Il metodo della discesa infinita di fermat
Massimiliano Catanese
eseguito con questo strano metodo ?
Il fatto è che ho letto un articolo di Fermat in cui diceva :
se esiste un numero che :
1 gode della proprieta A
2 non è il piu piccolo numero di tale natura : Allora ce ne deve
essere un altro della stessa natura PIU PICCOLO. Ma se ha la stessa
natura, allora :
1 gode della proprieta A
2 non è il piu piccolo numero di tale natura
Capite ? Essendo "della stessa natura" (dice lui) conserva sia la
proprieta A, sia la proprieta di ... Non essere il piu piccolo a
goderne !!!!!! Ma questo è pazzesco !
Perche allora dice lui la discesa non finerebbe mai, ma invece, poiche
finisce, (i naturali cominciano da 1 !!! ) allora si genera una
contraddizione per cui non esite un numero di tale natura. E' pazzesco,
davvero pazzesco. Io proprio non ci arrivo.
Qualcuno di voi mi puo dare spiegazioni, un esempio ... Che so ?
Grazie mille.
Giovanni Resta
> Chi di voi è in grado di fare un esempio di dimostrazione di Fermat
> eseguito con questo strano metodo ?
In questo momento non ho il tempo di scrivere un esempio. Magari
piu' tardi, comunque con Google si trova diversa roba, magari in
inglese.
Comunque il principio e' semplicissimo.
Si usa, per esempio, per dimostrare che una
certa equazione diofantea data non ha soluzioni.
E funziona tipicamente cosi':
1) Si suppone che l'equazione data abbia una certa soluzione X>0.
2) in base alle proprieta' della equazione si deduce che se
X e' una soluzione allora esiste una certa altra soluzione Y
strettamente minore di X e maggiore di 0.
3) riapplicando il punto 2 ad Y si otterra' allora una soluzione Z<Y
e cosi' via all'infinito.
4) siccome non ci sono infiniti interi tra 0 e X (fissato all'inizio)
questo e' impossibile: abbiamo una contraddizione e questo
implica che l'ipotesi (esiste una soluzione X) e' falsa.
A volte la cosa si puo' accorciare:
1) Supponiamo che X sia la soluzione MINIMA.
2) Dimostriamo che se esiste X allora deve esistere una soluzione
Y<X.
3) questo contraddice la minimalita' di X e quindi per contraddizione
abbiamo che X non puo' esistere.
ciao,
g.
Massimiliano Catanese
avevo capito.
Comunque io su internet ho cercato (prima di disturbare a voi lo faccio
sempre) ma non ho trovato esempi operativi : solo chiacchiere.
Senti gentilmente quando hai tempo ti prego di scrivermi l'esempio. E
magari indicarmi un sito per trovare di piu !
Grazie mille.
Dario Fantoni
(o come accidenti si dice in italiano
well-ordered set... )
Saluti...
Dario
NudgeNudge
dell'irrazionalità di radice di 2
Marco
--
know whatahmean, nudge nudge, know whatahmean, say no more?
Massimiliano Catanese
E no, lo usa quel principio però non si identifica con esso.
Prova a leggere lo scritto di Fermat che ho riportato papale papale ( o
quasi ) ... Non è pazzesco ?
Non vorrei fare troppo "cinematografo" ma quando lo afferrato (ovvero :
non afferrato) mi è preso un accidente !
Massimiliano Catanese
dispari ...
NudgeNudge
> Cioè ? Io me la ricordo la dimostrazione col sistema del pari e
> dispari ...
>
due, poi ancora, poi ancora...
Massimiliano Catanese
poi domani ti dico.
Grazie Nudgenudge ( ma che è il nome dei polletti fritti del Mc donald
?)
A domani.
NudgeNudge
> Grazie Nudgenudge ( ma che è il nome dei polletti fritti del Mc donald
> ?)
Non proprio... :)
Enrico Gregorio
Non mi risulta che Fermat abbia scritto articoli scientifici. Puoi
dare un riferimento?
Devi anche tener conto della differenza di linguaggio; in tre secoli
abbondanti il modo di parlare di matematica (e di altre cose) cambia.
Il metodo della discesa infinita si basa su questo, come altri hanno
tentato di spiegarti, non c'è niente di pazzesco:
+ una supposizione S ti garantisce l'esistenza di un numero naturale
n con una certa proprietà A;
+ un ragionamento, nel quale si usa la supposizione S, ti permette di
trovare, dato un numero naturale con la proprietà A un numero
naturale m più piccolo di n, ma ancora con la proprietà A;
+ allora la supposizione S è contraddittoria, perché potresti "scendere
infiniti gradini" da n.
È semplicemente una dimostrazione per assurdo.
Ciao
Enrico
Massimiliano Catanese
>dare un riferimento?
Ironicuccio vero ? ;0)
Ebbene, il riferimento invece ce l'ho :
T. Bell : la vita dei grandi matematici
Domani non manchero di citarti meglio anche il numero di pagina. Anzi
ti scrivo esattamente quello che ho letto : non sia mai me lo riesci a
spiegare pure a me che c'ho la capa tosta !
Grazie mille per le spiegazioni : adesso me le leggo piano piano e poi
ti dico.
Ciao !
Enrico Gregorio
Fermat non era uno scienziato nel senso che daremmo oggi alla parola.
La sua professione era la magistratura, la matematica era per lui
un "passatempo" (a livello alto, intendiamoci).
Aveva fitte corrispondenze con i matematici dell'epoca, soprattutto
con padre Mersenne (quello dei numeri di Mersenne). Ma anche con Pascal,
le loro lettere sul problema del lancio dei dadi costituiscono una delle
sorgenti della teoria matematica della probabilità.
Di fatto però spesso non dimostrava in senso formale. Dava
indicazioni e lasciava la dimostrazione come "esercizio". Di molte sue
asserzioni è stata dimostrata la correttezza, di altre è stata
dimostrata la falsità.
Per esempio, era convinto che tutti i numeri della forma 1+2^(2^n)
fossero primi; Euler provò che 1+2^(2^5)=1+2^32 è divisibile per 641.
Scrisse naturalmente del suo metodo di discesa infinita, ma appunto nel
suo modo non propriamente "matematico". E con il linguaggio dell'epoca.
Attento poi che la traduzione italiana del libro di E. T. Bell è, a mio
parere, terribile (almeno quella che possiedo io). Non conosco
l'originale, ma a giudicare dalla traduzione italiana temo che l'inglese
sia piuttosto involuto. E una traduzione dal francese seicentesco
all'italiano passando per l'inglese!
Ciao
Enrico
Massimiliano Catanese
lettera di fermat a Carcavi agosto 1659 :
<< [omissis] se un numero primo, preso a discrezione, che sorpassa
dell'unita un multiplo di 4 non è composto di due quadrati, ci sarà
un numero primo della stessa natura, piu piccolo di quello dato, e (per
conseguenza) un terzo numero, ancora piu piccolo, e cosi via
discendendo all'infinito fino ad arrivare al nunero 5 che è il piu
piccolo di tutti quelli di questa natura (4n+1), e che si direbbe non
fosse composto di due quadrati, mentre tuttavia lo è. Da cio si deve
arguire per assurdo che tutti i numeri di questa natura sono composti
di due quadrati.>>
Il punto è quando dice che ci sara un numero primo della stessa natura
piu piccolo ecc ecc .
E perche mai dovrebbe esserci ? L'unica spiegazione che ho concepito
è questa scritta nel post iniziale) :
quando parla di un numero di "quella natura" intende che, oltre ad
avere la proprieta che è primo, e che si puo scrivere nella forma 4n +
1, ha anche quella di non essere il piu piccolo a godere di quelle
proprieta. Dunque, quando ne tira fuori un altro della "stessa natura"
ebbene esso si porta appresso anche la proprieta di "non essere il piu
piccolo" a godere delle proprieta dette ... Ecco perche si
auto-autorizza a tirarne fuori sempre uno piu piccolo all'infinito !
Ma non credo che questo sia un ragionamento corretto. Quindi deduco
(per umilta) che poiche fermat non era scemo io non ho capito niente.
Spero che potrai aiutarmi a uscirne ...
Grazie.
Giovanni Resta
> ecco il testo sul bell : (pag 69)
> Il punto è quando dice che ci sara un numero primo della stessa natura
> piu piccolo ecc ecc .
> E perche mai dovrebbe esserci ? L'unica spiegazione che ho concepito
> è questa scritta nel post iniziale)
Fermat abbastanza frequentemente enunciava le cose senza dimostrarle.
Questo teorema sui numeri primi della forma p=4k+1 che si possono
esprimere cosa la enuncio' nel 1640.
Solo nel 1647 Eulero riusci a dimostrare il teorema di Fermat usando la discesa.
Non ti preoccupare se non ti e' sembrato banale, perche' non lo e' affatto,
anche se i singoli passi non sono complicati.
Qui c'e' tutta la dimostrazione (quella di Eulero) e un po'
di storia.
intro:
http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_theorem_on_sums_of_two_squares
dimostrazione:
http://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_Fermat%27s_theorem_on_sums_of_two_squares
Un altro esempio di applicazione della discesa infinita
(non esistenza di soluzioni per x^4+y^4=z^2)
lo trovi qui:
http://www.mathpages.com/home/kmath288.htm
ciao,
g.
Massimiliano Catanese
Ma scusa, non è che mi potete dire, rispetto al mio ragionamento, cosa
c'è che non va ?
Ovvero : cosa c'è che non va su quanto scritto da Fermat ?
Grazie.
Adesso mi vado a leggere i siti che mi hai dato.
Giovanni Resta
> Grazie Giovanni.
> c'č che non va ?
Non riesco a seguire molto bene quello che dici, mi sembra
grosso modo una parafrasi di quello che afferma Fermat.
Il succo e' che Fermat dice che
assumendo per assurdo che esista un numero primo della
forma 4k+1 che non e' rappresentabile come somma di due
quadrati, si deduce l'esistenza di un altro numero
primo, minore di quello di partenza,
della forma 4k+1 che di nuovo non e'
rappresentabile come somma di due quadrati.
Siccome questa "derivazione" si puo' riapplicare
al numero appena trovato arbitrariamente, si deve
necessariamente andare a finire nel numero piu'
piccolo della forma 4k+1 ovvero 5, che pero'
E' della forma x^2+y^2, oppure si deve arrivare ad
un punto in cui la derivazione, basata sull'esistenza di un
primo con quelle caratteristiche, non puo' produrre un primo
minore (perche' i primi minori del numero di partenza sono finiti)
In ogni caso, l'assunzione iniziale ci porta ad un assurdo.
Quello che manca, sia dalla lettera di Fermat, che
dal tuo ragionamento, e' proprio il metodo
per passare da un ipotetico (ipotetico perche'
di fatto non esiste) numero primo P ad uno piu'
piccolo Q. Solo dopo 7 anni Eulero esplicito'
un metodo per passare da P a Q.
ciao,
g.
Massimiliano Catanese
>grosso modo una parafrasi di quello che afferma Fermat.
quale.
Bene. Il punto che secondo me lui afferma e sul quale sono in
disaccordo è questo :
Poiche il numero x non è per ipotesi IL PIU PICCOLO a godere della
proprieta p, ce ne deve essere uno (y), piu piccolo, della STESSA
NATURA di x ! Per Fermat essere "della stessa natura" di x non
significa solo che y gode della proprieta p, ma anche che y, cosi come
x, NON SIA IL PIU PICCOLO numero a goderne !!!!!!
Capito la follia ? E' solo per questo che riesce a scendere, scendere
... All'infinito. (credo).
Che ne pensi ?
Giovanni Resta
Non mi sembra che nello stralcio del Bell che hai ricopiato
Fermat affermi che il valore iniziale sia il piu' piccolo,
ma solo che dalla sua esistenza ne discende l'esistenza di
uno piu' piccolo della stessa natura (dove natura =
essere primo della forma 4k+1 non esprimibile come x^2+y^2).
Comunque la cosa e' sostanzialmente irrilevante.
Hai due possibilita' (non avendo letto la dimostrazione
di Eulero non so quale venga usata).
1) Assumi che un certo valore ipotetico X che soddisfa la tua
proprieta' (in realta' impossibile da soddisfare), sia il piu'
piccolo valore che la soddisfa.
Partendo da questa ipotesi (compreso il fatto che X e' minimo)
dimostri che ne esiste un altro Y<X
che soddisfa la relazione, il che e' assurdo, visto che avevi
assunto che X era il piu' piccolo.
2) Non assumi che sia il piu' piccolo, ma ottieni comunque
un valore Y<X e se i valori ammettono comunque una limitazione
inferiore arrivi in ogni caso ad un assurdo.
ciao,
g.
Massimiliano Catanese
Mi applichero allo studio delle dimostrazioni che mi hai indicato.
Credi che mi ci vorrà qualche giorno per capire bene ...
Marco Dalai
> Solo dopo 7 anni Eulero esplicito'
> un metodo per passare da P a Q.
>
Occhio che 7 anni sarebbero pochissimi, temo siano 107 anni (il problema
era del 1640). Eulero č venuto un bel po' dopo, e ha "riscoperto" molte
delle cose che Fermat aveva fatto.
Ovviamente Eulero era un matematico di quelli rarissimi (ma anche in un
contesto diverso) e quindi č a lui che si deve l'impronta rigorosa delle
dimostrazioni, ma Fermat lavorava su quelle cose un centinaio di anni
prima, il che un po' giustifica il fatto che non fornisse vere e proprio
dimostrazioni.
Era giusto perché altrimenti sembra che Fermat le sparasse a caso e
Eulero dimostrasse subito dopo :)
ciao
marco
Massimiliano Catanese
trovarla, la dimostrazione ... Non che l'ha trovata 7 anni dopo di lui.
Credo.
Ma insomma la mia è un'intrusione.
;0)
Kiuhnm
> Era giusto perché altrimenti sembra che Fermat le sparasse a caso e
> Eulero dimostrasse subito dopo :)
Comunque è difficile "prenderci" così tanto sparando "a caso".
Kiuhnm
Marco Dalai
>
> Comunque è difficile "prenderci" così tanto sparando "a caso".
sì appunto, anche se non forniva dimostrazioni rigorose aveva in testa
ragionamenti abbastanza precisi. Poi alcune cose effettivamente erano
solamente congetture, ma molte cose le "dimostrava", per quanto possa
valere il termine all'epoca. Il concetto stesso di dimostrazione credo
si sia rivalutato anche grazie a lui. Con Eulero anche i tempi erano più
maturi penso. Questa è l'idea che mi sono fatto io naturalmente
(leggendo dal libro di Weil). Però mi pare che Fermat venga spesso
classificato o come Assoluto Veggente o come Sbruffone "spara a caso"
ciao
marco
Massimiliano Catanese
Trovo :
"since 2pq is a square, either p or q is even"
Cioè (correggimi se sbaglio) :
2pq è un quadrato allora p oppure q o ambedue sono pari ?
perche ?
grazie.
Massimiliano Catanese
affinche 2pq essendo quadrato contenga 2^2 !
Pero allora non possono essere ambedue pari, altrimenti avrei 2^3 che
non è quadrato !
giovanni resta
> Mi sa che Resta intendeva che Eulero ci ha impiegato 7 anni per
> trovarla, la dimostrazione ... Non che l'ha trovata 7 anni dopo di lui.
> Credo.
> Ma insomma la mia č un'intrusione.
> ;0)
No, mi sono proprio sbagliato. Devo avere confuso delle date
e poi nella fretta non ho fatto mente locale sulla cronologia.
Sempre stato negato per la collocazione temporale delle cose.
ciao,
g.
giovanni resta
non conosco il contesto, ma possono benissimo essere pari
tutti e due, per esempio, basta che uno sia divisibile solo per 2
e l'altro per 2^2. Cosi 2pq e' divisibile per 2^4. etc.etc.
ciao,
g.
Tetis
ha scritto:
> Chi di voi è in grado di fare un esempio di dimostrazione di Fermat
> eseguito con questo strano metodo ?
> Il fatto è che ho letto un articolo di Fermat in cui diceva :
> se esiste un numero che :
> 1 gode della proprieta A
> 2 non è il piu piccolo numero di tale natura : Allora ce ne deve
> essere un altro della stessa natura PIU PICCOLO. Ma se ha la stessa
> natura, allora :
> 1 gode della proprieta A
> 2 non è il piu piccolo numero di tale natura
> Capite ? Essendo "della stessa natura" (dice lui) conserva sia la
> proprieta A, sia la proprieta di ... Non essere il piu piccolo a
> goderne !!!!!! Ma questo è pazzesco !
> Perche allora dice lui la discesa non finerebbe mai, ma invece, poiche
> finisce, (i naturali cominciano da 1 !!! ) allora si genera una
> contraddizione per cui non esite un numero di tale natura. E' pazzesco,
> davvero pazzesco. Io proprio non ci arrivo.
> Qualcuno di voi mi puo dare spiegazioni, un esempio ... Che so ?
Il fatto e' che gli esemplici di questa applicazione che conosco
sono o semplicissimi o laboriosi. Semplicissimo: vogliamo dimostrare
che tutti i numeri positivi sono maggiori di zero.
La dimostrazione e' gia' qui nella definizione. Ma possiamo pensare
di procedere a definire i numeri conseguenti ad 1 generati dalla
regola di aggiungere una unita'. Vogliamo mostrare che l'insieme
di questi numeri e' interamente carattarizzato dalla stessa proprieta'
che vale per 1 di essere maggiore di zero. Possiamo sfruttare l'induzione
e la proprieta' che (m>n x>y --> (m+x)>(n+y)) oppure procedere
anche in questo modo: supponiamo che esista un numero
dell'insieme minore di zero. E consideriamo che x < y -> x-1 < y.
Sappiamo che 1>0. Quindi se c'e' un'eccezione deve essere
data da un qualche numero diverso da 1. E notiamo
preliminarmente che ogni elemento, iterativamente conseguente
ad 1 ammette un antecedente.
Poniamo dunque che nell'insieme dei numeri iterativamente
conseguenti ad 1:
1) Esiste m < 0
Allora anche l'antecedente di m, che esiste
per via del modo in cui l'insieme e' stato costruito :
m-1 < 0 allora:
2) m non e' il piu' piccolo elemento dell'insieme minore di zero.
Ma allora dovrebbe essere possibile discendere fino all'unita'
che dunque sarebbe minore di zero. Il che per ipotesi
dell'ordinamento abbiamo negato. Anche a me quella lettera di
Fermat ha sempre dato delle difficolta' logiche. Essenzialmente
perche' con questo esempio che mi ero subito auto-proposto
non vedevo la difficolta' a costruire la deduzione inversa:
cioe' perche' dimostrare all'indietro anziche' in avanti?
Secondo me la stessa difficolta' la pone in generale la procedura
di dimostrazione per assurdo. Perche' possiamo dimostrare in
taluni casi che da non(Z) segue non(V) (e sapendo che invece
vale V concludere Z) e non il contrario direttamente?
Solo in seguito
pensando al teorema di Euclide mi sono reso conto che un
argomento di discesa infinita ha un ruolo per concludere che
per ogni numero che non sia primo: una fattorizzazione esiste
e deve essere finita. Mentre un argomento in salita non
sarebbe evidente. E' allora che ho pensato che Fermat dovesse
avere individuato una struttura di reticolo nei numeri che hanno
la forma di somma di due quadrati. E' quello che in effetti risulta
Fermat sapeva che un numero che si fattorizza in due somme
di quadrati e' a sua volta esprimibile due volte come
la somma di due quadrati.
--------------------------------
Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
Marco Dalai
>
> Il fatto e' che gli esemplici di questa applicazione che conosco
> sono o semplicissimi o laboriosi.
C'è una dimostrazinoe dell'irrazionalità di sqrt(2) che secondo me è
veramente bella e si basa proprio su quel principio.
Anzitutto è chiaro che 1<sqrt(2)<2. Sia sqrt(2) razionale. Allora esiste
un intero N tale che N*sqrt(2) è intero, diciamo
N*sqrt(2)=M.
Ma allora il numero N*sqrt(2)-N è un altro intero, minore di N e
maggiore di zero, che moltiplicato per sqrt(2) dà un intero, infatti
(N*sqrt(2)-N)*sqrt(2)=2N-N*sqrt(2)=2N-M.
Continuando appunto con la discesa si arriva alla conclusione che
1*sqrt(2) è intero, essendo questo falso si deduce che sqrt(2) è
irrazionale.
E' interessantissima secondo me perchè non coinvolge neanche il concetto
di fattorizzazione.
ciao
marco
Tetis
> Tetis ha scritto:
>
> >
> > Il fatto e' che gli esemplici di questa applicazione che conosco
> > sono o semplicissimi o laboriosi.
>
> C'è una dimostrazinoe dell'irrazionalità di sqrt(2) che secondo me è
> veramente bella e si basa proprio su quel principio.
... sottolineo
> Ma allora il numero N*sqrt(2)-N è un altro intero, minore di N e
> maggiore di zero, che moltiplicato per sqrt(2) dà un intero, infatti
> (N*sqrt(2)-N)*sqrt(2)=2N-N*sqrt(2)=2N-M.
>
> Continuando appunto con la discesa si arriva alla conclusione che
> 1*sqrt(2) è intero, essendo questo falso si deduce che sqrt(2) è
> irrazionale.
>
> E' interessantissima secondo me perchè non coinvolge neanche il concetto
> di fattorizzazione.
Gia'. Sembra proprio istruttiva, anche perche' in questo caso
si puo' riflettere direttamente sul modo in cui procede la dimostrazione
per assurdo. Consideriamo una proposizione A verificata per un
insieme infinito. La posizione assurda consiste nell'affermare che la
negazione della proposizione A e' verificata in almeno un elemento
dell'insieme infinito in cui si vuole dimostrare verificata A.
Ad ogni modo a suo tempo avevo considerato anche questo genere
di proposizione ed avevo immaginato che, avendo una natura
sequenziale dovesse avere un corrispettivo diretto. In effetti
esiste una versione in avanti di questa dimostrazione: e' null'altro
che l'algoritmo di costruzione della frazione continua che approssima
sqrt(2). Si dimostra che questo algoritmo produce sempre nuovi raffinamenti
in una sequenza infinita. E questo corrisponde alla dimostrazione che
le equazioni di Pell: 2N^2 - M^2 = 1 ammette infinte soluzioni intere.
Questa circostanza
non e' compatibile con l'esistenza di una soluzione intera per 2N^2-M^2=0.
Tuttavia la dimostrazione di questo e' immdiata in un verso un poco meno
nell'altro. Cioe' se l'algoritmo di sviluppo in frazione continua si
arrestasse
avremmo una soluzione intera per la seconda equazione, mentre l'algoritmo
non si arresta proprio per il fatto che 2N^2-M^2=0 non ammette soluzioni.
Perche' l'algoritmo si fermerebbe se e solo se 2 fosse un quadrato perfetto.
Questo e' un argomento complementare all'esistenza di infinite soluzioni
per l'equazione di Pell, ma non e' evidentissima l'equivalenza.
C'e' una struttura analoga nella dimostrazione che l'equazione
y^3=x^2-x ammette una sola soluzione intera. Ed ancora, un teorema
basato sull'analisi delle soluzioni delle equazioni di Pell condusse,
nell'arco
di ben lunghi otto anni alla scoperta del fatto che y^3 = x^2+2 ha una
sola soluzione intera. Essenzialmente l'esistenza di piu' soluzioni intere
per queste due equazioni e' cripticamente equivalente alla impossibilita'
di altrettanti (due quante le equazioni) passi deduttivi la cui verita' e'
invece garantita dalla struttura a divisione finita degli interi gaussiani,
ovvero, basandosi su un fatto piu' elementare e noto:
poiche' vale l'identita' seguente:
(x^2+y^2)(a^2+b^2) = (xa+yb)^2+(xb-ya)^2 = (xa-yb)^2+(xb+ya)^2
allora discende una struttura di fattorizzazione a livello di un anello
polinomiale sugli interi che in qualche modo vieta al gruppo delle
soluzioni dell'equazione ellittica che da qualche tempo ossessiona
Massimiliano, di contenere piu' di una soluzione intera nel proprio
gruppo. Fermat scopri' questo nesso.
Pero' dal mio punto di vista la struttura logica
essenziale di questo intrico e' davvero sfuggente fin a quando non si
acquisisce uno strumento algoritmico legato alle radici di equazioni
algebriche, ed alle identita' modulari nei polinomi. Allora, non so
quanto a fondo questo sia stato indagato? Questi teoremi sono
intrinseci alle struttura di Galois delle equazioni, ed ad altri risultati
relativi agli anelli modulari (vedi ad esempio
la semplice circostanza che nell'equazioni sopra il piu' ed il meno
possono essere scambiati da' luogo a due distinte soluzioni, da questo
segue insieme con pochi, ma distintissimi, altri fatti, che l'esistenza
di una soluzione per
N^3=a^2+Ab^2 permette di costruire due numeri (u,v) che generano
(a,b) ne segue che per come sono fatte queste espressioni, quando
A=2 non puo' esserci altra soluzione intera se non (5,1) ed N=3.
Qualcuno, irresponsabilmente, inconscientemente, o forse dolosamente,
ha dato in pasto a Massimiliano questo difficilissimo problema, e
Massimiliano da qualche tempo tempesta il ng girandoci attorno.
> ciao
> marco