Soluzioni in un sistema di equazioni sottodeterminato

[Giovanni]

So che si puo' ricavare il valore di TUTTE le incognite di un sistema
quando il numero di equazioni e' uguale o eccede quello delle
incognite.

Anche quando il numero delle equazioni e' inferiore a quello delle
incognite, puo' accadere che si possa trovare ugualmente il valore di
ALCUNE incognite.
In GENERALE, sotto quali CONDIZIONI si possono trovare queste
soluzioni parziali ?

.
Grazie
Giovanni

[Josh]

Con il sistema formale tunze basta calcolare il rango e corango del
cosistema disintegro-differenziale.

[Giovanni]

Azzz !
Non ci avevo pensato.
Eppure la Tunze l'ho studiata alle medie.

[radica...@gmail.com]

Se e' davvero sotto determinato SEMPRE si possono trovare !
E le soluzioni saranno funzione delle incognite in eccesso
che fungeranno da parametri : dati i valori a queste, avrai
le altre.

Le incognite che fungono da parametri sono quelle che vuoi
tu.

... Ah, ma forse tu non parlavi dei soli sistemi lineari ?

[Tommaso Russo, Trieste]

Il 06/09/2012 12:19, Giovanni ha scritto:

> So che si puo' ricavare il valore di TUTTE le incognite di un sistema

lineare? Assumo di si', perche' altrimenti...

> quando il numero di equazioni e' uguale o eccede quello delle
> incognite.

Mica sempre. Se le equazioni sono tante quante le incognite ma non sono
linearmente indipendenti, in realta' hai meno equazioni che incognite.
Se le equazioni eccedono le incognite, generalmente il sistema e'
impossibile. Ma questo puo' succedere anche se hai meno equazioni che
incognite:

x = 1

x = 2

x + y + z + w = 6

> Anche quando il numero delle equazioni e' inferiore a quello delle
> incognite, puo' accadere che si possa trovare ugualmente il valore di
> ALCUNE incognite.

Certamente:

x = 1

x + y = 2

x + y + z + w = 6

> In GENERALE, sotto quali CONDIZIONI si possono trovare queste
> soluzioni parziali ?

Per questo ci vuole EG.

Posso darti un metodo per provarci:

Aggiungi tante equazioni sempre vere quant'e' la differenza fra
incognite ed equazioni: nel caso sopra,

0x + 0y + 0z + 0w = 0

triangolarizzi con Gauss, ottenendo


1 1 1 1 6
1 1 0 0 2
1 0 0 0 1
0 0 0 0 0

e cerchi di risolvere all'indietro partendo dalla prima riga non tutta
nulla. Dove arrivi arrivi.


--
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni

[yo]

Cerca il teorema di Rouche-Capelli.

Se n e' il numero di equazioni rappresentate dalla matrice A hai
soluzione unica per
n=rank(A)
ove rank(A) e' il rango della matrice. Se n > rank(A) hai infinite
soluzioni, altrimenti nessuna.

Il rango indica essenzialmente quante equazioni sono indipendenti fra
loro.

Esempio
x+y = 1
3x+3y = 2
Non ha soluzioni, visto che il rango e' 1 (e' la stessa eq. moltiplicata
per 3).

[Giovanni]

Si', lineari.
Ho inteso quello che vuoi dire, ma io dicevo un altra cosa.
Io intendevo proprio delle soluzioni univoche, quando esistono.
Cioe', ci sono delle incognite che al massimo si possono "risolvere"
usando le altre come parametri, ma ci sono effettivamente, quando
accade, delle incognite che hanno semplicemente soluzione univoca.

.
Giovanni



Vedi la risposta di Tommaso.

[Giovanni]

On 6 Set, 18:22, "Tommaso Russo, Trieste" <tru...@tin.it> wrote:
> Il 06/09/2012 12:19, Giovanni ha scritto:
>
> > So che si puo' ricavare il valore di TUTTE le incognite di un sistema
>
> lineare? Assumo di si', perche' altrimenti...

Altrimenti lo dicevo :-)

>
> > quando il numero di equazioni e' uguale o eccede quello delle
> > incognite.
.
> Mica sempre. Se le equazioni sono tante quante le incognite ma non sono
> linearmente indipendenti, in realta' hai meno equazioni che incognite.

Ovviamente

> Se le equazioni eccedono le incognite, generalmente il sistema e'
> impossibile. Ma questo puo' succedere anche se hai meno equazioni che
> incognite:

.

> x = 1
>
> x = 2
>
> x + y + z + w = 6

Giusto

>
> > Anche quando il numero delle equazioni e' inferiore a quello delle
> > incognite, puo' accadere che si possa trovare ugualmente il valore di
> > ALCUNE incognite.
>
> Certamente:
>
> x = 1
>
> x + y = 2
>
> x + y + z + w = 6
>
> > In GENERALE, sotto quali CONDIZIONI si possono trovare queste
> > soluzioni parziali ?
>
> Per questo ci vuole EG.
>
> Posso darti un metodo per provarci:
>
> Aggiungi tante equazioni sempre vere quant'e' la differenza fra
> incognite ed equazioni: nel caso sopra,
>
> 0x + 0y + 0z + 0w = 0
>
> triangolarizzi con Gauss, ottenendo
>
> 1 1 1 1 6
> 1 1 0 0 2
> 1 0 0 0 1
> 0 0 0 0 0
>
> e cerchi di risolvere all'indietro partendo dalla prima riga non tutta
> nulla. Dove arrivi arrivi.

Ti ringrazio per la risposta.
La teoria della soluzione dei sistemi di equazioni, quando l'incontrai
all'universita', la trovai piuttosto noiosa, percio' non l'ho studiata
bene.

Mi sono imbattuto recentemente sulla questione risolvendo il
problemino postato in questo NG "giochino", dove c'e' una moglie che
va' in stazione a prendere il marito.
Mi era uscito il seguente sistema:
x = 17 - y
2 z = 2 x - 1/6
k = y + z
k = 16 + w

Risolvendo per w si trova 11/12.
Sicche' mi chiesi: cos'ha di speciale l'incognita w rispetto alle
altre ?
Andando a vedere meglio magari trovo qualche motivo particolare, ma il
punto e' un altro:
IN GENERALE da cosa si capisce quando un incognita, in un sistema
sottodeterminato, ha soluzione ?

Per la cronaca.
Dando il sistema in pasto a MATHEMATICA e chiedendo w, funziona.
Ma se chiedo k, fa scena muta, nonostante k = 16 + w e w ha soluzione.
Perche' ?

.
Giovanni

[Enrico Gregorio]

Giovanni <stla...@alice.it> scrive:

Che il suo valore è determinato. :)

> Andando a vedere meglio magari trovo qualche motivo particolare, ma il
> punto e' un altro:
> IN GENERALE da cosa si capisce quando un incognita, in un sistema
> sottodeterminato, ha soluzione ?

Risolvendo il sistema.

> Per la cronaca.
> Dando il sistema in pasto a MATHEMATICA e chiedendo w, funziona.
> Ma se chiedo k, fa scena muta, nonostante k = 16 + w e w ha soluzione.
> Perche' ?

Dipende dal metodo di soluzione che usa. Evidentemente trova che
k dipende da w e non ti dice di più perché così è istruito a fare.
Bisognerebbe consultare il manuale.

Probabilmente, se cambi l'ordine con cui specifichi le incognite,
ti dà il valore di k ma non quello di w.

Ciao
Enrico

[radica...@gmail.com]

Il giorno venerdì 7 settembre 2012 11:39:54 UTC+2, Giovanni ha scritto:

> Ho inteso quello che vuoi dire, ma io dicevo un altra cosa.
> Io intendevo proprio delle soluzioni univoche, quando esistono.
> Cioe', ci sono delle incognite che al massimo si possono "risolvere"
> usando le altre come parametri, ma ci sono effettivamente, quando
> accade, delle incognite che hanno semplicemente soluzione univoca.

Cioe' tu dici un sistema sotto - determinato che abbia soluzioni
univoche ? ... Ma allora non e' sottodeterminato ! :-)

Mi sa che non ho capito, vero ?

[Tetis]

Josh ha pensato forte :

Ineccepibile! E funziona anche con il metodo delle densitￜ parziali
disintegrate (qualcuno ignorando gli immani progressi della Tunze li
chiama ancora minori non singolari di Kronecker).

[Tetis]

Enrico Gregorio scriveva il 07/09/2012 :

> Che il suo valore ￜ determinato. :)

>
>> Andando a vedere meglio magari trovo qualche motivo particolare, ma il
>> punto e' un altro:
>> IN GENERALE da cosa si capisce quando un incognita, in un sistema
>> sottodeterminato, ha soluzione ?
>
> Risolvendo il sistema.
>
>> Per la cronaca.
>> Dando il sistema in pasto a MATHEMATICA e chiedendo w, funziona.
>> Ma se chiedo k, fa scena muta, nonostante k = 16 + w e w ha soluzione.
>> Perche' ?
>
> Dipende dal metodo di soluzione che usa. Evidentemente trova che

> k dipende da w e non ti dice di piￜ perchￜ cosￜ ￜ istruito a fare.

> Bisognerebbe consultare il manuale.
>
> Probabilmente, se cambi l'ordine con cui specifichi le incognite,

> ti dￜ il valore di k ma non quello di w.

Direi che la cosa mi sembra stranissima perchￜ Wolfram alpha:

trova tutto se gli chiedo w
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%28%7Bx+%3D+17+-+y%2C+2+z+%3D+2+x+-+1%2F6%2C+k+%3D+y+%2B+z%2C+k+%3D+16+%2B+w%7D%2Cw%29

trova tutto se gli chiedo k
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%28%7Bx+%3D+17+-+y%2C+2+z+%3D+2+x+-+1%2F6%2C+k+%3D+y+%2B+z%2C+k+%3D+16+%2B+w%7D%2Ck%29

si limita a trovare k se non gli chiedo nulla. Perchￜ cerca il gruppo
di variabili rispetto a cui risolvere il sistema, non trovandolo lo
interpreta come errore di digitazione e prende l'ultima equazione come
parametro per le incognite e siccome ￜ scritto in forma strana
trattiene solo k e risolve rispetto a k trascurando l'equazione
rispetto a w.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%28%7Bx+%3D+17+-+y%2C+2+z+%3D+2+x+-+1%2F6%2C+k+%3D+y+%2B+z%2C+k+%3D+16+%2B+w%7D%29

In realtￜ quindi non usa l'ultima equazione e riesce a trovare k
indipendentemente dal valore di w.



> Ciao
> Enrico

[io_x]

"Giovanni" <stla...@alice.it> ha scritto nel messaggio
news:96ddbdc6-c48d-4b2a...@c4g2000vbe.googlegroups.com...

> Ti ringrazio per la risposta.
> La teoria della soluzione dei sistemi di equazioni, quando l'incontrai
> all'universita', la trovai piuttosto noiosa, percio' non l'ho studiata
> bene.
>
> Mi sono imbattuto recentemente sulla questione risolvendo il
> problemino postato in questo NG "giochino", dove c'e' una moglie che
> va' in stazione a prendere il marito.
> Mi era uscito il seguente sistema:
> x = 17 - y
> 2 z = 2 x - 1/6
> k = y + z
> k = 16 + w
>
> Risolvendo per w si trova 11/12.
> Sicche' mi chiesi: cos'ha di speciale l'incognita w rispetto alle
> altre ?
> Andando a vedere meglio magari trovo qualche motivo particolare, ma il
> punto e' un altro:
> IN GENERALE da cosa si capisce quando un incognita, in un sistema
> sottodeterminato, ha soluzione ?
>
> Per la cronaca.
> Dando il sistema in pasto a MATHEMATICA e chiedendo w, funziona.
> Ma se chiedo k, fa scena muta, nonostante k = 16 + w e w ha soluzione.
> Perche' ?

perche' i programmi non sono perfetti e non si domanda la cosa giusta...;
qui con Axiom, ti trova tutto nella forma sottostante
[anche in Mathematica ci sara' un comando simile a "solve" etc]
_____________________________________________________
AXIOM Computer Algebra System
-----------------------------------------------------------------------------
Issue )copyright to view copyright notices.
Issue )summary for a summary of useful system commands.
Issue )quit to leave AXIOM and return to shell.
-----------------------------------------------------------------------------

(12) -> solve([x=17-y, 2*z=2*x-1/6, k=y+z, k=16+w], [x,y,z,k,w])

12%A + 1 - 12%A + 203 203 11
(12) [[x= --------,y= ------------,z= %A,k= ---,w= --]]
12 12 12 12

_____________________________________________________________________

in pratica k, w sono dei numeri ma x,y,z descrivono un insieme di numeri
[retta]
%A dovrebbe essere la variabile z eR

[gaga]

"Enrico Gregorio" <Facile.d...@in.rete.it> ha scritto nel messaggio
news:070920122330409696%Facile.d...@in.rete.it...

>> La teoria della soluzione dei sistemi di equazioni, quando l'incontrai
>> all'universita', la trovai piuttosto noiosa, percio' non l'ho studiata
>> bene.

E' divertente, ma sempre complessa, se la interpreti "all'italiana" in modo
geometrico.

[io_x]

"Giovanni" <stla...@alice.it> ha scritto nel messaggio
news:ffe84750-0a26-44cd...@ft6g2000vbb.googlegroups.com...

Teorema di Rouch� - Capelli
Sia Ax=B un sistema lineare di m equazioni in n incognite
Il sistema � risolubile <=> rango(A,B)=rango(A)
in un tal caso:
1) il sistema � equivalente a ogni sistema A'x=B' ottenuto
considerando rango(A) equazioni linearmente indipendenti
di Ax=B
2) le incognite libere sono n-rango(A)
[quindi il numero di incognite che possiamo ricavare
dal sistema come 'numeri'
in tal caso � rango(A); su quali siano tali incognite
dipende dalla matrice A come nel punto 3 ]
3) n-rango(A) incognite si possono assumere libere se
e solo se le rango(A) colonne della matrice A
corrispondenti alle altre incognite sono
linearmente indipendenti