltre il V
> postulato, per arrivare a dei postulati che descrivano la geometria sulla
> superficie a curvatura costante positiva. Come la aveva messa l' OP, in
> accordo con molta vulgata presente anche su libri di testo, dalla negazione
> de V postulato, potrebbero scaturire anche geometrie su superfici di
> curvatura costante positiva.
E' vero, sono d'accordo, esiste della divulgazione copia incolla che
estrapolando qualche frase induce in errore.
Tuttavia ￜ importante dire che esistono assiomatiche piￜ moderne di
quella euclidea, ma essenzialmente identiche nello spirito, che con
poco sforzo forniscono un terreno comune a tutte le geometrie.
L'assiomatica in questione, sviluppata gradualmente giￜ a partire dalla
formalizzazione della geoemetria proiettiva era giￜ pronta quando fu
scoperta la geometria iperbolica ed ￜ essenzialmente l'assiomatica
della geometria ellittica, in cui tutti gli assiomi tranne il V e
quelli di ordinamento sono presi dall'assiomatica di Hilbert, in luogo
degli assiomi del II gruppo si trovano gli assiomi di separazione che
si formulano in termini di coppie di punti mutuamente separanti.
Con questa base, rinunciando agli assiomi di congruenza si ottiene la
geometria proiettiva, ripristinandoli senza pronunziarsi sul V
postulato, si ottiene una geometria assoluta ed infine introducendo in
una forma o in un altra il V postulato si ottengono le geometrie del
piano ampliato metrico ellittico, euclideo, iperbolico. Di questi
sistemi assiomatici si ottiene facilmente un modello analitico, i
modelli di Klein, sulla falsa riga del modello di Poincarￜ. In
particolare il modello di Klein per il piano proiettivo iperbolico ￜ
una rimappatura conforme del modello di Poincarￜ, e questo fu il primo
indizio del fatto che gli assiomi della geometria proiettiva
costituissero una base per un concetto geometrico piￜ ampio, basato sul
gruppo di invarianza conforme. La geometria conforme. Non a caso Connes
in un suo dialogo-intervista sulla matematica mette al primo posto fra
i suoi giocattoli matematici il disco di Klein.
Per avere un'assiomatica valida della geometria sferica, puￜ sembrare
paradossalmente ma ￜ cosￜ, occorre fare piￜ sforzo di quanto ne occorra
per ottenere la goemetria iperbolica ed ellittica, modificando anche
gli assiomi del primo gruppo (per due punti passa una sola retta non ￜ
vero in geometria sferica, ma occorre dire per due punti appartenenti a
coppie polari distinti, etc...)
> Era questo il punto che volevo sollevare obiettando sul plurale.
Nella prospettiva che ho indicato ￜ un punto di vista corretto, ma ￜ
vero che a volte con tutte le confuse nuove idee sulla geometria, vien
voglia di dire arridatece Euclide.
> Giorgio
> On 1/25/13 2:30 PM, El Filibustero wrote:
> ....
>> L'OP ha parlato di *famose* geometrie non euclidee: se si dice LA geometria
>> ellittica, si intende comunemente senz'altro quella teoria del primo
>> modello che hai citato. Se vuoi chiamare "geometria ellittica" anche quella
>> del secondo modello, *che e' un'altra teoria*, fallo pure, ma non parleremo
>> piu' delLA geometria ellittica, ma di UNA geometria ellittica. E questo non
>> va tanto d'accordo con quanto intendevi all'inizio del post:
>>
>>> geometriE ? si ottiene solo quella iperbolica (Lobachevsky). Quella
>>> ellittica e' esclusa.
>
>
> Separiamo le questioni di nomenclatura da quelle di sostanza.
>
> Considero la mia osservazione di sostanza. Se si tiene tutto di Euclide,
> tranne il V postulato, l' esistenza di una parallela ad una retta per un
> punto esterno e' un teorema. Ma non l' unicita'.
E' vero ￜ un teorema della geometria assoluta l'esistenza di una
> ....
>> L'OP ha parlato di *famose* geometrie non euclidee: se si dice LA geometria
>> ellittica, si intende comunemente senz'altro quella teoria del primo
>> modello che hai citato. Se vuoi chiamare "geometria ellittica" anche quella
>> del secondo modello, *che e' un'altra teoria*, fallo pure, ma non parleremo
>> piu' delLA geometria ellittica, ma di UNA geometria ellittica. E questo non
>> va tanto d'accordo con quanto intendevi all'inizio del post:
>>
>>> geometriE ? si ottiene solo quella iperbolica (Lobachevsky). Quella
>>> ellittica e' esclusa.
>
>
> Separiamo le questioni di nomenclatura da quelle di sostanza.
>
> Considero la mia osservazione di sostanza. Se si tiene tutto di Euclide,
> tranne il V postulato, l' esistenza di una parallela ad una retta per un
> punto esterno e' un teorema. Ma non l' unicita'.
parallela.
> In questo senso, dalla
> negazione del V postulato da solo, la geometria della superficie della sfera
> in cui le rette sono rppresenta, comunque la si voglia chiamare, non puo'
> venir fuori. Occorre eliminare o modificare anche qualcos' altro, oltre il V
> postulato, per arrivare a dei postulati che descrivano la geometria sulla
> superficie a curvatura costante positiva. Come la aveva messa l' OP, in
> accordo con molta vulgata presente anche su libri di testo, dalla negazione
> de V postulato, potrebbero scaturire anche geometrie su superfici di
> curvatura costante positiva.
estrapolando qualche frase induce in errore.
Tuttavia ￜ importante dire che esistono assiomatiche piￜ moderne di
quella euclidea, ma essenzialmente identiche nello spirito, che con
poco sforzo forniscono un terreno comune a tutte le geometrie.
L'assiomatica in questione, sviluppata gradualmente giￜ a partire dalla
formalizzazione della geoemetria proiettiva era giￜ pronta quando fu
scoperta la geometria iperbolica ed ￜ essenzialmente l'assiomatica
della geometria ellittica, in cui tutti gli assiomi tranne il V e
quelli di ordinamento sono presi dall'assiomatica di Hilbert, in luogo
degli assiomi del II gruppo si trovano gli assiomi di separazione che
si formulano in termini di coppie di punti mutuamente separanti.
Con questa base, rinunciando agli assiomi di congruenza si ottiene la
geometria proiettiva, ripristinandoli senza pronunziarsi sul V
postulato, si ottiene una geometria assoluta ed infine introducendo in
una forma o in un altra il V postulato si ottengono le geometrie del
piano ampliato metrico ellittico, euclideo, iperbolico. Di questi
sistemi assiomatici si ottiene facilmente un modello analitico, i
modelli di Klein, sulla falsa riga del modello di Poincarￜ. In
particolare il modello di Klein per il piano proiettivo iperbolico ￜ
una rimappatura conforme del modello di Poincarￜ, e questo fu il primo
indizio del fatto che gli assiomi della geometria proiettiva
costituissero una base per un concetto geometrico piￜ ampio, basato sul
gruppo di invarianza conforme. La geometria conforme. Non a caso Connes
in un suo dialogo-intervista sulla matematica mette al primo posto fra
i suoi giocattoli matematici il disco di Klein.
Per avere un'assiomatica valida della geometria sferica, puￜ sembrare
paradossalmente ma ￜ cosￜ, occorre fare piￜ sforzo di quanto ne occorra
per ottenere la goemetria iperbolica ed ellittica, modificando anche
gli assiomi del primo gruppo (per due punti passa una sola retta non ￜ
vero in geometria sferica, ma occorre dire per due punti appartenenti a
coppie polari distinti, etc...)
> Era questo il punto che volevo sollevare obiettando sul plurale.
vero che a volte con tutte le confuse nuove idee sulla geometria, vien
voglia di dire arridatece Euclide.
> Giorgio
Giorgio Pastore
Jan 27, 2013, 11:58:50 AM1/27/13
to
On 1/27/13 4:39 PM, Tetis wrote:
....
di "arridatece Euclide-Hilbert" :-) ).
Attualmente, nel sistema scolastico, la geometria euclidea come
prototipo di sistema deduttivo e' praticamnte scomparsa ritornando ad un
insieme di "regole pratiche" che forse meglio sarebbe chiamare geometria
"babilonese" (invece che euclidea).
Giorgio
....
> Nella prospettiva che ho indicato ￜ un punto di vista corretto, ma ￜ
> vero che a volte con tutte le confuse nuove idee sulla geometria, vien
> voglia di dire arridatece Euclide.
Dal punto di vista didattico, sottoscrivo (magari nella forma riveduta
> vero che a volte con tutte le confuse nuove idee sulla geometria, vien
> voglia di dire arridatece Euclide.
di "arridatece Euclide-Hilbert" :-) ).
Attualmente, nel sistema scolastico, la geometria euclidea come
prototipo di sistema deduttivo e' praticamnte scomparsa ritornando ad un
insieme di "regole pratiche" che forse meglio sarebbe chiamare geometria
"babilonese" (invece che euclidea).
Giorgio
lefthand
Jan 28, 2013, 4:44:53 PM1/28/13
to
Il Sun, 27 Jan 2013 17:58:50 +0100, Giorgio Pastore ha scritto:
> Attualmente, nel sistema scolastico, la geometria euclidea come
> prototipo di sistema deduttivo e' praticamnte scomparsa ritornando ad un
> insieme di "regole pratiche" che forse meglio sarebbe chiamare geometria
> "babilonese" (invece che euclidea).
"Sistema scolastico" è un po' generico. Mia figlia per esempio si sta
> Attualmente, nel sistema scolastico, la geometria euclidea come
> prototipo di sistema deduttivo e' praticamnte scomparsa ritornando ad un
> insieme di "regole pratiche" che forse meglio sarebbe chiamare geometria
> "babilonese" (invece che euclidea).
sciroppando quantità di dimostrazioni arzigogolate che si potrebbero fare
in un amen usando le simmetrie che invece non le sono nemmeno state
nominate :-(
--
"Oggi la scienza ha scoperto come asportare il cuore di un uomo [...].
E la propaganda è riuscita in più occasioni ad asportare la mente di
intere nazioni." (Brian Fawcett, Cambogia)
Giorgio Pastore
Jan 28, 2013, 5:55:27 PM1/28/13
to
On 1/28/13 10:44 PM, lefthand wrote:
....
riferimento alle esprienze dei miei figli (2) ma a quello che vedo su
centinaia di matricole di Fisica negli ultimi anni, provenienti da
diversi tipi di superiori e da diverse citta' italiane.
In ogni modo, il punto non e' quanti teoremi studiano. Ma con che
concatenazione. Se si studia un teorema ogni 5 si imparera' anche i
singoli teoremi. Ma la cosecutio, per cui il passaggio X del teorema A10
e' il teorema C2 dimostrato 5 teoremi prima, si perde completamente.
Nelle edizioni classiche degli elementi,ogni affermazione ha un rimando
a quale definizione, teorema o postulato la giustifica. Questo e'
scomparso da un pezzo nelle trattazioni scolastiche. Secondo me
costituirebbe un' ottima palestra per lo sviluppo dei sistemi formali.
Solo che e' un metodo scomparso. Generalmente il colpevole viene
additato nel tempo che manca e le cose da fare. Pero' allora sarebbe
forse meglio lasciar stare del tutto.
Giorgio
....
> "Sistema scolastico" è un po' generico. Mia figlia per esempio si sta
> sciroppando quantità di dimostrazioni arzigogolate che si potrebbero fare
> in un amen usando le simmetrie che invece non le sono nemmeno state
> nominate :-(
Infatti la mia osservazione era generica, nel senso che non facevo
> sciroppando quantità di dimostrazioni arzigogolate che si potrebbero fare
> in un amen usando le simmetrie che invece non le sono nemmeno state
> nominate :-(
riferimento alle esprienze dei miei figli (2) ma a quello che vedo su
centinaia di matricole di Fisica negli ultimi anni, provenienti da
diversi tipi di superiori e da diverse citta' italiane.
In ogni modo, il punto non e' quanti teoremi studiano. Ma con che
concatenazione. Se si studia un teorema ogni 5 si imparera' anche i
singoli teoremi. Ma la cosecutio, per cui il passaggio X del teorema A10
e' il teorema C2 dimostrato 5 teoremi prima, si perde completamente.
Nelle edizioni classiche degli elementi,ogni affermazione ha un rimando
a quale definizione, teorema o postulato la giustifica. Questo e'
scomparso da un pezzo nelle trattazioni scolastiche. Secondo me
costituirebbe un' ottima palestra per lo sviluppo dei sistemi formali.
Solo che e' un metodo scomparso. Generalmente il colpevole viene
additato nel tempo che manca e le cose da fare. Pero' allora sarebbe
forse meglio lasciar stare del tutto.
Giorgio
padree...@yahoo.it
Jan 29, 2013, 9:15:27 AM1/29/13
to
Il giorno lunedì 28 gennaio 2013 22:44:53 UTC+1, lefthand ha scritto:
> Il Sun, 27 Jan 2013 17:58:50 +0100, Giorgio Pastore ha scritto:
>
>
>
>
>
> > Attualmente, nel sistema scolastico, la geometria euclidea come
>
> > prototipo di sistema deduttivo e' praticamnte scomparsa ritornando ad un
>
> > insieme di "regole pratiche" che forse meglio sarebbe chiamare geometria
>
> > "babilonese" (invece che euclidea).
>
>
Guardando i libri scolastici che vengono adottati a me invece
> Il Sun, 27 Jan 2013 17:58:50 +0100, Giorgio Pastore ha scritto:
>
>
>
>
>
> > Attualmente, nel sistema scolastico, la geometria euclidea come
>
> > prototipo di sistema deduttivo e' praticamnte scomparsa ritornando ad un
>
> > insieme di "regole pratiche" che forse meglio sarebbe chiamare geometria
>
> > "babilonese" (invece che euclidea).
>
>
sembra che la geometria euclidea goda di ottima salute.
Penso però che gli STUDENTI la apprendano come un insieme di regole pratiche
dimenticando che si tratta di un sistema assiomatico.
Non è facile per i ragazzi a quella età vedere che quello di Euclideo
è un sistema inventato dall'essere umano e non invece una sorta di insieme di fenomeni naturali autoevidenti.
In
>
> "Sistema scolastico" è un po' generico. Mia figlia per esempio si sta
>
> sciroppando quantità di dimostrazioni arzigogolate che si potrebbero fare
>
> in un amen usando le simmetrie che invece non le sono nemmeno state
>
> nominate :-(
>
>
La colpa è ovviamente della didattica che usano gli insegnanti. Questa didattica pretende di tramandare un preciso ragionamento come una sorta di dogma da ripetere a memoria.
Insomma, così come si memorizza una formula allo stesso modo si memorizza un teorema. In pratica si memorizza il RISULTATO e non il ragionamento dimostrativo.
Io a scuola ho sempre avuto problemi di memoria e me la cavavo perché ero obbligato a ripetere il ragionamento. Pensavo di avere una marcia in meno perché in realtà non studiavo a fondo e però gli insegnangi mi premiavano per il fatto che ragionavo:)
Inutile dire che nelle materie umanistiche ero scarso perché non mi interessavano e c'era ben poco da ragionarci sopra.
>
> --
>
> "Oggi la scienza ha scoperto come asportare il cuore di un uomo [...].
>
> E la propaganda è riuscita in più occasioni ad asportare la mente di
>
> intere nazioni." (Brian Fawcett, Cambogia)
>
http://antonellarandazzo.blogspot.it/2011/06/schede-libri-di-antonella-randazzo.html
Ci trovi diversi libri di storia dove la storia viene interpretata con alcune delle categorie che riporti tu qui sopra.
Qui siamo off topic e quindi non ne possiamo parlare se non come in questo caso, se provi a vedere il ng it.economia, lì ne parlo in modo più approfondito.
CIao
Oceano
lefthand
Jan 29, 2013, 2:40:32 PM1/29/13
to
Il Tue, 29 Jan 2013 06:15:27 -0800, padree...@yahoo.it ha scritto:
> Non è facile per i ragazzi a quella età vedere che quello di Euclideo è
> un sistema inventato dall'essere umano e non invece una sorta di insieme
> di fenomeni naturali autoevidenti.
non sono mica tanto convinto che fosse come dici tu. Considera per
> Non è facile per i ragazzi a quella età vedere che quello di Euclideo è
> un sistema inventato dall'essere umano e non invece una sorta di insieme
> di fenomeni naturali autoevidenti.
esempio l'assioma: "Dati due segni è possibile tracciare per essi
un'unica linea dritta." Lo riconosci?
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