verifica dell'esistenza di un flesso senza calcolo della derivata seconda
m4rc0
dove vengono calcolati gli zeri della funzione, i punti critici, gli
asintoti e poi il grafico della funzione viene spicciamente tracciato "a
mano libera" disegnando i flessi senza calcolare la derivata seconda.
In un esercizio, in particolare, dopo avere provato la non esistenza di
asintoti orizzontali, i due rami della funzione che tendono a infinito
sono tracciati supponendo la presenza di flessi per ottenerne la concavitￜ.
Ragionando sul perchￜ, ho pensato: il limite a +-inf di f(x) ￜ inf; il
limite a +-inf di f(x)/x ￜ 0; quindi la funzione da un certo punto in
avanti, a destra come a sinistra, deve stare "sotto" qualunque ipotetico
asintoto (che non esiste), e perciￜ non puￜ essere convessa.
Ho detto bene o male? Se ho detto male, mi potete spiegare come
determinare la presenza di flessi in casi del genere, senza calcolare la
derivata seconda? Grazie.
Tetis
> Il mio eserciziario contiene degli esercizi di studi di funzione svolti
> dove vengono calcolati gli zeri della funzione, i punti critici, gli
> asintoti e poi il grafico della funzione viene spicciamente tracciato "a
> mano libera" disegnando i flessi senza calcolare la derivata seconda.
In effetti alcune circostanze possono rendere necessaria l'esistenza
di un flesso, in genere è più difficile escludere che ce ne sia più
d'uno.
> In un esercizio, in particolare, dopo avere provato la non esistenza di
> asintoti orizzontali, i due rami della funzione che tendono a infinito
> sono tracciati supponendo la presenza di flessi per ottenerne la concavità.
> Ragionando sul perché, ho pensato: il limite a +-inf di f(x) è inf; il
> limite a +-inf di f(x)/x è 0; quindi la funzione da un certo punto in
> avanti, a destra come a sinistra, deve stare "sotto" qualunque ipotetico
> asintoto (che non esiste), e perciò non può essere convessa.
Si è vero. Una dimostrazione è basata sul teorema di Lagrange , se la
funzione è continua e derivabile:
se la funzione fosse anche convessa la derivata sarebbe monotona
crescente, sia ora x = a tale che f ' (a) non è nulla. (se tale punto
non esiste la funzione è costante) e consideriamo dapprima il caso f
' (a) > 0 allora per x > a:
(f(x)-f(a))/(x-a) = f ' (y)
dove y è in [a,x].
ora se la funzione fosse convessa dovremmo avere f ' (y) > f(a) per
y>a e dunque il limite, per x -> +oo, di (f(x)-f(a))/(x-a),
che è uguale al limite di f(x)/x, dovrebbe essere maggiore di f ' (a)
> 0. Ma abbiamo detto che il limite di f(x)/x è nullo.
Il caso che f ' (a) < 0 si tratta considerando la funzione ausiliaria g
(x) = f(-x) che è ancora convessa se f è convessa ma è tale che g ' (-
a) > 0.
Nota che non è stato necessario utilizzare l'ipotesi che la funzione
diverge.
Tetis
> Ragionando sul perché, ho pensato: il limite a +-inf di f(x) è inf; il
> limite a +-inf di f(x)/x è 0; quindi la funzione da un certo punto in
> avanti, a destra come a sinistra, deve stare "sotto" qualunque ipotetico
> asintoto (che non esiste), e perciò non può essere convessa.
> Ho detto bene o male? Se ho detto male, mi potete spiegare come
> determinare la presenza di flessi in casi del genere, senza calcolare la
> derivata seconda? Grazie.
Un modo geometrico più aderente alla tua intuizione, per dimostrare il
risultato è il seguente, sia f(x) debolmente convessa (cioè può
verificarsi che il suo grafico contenga tratti rettilinei), allora il
dominio {(x,y) | y > f(x)} è convesso, consideriamo ora una semiretta
( r(x) la sua funzione) che sta tutta a destra dell'asse delle
ordinate, tranne l'origine che sta sull'asse delle ordinate, e che
inoltre stia sopra il grafico di f. Consideriamo adesso
l'intersezione dei tre domini debolmente convessi:
{(x,y) | y > f(x)}
{(x,y) | x > 0}
{(x,y) | y < r(x)}
per un teorema generale dell'analisi convessa questo è un dominio
convesso (ad esempio la dimostrazione è in Lang "Algebra lineare"). è
facile dimostrare che questo dominio deve contenere:
{(x,y) | y > f(0) + (r(x)-r(0)) }
{(x,y) | x > 0}
{(x,y) | y < r(x)}
ma se questo è vero per ogni semiretta deve risultare che il grafico
della funzione è tale che f(x) <= f(0) (per esempio il grafico di exp(-
x) per x>0 verifica esattamente questa proprietà). Analogamente si
procede per il ramo sinistro. In conclusione: f(0) risulterebbe il
punto di massimo di una funzione debolmente convessa. Ma poichè la
scelta dell'origine degli assi è arbitraria la funzione deve essere
costante (due punti di massimo globale hanno il medesimo valore)
m4rc0
Grazie!