varietà e riferimenti cartesiani
Fabio Peluso
oggi tratto di argomenti non ancora studiati (e di cui per ora non
posso occuparmi utilizzando testi).
Seguite il mio ragionamento.
Una circonferenza è una varietà di dimensione 1.
--->possiamo introdure un riferimento sulla circonferenza. a ogni
punto associamo in maniera univoca un angolo tra [0;2pi]
Una sfera è una 2-varietà
--->possiamo introdurre un sistema di riferimento analogo alle
coordinate geografiche (latitudine, longitudine).
Questo implica che possiamo sempre introdurre un riferimento su una
varietà?
Ed esempio su un toro?
Se si, come?
Ci sono spazi per applicazioni pratiche a riferimenti su un toro
(qualora esistano?)
Grazie
Giovanno
> oggi tratto di argomenti non ancora studiati (e di cui per ora non posso
> occuparmi utilizzando testi).
>
> Seguite il mio ragionamento.
> Una circonferenza è una varietà di dimensione 1. --->possiamo introdure
> un riferimento sulla circonferenza. a ogni punto associamo in maniera
> univoca un angolo tra [0;2pi]
> Una sfera è una 2-varietà
> --->possiamo introdurre un sistema di riferimento analogo alle
> coordinate geografiche (latitudine, longitudine).
>
Occhio all'ambiguita' dei poli. Vedi sopra.
> Questo implica che possiamo sempre introdurre un riferimento su una
> varietà?
Una varieta' *e'* localmente R^n. Intendi un sistema di coordinate globale?
> Ed esempio su un toro?
Un toro e' il prodotto di due circonferenze. Ti rifai al caso precedente.
> Se si, come?
Con due angoli identifichi i punti sul toro.
Neo
> Questo implica che possiamo sempre introdurre un riferimento su una
> varietà?
Se intendi sistema ortonormale globale no. Se intendi sistema globale
no.
Quello che si sa è che una varietà è definita come R^n localmente.
Questo vuol dire che puntualmente puoi prendere un sistema ortonormale
ma quello vuol dire proprio nel punto, non nell'intorno. Questo vuol
dire che il riferimento è nello spazio tangente della varietà.
Nel caso in cui la tua varietà sia piatta allora esiste sicuramente un
sistema ortonormale globale.
--
Ciao Neo
Fabio Peluso
> > Seguite il mio ragionamento.
> > Una circonferenza è una varietà di dimensione 1. --->possiamo introdure
> > un riferimento sulla circonferenza. a ogni punto associamo in maniera
> > univoca un angolo tra [0;2pi]
>
> Hai bisogno di due carte per la circonferenza.
Era tanto per fare un esempio, ma mi hai spiazzato: in che senso
servono due carte?
>
> > Una sfera è una 2-varietà
> > --->possiamo introdurre un sistema di riferimento analogo alle
> > coordinate geografiche (latitudine, longitudine).
>
> Occhio all'ambiguita' dei poli.
Che tipo di ambiguità???
Elio Fabri
> Seguite il mio ragionamento.
> Una circonferenza =E8 una variet=E0 di dimensione 1.
> --->possiamo introdure un riferimento sulla circonferenza. a ogni
> punto associamo in maniera univoca un angolo tra [0;2pi]
1) Io preferisco parlare di "sistema di coordinate" , non di
riferimento.
Lascio il termine "riferimento" al suo uso in fisica.
2) La tua freccia ---> vorrebbe dire "siccome e' una varieta', allora
possiamo introdurre ecc."
In realta' e' l'opposto: si dice che e' una varieta' perche' possiamo
introdurre un sistema di coordinate (e bisognerebbe chiarire bene che
cosa questo signfica).
Tu lo sai?
> Una sfera =E8 una 2-variet=E0
> --->possiamo introdurre un sistema di riferimento analogo alle
> coordinate geografiche (latitudine, longitudine).
Come sopra, ovviamente.
> Questo implica che possiamo sempre introdurre un riferimento su una
> variet=E0?
Si', per definizione di varieta', con alcune precisazioni che in parte
riprendo fra poco.
> Ed esempio su un toro?
> Se si, come?
Una prima rozza idea e' questa. Puoi vedere il toro come generato
dalla rotazione di una circonferenza attorno a una retta del suo
piano, e ad essa esterna.
Allora le due coordinate possono essere:
a) quella lungo la circonferenza
b) l'angolo di rotazione.
> Ci sono spazi per applicazioni pratiche a riferimenti su un toro
> (qualora esistano?)
Questa domanda non e' chiara: se ci sono casi in cui e' utile usare un
toro, e' anche utile introdurvi delle coordinate. Potrei fareti un
esempio meccanico, ma ora vorrei passare ad altro.
Giovanno ha scritto:
> Hai bisogno di due carte per la circonferenza.
Ecco, bravo: bella risposta...
> Occhio all'ambiguita' dei poli. Vedi sopra.
Come sopra: ti costava tanto spiegarti?
O forse non ti rendi conto che tutto quello che hai scritto (anche
dopo) per l'OP e' del tutto incomprensibile?
Neo ha scritto:
> Se intendi sistema ortonormale globale no. Se intendi sistema
> globale no.
Io solo convinto che l'OP a questo non ci pensava proprio.
> Quello che si sa =E8 che una variet=E0 =E8 definita come R^n
> localmente.
Gia': ma tu credi che l'OP sappia il significato di quell'avverbio
"localmente"?
> Questo vuol dire che puntualmente puoi prendere un sistema ortonormale
> ma quello vuol dire proprio nel punto, non nell'intorno. Questo vuol
> dire che il riferimento =E8 nello spazio tangente della variet=E0.
Questo vuol dire che stai anche facendo casino.
In una varieta' topologica (e anche differenziale) di sistemi
ortonormali non se ne parla, ma di sistemi locali di coordinate
(carte) si'.
Adesso gli darai anche una rigorosa definizione di spazio tangente,
vero?
(Visto che tu la fisica della RG ancora non la conosci, ma la
matematica si' :-) )
Fabio Peluso ha scritto:
> Era tanto per fare un esempio, ma mi hai spiazzato: in che senso
> servono due carte?
> Che tipo di ambiguit=E0???
Non ti preoccupare: le risoste che ti hanno dato soffrono del tipico
difetto di gioventu'.
Hanno studiato delle cose, ma ancora non si rendono conto di cio' che
e' ovvio, oppure profondo, oppure difficile ...
Per loro e' tutto uguale.
Dato che spiegarti le cose in modo comprensibile richiederebbe un
discorso un po' lunghetto, preferisco rimandarti qui:
http://www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/irg/irg03.pdf
http://www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/irg/fcap03.pdf
Ci troverai la definizione di varieta', la spiegazione di che cosa sono
le carte, e anche alcuni esempi, tra cui quelli di cui hai parlato tu.
--
Elio Fabri
Giovanno
> Giovanno ha scritto:
>> Hai bisogno di due carte per la circonferenza.
> Ecco, bravo: bella risposta...
>
Io vorrei tanto sapere perche' la gente deve aprire bocca e dar fiato ai
denti.
Mi sembra evidente che qui si possano dare aiuti di massima, non far
lezione.
Ne' uno pretende di essere esaustivo in un'unica risposta. Ne' di
aver capito il livello del prossimo al volo.
Poi arrivi tu, tomo tomo cacchio cacchio a dire la classica inutile
fesseria. Senza ritegno alcuno.
Intanto parlando di fondamenti potevi spiegare il problema della
separabilita'. Il che rende inutile e dannoso tutto il tuo
pseudointervento.
Mi dispiace per Fabio, ma gli interventi a sproposito di questo qua
proprio non si reggono.
Lo vorrei vedere proprio ad intervenire sui sci.*.research con le sue
uscite.
Neo
> Io solo convinto che l'OP a questo non ci pensava proprio.
Come al solito se uno non dice quali sono le sue competenze viene
difficile una spiegazione ;)
> Gia': ma tu credi che l'OP sappia il significato di quell'avverbio
> "localmente"?
Non ho la più pallida idea. Se l'op non capisce chiederà chiarimenti
> Questo vuol dire che stai anche facendo casino.
> In una varieta' topologica (e anche differenziale) di sistemi
> ortonormali non se ne parla, ma di sistemi locali di coordinate
> (carte) si'.
Su questo non sono d'accordo (evvai arriva la bastonata nel prossimo
post... Ma ho la pelle coriacea lo sopporterò):
io intendevo che punto a punto sulla varietà posso prendere un sistema
di coordinate ortonormali rispetto alla metrica. Quelle sono
coordinate ortonormali e globali su tutto lo spazio tangente. Non mi
pare di aver detto che si parla di coordinate ortonormali...
Tuttavia sulle varietà simplettiche (non parlo con l'op sia chiaro)
esiste la forma simplettica che fa un po' le veci della metrica.
Allora li si che esiste un sistema ortonormale rispetto alla forma
simplettica, che si può usare come "metrica".
> Adesso gli darai anche una rigorosa definizione di spazio tangente,
> vero?
> (Visto che tu la fisica della RG ancora non la conosci, ma la
> matematica si' :-) )
Diciamo che lo spazio tangente e tutte le strutture che si porta
dietro (tipo il fibrato) non sono vincolate a nessuna teoria fisica.
Infatti si può utilizzate la teoria dei fibrati in meccanica (non
fosse che il fibrato risultante sia banale visto che la base è
contraibile, thm di chi non so...)
Poi possiamo discutere sul perché in RG (ma anche in elettromagnetismo
covariante) siano utili queste strutture...
Inoltre come definizioni ne conosco almeno tre che sono, naturalmente,
equivalenti.
> --
> Elio Fabri
--
Ciao Neo (che non viene bastonato da un po' e ne sente la mancanza :) )
Fabio Peluso
risposta al mio livello e per gli ottimi link.
nn litigate, nn c'è bisogno stavolta ;)
Elio Fabri
> Io vorrei tanto sapere perche' la gente deve aprire bocca e dar fiato
> ai denti.
Ti rispondo con padre Dante: "non ti curar di lor ma guarda e passa".
Neo ha scritto:
> io intendevo che punto a punto sulla variet=E0 posso prendere un
> sistema di coordinate ortonormali rispetto alla metrica. Quelle sono
> coordinate ortonormali e globali su tutto lo spazio tangente. Non mi
> pare di aver detto che si parla di coordinate ortonormali...
La mia obiezione era a monte: se si parla di varieta' senza aggettivi,
non puoi assumere che sia definita una metrica.
Esiste una gerarchia di strutture:
1) varieta' topologica: solo coordinate
2) varieta' differenziale: una struttura differenziale, caratterizzata
dal fatto che le diverse carte sono diffeomorfe nella loro
intersezione
3) varieta' su cui e' definita una connessione affine (non so se abbia
un nome)
4) varieta' riemanniana: e' definita la metrica
5) varieta' simplettica: esiste una forma simplettica, come hai detto
6) poi forse ce ne sono altre che non conosco...
Tu hai dato per scontato di avere una varieta' riemanniana, e non era
ne' utile ne' necessario per rispondere.
--
Elio Fabri