asse radicale tra due circonferenze che non si intersecano tra loro

[radica...@gmail.com]

Questo asse e' equidistante dai centri se i raggi delle 2
circonferenze sono uguali. Come si posiziona se invece i
raggi hanno diversa lunghezza ? Direi piu' vicino alla
circonferenza piu' piccola (per considerazioni molto "meta"
che non vi dico senno' vi viene l' urto di nervi). Ma non
ne sono sicuro.

[Tommaso Russo, Trieste]

Il 16/07/2013 19:53, radica...@gmail.com ha scritto:
> Questo asse e' equidistante dai centri se i raggi delle 2
> circonferenze sono uguali. Come si posiziona se invece i
> raggi hanno diversa lunghezza ? Direi piu' vicino alla
> circonferenza piu' piccola

No, se le due circonferenze non hanno punti in comune e' piu' vicino
alla circonferenza piu' grande.

Se invece hanno punti in comune vi passa, quindi e' egualmente vicino a
entrambe :-)

Invece, e' sempre piu' vicino *al centro* della circonferenza piu' piccola.

> (per considerazioni molto "meta"
> che non vi dico senno' vi viene l' urto di nervi).

Puo' darsi di no, se dici prima *cosa sai* dell'asse radicale (a parte
il fatto che ha il tuo stesso nome :-)

> Ma non ne sono sicuro.

Perche' non impari una volta per tutte come si costruisce l'asse
radicale di due circonferenze date con riga e compasso? E' una boiata, e
ti toglie qualsiasi dubbio.


--
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni

[A. Muddica]

Il 16/07/2013 19:53, radica...@gmail.com ha scritto:

> Questo asse e' equidistante dai centri se i raggi delle 2
> circonferenze sono uguali. Come si posiziona se invece i
> raggi hanno diversa lunghezza ? Direi piu' vicino alla
> circonferenza piu' piccola

Diresti male, � proprio il contrario. E il ragionamento �
elementare.

E invece di preoccuparti dell'"urto di nervi" altrui,
dovresti preoccuparti di altre cose, a partire
dalla tua capacit� di condurre un semplice ragionamento.
E stai dimostrando, in continuazione, di non volerti
nemmeno impegnare per migliorarti.



am

[Enrico Gregorio]

<radica...@gmail.com> scrive:

Si chiama /potenza/ di un punto P rispetto a una circonferenza C
il prodotto di PA per PB, dove la retta AB taglia C e passa per P.
Un noto teorema di geometria elementare dice che questo prodotto
non dipende dalla retta; come caso speciale, se la retta PT �
tangente a C, la potenza di P rispetto a C � il quadrato di PT.

L'asse radicale di due circonferenze � il luogo dei punti che hanno
la stessa potenza rispetto alle due circonferenze. Esercizio:
dimostrare geometricamente che si tratta di una retta che, nel
caso le due circonferenze siano secanti, passa per i due punti
di intersezione; se le circonferenze sono tangenti, l'asse
radicale � la tangente comune.

Si dimostra abbastanza facilmente che, se P ha coordinate (r,s)
e C ha equazione x^2 + y^2 + ax + by + c = 0, allora la potenza
di P rispetto a C � esattamente r^2 + s^2 + ar + bs + c.

Dato questo per dimostrato, segue proprio che l'equazione dell'asse
radicale delle circonferenze di equazioni

x^2 + y^2 + ax + by + c = 0
x^2 + y^2 + a'x + b'y + c' = 0

� la retta di equazione

(a-a')x + (b-b')y + (c-c') = 0

Per fare il conto delle distanze, � preferibile mettersi in una
situazione pi� trattabile: scegliamo come asse delle ascisse
la retta che congiunge i centri delle due circonferenze e come
origine il centro di una delle due. In questo caso, una circonferenza
ha equazione

x^2 + y^2 - r^2 = 0

e l'altra ha equazione

(x - h)^2 + y^2 - R^2 = 0

supponendo che il centro abbia coordinate (h,0) (e h > 0, che non
� restrittivo). Con questa semplificazione, l'asse radicale ha
equazione

2hx - h^2 - r^2 + R^2 = 0

cio�

x = (h^2 + r^2 - R^2)/(2h)

Evidentemente, la distanza di questa retta dall'origine �

|(h^2 + r^2 - R^2)/(2h)|

mentre quella dal centro dell'altra circonferenza �

|(h^2 + r^2 - R^2)/(2h) - h| = |(h^2 - r^2 + R^2)/(2h)|

Quale delle due � maggiore? Non � restrittivo supporre che
r >= R, quindi dobbiamo confrontare

h^2 + r^2 - R^2

con

|h^2 - r^2 + R^2|

perch� il fattore positivo 1/(2h) non influisce. Dunque abbiamo
due casi:

(1) h^2 - r^2 + R^2 >= 0

h^2 + r^2 - R^2 ?? h^2 - r^2 + R^2

2(r^2 - R^2) ?? 0

Siccome r >= R, al posto di ?? possiamo mettere >=; dunque in
questo caso la distanza dell'asse radicale dal centro della
circonferenza con raggio maggiore � la maggiore.

(2) h^2 - r^2 + R^2 < 0

h^2 + r^2 - R^2 ?? -h^2 + r^2 - R^2

2h^2 ?? 0

Siccome h > 0, possiamo mettere > al posto di ??. Dunque
anche in questo caso la distanza dell'asse radicale dal centro
della circonferenza con raggio maggiore � la maggiore.

Perci� concludiamo che l'asse radicale � pi� vicino al centro
della circonferenza con raggio minore.

Se le due circonferenze sono secanti, la distanza dell'asse
radicale � zero per entrambe. Se sono esterne, la distanza
dell'asse dalla prima �

(h^2 - r^2 + R^2)/(2h) - r = (h^2 - 2hr - r^2 + R^2)/(2h)

mentre dalla seconda �

h - R - (h^2 - r^2 + R^2)/(2h) = (h^2 - 2hR + r^2 - R^2)/(2h)

(perch� ovviamente h > r). Confrontiamo

h^2 - 2hr - r^2 + R^2 ?? h^2 - 2hR + r^2 - R^2
2(R^2-r^2) ?? 2h(r-R)

dove il primo membro � negativo e il secondo � positivo. Dunque
la distanza dalla circonferenza di raggio maggiore � minore della
distanza dalla circonferenza di raggio minore.

Rimane il caso in cui la circonferenza di raggio R � interna a quella
di raggio r che non ho voglia di trattare.

Ciao
Enrico

[radica...@gmail.com]

Il giorno mercoledì 17 luglio 2013 00:02:21 UTC+2, Tommaso Russo, Trieste ha scritto:
> Il 16/07/2013 19:53, radica...@gmail.com ha scritto:
>
> > Questo asse e' equidistante dai centri se i raggi delle 2
> > circonferenze sono uguali. Come si posiziona se invece i
> > raggi hanno diversa lunghezza ? Direi piu' vicino alla
> > circonferenza piu' piccola
>
> No, se le due circonferenze non hanno punti in comune e' piu' vicino
> alla circonferenza piu' grande.
> Se invece hanno punti in comune vi passa, quindi e' egualmente vicino a
> entrambe :-)

Intendevo la distanza dai centri delle due circonferenze, e in
questo caso se si intersecano o sono tangenti e' piu' vicino al
centro di quella piccola, si capisce a occhio senza dimostrazione.

Se invece non si intersecano e per fissare le idee quella grande
sta alla destra di quella piccola e scegliamo come asse delle x
la congiungente i centri, allora dovrebbe continuare ad essere
piu' vicino a quella piccola perche' ... AEHM ... :-)

[radica...@gmail.com]

Il giorno mercoledì 17 luglio 2013 13:33:54 UTC+2, Enrico Gregorio ha scritto:

> Se le due circonferenze sono secanti, la distanza dell'asse

> radicale � zero per entrambe.

Come zero ? Ma tu per distanza dall' asse che intendi ?
Se e' la distanza dai centri non e' zero, a meno che non
si intersechino proprio in modo che l' asse vada a toccare
il centro di una di queste. E cmq l' altra no. Boh.

[Enrico Gregorio]

<radica...@gmail.com> scrive:

Se una retta taglia una circonferenza, la sua distanza
dalla circonferenza quanto è? Io dico che è 0.

Ciao
Enrico

[radica...@gmail.com]

?

Io mi chiedevo se il punto in cui l' asse radicale tocca
la congiungente i centri delle circonferenze si collochi
piu' vicino al centro della circonferenza piu' piccola o
piu' vicino al centro della circ. piu' grande.

Tu invece di che stai parlando esattamente ?

[radica...@gmail.com]

Il giorno mercoledì 17 luglio 2013 16:51:23 UTC+2, Enrico Gregorio ha scritto:

> Se una retta taglia una circonferenza, la sua distanza
> dalla circonferenza quanto è? Io dico che è 0.

Mi sono chiarito le idee e la vedo molto piu' semplicemente in
questa maniera :

una circonferenza di raggio r sta al centro degli assi e l' altra
ha centro anche lei sull' asse delle ascisse ma spostata piu' a
destra, alla distanza h dal centro. Se cosi' non fosse ci si puo'
sempre ricondurre a questo schema, come dicevi tu : basta prendere
per asse delle ascisse la congiungente i centri e buonanotte.

Allora :
sia r la lunghezza del raggio della circonferenza al centro e
R quello dell' altra.

Allora per definizione di potenza P un punto x sulle ascisse
avra' :

P(r) = x^2 - r^2
P(R) = (h - x)^2 - R^2

Siccome vogliamo che il punto x abbia la stessa potenza rispetto
alle due circonferenze, deve risultare

x^2 - r^2 = (h - x)^2 - R^2
x^2 - r^2 = h^2 + x^2 - 2hx - R^2
x = h^2/2h + (r^2 - R^2)/2h

Infine
x = h/2 + [(r^2 - R^2)/2h]

Fatalita', h/2 e' proprio il valore della x che fa si che
(h - x) = x ossia che rende le distanze dell' asse radicale
dai due centri uguali tra loro. E questo accade se e solo
se R = r, come si vede dalla formula e come e' ovvio che sia.

vedi allora che se per es. r aumenta, la x va verso la circonferenza
di raggio R. Se invece r diminuisce e bla bla. Insomma e' ovvio.

Quindi x e' sempre piu' vicino alla circonferenza piu' piccola,
come sospettavo per motivi molto meta che non oso menzionare.

Che ne pensi ?

[radica...@gmail.com]

Guarda :

x = h/2 + [(r^2 - R^2)/2h]

C'e' qualcosa di magico dietro a questa formuletta del cavolo
che pero' non mi riesce di capire. M i sfugge, mannaggia. Ma
qualcosa c'e' me lo sento.

[radica...@gmail.com]

Il giorno venerdì 19 luglio 2013 01:10:41 UTC+2, radica...@gmail.com ha scritto:

non ne pensa.

E vabe'.

[Tommaso Russo, Trieste]

Il 18/07/2013 01:46, radica...@gmail.com ha scritto:
> Il giorno mercoledì 17 luglio 2013 16:51:23 UTC+2, Enrico Gregorio ha scritto:

>> Se una retta taglia una circonferenza, la sua distanza
>> dalla circonferenza quanto è? Io dico che è 0.

> Io mi chiedevo se il punto in cui l' asse radicale tocca
> la congiungente i centri delle circonferenze si collochi
> piu' vicino al centro della circonferenza piu' piccola o
> piu' vicino al centro della circ. piu' grande.

Pero' quello che hai chiesto e' diverso: "Come si posiziona (l'asse
radicale) se invece i raggi hanno diversa lunghezza ? Direi piu' vicino
alla circonferenza piu' piccola "

> Tu invece di che stai parlando esattamente ?

La distanza fra due curve e' il minimo (se esiste) dell'insieme delle
distanze fra i punti di tutte le coppie di punti A,B con A appartenente
alla prima curva e B alla seconda. Quindi, se le due curve hanno un
punto in comune...

[Enrico Gregorio]

<radica...@gmail.com> scrive:

Siccome ho già scritto la stessa cosa, non mi pareva necessario
commentare.

Ciao
Enrico

[Tommaso Russo, Trieste]

Il 17/07/2013 13:33, Enrico Gregorio ha scritto:

> Rimane il caso in cui la circonferenza di raggio R è interna a quella

> di raggio r che non ho voglia di trattare.

E' banale: in questo caso (con centri diversi) l'asse radicale e'
esterno a entrambe le circonferenze, quindi piu' vicino al centro della
minore e piu' vicino alla maggiore.

Per circonferenze concentriche e' la retta impropria.

[Dano]

In Thu, 18 Jul 2013 16:10:41 -0700 (PDT), radica...@gmail.com ha
scritto:

>Quindi x e' sempre piu' vicino alla circonferenza piu' piccola,
>come sospettavo per motivi molto meta che non oso menzionare.

Mi sembra che state giocando agli equivoci sostenendo alla fine la
medesima cosa.

*Distanza dalla circonferenza* č diverso da *Distanza dal centro della
circonferenza*.

L'asse radicale č piů vicino alla circonferenza di raggio maggiore, ma
č piů vicino al centro della circonferenza di raggio minore.

--
Dano

[radica...@gmail.com]

Il giorno venerdì 19 luglio 2013 17:15:47 UTC+2, Tommaso Russo, Trieste ha scritto:
> Il 18/07/2013 01:46, radica...@gmail.com ha scritto:
>
> > Il giorno mercoledì 17 luglio 2013 16:51:23 UTC+2, Enrico Gregorio ha scritto:
>
>
>
> >> Se una retta taglia una circonferenza, la sua distanza
>
> >> dalla circonferenza quanto è? Io dico che è 0.
>
>
>
> > Io mi chiedevo se il punto in cui l' asse radicale tocca
>
> > la congiungente i centri delle circonferenze si collochi
>
> > piu' vicino al centro della circonferenza piu' piccola o
>
> > piu' vicino al centro della circ. piu' grande.
>
>
>
> Pero' quello che hai chiesto e' diverso: "Come si posiziona (l'asse
> radicale) se invece i raggi hanno diversa lunghezza ? Direi piu' vicino
> alla circonferenza piu' piccola "

Chiedo scusa (davvero) ma intendevo la distanza tra centro della
circonferenza e intersezione dell' asse radicale con la congiungente
i due centri delle circonferenze.

I' m sorry.

[radica...@gmail.com]

Tutta quella roba che hai scritto e' la stessa identica cosetta
che ho scritto io con due passaggetti da primo liceo che
quasi quasi poteva fare perfino sorrentino ?

Non e' possibile. Guarda che non ti sto sfottendo. Dico sul serio.
Quello che hai scritto e' una specie di "labirinto", non puo' dire
la stessa cosa che ho scritto io.

Abbi pazienza, ma a questo punto sei tu che stai prendendo in giro
me. Ne sono sicuro al 100% ma no problem non me me prendo :-)