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Poligonale da rotolamento
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Bruno Campanini
Nov 10, 2018, 12:15:21 PM11/10/18
to
https://1drv.ms/b/s!AvTaMfd5-b2opy3CqoI0GlxtGu4i
Un poligono regolare di n>4 lati avente la base parallela all'asse X
rotola su se stesso cw n-1 volte generando la poligonale sopra indicata
che potrebbe avere un'area di A(n + 2/n - 2) dove A è l'area del
poligono che l'ha generata.
Non sono certo che ciò sia vero per ogni n>4.
Any help?
Bruno
Un poligono regolare di n>4 lati avente la base parallela all'asse X
rotola su se stesso cw n-1 volte generando la poligonale sopra indicata
che potrebbe avere un'area di A(n + 2/n - 2) dove A è l'area del
poligono che l'ha generata.
Non sono certo che ciò sia vero per ogni n>4.
Any help?
Bruno
El Filibustero
Nov 10, 2018, 1:11:23 PM11/10/18
to
On Sat, 10 Nov 2018 18:15:18 +0100, Bruno Campanini wrote:
>Un poligono regolare di n>4 lati avente la base parallela all'asse X
>rotola su se stesso cw n-1 volte generando la poligonale sopra indicata
>che potrebbe avere un'area di A(n + 2/n - 2) dove A è l'area del
>poligono che l'ha generata.
>Non sono certo che ciò sia vero per ogni n>4.
Se l'area intesa e' quella in rosso-rosa, e' ovviamente falso, dato
>Un poligono regolare di n>4 lati avente la base parallela all'asse X
>rotola su se stesso cw n-1 volte generando la poligonale sopra indicata
>che potrebbe avere un'area di A(n + 2/n - 2) dove A è l'area del
>poligono che l'ha generata.
>Non sono certo che ciò sia vero per ogni n>4.
che per n-->infinito la formula di sopra darebbe un'area infinita,
diversamente da quella descritta da una circonferenza che rotola di un
giro, che sarebbe A(1+2*pi*sqrt(A/pi))
>Any help?
Per un poligono con un numero n pari di lati, di area A, l'area e'
(molto banalmente) A(5-4/n). Ciao
El Filibustero
Nov 10, 2018, 1:17:09 PM11/10/18
to
On Sat, 10 Nov 2018 18:15:18 +0100, Bruno Campanini wrote:
>Un poligono regolare di n>4 lati avente la base parallela all'asse X
>rotola su se stesso cw n-1 volte generando la poligonale sopra indicata
>che potrebbe avere un'area di A(n + 2/n - 2) dove A è l'area del
>poligono che l'ha generata.
>Non sono certo che ciò sia vero per ogni n>4.
>rotola su se stesso cw n-1 volte generando la poligonale sopra indicata
>che potrebbe avere un'area di A(n + 2/n - 2) dove A è l'area del
>poligono che l'ha generata.
>Non sono certo che ciò sia vero per ogni n>4.
Se l'area intesa e' quella in rosso-rosa, e' ovviamente falso, dato
che per n-->infinito la formula di sopra darebbe un'area infinita,
diversamente da quella descritta da una circonferenza di area A e
che per n-->infinito la formula di sopra darebbe un'area infinita,
raggio R=sqrt(A/pi) che rotola di un giro, che sarebbe
meta' cerchio di sinistra in rosa +
rettangolo centrale in rosso, base 2*pi*R e altezza 2*R +
meta' cerchio di destra in rosa =
1/2 A + 2*pi*R*2*R + 1/2 A = 5A.
El Filibustero
Nov 10, 2018, 1:20:49 PM11/10/18
to
On Sat, 10 Nov 2018 19:17:10 +0100, El Filibustero wrote:
>meta' cerchio di sinistra in rosa +
>rettangolo centrale in rosso, base 2*pi*R e altezza 2*R +
>meta' cerchio di destra in rosa =
mi correggo: la figura relativa al cerchio sarebbe tutta rossa.
>meta' cerchio di sinistra in rosa +
>rettangolo centrale in rosso, base 2*pi*R e altezza 2*R +
>meta' cerchio di destra in rosa =
Comunque la sua area e' 5A.
Bruno Campanini
Nov 10, 2018, 9:38:16 PM11/10/18
to
El Filibustero was thinking very hard :
per n=5 avremmo un'area totale 5A-4C, quindi nA-(n-1)C
anche per n->inf...
Quel che segue sulla circonferenza mi sembra tutt'altra musica.
è uguale alla mia A(n + 2/n - 2) che per n->inf... indovina un po'!
Bruno
> On Sat, 10 Nov 2018 18:15:18 +0100, Bruno Campanini wrote:
>
>> Un poligono regolare di n>4 lati avente la base parallela all'asse X
>> rotola su se stesso cw n-1 volte generando la poligonale sopra indicata
>> che potrebbe avere un'area di A(n + 2/n - 2) dove A è l'area del
>> poligono che l'ha generata.
>> Non sono certo che ciò sia vero per ogni n>4.
>
> Se l'area intesa e' quella in rosso-rosa, e' ovviamente falso, dato
> che per n-->infinito la formula di sopra darebbe un'area infinita,
Sì, l'idea è sconcertante... detta C una delle aree rosse in comune,
>
>> Un poligono regolare di n>4 lati avente la base parallela all'asse X
>> rotola su se stesso cw n-1 volte generando la poligonale sopra indicata
>> che potrebbe avere un'area di A(n + 2/n - 2) dove A è l'area del
>> poligono che l'ha generata.
>> Non sono certo che ciò sia vero per ogni n>4.
>
> Se l'area intesa e' quella in rosso-rosa, e' ovviamente falso, dato
> che per n-->infinito la formula di sopra darebbe un'area infinita,
per n=5 avremmo un'area totale 5A-4C, quindi nA-(n-1)C
anche per n->inf...
Quel che segue sulla circonferenza mi sembra tutt'altra musica.
> diversamente da quella descritta da una circonferenza di area A e
> raggio R=sqrt(A/pi) che rotola di un giro, che sarebbe
>
> meta' cerchio di sinistra in rosa +
> rettangolo centrale in rosso, base 2*pi*R e altezza 2*R +
> meta' cerchio di destra in rosa =
>
> 1/2 A + 2*pi*R*2*R + 1/2 A = 5A.
>
>> Any help?
>
> Per un poligono con un numero n pari di lati, di area A, l'area e'
> (molto banalmente) A(5-4/n)
Così come l'hai scritta vale per n=6, se la scrivi per n
> raggio R=sqrt(A/pi) che rotola di un giro, che sarebbe
>
> meta' cerchio di sinistra in rosa +
> rettangolo centrale in rosso, base 2*pi*R e altezza 2*R +
> meta' cerchio di destra in rosa =
>
> 1/2 A + 2*pi*R*2*R + 1/2 A = 5A.
>
>> Any help?
>
> Per un poligono con un numero n pari di lati, di area A, l'area e'
> (molto banalmente) A(5-4/n)
è uguale alla mia A(n + 2/n - 2) che per n->inf... indovina un po'!
Bruno
El Filibustero
Nov 11, 2018, 3:23:58 AM11/11/18
to
On Sun, 11 Nov 2018 03:38:14 +0100, Bruno Campanini wrote:
>> Per un poligono con un numero n pari di lati, di area A, l'area e'
>> (molto banalmente) A(5-4/n)
>Cosě come l'hai scritta vale per n=6, se la scrivi per n
>> Per un poligono con un numero n pari di lati, di area A, l'area e'
>> (molto banalmente) A(5-4/n)
La scrivo per n? E gia' scritta per *tutti* gli n pari, e vale non
solo per n=6. Per gli n dispari abbiamo la leggermente piu' complessa
(n-1)*2A/n*(1+1/cos(pi/n)-tan(pi/n)) + A,
che ovviamente tende lo stesso a 5A per n-->infinito.
>č uguale alla mia A(n + 2/n - 2)
NON e' uguale alla tua, che e' sbagliata. Stop. Ciao
Bruno Campanini
Nov 11, 2018, 6:19:15 AM11/11/18
to
El Filibustero brought next idea :
Però che peccato ti sia già stancato:
https://1drv.ms/b/s!AvTaMfd5-b2opy4zqoGW2cZ4tOyO
Quella pseudo-cicloide generata dal pentagono ha molte affinità con
quella generata dal cerchio: è lunga 4(r+a) dove r ed a sono il raggio
e l'apotema del poligono che l'ha generata,
nella cicloide abbiamo 4(2r).
L'area è pari a 3A dove A è l'area del poligono che l'ha generata,
nella cicloide abbiamo tre volte l'area del cerchio.
A valere per ogni poligono regolare.
Bruno
> On Sun, 11 Nov 2018 03:38:14 +0100, Bruno Campanini wrote:
>
>>> Per un poligono con un numero n pari di lati, di area A, l'area e'
>>> (molto banalmente) A(5-4/n)
>> Così come l'hai scritta vale per n=6, se la scrivi per n
>
>>> Per un poligono con un numero n pari di lati, di area A, l'area e'
>>> (molto banalmente) A(5-4/n)
>
> La scrivo per n? E gia' scritta per *tutti* gli n pari, e vale non
> solo per n=6. Per gli n dispari abbiamo la leggermente piu' complessa
>
> (n-1)*2A/n*(1+1/cos(pi/n)-tan(pi/n)) + A,
Debbo crederti sulla parola...
> La scrivo per n? E gia' scritta per *tutti* gli n pari, e vale non
> solo per n=6. Per gli n dispari abbiamo la leggermente piu' complessa
>
> (n-1)*2A/n*(1+1/cos(pi/n)-tan(pi/n)) + A,
>
> che ovviamente tende lo stesso a 5A per n-->infinito.
>
>> è uguale alla mia A(n + 2/n - 2)
> che ovviamente tende lo stesso a 5A per n-->infinito.
>
>
> NON e' uguale alla tua, che e' sbagliata. Stop. Ciao
Sì, la mia è valida solo per n=6.
> NON e' uguale alla tua, che e' sbagliata. Stop. Ciao
Però che peccato ti sia già stancato:
https://1drv.ms/b/s!AvTaMfd5-b2opy4zqoGW2cZ4tOyO
Quella pseudo-cicloide generata dal pentagono ha molte affinità con
quella generata dal cerchio: è lunga 4(r+a) dove r ed a sono il raggio
e l'apotema del poligono che l'ha generata,
nella cicloide abbiamo 4(2r).
L'area è pari a 3A dove A è l'area del poligono che l'ha generata,
nella cicloide abbiamo tre volte l'area del cerchio.
A valere per ogni poligono regolare.
Bruno
gallego
Nov 11, 2018, 12:15:28 PM11/11/18
to
Il 11/11/2018 12:19, Bruno Campanini ha scritto:
> Quella pseudo-cicloide generata dal pentagono ha molte affinità con
> quella generata dal cerchio: è lunga 4(r+a) dove r ed a sono il raggio
> e l'apotema del poligono che l'ha generata,
> nella cicloide abbiamo 4(2r).
> L'area è pari a 3A dove A è l'area del poligono che l'ha generata,
> nella cicloide abbiamo tre volte l'area del cerchio.
> A valere per ogni poligono regolare.
>
> Bruno
del resto quando n va inf,anche il numero di giri va ad inf,quindi anche
> Quella pseudo-cicloide generata dal pentagono ha molte affinità con
> quella generata dal cerchio: è lunga 4(r+a) dove r ed a sono il raggio
> e l'apotema del poligono che l'ha generata,
> nella cicloide abbiamo 4(2r).
> L'area è pari a 3A dove A è l'area del poligono che l'ha generata,
> nella cicloide abbiamo tre volte l'area del cerchio.
> A valere per ogni poligono regolare.
>
> Bruno
l'area della poligonale
Bruno Campanini
Nov 11, 2018, 7:50:22 PM11/11/18
to
gallego submitted this idea :
Guarda che i poligoni, dal triangolo al cerchio, ruotano di 360°
sul proprio perimetro una sola volta.
Le formule corrette dovrebbero essere quelle di El Filibustero.
Bruno
sul proprio perimetro una sola volta.
Le formule corrette dovrebbero essere quelle di El Filibustero.
Bruno
gallego
Nov 11, 2018, 9:17:42 PM11/11/18
to
El Filibustero
Nov 12, 2018, 5:30:17 AM11/12/18
to
On Sun, 11 Nov 2018 12:19:13 +0100, Bruno Campanini wrote:
>Quella pseudo-cicloide generata dal pentagono ha molte affinità con
>quella generata dal cerchio: è lunga 4(r+a) dove r ed a sono il raggio
>e l'apotema del poligono che l'ha generata,
OK, infatti nell'n-agono regolare di diametro unitario si ha
>Quella pseudo-cicloide generata dal pentagono ha molte affinità con
>quella generata dal cerchio: è lunga 4(r+a) dove r ed a sono il raggio
>e l'apotema del poligono che l'ha generata,
raggio + apotema = 1/2(1+cos(pi/n))
e la lunghezza della pseudocicloide generata da esso e'
2(1+cos(pi/n)).
>nella cicloide abbiamo 4(2r).
>L'area è pari a 3A
>dove A è l'area del poligono che l'ha generata,
>nella cicloide abbiamo tre volte l'area del cerchio.
unitario, il quale ha area 1/8 n sin(2 pi/n)
E' la prima volta che prendo in considerazione questo argomento e sono
molto sorpreso dal fatto che Galileo non fosse arrivato
matematicamente alla relazione tra l'area sotto la cicloide e quella
del cerchio che la genera. La deduzione che l'area della
pseudocicloide prodotta dall'n-agono regolare e' tre volte tanto
quella di quest'ultimo e' alla portata di un qualunque trigonometra
medievale. Ciao
Bruno Campanini
Nov 12, 2018, 9:32:18 AM11/12/18
to
El Filibustero used his keyboard to write :
Io ho considerato che per n-->inf, a-->r (a=apotema del poligono).
Quindi poiché L=8r=4(2r) per la cicloide, poteva essere L=4(a+r) per
la pseudo-cicloide...
Mi resta da definire il perimetro della poligonale.
Bruno
PS
In Internet, in lingua inglese, ho visto un'altra pseudo-cicloide
denominata cyclogon.
Quindi poiché L=8r=4(2r) per la cicloide, poteva essere L=4(a+r) per
la pseudo-cicloide...
Mi resta da definire il perimetro della poligonale.
Bruno
PS
In Internet, in lingua inglese, ho visto un'altra pseudo-cicloide
denominata cyclogon.
El Filibustero
Nov 12, 2018, 6:18:27 PM11/12/18
to
On Mon, 12 Nov 2018 11:30:15 +0100, El Filibustero wrote:
>La deduzione che l'area della
>pseudocicloide prodotta dall'n-agono regolare e' tre volte tanto
>quella di quest'ultimo e' alla portata di un qualunque trigonometra
>medievale.
E a ben pensarci, non c'e' neppure bisogno di una virgola di
>La deduzione che l'area della
>pseudocicloide prodotta dall'n-agono regolare e' tre volte tanto
>quella di quest'ultimo e' alla portata di un qualunque trigonometra
>medievale.
trigonometria per provare che:
* la lunghezza della pseudocicloide e' 4 volte (apotema+raggio) del
poligono generatore;
* l'area sotto la pseudocicloide e' 3 volte quella del poligono
generatore.
La dimostrazione, seppure non banale, e' geometria elementare dei
poligoni regolari: niente di piu'. Ciao
Bruno Campanini
Nov 12, 2018, 7:50:13 PM11/12/18
to
El Filibustero formulated the question :
Beh, io come ci sono arrivato te l'ho detto: con un po' di buon senso
comune (quello che non s'usa in matematica) che non può certo
definirsi "dimostrazione".
Tu te la vuoi cavare con ancor meno semplicemente dicendo "OK"?
Snocciola un po' 'ste dimostrazioni! lol lol lol
Bruno
comune (quello che non s'usa in matematica) che non può certo
definirsi "dimostrazione".
Tu te la vuoi cavare con ancor meno semplicemente dicendo "OK"?
Snocciola un po' 'ste dimostrazioni! lol lol lol
Bruno
El Filibustero
Nov 13, 2018, 10:42:39 AM11/13/18
to
On Tue, 13 Nov 2018 01:50:12 +0100, Bruno Campanini wrote:
>Beh, io come ci sono arrivato te l'ho detto: con un po' di buon senso
>comune (quello che non s'usa in matematica)
basta questa considerazione sul "buon senso" per dimostrare ancora una
>Beh, io come ci sono arrivato te l'ho detto: con un po' di buon senso
>comune (quello che non s'usa in matematica)
volta che -- senza offesa -- non hai la piu' pallida idea di cos'e' la
Matematica.
>che non puň certo definirsi "dimostrazione".
Appunto: un puro caso.
>Tu te la vuoi cavare con ancor meno semplicemente dicendo "OK"?
>Snocciola un po' 'ste dimostrazioni! lol lol lol
http://i64.tinypic.com/106mu4w.jpg
Area:
http://i64.tinypic.com/2s7gu9c.jpg
caso di un poligono con un numero pari di lati
http://i65.tinypic.com/qzojut.jpg
Ciao
Bruno Campanini
Nov 13, 2018, 5:32:11 PM11/13/18
to
El Filibustero formulated on Tuesday :
>> che non può certo definirsi "dimostrazione".
>
> Appunto: un puro caso.
Come questa:
non dei puzzle - senza offesa.
Bruno
> On Tue, 13 Nov 2018 01:50:12 +0100, Bruno Campanini wrote:
>
>> Beh, io come ci sono arrivato te l'ho detto: con un po' di buon senso
>> comune (quello che non s'usa in matematica)
>
> basta questa considerazione sul "buon senso" per dimostrare ancora una
> volta che -- senza offesa -- non hai la piu' pallida idea di cos'e' la
> Matematica.
Sì, lo so: buon senso e matematica non possono convivere.
>
>> Beh, io come ci sono arrivato te l'ho detto: con un po' di buon senso
>> comune (quello che non s'usa in matematica)
>
> basta questa considerazione sul "buon senso" per dimostrare ancora una
> volta che -- senza offesa -- non hai la piu' pallida idea di cos'e' la
> Matematica.
>> che non può certo definirsi "dimostrazione".
>
> Appunto: un puro caso.
Come questa:
"OK, infatti e' 3/8 n sin(2 pi/n), per l'n-agono regolare di diametro
unitario, il quale ha area 1/8 n sin(2 pi/n)"
unitario, il quale ha area 1/8 n sin(2 pi/n)"
>> Tu te la vuoi cavare con ancor meno semplicemente dicendo "OK"?
>> Snocciola un po' 'ste dimostrazioni! lol lol lol
>
> Lunghezza nel caso di un poligono con un numero dispari di lati:
>
> http://i64.tinypic.com/106mu4w.jpg
>
> Area:
>
> http://i64.tinypic.com/2s7gu9c.jpg
>
> caso di un poligono con un numero pari di lati
>
> http://i65.tinypic.com/qzojut.jpg
Beh ma io mi aspettavo una dimostrazione matematica,
>> Snocciola un po' 'ste dimostrazioni! lol lol lol
>
> Lunghezza nel caso di un poligono con un numero dispari di lati:
>
> http://i64.tinypic.com/106mu4w.jpg
>
> Area:
>
> http://i64.tinypic.com/2s7gu9c.jpg
>
> caso di un poligono con un numero pari di lati
>
> http://i65.tinypic.com/qzojut.jpg
non dei puzzle - senza offesa.
Bruno
El Filibustero
Nov 13, 2018, 5:50:43 PM11/13/18
to
On Tue, 13 Nov 2018 23:32:10 +0100, Bruno Campanini wrote:
>Sì, lo so: buon senso e matematica non possono convivere.
Magari sai cos'e' il buon senso, ma ignori completamente il senso
>Sì, lo so: buon senso e matematica non possono convivere.
della parola che segue.
>>> che non può certo definirsi "dimostrazione".
>>
>> Appunto: un puro caso.
>Come questa:
>"OK, infatti e' 3/8 n sin(2 pi/n), per l'n-agono regolare di diametro
>unitario, il quale ha area 1/8 n sin(2 pi/n)"
tutt'altro che casuale, ma non credo che tu sia in grado di vederci
piu' di "un puzzle"...
>Beh ma io mi aspettavo una dimostrazione matematica,
>non dei puzzle - senza offesa.
dimostrazione, o cosa sia la Matematica in generale. Ciao
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