gli infiniti
Vittoria Rezzonico
Qualcuno mi puo' spiegare un po' aleph-0, aleph-1, c,... insomma,
qualcosa sui diversi infiniti?
Grazie 1000
Vicky
Giovanni
Intanto ti parlo della definizione di quelli che hai citato.
Si tratta di 3 *cardinali* transfiniti, da distinguersi dagli
*ordinali* transfiniti (omega-0, omega-0+1, omega-0+2, ...)
Aleph-0 e' il numero che misura la grandezza (detta anche cardinalita'
o potenza) dell'insieme di tutti i numeri naturali.
Aleph-1 e' il secondo cardinale transfinito per grandezza.
"c" e' il numero cardinale del *continuo*, ossia la grandezza
spettante ad ogni intervallo di numeri reali, cosi' come alla
grandezza dell'insieme di tutti i numeri reali.
Inoltre si ha che c = 2^aleph-0.
Dove con "2^aleph-0" si intende la cardinalita' dell'insieme di tutti
i sottoinsiemi di aleph-0 (detto anche *insieme potenza* di aleph-0).
E' stata una questione molto dibattuta se e' vero o no che
c = aleph-1 (ossia anche che aleph-1=2^aleph-0).
La tesi che lo sostiene e' detta *Ipotesi del continuo*.
Cantor (l'inventore della teoria degli insiemi e della teoria dei
numeri infiniti) sosteneva tale tesi, ed era convinto si potesse
dimostrare.
Successivamente invece e' stato dimostrato che a partire dagli assiomi
standard della teoria degli insiemi l'*ipotesi del continuo* non e' ne
dimostrabile vera ne confutabile.
Esiste una generalizzazione di questa ipotesi.
Essa dice che per ogni n:
aleph-n = 2^aleph-(n-1)
detta *ipotesi generalizzata del continuo*.
Cioe' dice che il numero cardinale immediatamente successivo ad un
altro corrisponde all'insieme potenza del primo.
La falsificazione di tale ipotesi e' la possibilita' che esistano tra
la cardinalita' di un insieme e la cardinalita' del suo insieme
potenza delle cardinalita' intermedie.
Ciao
Giovanni
NN
>On Thu, 22 Apr 1999 13:54:06 +0200, Vittoria Rezzonico
><vrez...@dico.epfl.ch> wrote:
>>Qualcuno mi puo' spiegare un po' aleph-0, aleph-1, c,... insomma,
>>qualcosa sui diversi infiniti?
[snip]
>Successivamente invece e' stato dimostrato che a partire dagli assiomi
>standard della teoria degli insiemi l'*ipotesi del continuo*
[snip]
Solo una piccola precisazione. Tutto cio` che dice Giovanni e` assolutamente
corretto se (come faceva *implicitamente* anche Cantor) l' assioma della
scelta e` incluso tra gli "assiomi standard della teoria degli insiemi"
(per esempio, si usa ZFC e non semplicemente ZF).
Senza assumere tale assioma la questione si puo` ancora studiare, ma gia`
l' enunciato dell' ipotesi del continuo e` problematico, in quanto "ramifica"
in vari enunciati non equivalenti. Gli aleph sono ancora definiti (per esempio)
come ordinali iniziali, ma tali particolari ordinali danno solo le cardinalita`
di particolari insiemi, cioe` quelli che possono essere bene ordinati. Allora
l' enunciato "standard" per l' ipotesi del continuo (cioe`: "l' insieme delle
parti di un insieme numerabile [ovvero la retta reale] e` in corrispondenza
biunivoca col primo ordinale non numerabile") equivale alla congiunzione di
(a) "l' insieme delle parti di un insieme numerabile [ovvero l' insieme dei
numeri reali] puo` essere bene ordinato" e (b) "non esistono cardinalita`
intermedie tra quella dell' insieme dei numeri naturali e quella dell' insieme
dei numeri reali";
oppure equivale anche a (b) piu` (a') "aleph_1 <= c" (ovvero la retta reale
ha un sottoinsieme equipotente al primo ordinale non numerabile).
Chiaramente: Assioma della scelta ==> (a) ==> (a').
Esistono modelli di ZF in cui:
* vale (a) [quindi anche (a')] ma non (b)
Sono i "normali" controesempi all' ipotesi del continuo
* vale (b) ma non (a') [ovvero neanche (a)]
Per esempio i famosi modelli di Solovay in cui (oltre all' assioma
della successione di scelte dipendenti e al fatto che ogni insieme
di numeri reali e` misurabile secondo Lebesge e ha la proprieta` di
Baire) ogni insieme non numerabile di numeri reali ha un sottoinsieme
perfetto [quindi "brutalmente" valgono (b) e le negazioni di (a), (a')]
Invece non mi vengono in mente modelli in cui vale (a') ma non (a) [quindi
neanche (b)], ma sarei sorpreso se (a') implicasse (a).
D' altro canto, (b) e (b'): "non esistono cardinalita` intermedie tra quella
dell' insieme dei numeri reali e quella dell' insieme delle parti dei numeri
reali" implicano (a) e (a'). Piu` elaboratamente, un opportuno modo di
enunciare l' ipotesi del continuo generalizzata implica l' assioma della
scelta; precisamente: detto <X> l' enunciato "tra le cardinalita` di X e del
suo insieme delle parti [ovvero 2^X] non esistono cardinalita` intermedie"
si ha che "se <X>, <2^X> e <2^(2^X)> allora X, 2^X, 2^(2^X) sono
bene ordinabili" e si ha anche che "se X e` non vuoto, <X^2>, <2^(X^2)>
allora X e 2^X sono bene ordinabili".
Di tutto, di piu`: Jech, set theory. Cfr. anche la tabella a pag. 326
(e la pag. 217) di "Zermelo's axiom of choice" di G. H. Moore.
Ovviamente si puo` discutere a lungo e da vari punti di vista (raggiungendo
conclusioni opposte) se sia piu` interessante la questione assumendo
l' assioma della scelta o qualcosa di diverso ...