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Assiomi di ordinamento nella geometria euclidea
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Massimo Grazzini
Jul 26, 2022, 5:00:51 PM7/26/22
to
Salve a tutti,
mi stavo confrontando con gli assiomi proposti da Hilbert per dare fondamento rigoroso alla geometria euclidea. Ci sono alcuni aspetti che non mi sono chiari.
Se ho ben capito gli assiomi richiedono che su ogni retta sia definito un ordine totale (grazie al quale si riescono a definire i segmenti), che poi deve garantire che siano verificate altre proprietà (ad esempio che sia soddisfatto l'assioma di Pasch...).
E' chiaro che se cambio l'ordinamento (al netto del banale ordinamento inverso), cambiano i segmenti e dunque cambia tutto il sistema geometrico che sto considerando. D'altra parte ci sono dei limiti nella possibilità di cambiare gli ordinamenti, perché quelli buoni devono comunque far sì che siano soddisfatti anche gli altri assiomi.
La mia domanda è questa: è unico l'ordinamento compatibile con gli altri assiomi (al netto dell'ordinamento inverso) o ce ne possono essere molteplici? Ci sono esempi in letteratura di geometrie euclidee che differiscono solo per l'ordinamento sulle rette?
Sperando di essere stato chiaro, ringrazio e saluto tutti.
MG
mi stavo confrontando con gli assiomi proposti da Hilbert per dare fondamento rigoroso alla geometria euclidea. Ci sono alcuni aspetti che non mi sono chiari.
Se ho ben capito gli assiomi richiedono che su ogni retta sia definito un ordine totale (grazie al quale si riescono a definire i segmenti), che poi deve garantire che siano verificate altre proprietà (ad esempio che sia soddisfatto l'assioma di Pasch...).
E' chiaro che se cambio l'ordinamento (al netto del banale ordinamento inverso), cambiano i segmenti e dunque cambia tutto il sistema geometrico che sto considerando. D'altra parte ci sono dei limiti nella possibilità di cambiare gli ordinamenti, perché quelli buoni devono comunque far sì che siano soddisfatti anche gli altri assiomi.
La mia domanda è questa: è unico l'ordinamento compatibile con gli altri assiomi (al netto dell'ordinamento inverso) o ce ne possono essere molteplici? Ci sono esempi in letteratura di geometrie euclidee che differiscono solo per l'ordinamento sulle rette?
Sperando di essere stato chiaro, ringrazio e saluto tutti.
MG
El Filibustero
Jul 26, 2022, 7:49:12 PM7/26/22
to
On Tue, 26 Jul 2022 14:00:49 -0700 (PDT), Massimo Grazzini wrote:
>Se ho ben capito gli assiomi richiedono che su ogni retta sia definito
>un ordine totale (grazie al quale si riescono a definire i segmenti),
>che poi deve garantire che siano verificate altre proprietą
>Se ho ben capito gli assiomi richiedono che su ogni retta sia definito
>un ordine totale (grazie al quale si riescono a definire i segmenti),
>(ad esempio che sia soddisfatto l'assioma di Pasch...).
>E' chiaro che se cambio l'ordinamento (al netto del banale ordinamento inverso),
>cambiano i segmenti e dunque cambia tutto il sistema geometrico che sto considerando.
Questo invece a me non e' chiaro. Cosa significa "cambiare
>E' chiaro che se cambio l'ordinamento (al netto del banale ordinamento inverso),
>cambiano i segmenti e dunque cambia tutto il sistema geometrico che sto considerando.
l'ordinamento"? Ciao
Massimo Grazzini
Jul 27, 2022, 4:07:48 AM7/27/22
to
Ciao
> >E' chiaro che se cambio l'ordinamento (al netto del banale ordinamento inverso),
> >cambiano i segmenti e dunque cambia tutto il sistema geometrico che sto considerando.
> Questo invece a me non e' chiaro. Cosa significa "cambiare
> l'ordinamento"?
Intendo dire che, dato un certo insieme , esistono più modi per ordinare i suoi elementi. In alcuni casi questi diversi ordinamenti sono tra loro isomorfi, in altri no.
Supponiamo fissata una terna (S, R, P) dove S è l'insieme dei punti dello sazio, R l'insieme delle rette in tale spazio e P l'insieme dei piani in tale spazio.
Sia r una retta e siano <, <' due diversi ordinamenti di r.
Se scelgo due punti distinti A, B della retta, il segmento [A, B] indotto da < sarà diverso dal segmento [A, B]' indotto da <' (cioè [A, B] e [A, B]' conterranno elementi diversi dell'insieme S).
Se poi (r, <) e (r, <') non sono isomorfi non ci sarà neppure una biezione che consenta di convertire le figure geometriche del primo sistema in quelle del secondo...
MI chiedo: il fatto che i due ordinamenti < e <' devono comunque soddisfare tutta una serie di ulteriori proprietà, è sufficiente a garantire l'esistenza di un'isomorfismo tra le due geometrie che generano?
MG
> >E' chiaro che se cambio l'ordinamento (al netto del banale ordinamento inverso),
> >cambiano i segmenti e dunque cambia tutto il sistema geometrico che sto considerando.
> Questo invece a me non e' chiaro. Cosa significa "cambiare
> l'ordinamento"?
Supponiamo fissata una terna (S, R, P) dove S è l'insieme dei punti dello sazio, R l'insieme delle rette in tale spazio e P l'insieme dei piani in tale spazio.
Sia r una retta e siano <, <' due diversi ordinamenti di r.
Se scelgo due punti distinti A, B della retta, il segmento [A, B] indotto da < sarà diverso dal segmento [A, B]' indotto da <' (cioè [A, B] e [A, B]' conterranno elementi diversi dell'insieme S).
Se poi (r, <) e (r, <') non sono isomorfi non ci sarà neppure una biezione che consenta di convertire le figure geometriche del primo sistema in quelle del secondo...
MI chiedo: il fatto che i due ordinamenti < e <' devono comunque soddisfare tutta una serie di ulteriori proprietà, è sufficiente a garantire l'esistenza di un'isomorfismo tra le due geometrie che generano?
MG
El Filibustero
Jul 27, 2022, 4:51:48 AM7/27/22
to
On Wed, 27 Jul 2022 01:07:47 -0700 (PDT), Massimo Grazzini wrote:
>Se poi (r, <) e (r, <') non sono isomorfi non ci sarà neppure una biezione
>che consenta di convertire le figure geometriche del primo sistema in quelle del secondo...
OK, allora avremo modelli non isomorfi (vedi sotto).
>Se poi (r, <) e (r, <') non sono isomorfi non ci sarà neppure una biezione
>che consenta di convertire le figure geometriche del primo sistema in quelle del secondo...
>MI chiedo: il fatto che i due ordinamenti < e <' devono comunque soddisfare tutta una
>serie di ulteriori proprietà, è sufficiente a garantire l'esistenza di un'isomorfismo
>tra le due geometrie che generano?
senza ne' primo ne' ultimo elemento. Due modelli numerabili di questo
ordinamento sono necessariamente isomorfi (e' una teoria
aleph_0-categorica), ma due modelli piu' che numerabili potrebbero non
esserlo. Ciao
antonio.ma...@gmail.com
Jul 27, 2022, 5:29:19 AM7/27/22
to
> La mia domanda è questa: è unico l'ordinamento compatibile con gli altri assiomi (al netto dell'ordinamento inverso) o ce ne possono essere molteplici? Ci sono esempi in letteratura di geometrie euclidee che differiscono solo per l'ordinamento sulle rette?
ma bravi!
buttate la "vecchia" geometria euclidea... per crearne un "nuova" con diversi ordinamenti...
nuova... nonche' "migliore", ovviamente!
---
e poi sai come va a finire?
va a finire che vi laureate in matematica, e non siete neanche capaci di risolvere problemini di "vecchia" geometria euclidea a riga e compasso, che risolvono i ragazzi di prima liceo!
El Filibustero
Jul 27, 2022, 5:54:46 AM7/27/22
to
On Wed, 27 Jul 2022 10:51:46 +0200, El Filibustero wrote:
>No. L'ordinamento postulato per la retta e' quello della catena densa
>senza ne' primo ne' ultimo elemento. Due modelli numerabili di questo
>ordinamento sono necessariamente isomorfi (e' una teoria
>aleph_0-categorica), ma due modelli piu' che numerabili potrebbero non
>esserlo. Ciao
Ooops, c'e' anche il postulato di completezza. A questo punto, non
>No. L'ordinamento postulato per la retta e' quello della catena densa
>senza ne' primo ne' ultimo elemento. Due modelli numerabili di questo
>ordinamento sono necessariamente isomorfi (e' una teoria
>aleph_0-categorica), ma due modelli piu' che numerabili potrebbero non
>esserlo. Ciao
penso che esistano rette non ordinalmente isomorfe all'insieme dei
reali. Ciao
Maurizio Frigeni
Jul 27, 2022, 7:10:42 AM7/27/22
to
Massimo Grazzini <massimo....@gmail.com> wrote:
> mi stavo confrontando con gli assiomi proposti da Hilbert per dare
> fondamento rigoroso alla geometria euclidea. Ci sono alcuni aspetti che
> non mi sono chiari. Se ho ben capito gli assiomi richiedono che su ogni
> retta sia definito un ordine totale (grazie al quale si riescono a
> definire i segmenti)
Non mi pare che Hilbert parli esplicitamente di ordinamento, negli
> mi stavo confrontando con gli assiomi proposti da Hilbert per dare
> fondamento rigoroso alla geometria euclidea. Ci sono alcuni aspetti che
> non mi sono chiari. Se ho ben capito gli assiomi richiedono che su ogni
> retta sia definito un ordine totale (grazie al quale si riescono a
> definire i segmenti)
assiomi, che sono invece basati sulla relazione indefinita "tra".
Che poi da questi assiomi si possa dedurre un ordinamento totale della
retta è un altro discorso.
M.
Massimo Grazzini
Jul 27, 2022, 12:52:38 PM7/27/22
to
El Filibustero wrote:
> Ooops, c'e' anche il postulato di completezza. A questo punto, non
> penso che esistano rette non ordinalmente isomorfe all'insieme dei
> reali. Ciao
Ok, grazie
> Ooops, c'e' anche il postulato di completezza. A questo punto, non
> penso che esistano rette non ordinalmente isomorfe all'insieme dei
> reali. Ciao
Massimo Grazzini
Jul 27, 2022, 1:03:22 PM7/27/22
to
Maurizio Frigeni ha scritto:
> Non mi pare che Hilbert parli esplicitamente di ordinamento, negli
> assiomi, che sono invece basati sulla relazione indefinita "tra".
Confermo.
> Che poi da questi assiomi si possa dedurre un ordinamento totale della
> retta è un altro discorso.
Insomma... mica tanto un altro discorso, visto che i concetti sono equivalenti e che il problema che a me interessa può essere correttamente rappresentato in quei termini. Credo del resto che l'uso del linguaggio matematico contemporaneo risulti più pratico.
MG
> Non mi pare che Hilbert parli esplicitamente di ordinamento, negli
> assiomi, che sono invece basati sulla relazione indefinita "tra".
> Che poi da questi assiomi si possa dedurre un ordinamento totale della
> retta è un altro discorso.
MG
Massimo Grazzini
Jul 27, 2022, 1:06:39 PM7/27/22
to
antonio.ma...@gmail.com ha scritto:
> buttate la "vecchia" geometria euclidea... per crearne un "nuova" con diversi ordinamenti...
> nuova... nonche' "migliore", ovviamente!
Non si butta via niente, né ritengo migliori le varianti. Sento solo l'esigenza di fare chiarezza logica intorno a certi discorsi.
> e poi sai come va a finire?
> va a finire che vi laureate in matematica, e non siete neanche capaci di risolvere problemini di "vecchia" geometria euclidea a riga e compasso,
> che risolvono i ragazzi di prima liceo!
Probabile che sia così, ma non di meno ritengo divertente e utile avventurarmi su questi altri sentieri.
MG
> buttate la "vecchia" geometria euclidea... per crearne un "nuova" con diversi ordinamenti...
> nuova... nonche' "migliore", ovviamente!
> e poi sai come va a finire?
> va a finire che vi laureate in matematica, e non siete neanche capaci di risolvere problemini di "vecchia" geometria euclidea a riga e compasso,
> che risolvono i ragazzi di prima liceo!
MG
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