Google Groups no longer supports new Usenet posts or subscriptions. Historical content remains viewable.
Dismiss
Superfici aperte o chiuse
672 views
Skip to first unread message
paolap...@gmail.com
Jul 3, 2018, 4:42:09 PM7/3/18
to
Una superficie che delimita un solido è aperta o chiusa? So che si dice aperto un insieme che contenga la sua chiusura, perdonatemi l’imprecisione. Ma per distinguere una superficie dall’altra, come si fa? Grazie per l’attenzione.
JTS
Jul 3, 2018, 4:51:52 PM7/3/18
to
Am 03.07.2018 um 22:42 schrieb paolap...@gmail.com:
> Una superficie che delimita un solido è aperta o chiusa? So che si dice aperto un insieme che contenga la sua chiusura, perdonatemi l’imprecisione. Ma per distinguere una superficie dall’altra, come si fa? Grazie per l’attenzione.
>
La risposta ben motivata spero la potranno dare altri. Nella
> Una superficie che delimita un solido è aperta o chiusa? So che si dice aperto un insieme che contenga la sua chiusura, perdonatemi l’imprecisione. Ma per distinguere una superficie dall’altra, come si fa? Grazie per l’attenzione.
>
rappresentazione delle cose che ho in mente, se la superficie che
delimita il solido non ha bordo e' sia aperta che chiusa, perche'
coincide con l'insieme nel quale e' definita; non e' un sottoinsieme del
piano, mi pare coincidere con la superficie della sfera (bisognerebbe
sapere quali trasformazioni fra superfici si devono prendere in
considerazione).
Ora pero' c'e' bisogno di qualcuno che spieghi le cose con maggiore
coerenza, e magari anche corregga eventuali miei errori ;-)
paolap...@gmail.com
Jul 3, 2018, 5:43:51 PM7/3/18
to
Dal punto di vista topologico equivale senz’altro ad una sfera. Come faccio a dire se ha o non ha bordo: una superficie non ha spessore! A scuola identifico brutalmente le superfici ‘chiuse’ con quelle per cui si può distinguere un dentro da un fuori, ma è una definizione molto limitannte è imprecisa, me ne rendo conto.
JTS
Jul 3, 2018, 6:05:17 PM7/3/18
to
Am 03.07.2018 um 23:43 schrieb paolap...@gmail.com:
> Dal punto di vista topologico equivale senz’altro ad una sfera. Come faccio a dire se ha o non ha bordo: una superficie non ha spessore! A scuola identifico brutalmente le superfici ‘chiuse’ con quelle per cui si può distinguere un dentro da un fuori, ma è una definizione molto limitannte è imprecisa, me ne rendo conto.
>
Quando ho scritto "bordo" avevo forse in mente una cosa sbagliata, cioe'
> Dal punto di vista topologico equivale senz’altro ad una sfera. Come faccio a dire se ha o non ha bordo: una superficie non ha spessore! A scuola identifico brutalmente le superfici ‘chiuse’ con quelle per cui si può distinguere un dentro da un fuori, ma è una definizione molto limitannte è imprecisa, me ne rendo conto.
>
una superficie fatta a "tazza", che il bordo ce l'ha. Ho pensato dopo
che questa non racchiude nessun solido.
Per le superfici che racchiudono solidi, in casi normali dovrebbero
essere tutte sia aperte che chiuse, visto che ha senso considerarle come
coincidenti con l'insieme di cui fanno parte (cioe' la sfera se non
hanno buchi e poi cose piu' complicate).
La tua definizione di superfici chiuse non mi sembra che vada bene, in
analisi si usa per identificare insiemi che contengono tutti i propri
punti di accumulazione, questo poi per dimostrare teoremi in cui si
afferma l'esistenza di determinati punti (p. es. di massimo, la
condizione precisa e' insieme compatto ma tralasciamo i dettagli).
Prima mi era sfuggito che definisci "aperto un insieme che contenga la
sua chiusura" (tuo primo post), ma questa e' la definizione di insieme
chiuso.
Ho una domanda: per cosa usi la classificazione chiuso/aperto delle
superfici che delimitano i solidi? Magari ti serve una classificazione
diversa.
Giorgio Pastore
Jul 4, 2018, 1:04:51 AM7/4/18
to
Il 03/07/18 22:42, paolap...@gmail.com ha scritto:
residue...
Non confondere l'aperto/chiuso della topologia con "superficie
aperta/chiusa".
In genere si definisce superficie chiusa una superficie compatta e
senza frontiera.
La superficie di una sfera o di un ellissoide o di un cubo sono chiuse.
la superficie di un disco (bordo incluso) non e' chiusa , anche se il
disco e' (topologicamente) un chiuso.
Giorgio
> Una superficie che delimita un solido è aperta o chiusa? So che si dice aperto un insieme che contenga la sua chiusura, perdonatemi l’imprecisione. Ma per distinguere una superficie dall’altra, come si fa? Grazie per l’attenzione.
>
Vediamo se ho ancora qualche neurone con un po' di topologia/varietà
>
residue...
Non confondere l'aperto/chiuso della topologia con "superficie
aperta/chiusa".
In genere si definisce superficie chiusa una superficie compatta e
senza frontiera.
La superficie di una sfera o di un ellissoide o di un cubo sono chiuse.
la superficie di un disco (bordo incluso) non e' chiusa , anche se il
disco e' (topologicamente) un chiuso.
Giorgio
paolap...@gmail.com
Jul 4, 2018, 2:18:02 AM7/4/18
to
Mi servono per la legge di Gauss, flusso attraverso una superficie aperta o uscente da una superficie chiusa. Il problema è la definizione di superficie aperta o chiusa, credo di aver capito. Ovviamente avevo scritto aperta mentre intendevo CHIUSA.
Elio Fabri
Jul 4, 2018, 3:34:02 PM7/4/18
to
Giorgio Pastore ha scritto:
Quello che mi pare sia mancato finora è di chiarire quello che
chiamerei *ambiente* del discorso.
Certo "aperto" e "chiuso" sono termini della topologia, ma anche
"superficie chiusa" lo è".
Eppure la stessa parola ha due significati diversi.
Questo per la precisione della matematica, che è anch'essa relativa
:-)
La cosa centrale che non è stata chiarita è che il concetto di
"superficie" appartiene a un ambito più ristretto: ha senso solo
nell'ambito delle /varietà/.
Detto in due parole, una varietà è uno spazio topologico in cui si
possano definire coordinate.
E non mi chiedete di spiegare meglio, se no non la finiamo più.
Poi ci sono varietà differenziabili, riemanniane...
Ma centrale è il fatto che una varietà ha una /dimensione/.
Per es. il consueto spazio euclideo E^3 della fisica è una varietà 3D
(il che vuol dire solo che occorrono e bastano tre coordinate.
(La questione è sottile: si possono benissimo distinguere i punti di
E^3 uno dall'altro usando *una sola* coordinata; ma non lo si può fare
in modo *continuo*.
Una varietà si chiama "superficie" se ha due dimensioni.
In particolare sono importanti le superfici che nascono come
/sottovarietà/ di varietà a dim. maggiore.
L'applicazione nel 90% almeno dei casi in fisica è una superficie in
E^3.
Ora due parole sulla questione dell'aperto (topologico) e della frontiera.
Anche qui bisogna stare attenti.
Se abbiamo uno spazio topologico X e un sottospazio Y, può succedere
che un insieme aperto in Y non lo sia in X.
L'esempio ovvio è proprio il disco (senza contorno).
In E^2 è aperto, in E^3 no.
In E^2 la sua frontiera è una circonferenza, in E^3 tutti i punti del
disco sono di frontiera.
(Ricordo che un punto è di frontiera se in ogni suo intorno ci sono
sia punti dell'insieme, sia del complementare.)
Giorgio ha dato la definizione di superficie chiusa, che ora dovrebbe
essere più chiara: in E^3 una superficie ha 2 dimensioni.
La chiamiamo chiusa se è compatta e non ha frontiera.
Ma attenzione: una sfera come sottoinsieme di E^3 è tutta frontiera
(come il disco di prima).
Bisogna quindi precisare che la frontiera è definita non nella
topologia di E^3, ma nella topologia /indotta/ nella sfera.
C'è però un altro modo di definire la frontiera.
Un punto di una varietà di dim. n si dice /interno/ se esiste un suo
intorno omeomorfico a una palla di E^n.
Si dice di frontiera se esiste un suo intorno omeomorfico a una
"semipalla" (e spero si capisca che cosa intendo).
(Omeomorfismo = mappa bigettiva e bicontinua.)
In questo modo la topologia dello spazio ambiente non interviene:
abbiamo dato una definizione *intrinseca*.
Ultima notazione: nella definizione di Giorgio si specifica che una
sup. chiusa deve essere compatta.
Controesempio che mostra la necessità del "compatto": un cilindro
infinito non ha frontiera, ma non è una sup. chiusa.
Ricordo anche che in E^n (e quindi in una varietà a dim. finita)
"compatto" è equivalente a "chiuso e limitato".
Il cilindro non è compatto perché non è limitato, però è chiuso (nel
senso topologico...).
Il disco di cui sopra non è compatto perché non è chiuso.
Vabbè, mi sa che ho fatto più danni che altro :-(
Anche al netto di eventuali errori, che ci saranno di sicuro.
--
Elio Fabri
> Non confondere l'aperto/chiuso della topologia con "superficie
> aperta/chiusa".
>
> In genere si definisce superficie chiusa una superficie compatta e
> senza frontiera.
Vediamo se col mio contributo chiarisco o confondo di più...
> aperta/chiusa".
>
> In genere si definisce superficie chiusa una superficie compatta e
> senza frontiera.
Quello che mi pare sia mancato finora è di chiarire quello che
chiamerei *ambiente* del discorso.
Certo "aperto" e "chiuso" sono termini della topologia, ma anche
"superficie chiusa" lo è".
Eppure la stessa parola ha due significati diversi.
Questo per la precisione della matematica, che è anch'essa relativa
:-)
La cosa centrale che non è stata chiarita è che il concetto di
"superficie" appartiene a un ambito più ristretto: ha senso solo
nell'ambito delle /varietà/.
Detto in due parole, una varietà è uno spazio topologico in cui si
possano definire coordinate.
E non mi chiedete di spiegare meglio, se no non la finiamo più.
Poi ci sono varietà differenziabili, riemanniane...
Ma centrale è il fatto che una varietà ha una /dimensione/.
Per es. il consueto spazio euclideo E^3 della fisica è una varietà 3D
(il che vuol dire solo che occorrono e bastano tre coordinate.
(La questione è sottile: si possono benissimo distinguere i punti di
E^3 uno dall'altro usando *una sola* coordinata; ma non lo si può fare
in modo *continuo*.
Una varietà si chiama "superficie" se ha due dimensioni.
In particolare sono importanti le superfici che nascono come
/sottovarietà/ di varietà a dim. maggiore.
L'applicazione nel 90% almeno dei casi in fisica è una superficie in
E^3.
Ora due parole sulla questione dell'aperto (topologico) e della frontiera.
Anche qui bisogna stare attenti.
Se abbiamo uno spazio topologico X e un sottospazio Y, può succedere
che un insieme aperto in Y non lo sia in X.
L'esempio ovvio è proprio il disco (senza contorno).
In E^2 è aperto, in E^3 no.
In E^2 la sua frontiera è una circonferenza, in E^3 tutti i punti del
disco sono di frontiera.
(Ricordo che un punto è di frontiera se in ogni suo intorno ci sono
sia punti dell'insieme, sia del complementare.)
Giorgio ha dato la definizione di superficie chiusa, che ora dovrebbe
essere più chiara: in E^3 una superficie ha 2 dimensioni.
La chiamiamo chiusa se è compatta e non ha frontiera.
Ma attenzione: una sfera come sottoinsieme di E^3 è tutta frontiera
(come il disco di prima).
Bisogna quindi precisare che la frontiera è definita non nella
topologia di E^3, ma nella topologia /indotta/ nella sfera.
C'è però un altro modo di definire la frontiera.
Un punto di una varietà di dim. n si dice /interno/ se esiste un suo
intorno omeomorfico a una palla di E^n.
Si dice di frontiera se esiste un suo intorno omeomorfico a una
"semipalla" (e spero si capisca che cosa intendo).
(Omeomorfismo = mappa bigettiva e bicontinua.)
In questo modo la topologia dello spazio ambiente non interviene:
abbiamo dato una definizione *intrinseca*.
Ultima notazione: nella definizione di Giorgio si specifica che una
sup. chiusa deve essere compatta.
Controesempio che mostra la necessità del "compatto": un cilindro
infinito non ha frontiera, ma non è una sup. chiusa.
Ricordo anche che in E^n (e quindi in una varietà a dim. finita)
"compatto" è equivalente a "chiuso e limitato".
Il cilindro non è compatto perché non è limitato, però è chiuso (nel
senso topologico...).
Il disco di cui sopra non è compatto perché non è chiuso.
Vabbè, mi sa che ho fatto più danni che altro :-(
Anche al netto di eventuali errori, che ci saranno di sicuro.
--
Elio Fabri
Gino Di Ruberto IK8QQM - K8QQM
Jul 4, 2018, 3:51:20 PM7/4/18
to
Il giorno mercoledì 4 luglio 2018 21:34:02 UTC+2, Elio Fabri ha scritto:
> La questione è sottile: si possono benissimo distinguere i punti di
> E^3 uno dall'altro usando *una sola* coordinata; ma non lo si può fare
> in modo *continuo*.
Questo punto è interessantissimo. La prima volta che mi resi conto che R^3 (e in genreale R^n) ha la stessa cardinalità di R, andai quasi al manicomio. :-)) Mi sembrava che il concetto di dimensione perdesse significato, ma è nella tua parola *continuo* la chiave di tutto (non semplicemente nel senso di potenza del continuo ma specialmente nel senso di *corrispondenza in modo continuo*)
> La questione è sottile: si possono benissimo distinguere i punti di
> E^3 uno dall'altro usando *una sola* coordinata; ma non lo si può fare
> in modo *continuo*.
Ciao.
--
Gino Di Ruberto, IK8QQM
(american callsign K8QQM),
ID DMR: 2228273
Archaeopteryx
Jul 4, 2018, 4:35:22 PM7/4/18
to
> VabbÚ, mi sa che ho fatto più danni che altro :-(
Nonoo, altro che danni; penso che adesso potrò tentare di
leggere parti di libri che non ho mai osato toccare. Non
capirò tutto, ma qualche piccolo passo forse lo farò.
--
"Caro, la bambina sta piangendo. Vado a cambiarla"
"OK; se riesci, trovane una che dorma di notte"
Nonoo, altro che danni; penso che adesso potrò tentare di
leggere parti di libri che non ho mai osato toccare. Non
capirò tutto, ma qualche piccolo passo forse lo farò.
--
"Caro, la bambina sta piangendo. Vado a cambiarla"
"OK; se riesci, trovane una che dorma di notte"
paolap...@gmail.com
Jul 5, 2018, 4:01:44 AM7/5/18
to
Ho capito bene la risposta di Giorgio, perché era proprio quello che mi serviva. Grazie anche agli altri, comunque.
Elio Fabri
Jul 5, 2018, 8:28:29 AM7/5/18
to
Avevo scritto:
> Ricordo anche che in E^n (e quindi in una varietà a dim. finita)
> "compatto" è equivalente a "chiuso e limitato".
C'è sotto una questione alla quale non so la risposta sicura:
"limitato" non è un concetto topologico, ma metrico (implica che sia
definita la distanza tra punti).
E^n è certamente uno spazio metrico.
Una generica varietà lo è?
Non ne sono sicuro, anche se so che esistono teoremi di
"metrizzabilità" per vari tipi di spazi topologici.
Non vado oltre, perché se ci provassi mi perderei facilmente :-(
--
Elio Fabri
> Anche al netto di eventuali errori, che ci saranno di sicuro.
E infatti uno (almeno mezzo) l'ho trovato subito.
> Ricordo anche che in E^n (e quindi in una varietà a dim. finita)
> "compatto" è equivalente a "chiuso e limitato".
"limitato" non è un concetto topologico, ma metrico (implica che sia
definita la distanza tra punti).
E^n è certamente uno spazio metrico.
Una generica varietà lo è?
Non ne sono sicuro, anche se so che esistono teoremi di
"metrizzabilità" per vari tipi di spazi topologici.
Non vado oltre, perché se ci provassi mi perderei facilmente :-(
--
Elio Fabri
Wakinian Tanka
Jul 5, 2018, 9:59:08 AM7/5/18
to
Il giorno mercoledì 4 luglio 2018 21:34:02 UTC+2, Elio Fabri ha scritto:
> Giorgio Pastore ha scritto:
> > Non confondere l'aperto/chiuso della topologia con "superficie
> > aperta/chiusa".
> >
> > In genere si definisce superficie chiusa una superficie compatta e
> > senza frontiera.
> Vediamo se col mio contributo chiarisco o confondo di più...
>
> Quello che mi pare sia mancato finora è di chiarire quello che
> chiamerei *ambiente* del discorso.
> Certo "aperto" e "chiuso" sono termini della topologia, ma anche
> "superficie chiusa" lo è".
> Eppure la stessa parola ha due significati diversi.
> Questo per la precisione della matematica, che è anch'essa relativa
> :-)
> La cosa centrale che non è stata chiarita è che il concetto di
> "superficie" appartiene a un ambito più ristretto: ha senso solo
> nell'ambito delle /varietà/.
Uno spazio topologico, detto in 2 parole, e' uno spazio metrico nel quale sono stati definiti gli "intorni" di un punto?
> > Non confondere l'aperto/chiuso della topologia con "superficie
> > aperta/chiusa".
> >
> > In genere si definisce superficie chiusa una superficie compatta e
> > senza frontiera.
> Vediamo se col mio contributo chiarisco o confondo di più...
>
> Quello che mi pare sia mancato finora è di chiarire quello che
> chiamerei *ambiente* del discorso.
> Certo "aperto" e "chiuso" sono termini della topologia, ma anche
> "superficie chiusa" lo è".
> Eppure la stessa parola ha due significati diversi.
> Questo per la precisione della matematica, che è anch'essa relativa
> :-)
> La cosa centrale che non è stata chiarita è che il concetto di
> "superficie" appartiene a un ambito più ristretto: ha senso solo
> nell'ambito delle /varietà/.
> Bisogna quindi precisare che la frontiera è definita non nella
> topologia di E^3, ma nella topologia /indotta/ nella sfera.
> C'è però un altro modo di definire la frontiera.
> Un punto di una varietà di dim. n si dice /interno/ se esiste un suo
> intorno omeomorfico a una palla di E^n.
> Si dice di frontiera se esiste un suo intorno omeomorfico a una
> "semipalla" (e spero si capisca che cosa intendo).
> (Omeomorfismo = mappa bigettiva e bicontinua.)
> In questo modo la topologia dello spazio ambiente non interviene:
> abbiamo dato una definizione *intrinseca*.
Wakinian Tanka
Giorgio Pastore
Jul 5, 2018, 10:21:50 AM7/5/18
to
Il 05/07/18 15:59, Wakinian Tanka ha scritto:
....
metrico.
Uno spazio metrico è uno spazio topologico in cui la topologia viene
geenrata dalla metrica. Nel senso che una base per la topologia generata
dalla metrica è costituita dalle sfere aperte.
....
ricorso ad immersioni. L'immersione entra in gioco solo se si vuole
usare la topologia dello spazio in cui la varietà e' immersa per
generare una topologia sulla varieta'. Ma non e' necessario.
Giorgio
....
> Uno spazio topologico, detto in 2 parole, e' uno spazio metrico nel quale sono stati definiti gli "intorni" di un punto?
No. Uno spazio topologico è una struttura più generale di uno spazio
metrico.
Uno spazio metrico è uno spazio topologico in cui la topologia viene
geenrata dalla metrica. Nel senso che una base per la topologia generata
dalla metrica è costituita dalle sfere aperte.
....
> Una cosa che a q.to punto non mi e' chiara (o piu' verosimilmente non ricordo): visto che in E^2 un disco o un rettangolo (limitati) che contiene il suo bordo e' un insieme chiuso anche se ha frontiera, questa definizione che hai dato di superficie chiusa = compatto senza frontiera, si da solo per varieta' n-1 dimensionali immerse in uno spazio n dimensionale?
Essere insiemi chiusi e avere o no frontiera è definibile senza nessun
ricorso ad immersioni. L'immersione entra in gioco solo se si vuole
usare la topologia dello spazio in cui la varietà e' immersa per
generare una topologia sulla varieta'. Ma non e' necessario.
Giorgio
utente567
Jul 6, 2018, 4:19:39 AM7/6/18
to
Una superficie chiusa deve essere orientabile, vale a dire puoi definire
una normale continua su tutta la superficie. La bottiglia di Klein non e'
valida, per fare un esempio.
Sulla frontiera ogni sfera centrata su di essa interseca sia l'interno
del solido che l'esterno, per definizione.
Gino Di Ruberto IK8QQM - K8QQM
Jul 6, 2018, 8:12:42 AM7/6/18
to
Rispondo per i lettori.
Il giorno venerdì 6 luglio 2018 10:19:39 UTC+2, utente567 ha scritto:
> Una superficie chiusa deve essere orientabile,
questo non è vero
> vale a dire puoi definire
> una normale continua su tutta la superficie. La bottiglia di Klein non e'
> valida, per fare un esempio.
La bottiglia di Klein (quella "vera", cioè immersa in R^4) è comunque una superficie chiusa = compatta e senza bordo, ma non è orientabile.
Il nastro di Möbius è, invece, un esempio di superficie non orientabile, con bordo.
Il giorno venerdì 6 luglio 2018 10:19:39 UTC+2, utente567 ha scritto:
> Una superficie chiusa deve essere orientabile,
> vale a dire puoi definire
> una normale continua su tutta la superficie. La bottiglia di Klein non e'
> valida, per fare un esempio.
Il nastro di Möbius è, invece, un esempio di superficie non orientabile, con bordo.
utente567
Jul 6, 2018, 8:31:18 AM7/6/18
to
On Fri, 06 Jul 2018 05:12:41 -0700, Gino Di Ruberto IK8QQM - K8QQM wrote:
>> Una superficie chiusa deve essere orientabile,
>
> questo non è vero
>
Per il teorema di Stokes-Gauss questo E' vero. La varieta' DEVE ESSERE
>> Una superficie chiusa deve essere orientabile,
>
> questo non è vero
>
ORIENTABILE. Mai parlato di superficie chiusa qualunque.
Gino Di Ruberto IK8QQM - K8QQM
Jul 6, 2018, 9:16:21 AM7/6/18
to
Il giorno venerdì 6 luglio 2018 14:31:18 UTC+2, utente567 ha scritto:
> Per il teorema di Stokes-Gauss questo E' vero. La varieta' DEVE ESSERE
> ORIENTABILE. Mai parlato di superficie chiusa qualunque.
OK, scusami, ho capito cosa intendevi.
> Per il teorema di Stokes-Gauss questo E' vero. La varieta' DEVE ESSERE
> ORIENTABILE. Mai parlato di superficie chiusa qualunque.
Diciamo che, se tu avessi scritto:
"Bisogna considerare una superficie chiusa orientabile"
o, almeno,
"_LA_ superficie chiusa deve essere orientabile"
invece di
"Una superficie chiusa deve essere orientabile"
(frase che potrebbe essere anche mal interpretata come
"Una superficie chiusa deve essere necessariamente orientabile")
secondo me, sarebbe stato preferibile. :-)
Ciao.
paolap...@gmail.com
Jul 6, 2018, 10:28:27 AM7/6/18
to
Una superficie con manici, come ad esempio un toro, è orientabile, vero?
JTS
Jul 6, 2018, 4:27:19 PM7/6/18
to
Am 06.07.2018 um 16:28 schrieb paolap...@gmail.com:
> Una superficie con manici, come ad esempio un toro, è orientabile, vero?
>
Un toro si', me lo dicono gli occhi della mente ;-), le superfici non
> Una superficie con manici, come ad esempio un toro, è orientabile, vero?
>
orientabili hanno un aspetto piu' complicato ;-)
paolap...@gmail.com
Jul 7, 2018, 2:37:13 AM7/7/18
to
paolap...@gmail.com
Jul 7, 2018, 3:20:24 AM7/7/18
to
Così come tutte le superfici con Manici, immgino.
Giorgio Pastore
Jul 7, 2018, 5:17:16 AM7/7/18
to
Il 07/07/18 09:20, paolap...@gmail.com ha scritto:
Il termine tecnico per i "manici" e' il "genus" della superficie.
https://en.wikipedia.org/wiki/Genus_(mathematics)
La "bottiglia di Klein" ha "i manici" (e' di genus 2) ma non e'
orientabile.
Tuttavia, per gli sui tipici del teorema di Gauss/Stokes in fisica
queste sono quasi sempre "diavolerie matematiche" :-)
Giorgio
> Così come tutte le superfici con Manici, immgino.
>
Non tutte le superfici "con manici" sono orientabili.
>
Il termine tecnico per i "manici" e' il "genus" della superficie.
https://en.wikipedia.org/wiki/Genus_(mathematics)
La "bottiglia di Klein" ha "i manici" (e' di genus 2) ma non e'
orientabile.
Tuttavia, per gli sui tipici del teorema di Gauss/Stokes in fisica
queste sono quasi sempre "diavolerie matematiche" :-)
Giorgio
paolap...@gmail.com
Jul 7, 2018, 6:01:56 AM7/7/18
to
Mi confermi che una superficie a TAZZA è aperta?
paolap...@gmail.com
Jul 7, 2018, 6:11:32 AM7/7/18
to
Tutto quello che so di topologia l’ho imparato dall’appendice del libro di Hilbert ‘Geometria intuitiva’. Mi ha aiutato a preparare i concorsi. È stato un’ancora di salvezza in una situazione non facile.
JTS
Jul 7, 2018, 9:02:20 AM7/7/18
to
Am 07.07.2018 um 12:01 schrieb paolap...@gmail.com:
> Mi confermi che una superficie a TAZZA è aperta?
>
Nel senso che abbiamo discusso si', ma te ne so dare una giustificazione
> Mi confermi che una superficie a TAZZA è aperta?
>
solo intuitiva.
1) Prendi un punto sulla superficie (mettiamo sull'esterno della tazza),
definisci una normale. Sposta la normale lungo un percorso che
attraversi il bordo della tazza: puoi arrivare sullo stesso punto da cui
eri partita ma con la normale che punta dall'altra parte (sei "dentro la
tazza" ma si vede che il dentro ed il fuori non sono definibili con le
normali)
2) Prendi due punti qualunque nello spazio. Li puoi congiungere con un
percorso che non attraversa la superficie.
Credo che 1) e 2) siano equivalenti, ma per questo spero che qualcun
altro confermi/smentisca.
paolap...@gmail.com
Jul 7, 2018, 9:23:43 AM7/7/18
to
Grazie. Penso sempre di sbagliare, ma a volte ci prendo.
ngs
Jul 8, 2018, 12:12:17 PM7/8/18
to
On 5/7/2018 14:27, Elio Fabri wrote:
> Avevo scritto:
>> Anche al netto di eventuali errori, che ci saranno di sicuro.
> E infatti uno (almeno mezzo) l'ho trovato subito.
>
>> Ricordo anche che in E^n (e quindi in una varietà a dim. finita)
>> "compatto" è equivalente a "chiuso e limitato".
> C'è sotto una questione alla quale non so la risposta sicura:
> "limitato" non è un concetto topologico, ma metrico (implica che sia
> definita la distanza tra punti).
>
> E^n è certamente uno spazio metrico.
> Una generica varietà lo è?
Dipende dalla definizione che usi. Per es. una varietà non di Hausdorff
> Avevo scritto:
>> Anche al netto di eventuali errori, che ci saranno di sicuro.
> E infatti uno (almeno mezzo) l'ho trovato subito.
>
>> Ricordo anche che in E^n (e quindi in una varietà a dim. finita)
>> "compatto" è equivalente a "chiuso e limitato".
> C'è sotto una questione alla quale non so la risposta sicura:
> "limitato" non è un concetto topologico, ma metrico (implica che sia
> definita la distanza tra punti).
>
> E^n è certamente uno spazio metrico.
> Una generica varietà lo è?
non è metrizzabile. Idem se non richiedi che sia second countable
(seconda contabile?) cioè se la topologia non è generata da un numero
contabile di aperti.
Kiuhnm
Elio Fabri
Jul 11, 2018, 11:14:59 AM7/11/18
to
ngs ha scritto:
Ma il vero problema è un altro: può esistere una varietà non
Hausdorff?
Se ogni punto ammette un intorno omeomorfo a un aperto di R^n, non è
automaticamente Hausdorff?
--
Elio Fabri
> Dipende dalla definizione che usi. Per es. una varietà non di
> Hausdorff non è metrizzabile. Idem se non richiedi che sia second
> countable (seconda contabile?) cioè se la topologia non è generata da
> un numero contabile di aperti.
Secondo me "countable" in italiano si dice "numerabile".
> Hausdorff non è metrizzabile. Idem se non richiedi che sia second
> countable (seconda contabile?) cioè se la topologia non è generata da
> un numero contabile di aperti.
Ma il vero problema è un altro: può esistere una varietà non
Hausdorff?
Se ogni punto ammette un intorno omeomorfo a un aperto di R^n, non è
automaticamente Hausdorff?
--
Elio Fabri
Giorgio Bibbiani
Jul 11, 2018, 12:17:27 PM7/11/18
to
Il 11/07/2018 17.14, Elio Fabri ha scritto:
...
curiosa costruzione matematica:
http://www.mathcounterexamples.net/the-line-with-two-origins/
V. anche:
https://en.wikipedia.org/wiki/Non-Hausdorff_manifold
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
(mail non letta)
...
> Ma il vero problema è un altro: può esistere una varietà non
> Hausdorff?
> Se ogni punto ammette un intorno omeomorfo a un aperto di R^n, non è
> automaticamente Hausdorff?
Prima di ora non lo sapevo, ma esiste questa
> Hausdorff?
> Se ogni punto ammette un intorno omeomorfo a un aperto di R^n, non è
> automaticamente Hausdorff?
curiosa costruzione matematica:
http://www.mathcounterexamples.net/the-line-with-two-origins/
V. anche:
https://en.wikipedia.org/wiki/Non-Hausdorff_manifold
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
(mail non letta)
ngs
Jul 11, 2018, 12:26:32 PM7/11/18
to
https://en.wikipedia.org/wiki/Long_line_(topology)
come altro esempio di manifold non metrizzabile (ma per l'altro motivo).
Kiuhnm
Elio Fabri
Jul 16, 2018, 2:43:19 PM7/16/18
to
ngs ha scritto:
In effetti la dim. che credevo di avere non sono più riuscito a
ricostruirla :-)
--
Elio Fabri
> On 11/7/2018 18:17, Giorgio Bibbiani wrote:
>> Prima di ora non lo sapevo, ma esiste questa
>> curiosa costruzione matematica:
>>
>> http://www.mathcounterexamples.net/the-line-with-two-origins/
>
>> Prima di ora non lo sapevo, ma esiste questa
>> curiosa costruzione matematica:
>>
>> http://www.mathcounterexamples.net/the-line-with-two-origins/
>
> Aggiungo anche
> https://en.wikipedia.org/wiki/Long_line_(topology)
> come altro esempio di manifold non metrizzabile (ma per l'altro
> motivo).
Prendo atto :-(
> https://en.wikipedia.org/wiki/Long_line_(topology)
> come altro esempio di manifold non metrizzabile (ma per l'altro
> motivo).
In effetti la dim. che credevo di avere non sono più riuscito a
ricostruirla :-)
--
Elio Fabri
0 new messages