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arcotangente complessa
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***Marco***
Sep 26, 2021, 12:00:15 PM9/26/21
to
Salve a tutti,
un algoritmo (non mio) per l'estrazione di alcuni parametri fisici a
partire da misure elettriche di impedenza/ammettenza prevede a un certo
passaggio il calcolo di un'arcotangente con argomento un numero
complesso. Gli autori avvertono di prendere la precauzione che "gli
angoli con tangente negativa appartengono al secondo quadrante e non al
quarto (come tipicamente le implementazioni delle funzioni
trigonometriche inverse nei vari linguaggi di programmazione fanno)
perché la risonanza fondamentale corrisponde a angoli vicini a pi/2. Se
con angoli e archi reali la cosa mi è chiara, causa mia scarsa
dimestichezza con le funzioni polidrome complesse, mi sfugge a cosa
corrisponde un angolo con tangente negativa e quali condizioni dovrei
controllare per garantirlo.
Qualcuno ha qualche dritta e spiegazione?
Grazie
Marco
P.S.:
Una "possibilie soluzione" che ho trovato, ma confesso senza capirla è
implementare
arctan(z) = pi/2 - arccotan (z)
un algoritmo (non mio) per l'estrazione di alcuni parametri fisici a
partire da misure elettriche di impedenza/ammettenza prevede a un certo
passaggio il calcolo di un'arcotangente con argomento un numero
complesso. Gli autori avvertono di prendere la precauzione che "gli
angoli con tangente negativa appartengono al secondo quadrante e non al
quarto (come tipicamente le implementazioni delle funzioni
trigonometriche inverse nei vari linguaggi di programmazione fanno)
perché la risonanza fondamentale corrisponde a angoli vicini a pi/2. Se
con angoli e archi reali la cosa mi è chiara, causa mia scarsa
dimestichezza con le funzioni polidrome complesse, mi sfugge a cosa
corrisponde un angolo con tangente negativa e quali condizioni dovrei
controllare per garantirlo.
Qualcuno ha qualche dritta e spiegazione?
Grazie
Marco
P.S.:
Una "possibilie soluzione" che ho trovato, ma confesso senza capirla è
implementare
arctan(z) = pi/2 - arccotan (z)
Giorgio Bibbiani
Sep 26, 2021, 12:48:16 PM9/26/21
to
il coefficiente della parte reale corrisponderà al coseno dell'angolo di fase theta
e quello della parte immaginaria a sen(theta), se calcoli il rapporto dei 2 valori ottieni
t = tan(theta), ma per trovare theta non puoi usare la funzione arcotangente con argomento t
perché quando theta andando da 0° a 180° passa per il valore 90° allora t cambia segno
e la funzione arcotangente ti dà un valore nel 4° quadrante, mentre dovrebbe essere nel 2°.
Per risolvere problemi del genere in alcuni linguaggi di programmazione è stata definita
la funzione ATAN2 che appunto ha come argomenti sen(theta) e cos(theta) e dà come
risultato theta, altrimenti si può implementare un semplice algoritmo che
dati in input cos(theta) e sen(theta) dia come risultato correttamente theta in
funzione dei segni degli argomenti.
PS non mi è chiaro cosa c'entri l'arcotangente con argomento complesso,
un argomento negativo sarà reale...
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
(mail non letta)
***Marco***
Sep 26, 2021, 6:12:03 PM9/26/21
to
Il 26/09/2021 18:48, Giorgio Bibbiani ha scritto:
> _Immagino_ che la funzione di trasferimento ti dia un output (poi
> normalizzato) in forma complessa,
> il coefficiente della parte reale corrisponderà al coseno dell'angolo di
> fase theta
> e quello della parte immaginaria a sen(theta), se calcoli il rapporto
> dei 2 valori ottieni
> t = tan(theta), ma per trovare theta non puoi usare la funzione
> arcotangente con argomento t
> perché quando theta andando da 0° a 180° passa per il valore 90° allora
> t cambia segno
> e la funzione arcotangente ti dà un valore nel 4° quadrante, mentre
> dovrebbe essere nel 2°.
Forse non mi sono spiegato bene. Chiamo Y(w0) l'ammettenza alla
> _Immagino_ che la funzione di trasferimento ti dia un output (poi
> normalizzato) in forma complessa,
> il coefficiente della parte reale corrisponderà al coseno dell'angolo di
> fase theta
> e quello della parte immaginaria a sen(theta), se calcoli il rapporto
> dei 2 valori ottieni
> t = tan(theta), ma per trovare theta non puoi usare la funzione
> arcotangente con argomento t
> perché quando theta andando da 0° a 180° passa per il valore 90° allora
> t cambia segno
> e la funzione arcotangente ti dà un valore nel 4° quadrante, mentre
> dovrebbe essere nel 2°.
pulsazione w0. L'ammettenza (per questo particolare trasduttore) assume
questa forma:
Y(w0) = P + Q*tan [(1/2)*l*w0*sqrt(r*x)]
dove l,r, w0 sono reali, mentre P, Q e Y complessi. Da questa relazione
si ricava x come
x = (1/r)*[(2/(w0*l))*arctan((Y-P)/Q)]^2
come si vede, l'arcotangente ha argomento complesso e in campo complesso
l'arcotangente è una funzione "multivalued" (= multivoca in italiano?) e
bisogna prendere la restrizione corretta. Questa dovrebbe essere
identificata dalle indicazioni che ho riportato nel post precedente, ma
io non riesco a capirle
> Per risolvere problemi del genere in alcuni linguaggi di programmazione
> è stata definita
> la funzione ATAN2 che appunto ha come argomenti sen(theta) e cos(theta)
> e dà come
> risultato theta, altrimenti si può implementare un semplice algoritmo che
> dati in input cos(theta) e sen(theta) dia come risultato correttamente
> theta in
> funzione dei segni degli argomenti.
> PS non mi è chiaro cosa c'entri l'arcotangente con argomento complesso,
> un argomento negativo sarà reale...
>
matlab atan2 non ne vuole sapere di argomenti complessi...al contrario
di atan.
Non so se ora la mia domanda ha un significato più chiaro.
Grazie
Ciao
Marco
> Ciao
Franco
Sep 26, 2021, 6:48:13 PM9/26/21
to
On 09/26/21 15:11, ***Marco*** wrote:
> Tra l'altro in
> matlab atan2 non ne vuole sapere di argomenti complessi...al contrario
> di atan.
Atan2 accetta due argomenti REALI, che sono la parte reale e la parte
> Tra l'altro in
> matlab atan2 non ne vuole sapere di argomenti complessi...al contrario
> di atan.
immaginaria del valore complesso dell'ammettenza.
Nel tuo caso non credo si debba calcolare un'arcotangente complessa, ma
ti si chieda di passare un valore complesso, la Y nel tuo caso, da
rappresentazione cartesiana a rappresentazione polare.
--
Wovon man nicht sprechen kann...
--
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https://www.avg.com
Giorgio Bibbiani
Sep 27, 2021, 1:26:02 AM9/27/21
to
Il 27/09/2021 00:11, ***Marco*** ha scritto:
...
Penso che sarebbe stato utile avere maggiori informazioni sul significato fisico
dei simboli e sul possibile dominio assunto dai valori associati, ad es.
se x dovesse essere reale e avesse lo stesso segno di r allora l'argomento della tangente
sopra sarebbe reale e tale sarebbe il rapporto (Y-P)/Q (a meno di errori di misura
se alcuni di questi valori fossero stati determinati sperimentalmente), comunque
il fattore l*w0*sqrt(r*x) nell'argomento della tangente dovrà essere adimensionale.
...
> Forse non mi sono spiegato bene. Chiamo Y(w0) l'ammettenza alla pulsazione w0. L'ammettenza (per questo particolare trasduttore) assume questa
> forma:
>
> Y(w0) = P + Q*tan [(1/2)*l*w0*sqrt(r*x)]
>
> dove l,r, w0 sono reali, mentre P, Q e Y complessi. Da questa relazione si ricava x come
>
> x = (1/r)*[(2/(w0*l))*arctan((Y-P)/Q)]^2
>
> come si vede, l'arcotangente ha argomento complesso e in campo complesso l'arcotangente è una funzione "multivalued" (= multivoca in italiano?)
> e bisogna prendere la restrizione corretta.
...
> forma:
>
> Y(w0) = P + Q*tan [(1/2)*l*w0*sqrt(r*x)]
>
> dove l,r, w0 sono reali, mentre P, Q e Y complessi. Da questa relazione si ricava x come
>
> x = (1/r)*[(2/(w0*l))*arctan((Y-P)/Q)]^2
>
> come si vede, l'arcotangente ha argomento complesso e in campo complesso l'arcotangente è una funzione "multivalued" (= multivoca in italiano?)
> e bisogna prendere la restrizione corretta.
Penso che sarebbe stato utile avere maggiori informazioni sul significato fisico
dei simboli e sul possibile dominio assunto dai valori associati, ad es.
se x dovesse essere reale e avesse lo stesso segno di r allora l'argomento della tangente
sopra sarebbe reale e tale sarebbe il rapporto (Y-P)/Q (a meno di errori di misura
se alcuni di questi valori fossero stati determinati sperimentalmente), comunque
il fattore l*w0*sqrt(r*x) nell'argomento della tangente dovrà essere adimensionale.
Elio Fabri
Sep 27, 2021, 4:34:09 AM9/27/21
to
Giorgio Bibbiani ha scritto:
Mi associo. Così come è posto il problema non si capisce niente.
In particolare io sento il bisogno di sapere due cose:
1) Che cos'è x?
2) Questo "particolare trasduttore" che cavolo è? Mai vista
un'espressione del genere... Ha un contenuto isico, oppure è un qualche
fit approssimato per qualcosa che non è facile esprimere in forma
analitica?
Potrà sembrare strano all'OP, ma senza conoscere la risopsta a domande
del genere è impossibile rispondere alla sua domanda, che non può
essere puramente matematica.
--
Elio Fabri
> Penso che sarebbe stato utile avere maggiori informazioni sul
> significato fisico dei simboli e sul possibile dominio assunto dai
> valori associati, ad es. se x dovesse essere reale
> ...
> significato fisico dei simboli e sul possibile dominio assunto dai
> valori associati, ad es. se x dovesse essere reale
Mi associo. Così come è posto il problema non si capisce niente.
In particolare io sento il bisogno di sapere due cose:
1) Che cos'è x?
2) Questo "particolare trasduttore" che cavolo è? Mai vista
un'espressione del genere... Ha un contenuto isico, oppure è un qualche
fit approssimato per qualcosa che non è facile esprimere in forma
analitica?
Potrà sembrare strano all'OP, ma senza conoscere la risopsta a domande
del genere è impossibile rispondere alla sua domanda, che non può
essere puramente matematica.
--
Elio Fabri
El Filibustero
Sep 27, 2021, 5:59:31 AM9/27/21
to
On Mon, 27 Sep 2021 00:11:59 +0200, ***Marco*** wrote:
>dove l,r, w0 sono reali, mentre P, Q e Y complessi. Da questa relazione
>si ricava x come
>
>x = (1/r)*[(2/(w0*l))*arctan((Y-P)/Q)]^2
>
>come si vede, l'arcotangente ha argomento complesso
Se Y proviene da Y(w0) = P + Q*tan [(1/2)*l*w0*sqrt(r*x)] dove l,r, w0
>dove l,r, w0 sono reali, mentre P, Q e Y complessi. Da questa relazione
>si ricava x come
>
>x = (1/r)*[(2/(w0*l))*arctan((Y-P)/Q)]^2
>
>come si vede, l'arcotangente ha argomento complesso
sono reali, essendo tan [(1/2)*l*w0*sqrt(r*x)] reale, pure (Y-P)/Q
deve esserlo
>e in campo complesso l'arcotangente è una funzione "multivalued"
> (= multivoca in italiano?) e bisogna prendere la restrizione corretta.
importasega. E' sufficiente valutare la classica arctan reale a valori
reali di (Y-P)/Q; per ottenere eventualmente un arco del II quadrante
anziche' del IV e' sufficiente aggiungere pigriego nel caso di arctan
negativa. Ciao
***Marco***
Sep 27, 2021, 9:58:56 AM9/27/21
to
esporre tutto il problema che qui risulterebbe alquanto lungo e
complesso, pensando che il punto per me oscuro fosse solo matematico.
Ci provo comunque: si tratta dell'ammettenza di un
trasduttore/risonatore piezoelettrico (eccitato elettricamente lungo lo
spessore(t) e che si espande lungo la lunghezza(l)). L'espressione di Y è:
Y(w) =
i*(w*l*u/t)*(e-d^2/s)+i*[(2*u*d^2)/(s*t*sqrt(r*s))]*tan[(1/2)*w*l*sqrt(r*s)]
(1)
Y = ammettenza
i = unità immaginaria
w = pulsazione angolare [rad/s]
l = lunghezza [m]
u = larghezza [m]
t = spessore [m]
e = costante dielettrica [F/m]
d = coeffieciente piezoelettrico [m/V]
s = cedevolezza meccanica [1/Pa]
r = densità [kg/m^3]
Y,e,d,s sono complessi (essendo il piezoelettrico anisotropo, per il
risonatore considerato si avrebbe in realtà e = e33_T, cioé costante
dielettrica 33 a stress T costante, s= S11_E, compliance 11 a campo
elettrico E costante, d = d31 coeff. piezoelettrico 31, ma ho
semplificato la notazione)
Gli altri parametri sono reali. l,u,t,r si danno per noti, Y si misura e
le incognite sono e,d,s.
La procedura iterativa per il calcolo di d, s ed e parte da una misura
di Y attorno alla frequenza di risonanza da cui si identificano 3
frequenze diciamo w1, w2,w3.
a. Da w1,w2,w3 si fa una stima iniziale di s(1) senza utilizzare l'eq. (1)
b. Noto s(1), utilizzando Y(w1) e Y(w2) si fa una stima iniziale di d(1)
ed e(1), risolvendo un sistema lineare in 2 incognite.
c. Noti s(1), d(1) ed e(1) si fa una stima migliorativa di s(2) usando
Y(w3). Per questa si estrae dalla eq. (1) la s (che nel post precedente
avevo chiamato x) nell'argomento della tangente esprimendola in funzione
dei restanti parametri.
L'algoritmo itera i punti b e c fino a quando s(n)-s(n-1) < C (con C
opportuno valore per interrompere l'iterazione)
Un esempio di algoritmo simile lo si trova descritto in questo articolo
pubblico https://arxiv.org/abs/0711.2657 alle pagg. 17-18.
Anche qui si presenta l'artgc con argomento complesso seppur per stimare
un parametro diverso. L'algoritmo che sto implementando io si trova nei
riferimenti Smits (1976) e Alemany (1994) citati nel documento indicato.
Non so se ora la questione è più chiara.
Ciao
Marco
Franco
Sep 28, 2021, 1:25:17 AM9/28/21
to
On 09/27/21 6:58, ***Marco*** wrote:
> Anche qui si presenta l'artgc con argomento complesso seppur per stimare
> un parametro diverso. L'algoritmo che sto implementando io si trova nei
> riferimenti Smits (1976) e Alemany (1994) citati nel documento indicato.
> Non so se ora la questione è più chiara.
Ho guardato i tre articoli, direi che la procedura per il calcolo
> Anche qui si presenta l'artgc con argomento complesso seppur per stimare
> un parametro diverso. L'algoritmo che sto implementando io si trova nei
> riferimenti Smits (1976) e Alemany (1994) citati nel documento indicato.
> Non so se ora la questione è più chiara.
dell'arcotangente complessa sia piu` o meno descritta. Nell'articolo su
arxiv sono le formule 0.88 e 0.89, ma le variabili reali x e y di 0.88 e
0.89 sono cose diverse e possono dare origine a confusione.
Invece l'articolo di Smits e` molto piu` chiaro. Calcoli la (13) in cui
c'e` l'arcotangente di un numero complesso, con una parte reale e una
immaginaria. La (14) dice che al posto di calcolare l'arcotangente puoi
calcolare un logaritmo complesso usando le parti reale e immaginaria
ricavate dalla (13): nota che dal lato destro a quello sinistro
dell'uguaglianza la "i" si sposta da beta ad alfa.
Per calcolare il logaritmo complesso, devi trovare la parte reale e
quella immaginaria dell'argomento (valori gamma e delta), e poi
applicare la (15), in cui l'arcotangente di delta/gamma e` un valore reale.
In questa arcotangente c'e` da trovare il quadrante giusto: puoi usare
la funzione ATAN2, oppure seguire cosa dice Alemany dopo la formula (4),
se hai un angolo negativo in realta` va nel secondo quadrante, non nel
quarto.
Elio Fabri
Sep 28, 2021, 5:51:38 AM9/28/21
to
Franco ha scritto:
Io invece ho guardato solo il più recente.
Meglio dire "scorso", vista la lunghezza...
Mi è bastato per capire che si tratta di un problema di fiica, ahe se
molto specialistico, e molto complesso.
La formula dell'impedenza (0.72) ha una forma strana, con quella
tangente di una fase, che mi fa pensare sia ricavata come rapporto tra
una tensione e una corrente o qualcosa del genere.
Lo stesso penso accada per l'ammettenza che interessa l'OP.
Butto lì una congettura. Forse partendo delle due espressioni di cui
viene fatto il rapporto si semplificherebbero i calcoli e si
eviterebbe l'ambiguità.
Calcolare il log invece della arctg non credo risolva niente:
l'ambiguità rimane comunque, e si risolve solo guardando da dove viene
quell'espressione, ossia risalendo a monte come ho scritto sopra.
Mi dispiace ma non ho tempo di approfondire.
--
Elio Fabri
> Ho guardato i tre articoli,
> ...
Io invece ho guardato solo il più recente.
Meglio dire "scorso", vista la lunghezza...
Mi è bastato per capire che si tratta di un problema di fiica, ahe se
molto specialistico, e molto complesso.
La formula dell'impedenza (0.72) ha una forma strana, con quella
tangente di una fase, che mi fa pensare sia ricavata come rapporto tra
una tensione e una corrente o qualcosa del genere.
Lo stesso penso accada per l'ammettenza che interessa l'OP.
Butto lì una congettura. Forse partendo delle due espressioni di cui
viene fatto il rapporto si semplificherebbero i calcoli e si
eviterebbe l'ambiguità.
Calcolare il log invece della arctg non credo risolva niente:
l'ambiguità rimane comunque, e si risolve solo guardando da dove viene
quell'espressione, ossia risalendo a monte come ho scritto sopra.
Mi dispiace ma non ho tempo di approfondire.
--
Elio Fabri
***Marco***
Sep 28, 2021, 5:29:57 PM9/28/21
to
Il giorno martedì 28 settembre 2021 alle 11:51:38 UTC+2 Elio Fabri ha scritto:
> Franco ha scritto:
> > Ho guardato i tre articoli,
> > ...
> Io invece ho guardato solo il più recente.
> Meglio dire "scorso", vista la lunghezza...
> Mi è bastato per capire che si tratta di un problema di fiica, ahe se
> molto specialistico, e molto complesso.
>
Ringrazio sia te che Franco per il tempo impiegato e le preziose informazioni che comunque mi avete fornito.
> Franco ha scritto:
> > Ho guardato i tre articoli,
> > ...
> Io invece ho guardato solo il più recente.
> Meglio dire "scorso", vista la lunghezza...
> Mi è bastato per capire che si tratta di un problema di fiica, ahe se
> molto specialistico, e molto complesso.
>
In effetti l'ambito è un po' specialistico e complesso, motivo per cui inizialmente avevo estremamente sintetizzato
il problema.
Ad ogni modo ora ho capito il punto su cui devo un po' ragionare e che speravo fosse più banale...:-)
Anche
> La formula dell'impedenza (0.72) ha una forma strana, con quella
> tangente di una fase, che mi fa pensare sia ricavata come rapporto tra
> una tensione e una corrente o qualcosa del genere.
> Lo stesso penso accada per l'ammettenza che interessa l'OP.
>
Sì quelle espressioni derivano sempre (a mia conoscenza) da un rapporto V/I o I/V a seconda di cosa è
> tangente di una fase, che mi fa pensare sia ricavata come rapporto tra
> una tensione e una corrente o qualcosa del genere.
> Lo stesso penso accada per l'ammettenza che interessa l'OP.
>
più semplice/comodo nei vari casi.
Sono espressioni che derivano dall'accoppiamento elettromeccanico dovuto alla piezoelettricità del materiale.
> Butto lì una congettura. Forse partendo delle due espressioni di cui
> viene fatto il rapporto si semplificherebbero i calcoli e si
> eviterebbe l'ambiguità.
>
> Calcolare il log invece della arctg non credo risolva niente:
> l'ambiguità rimane comunque, e si risolve solo guardando da dove viene
> quell'espressione, ossia risalendo a monte come ho scritto sopra.
>
> Mi dispiace ma non ho tempo di approfondire.
> --
> Elio Fabri
Marco
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