il doppio di un quadrato perfetto

[Vittorio]

come mai il doppio di un quadrato perfetto non può essere un quadrato
perfetto?

ciao

[giannim...@gmail.com]

Perchè nel doppio di un quadrato perfetto il fattore 2 è presente un numero dispari di volte.

[feynman]

Perche' se a^2=2b^2

allora a^2/b^2 = 2

ossia (a/b)^2=2

ma allora sqrt(2) = a/b con a,b interi positivi.

Eculide insegna che cio' non e' possibile.

ciao
feynman

[radica...@gmail.com]

Il giorno lunedì 11 aprile 2016 21:38:19 UTC+2, Vittorio ha scritto:

> come mai il doppio di un quadrato perfetto non può essere un quadrato
> perfetto?

Non solo il doppio (vedi le spiegazioni che già t' hanno dato)

Ogni quadrato m^2 non da luogo ad un altro quadrato n^2 quando
viene moltiplicato per un naturale k (qualsiasi) purchè non
quadrato.

Ossia :

m^2 = k*n^2 è impossibile per ogni k non quadrato perfetto.

[Bruno Campanini]

radica...@gmail.com formulated on Tuesday :

Un quadrato perfetto è un numero intero che può essere
espresso come il quadrato di un altro numero intero.

Se a è intero il quadrato perfetto è a^2.
Ma 2(a^2) non può essere un quadrato perfetto
perché SQR(2(a^2)) = SQR(2)a non è intero.

Bruno

[El Filibustero]

On Tue, 12 Apr 2016 13:54:57 +0200, Bruno Campanini wrote:

>Un quadrato perfetto è un numero intero che può essere
>espresso come il quadrato di un altro numero intero.
>
>Se a è intero il quadrato perfetto è a^2.
>Ma 2(a^2) non può essere un quadrato perfetto
>perché SQR(2(a^2)) = SQR(2)a non è intero.

Questa non e' una dimostrazione: e' vero che sqrt(2)a non e' intero
per nessun a intero, ma questo e' un asserto equivalente a quanto si
deve dimostrare. Ciao

[radica...@gmail.com]

Si,
ma che ne sai che per qualche a non risulti SQR(2)a intero ?
Lo devi dimostrare questo fatto. La matematica è fija de
na mignotta :-)

[Bruno Campanini]

radica...@gmail.com was thinking very hard :

Avrei dovuto premettere che il mio non è un ragionamento
"matematico" ma solo di buon senso, al quale buon senso
sfugge l'utilità delle dimostrazioni formali.

> ma che ne sai che per qualche a non risulti SQR(2)a intero ?

Avevo premesso "Se a è intero" quindi la domanda...

Bruno

[radica...@gmail.com]

Il giorno martedì 12 aprile 2016 15:34:17 UTC+2, Bruno Campanini ha scritto:

> Avrei dovuto premettere che il mio non è un ragionamento
> "matematico" ma solo di buon senso, al quale buon senso
> sfugge l'utilità delle dimostrazioni formali.

Ma le dimostrazioni sono utili e te lo faccio vedere usando
proprio il buon senso. In questo caso credo di poterlo fare.
Ma devi avere un po' di pazienza

tu hai scritto :

> Un quadrato perfetto è un numero intero che può
> essere espresso come il quadrato di un altro numero
> intero.

perfetto

> Se a è intero il quadrato perfetto è a^2.

perfetto

> Ma 2(a^2) non può essere un quadrato perfetto
> perché SQR(2(a^2)) = SQR(2)a non è intero.

Il punto è :
come fai ad essere sicuro al 100% che SQR(2)*a non
è intero ? Intendo : *qualsiasi* sia a, è questo il
punto.

Supponi difatti che esistano due interi m,n (magari
ENORMI) tali che m/n = SQR(2);

Potrebbero ben esistere, noi questo ancora non lo
sappiamo.

(En passant ti faccio notare che in realtà SQR(2) è
approssimabile con qualsiasi precisione dal rapporto
di due interi)

In tal caso se a fosse uguale proprio a n (potrebbe
capitare benissimo visto che il ragionamento per aver
valore assoluto deve funzionare *per ogni* intero a)
tu diresti :

prendo 2*a^2 ed estraggo radice : SQR(2)*a.

Ma a = n, e SQR(2) = m/n dunque SQR(2)*a = (m/n)*n = m
Che *E'* effettivamente un intero !

Quindi quello che dobbiamo essere sicuri che NON POSSA
accadere è proprio che esistano m,n tali che :
m/n = SQR(2);

come facciamo ad esserne sicuri ? Con una dimostrazione
fatta ad esempio in questo modo :

se esistessero m,n tali che m/n = SQR(2) allora sarebbe
vero che (m/n)^2 = m^2/n^2 = 2, ossia : m^2 = 2n^2

primo punto fondamentale :
possiamo supporre tranquillamente che m ed n non abbiano
fattori comuni, perchè se l' avessero, diciamo avessero
un certo k come fattore comune, allora sarebbe
m = k*m'
n = k*n'
e dunque m/n = m'/n' ed a quel punto prenderemmo m' ed
n' invece di m ed n e staremmo come prima, ossia :
m'/n' = SQR(2)

Quindi m ed n NON HANNO fattori comuni, perchè noi
POSSIAMO sceglierli in modo che NON LI ABBIANO. Ok ?

secondo punto fondamentale :
se m^2 = 2n^2 allora m^2 è ovviamente PARI. Dunque lo
deve essere anche m, perchè la radice quadrata di un pari
è ancora un pari (lascio a te la dimostrazione di cio)

Ma se m è pari allora esiste un certo q intero tale che
m = 2q, dunque m^2 = 4q^2 = 2n^2 --> n^2 = 2q^2 e, come
abbiam visto per m, da cio deduciamo che anche n è pari.

Ma come è possibile dal momento che m ed n *non hanno*
fattori comuni ? Ossia come è possibile che abbiano il
numero 2 come fattor comune dal momento che sappiamo bene
che m,n l' abbiamo già semplificati in modo che appunto
siano "puliti", ossia coprimi tra loro ?

Ecco allora ke siamo arrivati a un assurdo, ke è il seg :

se esistessero due numeri m,n tali che m/n = SQR(2) essi
DEBBONO essere privi di fattori comuni, perchè se non lo
fossero IMMEDIATAMENTE ne troveremmo altri due m' ed n'
che invece lo sono. E prenderemmo questi.

Ma allo stesso tempo essi HANNO il fattore 2 in comune.
Non hanno fattori comuni e al contempo ce l' hanno. E'
impossibile.

Abbiamo solo una alternativa per uscire dall' impasse :
non esistono m,n tali che m/n = SQR(2).

Fammi sapere