Sommatoria e integrale
Kiuhnm
Per es. assumete di avere f(t) = (r(t)cos(w(t)), r(t)sin(w(t))) con r e
w funzioni R->R continue e w monotona crescente. Siano t1 e t2 numeri
reali tali che 0 <= w(t1) <= w(t2) <= 2pi.
Se voglio calcolare l'area dell'insieme dei punti
S_{t1,t2} = {(x,y) | esistono k,t in R . ( k in [0,1], t in [t1,t2] e
(x,y) = kf(t) )},
cioč l'area "spazzata" dal vettore f(t) da t1 a t2, posso procedere nel
modo seguente.
Sia A(t1,t2) l'area di S_{t1,t2} e h(x) = t1 + (t2-t1)x/n. Avrei dovuto
scrivere h(x,n,t1,t2), ma č troppo scomodo.
A(t1,t2) = lim_{n->inf}
1/2 Sum_{x=1}^n |f(h(x-1))| |f(h(x))| sin[w(h(x))-w(h(x-1))],
cioč approssimo S_{t1,t2} con un insieme di n triangoli.
Adesso iniziano i problemi. Come risolvo quel limite?
Se fossi un fisico potrei dire qualcosa del genere:
n->inf =>
h(x-1)->h(x)
f(h(x-1))->f(h(x)) (f č continua)
sin[w(h(x))-w(h(x-1))]->w(h(x))-w(h(x-1))
quindi abbiamo
|f(h(x))|^2 [w(h(x))-w(h(x-1))]
=
|f(h(x))|^2 [w(h(x))-w(h(x-1))]/[h(x)-h(x-1)]*[h(x)-h(x-1)]
quindi ottengo, assumendo che w sia anche differenziabile,
Int_{t1}^{t2} |f(t)|^2 w'(t)dt
=
Int_{t1}^{t2} r(t)^2 w'(t)dt
Non so perché ma non mi soddisfa :-)
Voi come procedereste?
Kiuhnm
Sander Cohen
> Esiste un metodo generale per passare da "lim_{n->inf} Sum A" a "Int B"?
Non credo che si possa parlare propriamente di un un "metodo" e né che si
passi da una scrittura all'altra. Io semplicemente lo chiamerei integrale di
Riemann, quindi vedrei se vi sono tutte le condizioni affinché si possa
procedere con tale costruzione.
Per il resto, mi sembra che tu debba determinare la misura di un insieme la
cui frontiera è facilmente esprimibile in coordinate polari, quindi la
determinerei nella maniera classica (cioè integrando).
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Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
Kiuhnm
> Il 02 Lug 2008, 20:36, Kiuhnm <kiuhnm03.4t.yahoo.it> ha scritto:
>> Esiste un metodo generale per passare da "lim_{n->inf} Sum A" a "Int B"?
>
>
> Non credo che si possa parlare propriamente di un un "metodo" e né che si
> passi da una scrittura all'altra. Io semplicemente lo chiamerei integrale di
> Riemann, quindi vedrei se vi sono tutte le condizioni affinché si possa
> procedere con tale costruzione.
>
> Per il resto, mi sembra che tu debba determinare la misura di un insieme la
> cui frontiera è facilmente esprimibile in coordinate polari, quindi la
> determinerei nella maniera classica (cioè integrando).
Purtroppo quello era solo un semplice esempio. Forse con l'analisi
non-standard si può fare qualcosa... Peccato che non trovi mai il tempo
per studiarmela come si deve.
Kiuhnm