trovare il vertice di un cono

[aoie]

salve a tutti
magari è una sciocchezza ma non sono riuscito a trovare una procedura
univoca.
avendo l'equazione del cono, come fare a calcolare il centro ?

grazie infinite

[Wakinian Tanka]

Scrivi l'equazione di un cono generico e ti mostro come trovare il vertice (non "il centro")

--
Wakinian Tanka

[paolap...@gmail.com]

Non si dice "centro" per una rigata?

[JTS]

f(x, y, z) = 0

dove f e' l'equazione di un cono. Adesso mostra come trovare il centro :-)

[paolap...@gmail.com]

Non ricordo più. Non ci dovrebbe essere un parametro, no, eh?

[JTS]

Se il metodo e' buono deve poter partire da un'equazione scritta in
qualunque forma. IMHO.

Se scrivo l'equazione in modo che si veda subito che e' omogenea, allora
dove e' il vertice e' evidente (sempre IMHO).

[paolap...@gmail.com]

Ricordo che si partiva da una curva e da un punto fuori di essa, poi buio. Quarant'anni non sono passati invano.

[JTS]

Anche io ricordo questo e non mi ricordo del resto. Un'idea possibile e'
secondo me scrivere l'equazione della curva in forma parametrica, e per
ogni valore del parametro scrivere la retta passante per il punto
corrispondente e il vertice del cono; il cono e' l'insieme di queste
rette. Dovrei scrivere per vedere se posso eliminare il parametro / se
esiste un modo di svolgere lo stesso procedimento con l'equazione della
curva in forma cartesiana.

L'altra idea (la scrivo in maniera confusa ma spero che si capisca lo
stesso) e' che se (x0, y0, z0) e' il vertice e se l'equazione e' scritta
nella forma

f(x-x0, y-y0, z-z0) = 0

allora se
(X-x0, Y-y0, Z-z0)
e' soluzione anche
(k(X-x0), k(Y-y0), k(Z-z0))
deve essere soluzione.

e' questo si puo' ottenere se

f(k(x-x0), k(y-y0), k(z-z0)) = k^\alpha* f(x-x0, y-y0, z-z0).

(Scusa di nuovo notazione e ragionamento confusi ma corrispondono alle
idee confuse: credo che lavorandoci un po' su possano diventare chiare
perche' sono giuste :-) )


Tornando alla domanda dell'OP, credo (x0, y0, z0) si possa trovare
partendo da questa idea data un equazione

f(x,y,z) = 0

in qualunque forma: deve esistere un punto rispetto al quale l'equazione
e' omogenea.

Chiamo (X, Y, Z) il vertice che voglio trovare.
Nella f allora posso sostituire al posto di (x,y,z) un punto (x',y',z')
giacente sulla retta passante per (x,y,z) e (X,Y,Z), scrivendo

f(X+k(x-X), Y+k(y-Y), Z+k(z-Z)) = 0

e mi deve risultare la stessa equazione, quindi

f(X+k(x-X), Y+k(y-Y), Z+k(z-Z)) = k^\alpha* f(x, y, z) (*)

e devo trovare (X, Y, Z) e \alpha tale che la (*) sia verificata per ogni k

Spero di non aver fatto caos :-)

Quindi IMHO la domanda di WT forse poteva essere utile, ma alla fine la
soluzione va scritta con una f in forma qualunque. Poi magari ho capito
male cosa intendeva WT.

[paolap...@gmail.com]

Il giorno giovedì 18 gennaio 2018 10:43:11 UTC+1, JTS ha scritto:

> Anche io ricordo questo e non mi ricordo del resto.

Si ricordano le impostazioni che si ritengono più fondamentali, i calcoli successivi no :-)

> (Scusa di nuovo notazione e ragionamento confusi ma corrispondono alle
> idee confuse: credo che lavorandoci un po' su possano diventare chiare
> perche' sono giuste :-) )

non ho motivo di dubitarne. Occorre lavorarci molto su, io lo sto facendo alacremente

> Spero di non aver fatto caos :-)

nessun caos, oltre a quello che ho già fatto io

[Wakinian Tanka]

Il giorno giovedì 18 gennaio 2018 10:43:11 UTC+1, JTS ha scritto:
>

> Quindi IMHO la domanda di WT forse poteva essere utile, ma alla fine la
> soluzione va scritta con una f in forma qualunque. Poi magari ho capito
> male cosa intendeva WT.

Perché volevo:
1. Che l'equazione del cono /la scriva l'OP/
2. Che mi chiarisse cosa voleva sapere (non si sa mai).

Questo perché uno che è *realmente* interessato ad avere una risposta ad una domanda del genere *di solito* scrive l'equazione.

Altrimenti potrebbe essere solo uno che vuole solo divertirsi a vedere altri che si scomodano e perdono tempo a rispondere...

--
Wakinian Tanka

[Elio Fabri]

JTS ha scritto:
> ...

> Quindi IMHO la domanda di WT forse poteva essere utile, ma alla fine
> la soluzione va scritta con una f in forma qualunque. Poi magari ho
> capito male cosa intendeva WT.

Suggerimento: cercare una soluzione di
f(x,y,z) = 0
(@f/@x)(x,y,z) = 0
(@f/@y)(x,y,z) = 0
(@f/@z)(x,y,z) = 0.

Se esiste, si tratta di una singolarità conica, ma non è detto che la
superficie sia un cono, inteso come sup. rigata, formata da rette
passanti per quel punto.
Se le sing. coniche sono più d'una, certamente la sup. non è un cono.
Se è unica, basta fare la trasf. di coordinate e verificare
l'omogeneità.


--
Elio Fabri

[Wakinian Tanka]

Il giorno giovedì 18 gennaio 2018 09:31:54 UTC+1, JTS ha scritto:
>

> f(x, y, z) = 0
> dove f e' l'equazione di un cono.

Dimostrami, che quella è l'equazione di un cono. Non basta dirlo.

--
Wakinian Tanka

[JTS]

Quando ho scritto pensavo a sole due possibilita'
1) il metodo da' soluzione *e* dimostra di essere coerente, cioe' che l'equazione e' un cono. Questo e' il caso migliore
2) Si dimostra a parte che l'equazione e' un cono, verificando l'omogeinita'. A questo punto io mi aspettavo che trovare la soluzione fosse semplice perche' si verifica l'omogeinita' se si sa qual e' il vertice :-)

Ma da quello che ha scritto Elio (a cui devo ancora pensare) ce n'e' una terza
3a) Un metodo che da' una possibile soluzione
3b) Data la possibile soluzione, verifico facilmente l'omogeinita'
3c) Se l'omogeinita' e' verificata, la soluzione e' buona

Comunque, mi pare diverso da quello che proponi tu (mi pare che stai proponendo un metodo corrispondente al mio punto 2). Se ho capito male, fammi sapere.

[ADPUF]

aoie 08:18, giovedì 18 gennaio 2018:

>
> magari è una sciocchezza ma non sono riuscito a trovare una
> procedura univoca.
> avendo l'equazione del cono, come fare a calcolare il centro
> ?

Dipende da dove si parte.

L'equazione normalizzata di un cono del secondo ordine è
(x/a)^2 + (y/b)^2 - (z/c)^2 = 0

Si tratta di una particolare quadrica.

Partendo dalla quadrica generica
axx +byy+czz+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+l=0

bisogna traslare e ruotare gli assi con le apposite
trasformazioni.

Per due dimensioni so come fare (copio dal manuale Vygodskij),
con tre dimensioni no...

Il trucco è eliminare i termini misti xy, xz e yz (rotazione
assi) poi si trasla e si elimina i termini di primo grado.

Forse si faceva ciò nel corso di geometria analitica...
dimenticato tutto... :-(


--
E-S °¿°
Ho plonkato tutti quelli che postano da Google Groups!
Qui è Usenet, non è il Web!

[Wakinian Tanka]

Il giorno giovedì 18 gennaio 2018 15:23:09 UTC+1, JTS ha scritto:
> On Thursday, January 18, 2018 at 3:05:43 PM UTC+1, Wakinian Tanka wrote:
>
> > Dimostrami, che quella è l'equazione di un cono. Non basta dirlo.
>

> Quando ho scritto pensavo a sole due possibilita'
> 1) il metodo da' soluzione *e* dimostra di essere coerente, cioe' che
> l'equazione e' un cono.

Scusa ma pensa più semplicemente ad una conica: non tutte le coniche hanno centro. Quindi il metodo non può essere così generale da prescindere dal tipo di equazione.

> Questo e' il caso migliore
> 2) Si dimostra a parte che l'equazione e' un cono, verificando
> l'omogeinita'.

Si può scrivere anche così o il termine corretto è solo "omogeneità"?
Comunque se riesci a trovare che l'equazione è omogenea nelle coordinate traslate (x-x_0), (y-y_0), (z-z_0) hai già trovato il vertice del cono: è (x_0,y_0,z_0), non hai da fare altri conti :-)

Però l'OP ha chiesto come si trova /il vertice di un cono/ il che significa *che sappiamo già che è un cono* ovver abbiamo già /l'equazione del cono/.

Ecco (anche) perché ho chiesto all'OP di scriverla, oltre al fatto che continuo ad avere dubbi che sapesse scriverla quando lo ha chiesto. Ecco perché non l'ho ancora scritta e spero non lo faccia nè tu nè altri: *voglio che la scriva lui*.

--
Wakinian Tanka

[Wakinian Tanka]

Il giorno giovedì 18 gennaio 2018 16:33:53 UTC+1, ADPUF ha scritto:
> del cono, come fare a calcolare il centro
>

> Dipende da dove si parte.
> L'equazione normalizzata di un cono del secondo ordine è
> (x/a)^2 + (y/b)^2 - (z/c)^2 = 0

Se parti da questa non c'è neanche bisogno di chiederlo, dove sia il vertice :-)

> Si tratta di una particolare quadrica.
> Partendo dalla quadrica generica
> axx +byy+czz+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+l=0
> bisogna traslare e ruotare gli assi con le apposite
> trasformazioni.

Eh, certo! Prima di riuscire a far quello, lo sai quanti vertici di coni differenti riescu a trovare! :-)

> Per due dimensioni so come fare (copio dal manuale Vygodskij),
> con tre dimensioni no...

L'hai scritto sotto :-)

> Il trucco è eliminare i termini misti xy, xz e yz (rotazione
> assi) poi si trasla e si elimina i termini di primo grado.
> Forse si faceva ciò nel corso di geometria analitica...
> dimenticato tutto... :-(

Le quadriche mai fatte, neanche all'università. Ma in findo per alcune cose si tratta di generalizzare da certe matrrici 3x3 a certe 4x4.

--
Wakinian Tanka

[Wakinian Tanka]

Il giorno giovedì 18 gennaio 2018 14:19:10 UTC+1, Elio Fabri ha scritto:

> Suggerimento: cercare una soluzione di
> f(x,y,z) = 0
> (@f/@x)(x,y,z) = 0
> (@f/@y)(x,y,z) = 0
> (@f/@z)(x,y,z) = 0.
> Se esiste, si tratta di una singolarità conica,

Elio, cos'è una "singolarità conica"?

> ma non è detto che la
> superficie sia un cono, inteso come sup. rigata, formata da rette
> passanti per quel punto.
> Se le sing. coniche sono più d'una, certamente la sup. non è un cono.
> Se è unica, basta fare la trasf. di coordinate e verificare
> l'omogeneità.

Io partivo dal presupposto di /avere già/ l'equazione di un cono (generico) e allora il tuo metodo mi pare quello migliore: basta risolvere le ultime 3 equazioni di primo grado che hai scritto per ottenere il vertice.
Scrivendo l'equazione del cono generico (che mi dovrebbe *scrivere l'OP!) si vede subito. Ma non me ne sarei accorto tanto facilmente se tu non avessi scritto quelle equazioni :-)

--
Wakinian Tanka

[Wakinian Tanka]

Il giorno giovedì 18 gennaio 2018 16:51:03 UTC+1, Wakinian Tanka ha scritto:
>
> Però l'OP ha chiesto come si trova /il vertice di un cono/ il che significa
> *che sappiamo già che è un cono* ovver abbiamo già /l'equazione del cono/.
> Ecco (anche) perché ho chiesto all'OP di scriverla, oltre al fatto che
> continuo ad avere dubbi che sapesse scriverla quando lo ha chiesto. Ecco
> perché non l'ho ancora scritta e spero non lo faccia nè tu nè altri: *voglio
> che la scriva lui*.

Dimenticavo: l'altra possibilità è che l'OP ci stia prendendo in giro, perché una volta che ha scritto l'equazione *di un cono* non c'è bisogno di chiedere quale sia il vertice :-)

--
Wakinian Tanka

[Wakinian Tanka]

Il giorno giovedì 18 gennaio 2018 17:25:35 UTC+1, Wakinian Tanka ha scritto:
>
> Dimenticavo: l'altra possibilità è che l'OP ci stia prendendo in giro, perché
> una volta che ha scritto l'equazione *di un cono*

... generico

--
Wakinian Tanka

[JTS]

On Thursday, January 18, 2018 at 4:51:03 PM UTC+1, Wakinian Tanka wrote:
> Il giorno giovedì 18 gennaio 2018 15:23:09 UTC+1, JTS ha scritto:
> > On Thursday, January 18, 2018 at 3:05:43 PM UTC+1, Wakinian Tanka wrote:
> >
> > > Dimostrami, che quella è l'equazione di un cono. Non basta dirlo.
> >
> > Quando ho scritto pensavo a sole due possibilita'
> > 1) il metodo da' soluzione *e* dimostra di essere coerente, cioe' che
> > l'equazione e' un cono.
>
> Scusa ma pensa più semplicemente ad una conica: non tutte le coniche hanno centro. Quindi il metodo non può essere così generale da prescindere dal tipo di equazione.

Immaginavo un metodo che se c'e' lo trova, se non c'e' ti dice che non c'e'. Vedi risposta di Elio (che e' fatta di due passi: identificazioni possibile vertice, verifica)

> > Questo e' il caso migliore
> > 2) Si dimostra a parte che l'equazione e' un cono, verificando
> > l'omogeinita'.
>
> Si può scrivere anche così o il termine corretto è solo "omogeneità"?

Credo solo "omogeneita'" :-)

>
> Però l'OP ha chiesto come si trova /il vertice di un cono/ il che significa *che sappiamo già che è un cono* ovver abbiamo già /l'equazione del cono/.

non credo: vedi la risposta di Elio; trovi prima un possibile vertice, poi verifichi che e' un cono. E il metodo

> Ecco (anche) perché ho chiesto all'OP di scriverla, oltre al fatto che continuo ad avere dubbi che sapesse scriverla quando lo ha chiesto. Ecco perché non l'ho ancora scritta e spero non lo faccia nè tu nè altri: *voglio che la scriva lui*.
>
> --
> Wakinian Tanka

Io pero' sono curioso: come fai a scrivere l'equazione generale di un cono generico, potendola identificare rapidamente come cono, e *senza* avere informazioni sul vertice? Io la so scrivere solo *con* informazioni sul vertice, ma con due passi si puo' manipolare l'equazione in modo tale che le coordinate del vertice non si riconoscano piu'.

[JTS]

On Thursday, January 18, 2018 at 2:03:11 PM UTC+1, Wakinian Tanka wrote:

>
> Altrimenti potrebbe essere solo uno che vuole solo divertirsi a vedere altri che si scomodano e perdono tempo a rispondere...
>

IMHO sei troppo sospettoso e ad ogni modo io sto imparando qualcosa dalla discussione, quindi sono contento che la domanda sia stata fatta.

[Wakinian Tanka]

Il giorno giovedì 18 gennaio 2018 17:35:16 UTC+1, JTS ha scritto:
> On Thursday, January 18, 2018 at 4:51:03 PM UTC+1, Wakinian Tanka wrote:
>
> > Scusa ma pensa più semplicemente ad una conica: non tutte le coniche hanno
> > centro. Quindi il metodo non può essere così generale da prescindere dal
> > tipo di equazione.
>
> Immaginavo un metodo che se c'e' lo trova, se non c'e' ti dice che non c'e'.
> Vedi risposta di Elio (che e' fatta di due passi: identificazioni possibile
> vertice, verifica)

Ma Elio è su un altro pianeta :-)

> > Però l'OP ha chiesto come si trova /il vertice di un cono/ il che

> > significa *che sappiamo già che è un cono* ovvero abbiamo già /l'equazione

> > del cono/.
>
> non credo: vedi la risposta di Elio; trovi prima un possibile vertice, poi
> verifichi che e' un cono.
>

> > Ecco (anche) perché ho chiesto all'OP di scriverla, oltre al fatto che
> > continuo ad avere dubbi che sapesse scriverla quando lo ha chiesto. Ecco
> > perché non l'ho ancora scritta e spero non lo faccia nè tu nè altri:
> >*voglio che la scriva lui*.
>

> Io pero' sono curioso: come fai a scrivere l'equazione generale di un cono
> generico, potendola identificare rapidamente come cono,

Non mi sono spiegato. Facciamo al solito, il caso più semplice: scrivimi ad es l'equazione di una parabola generica del piano o una ellisse o una iperbole *generica*. L'OP non ha chiesto di identificare che fisse un cono /e poi/, se si, trovarne il vertice...

> e *senza* avere informazioni sul vertice? Io la so scrivere solo *con*
> informazioni sul vertice,

capito perché l'OP non sa che cosa ha chiesto oppure ci sta prendendo in giro? :-)

--
Wakinian Tanka

[JTS]

On Thursday, January 18, 2018 at 6:24:31 PM UTC+1, Wakinian Tanka wrote:

>
> > e *senza* avere informazioni sul vertice? Io la so scrivere solo *con*
> > informazioni sul vertice,
>
> capito perché l'OP non sa che cosa ha chiesto oppure ci sta prendendo in giro? :-)
>
> --
> Wakinian Tanka

Potresti avere ragione ma IMHO non e' una cosa sicura (penso sia piu' probabile il contrario), per cui io al tuo posto non avrei dichiarato i miei sospetti. E ad ogni modo la domanda e' buona, data la risposta di Elio! Ad es., se hai

xy^2 + xyz+ zy^2- 3xy - xz - 2y^2 - 3yz + 2x + 5y + 2z - 3 = 0

come fai a sapere che e' un cono?

[JTS]

Uhm, quella sopra non sono sicuro che sia buona ... prova questa

x^3 + xy^2 + xyz + zy^2 + z^3 - 3x^2 - 3xy - xz - 2y^2 - 3yz - 3z^2 + 5x + 5y + 5z - 5 = 0

[Maurizio Frigeni]

JTS <giovanni....@gmail.com> wrote:

> Ad es., se hai
>
> xy^2 + xyz+ zy^2- 3xy - xz - 2y^2 - 3yz + 2x + 5y + 2z - 3 = 0
>
> come fai a sapere che e' un cono?

Vedi tabella che sta qui:

http://mathworld.wolfram.com/QuadraticSurface.html

M.

--
Per rispondermi via e-mail togli l'ovvio.

[JTS]

On Thursday, January 18, 2018 at 7:29:21 PM UTC+1, Maurizio Frigeni wrote:

> JTS wrote:
>
> > Ad es., se hai
> >
> > xy^2 + xyz+ zy^2- 3xy - xz - 2y^2 - 3yz + 2x + 5y + 2z - 3 = 0
> >
> > come fai a sapere che e' un cono?
>
> Vedi tabella che sta qui:
>
> http://mathworld.wolfram.com/QuadraticSurface.html
>
> M.
>

Quella che ho scritto non e' quadratica, e secondo me e' un cono.

[Wakinian Tanka]

Il giorno giovedì 18 gennaio 2018 19:35:30 UTC+1, JTS ha scritto:
>
> Quella che ho scritto non e' quadratica, e secondo me e' un cono.

La seconda che hai scritto, se ad es. la tagli con il piano z = 0 ottieni:

x^3 + xy^2 - 3x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 5 = 0

Ma questa non è una conica.

--
Wakinian Tanka

[Paola Pannuti]

Il giorno giovedì 18 gennaio 2018 18:24:31 UTC+1, Wakinian Tanka ha scritto:

>
> Ma Elio è su un altro pianeta :-)

questa è la pura verità

[JTS]

Riprova :-)

[JTS]

Mi sa che stiamo usando una definizione diversa di cono (io quello generalizzato, Paola anche, e la risposta di Elio si applica)

[Giorgio Pastore]

Il 18/01/18 17:25, Wakinian Tanka ha scritto:

Stai per riuscire nella rara impresa di farmi perdere la pazienza. Chi
se ne frega se l' OP sta prendendo in giro o no se e' uno che non
ricorda o non sa bene esprimere i suoi dubbi, se ha un PhD in matematica
o una licenza elementare!
Ha fatto una domanda e se ti va rispondi oppure ignora. Ma per favore
limita gli OT.

[Wakinian Tanka]

> Riprova :-)

E che conica sarebbe? Quante sono le intersezioni con la retta impropria?
Facendo l'intersexione con x_3 = 0 si ottiene:

x^3 - 3x^2 + y(y-3)x - 2y^2 = 0

Questa non riesco a ridurla ad un'equazione di secondo grado.

--
Wakinian Tanka

[JTS]

Perche' insisti che debba essere una *conica*?

[Wakinian Tanka]

Il giorno giovedì 18 gennaio 2018 22:45:25 UTC+1, Giorgio Pastore ha scritto:
>
> Stai per riuscire nella rara impresa di farmi perdere la pazienza. Chi
> se ne frega se l' OP sta prendendo in giro o no se e' uno che non
> ricorda o non sa bene esprimere i suoi dubbi, se ha un PhD in matematica
> o una licenza elementare!
> Ha fatto una domanda e se ti va rispondi oppure ignora. Ma per favore
> limita gli OT.

Ok.
Lasciando perdere l'OP e suoi, o di altri, possibili scopi, tu come avresti formulato una domanda simile?

--
Wakinian Tanka

[JTS]

Am 18.01.2018 um 08:18 schrieb aoie:
> salve a tutti

> magari è una sciocchezza ma non sono riuscito a trovare una procedura
> univoca.

> avendo l'equazione del cono, come fare a calcolare il centro ?
>
> grazie infinite


Nel caos di messaggi: guarda la risposta di Elio; non ci ho ancora
pensato abbastanza e quindi questo mio messaggio non e' una conferma
indipendente che il metodo funzioni - ma E. ha molta esperienza con la
geometria differenziale.

[Wakinian Tanka]

Il giorno giovedì 18 gennaio 2018 23:31:33 UTC+1, JTS ha scritto:

> Nel caos di messaggi: guarda la risposta di Elio; non ci ho ancora
> pensato abbastanza e quindi questo mio messaggio non e' una conferma
> indipendente che il metodo funzioni - ma E. ha molta esperienza con la
> geometria differenziale.

L'equazione del generico cono di vertice (x0,y0,z0) è:

a11(x-x0)^2 + a22(y-y0)^2 + a33(z-z0)^2 + 2a12(x-x0)(y-y0) + 2a13(x-x0)(z-z0) + 2a23(y-y0)(z-z0) = 0

con la condizione che il determinante della matrice 3x3:

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

sia diverso da 0.

Imponendo che le 3 derivate parziali risp. a x, y e z siano nulle e scrivendo

(x-x0) = u
(y-y0) = v
(z-z0) = w

si ha il sistema:

a11u + a12v + a13w = 0
a12u + a22v + a23w = 0
a13u + a23v + a33w = 0

che è verificata solo per
u = v = w = 0
ovvero
x = x0
y = y0
z = z0.

Esercizio per tutti.
Data l'equazione:

x^2 + 2y^2 + 3z^2 - xy - 2xz - yz - 2x - 4y + 2z + 10 = 0

Dire se rappresenta un cono e se si trovarne il vertice.

--
Wakinian Tanka

[Alessandro Cara]

Il 18/01/2018 08:18, aoie ha scritto:
> salve a tutti
> magari è una sciocchezza ma non sono riuscito a trovare una procedura
> univoca.
> avendo l'equazione del cono, come fare a calcolare il centro ?
>

Quale centro?
Me ne sovvengono almeno tre

P.S.
Ho visto tremila messaggi sull'argomento.
Non li ho letti e non conosco la equazione del cono
E non ho visto neanche un tuo intervento +/- interessato.
--
ac (x=y-1)
Aborro il Killfile
(La violenza e' l'ultimo rifugio degli incapaci -Salvor Hardin-)

[Giorgio Pastore]

Il 18/01/18 23:29, Wakinian Tanka ha scritto:
> ... tu come avresti formulato una domanda simile?

Non sto nella testa dell' OP e quindi la domanda la lascio a lui/lei.

Quello che sarebbe stato fondamentale aggiungere alla domanda e dire in
qualsiasi risposta IT era sulla definizione di cono. Implicitamente e'
chiaro dalle risposte che non tutti hanno ragionato in base alla stessa
definizione e la domanda dell'OP ha un diverso livello di complessità a
seconda della definizione. Altrettando *implicitamente* la tua prima
risposta interlocutoria (in cui chiedevi l'equazione) centrava il problema.

[paolap...@gmail.com]

Il giorno venerdì 19 gennaio 2018 07:21:05 UTC+1, Giorgio Pastore ha scritto:
>
> Non sto nella testa dell' OP e quindi la domanda la lascio a lui/lei.
>
> Quello che sarebbe stato fondamentale aggiungere alla domanda e dire in
> qualsiasi risposta IT era sulla definizione di cono. Implicitamente e'
> chiaro dalle risposte che non tutti hanno ragionato in base alla stessa
> definizione e la domanda dell'OP ha un diverso livello di complessità a
> seconda della definizione. Altrettando *implicitamente* la tua prima
> risposta interlocutoria (in cui chiedevi l'equazione) centrava il problema.

Posso intromettermi? A mio modo di vedere, se la domanda è vaga, le interpretazioni più complete e più generali sono quelle maggiormente esaurienti. Ma potrei sbagliarmi, non sono nella testa dell'OP.

[Wakinian Tanka]

Il giorno giovedì 18 gennaio 2018 23:28:15 UTC+1, JTS ha scritto:
> Am 18.01.2018 um 23:24 schrieb Wakinian Tanka:
> > Il giorno giovedì 18 gennaio 2018 22:24:26 UTC+1, JTS ha scritto:
> >> On Thursday, January 18, 2018 at 10:18:25 PM UTC+1, Wakinian Tanka wrote:
> >
> >>> La seconda che hai scritto, se ad es. la tagli con il piano z = 0 ottieni:
> >>> x^3 + xy^2 - 3x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 5 = 0
> >>> Ma questa non è una conica.
> >>
> >> Riprova :-)
> >
> > E che conica sarebbe? Quante sono le intersezioni con la retta impropria?
> > Facendo l'intersexione con x_3 = 0 si ottiene:
> > x^3 - 3x^2 + y(y-3)x - 2y^2 = 0
> > Questa non riesco a ridurla ad un'equazione di secondo grado.
>

> Perche' insisti che debba essere una *conica*?

Quindi qual'è la definizione di "cono" a cui fai riferimento, se non è quella di "quadrica con certe proprietà"?

--
Wakinian Tanka

[JTS]

Questa: http://mathworld.wolfram.com/GeneralizedCone.html

Credo che la definizione "f = 0 con f funzione omogenea" sia equivalente.

[Elio Fabri]

Wakinian Tanka ha scritto:

> Quindi qual'è la definizione di "cono" a cui fai riferimento, se
> non è quella di "quadrica con certe proprietà?

Dal mio post avresti dovuto capire che esistono due accezioni di
"cono".
Una è quella cui ti riferisci tu: il cono /quadrico/.
Un'altra è quella che avevo usato nel mio post, e che ora ti preciso.

Dico /cono/ la superficie costituita delle rette (generatrici) che
passano per un punto P e che si appoggiano a una curva qualsiasi
(direttrice) non passante per P.
Ovviamente la direttrice di un cono non è unica.
Dico /regolare/ un cono che ammette direttrice regolare.
(Nota: non garantisco questa definizione: l'ho improvvisata :-) )

In altro post avevi chiesto che cos'è una singolarità conica.
Considera un punto P di una superficie (per es. algebrica, per evitare
complicazioni eccessive).
L'insieme delle rette tangenti in P alla superficie è sempre un cono
(cono tangente in P alla superficie).
Se P è un punto regolare, questo cono degenera in un piano: il piano
tangente.
Se f(x,y,z)=0 è l'eq. della superficie, la condizione nec. e suff.
perché P sia regolare è che le tre derivate parziali di f non si
annullino tutte in P.
Se P è singolare, con cono tangente regolare, la singolarità è detta
/conica/.
(Nota: anche questa definizione l'ho inventata ora.)

JTS ha scritto:

> ma E. ha molta esperienza con la geometria differenziale.

Mi sopravvaluti. Ne so un pochino, sia grazie al corso di geometria 2
all'università, sia per lo studio di "Gravitation".
Ma ho molti limiti.
Per es. il libro di Arnol'd "Metodi geometrici della teoria delle eq,
diff. ordinarie" mi è in larga parte incomprensibile.
Né conosco la classificazione generale delle singolarità delle
superficie.
Peggio: non sono neppure sicuro di non aver scritto c...ate :-)

A proposito di superfici aventi singolrità coniche senza essere coni.
Un es. è la sup. di equazione

x^4 - 2x^2 - y^2 - z^2 + 1 = 0.

Verificare che ha *due* sing. coniche e che quindi non è un cono.
Darne una descrizione geometrica (ci si arriva osservando
l'equazione...).


--
Elio Fabri

[El Filibustero]

On Fri, 19 Jan 2018 11:40:54 +0100, JTS wrote:

>Questa: http://mathworld.wolfram.com/GeneralizedCone.html
>
>Credo che la definizione "f = 0 con f funzione omogenea" sia equivalente.

equivalente sse il vertice e' nell'origine. Ciao

[JTS]

Ok. Quindi equivalente per traslazione.

[JTS]

On Friday, January 19, 2018 at 11:51:22 AM UTC+1, Elio Fabri wrote:

>
> A proposito di superfici aventi singolrità coniche senza essere coni.
> Un es. è la sup. di equazione
>
> x^4 - 2x^2 - y^2 - z^2 + 1 = 0.
>
> Verificare che ha *due* sing. coniche e che quindi non è un cono.
> Darne una descrizione geometrica (ci si arriva osservando
> l'equazione...).
>
>
> --
> Elio Fabri

Ci provo, che un po' di allenamento mi serve. Riscrivo la

x^4 - 2x^2 - y^2 - z^2 + 1 = 0

come

(x^2 - 1)^2 = y^2 + z^2,

pongo z = 0

ottenendo due equazioni

y = x^2 - 1
y = 1 - x^2

che sono due parabole che si intersecano nei punti
(x = -1, y = 0)
e
(x = 1, y = 0)

La superficie completa la ottengo facendo ruotare le due parabole attorno all'asse x.

I punti
(x = -1, y = 0, z = 0)
e
(x = 1, y = 0, z = 0)

sono singolarita' coniche; verifica:

le soluzioni di

(@f/@x)(x,y,z) = 0
(@f/@y)(x,y,z) = 0
(@f/@z)(x,y,z) = 0

sono (0,0,0), (1,0,0), (-1,0,0) ma (0,0,0) non e' soluzione di f = 0.

Vorrei anche postare da qualche parte un grafico fatto al computer, ma devo ancora farlo :-)

(sulla definizione di singolarita' conica dovrei rifletterci ancora un po' ...)

[Wakinian Tanka]

Il giorno venerdì 19 gennaio 2018 14:49:19 UTC+1, JTS ha scritto:

> (x^2 - 1)^2 = y^2 + z^2

> pongo z = 0
> ottenendo due equazioni
> y = x^2 - 1
> y = 1 - x^2
> che sono due parabole che si intersecano nei punti
> (x = -1, y = 0)
> e
> (x = 1, y = 0)

e che sono simmetriche rispetto all'asse x.

> La superficie completa la ottengo facendo ruotare le due parabole attorno
> all'asse x.

Ma visto che sono simmetriche basta ruotarne una sola :-)

Alla tua giustissima soluzione aggiungerei solo che tagliando la superficie con piani x = c si ottengono cerchi di raggio pari a |c^2-1|.

--
Wakinian Tanka

[Wakinian Tanka]

Il giorno venerdì 19 gennaio 2018 11:51:22 UTC+1, Elio Fabri ha scritto:
> Wakinian Tanka ha scritto:
> > Quindi qual'è la definizione di "cono" a cui fai riferimento, se
> > non è quella di "quadrica con certe proprietà?

> Dal mio post avresti dovuto capire che esistono due accezioni di
> "cono".

Mi fai troppo intelligente :-)

> Una è quella cui ti riferisci tu: il cono /quadrico/.
> Un'altra è quella che avevo usato nel mio post, e che ora ti preciso.
> Dico /cono/ la superficie costituita delle rette (generatrici) che
> passano per un punto P e che si appoggiano a una curva qualsiasi
> (direttrice) non passante per P.
> Ovviamente la direttrice di un cono non è unica.
> Dico /regolare/ un cono che ammette direttrice regolare.
> (Nota: non garantisco questa definizione: l'ho improvvisata :-) )

Ok.

> In altro post avevi chiesto che cos'è una singolarità conica.
> Considera un punto P di una superficie (per es. algebrica, per evitare
> complicazioni eccessive).
> L'insieme delle rette tangenti in P alla superficie è sempre un cono
> (cono tangente in P alla superficie).
> Se P è un punto regolare,
> questo cono degenera in un piano: il piano
> tangente.

Qui ti riferisci al concetto di prendere prima un punto fuori dalla superficie e poi avvicinarlo ad essa? Se no non capisco perché parli di "cono" e che "degenera".

> Se f(x,y,z)=0 è l'eq. della superficie, la condizione nec. e suff.
> perché P sia regolare è che le tre derivate parziali di f non si
> annullino tutte in P.

Quindi la definizione di "punto regolare" non è, come credevo, che fx, fy e fx siano non tutte nulle. Ma allora qual'è la definizione? È sufficiente dire che la superficie (la parametrizzazione della superficie) è differenziabile in P?

Inoltre: un punto di una superficie dovrebbe essere singolare anche se una delle tre derivate parziali non esiste, è giusto?
Ciao e grazie.

--
Wakinian Tanka

[Elio Fabri]

Wakinian Tanka ha scritto:
> Mi fai troppo intelligente :-)=20
Non mi pare occorresse molta inteligenza.
Soltanto leggere con attenzione, e non saltando due righe su tre.

> Qui ti riferisci al concetto di prendere prima un punto fuori dalla
> superficie e poi avvicinarlo ad essa? Se no non capisco perché
> parli di "cono" e che "degenera".

No. L'nsieme dei vettori tangenti in un punto a una superficie è un
cono, perché
a) ha dimensione 2
b) se v è un vettore tangente, anche kv lo è, per k in R.
Un piano è un cono degenere, nel senso che ha direttrice complanare al
vertice.

> Quindi la definizione di "punto regolare" non è, come credevo, che fx,
> fy e fx siano non tutte nulle. Ma allora qual'è la definizione?

Come ben sai, le definizioni sono arbitrarie.
Visto che la cond. è nec. e suff., puoi benissimo invertire il discorso.
La differenza è solo di gusti, o di punti di vista.
Quella che ho data io è più geometrica (se avesi fatto il matematico,
di sicuro io sarei stato geometra).
Quella che dai tu è "analitica" (nel senso di appartenente all'Analisi).

> E' sufficiente dire che la superficie (la parametrizzazione della

> superficie) è differenziabile in P?

Lo vedi che non leggi con attenzione?
Io ho scritto che mi limitavo a sup. /algebriche/.

> Inoltre: un punto di una superficie dovrebbe essere singolare anche se

> una delle tre derivate parziali non esiste, giusto?
Questo per una sup. algebrica non succede mai.
E' una delle ragioni per cui ho fatto la scelta di pensare solo a sup.
algebriche.
In questo modo perdo un po' di singolarità che per una sup. algebrica
non sono possibili.
Esempio banale: la sup. di equazione z = |x|.
Questa rientra nel caso che hai segnalato, e ha una singolarità a
"spigolo" (tutto l'asse y). Non so quale sia il nome in uso per questo
tipo di sing.

Giusto per darti un altro po' da pensare. Un diverso approccio alle
singolarità, che puoi usare per funzioni f analitiche (sviluppabili in
serie di Taylor attorno a ogni punto di un qualche aperto) sta nel
considerare la serie di Taylor attorno a un P(x0,y0,z0) della sup.

Il primo termine è nullo: f(x0.y0,z0) = 0 per ipotesi.
Se i termini di primo ordine non sono tutti nulli, P è un punto
regolare. (L'eq. del piano tangente la scrivi subito.)
Altrimenti si passa ai termini di secondo ordine.
Se non sono tutti nulli, la singol. si dice /di primo ordine/ (spero).
I termini di secondo ordine formano una forma quadratica in (x,y,z) e
le diverse singolarità si classificano studiando questa forma.
Per cominciare, è evidente che la parte dominante di f in un intorno
di P rappresenta un /cono quadrico/.

E qui mi fermo...


--
Elio Fabri

[Wakinian Tanka]

Il giorno sabato 20 gennaio 2018 12:04:40 UTC+1, Elio Fabri ha scritto:
> Wakinian Tanka ha scritto:
> > Mi fai troppo intelligente :-)

> Non mi pare occorresse molta inteligenza.
> Soltanto leggere con attenzione, e non saltando due righe su tre.

Non le ho saltate, solo interpretate in base all'idea di cono che avevo già in mente (ecco l'errore) e in base a quell'idea mi tornava...

> > Qui ti riferisci al concetto di prendere prima un punto fuori dalla
> > superficie e poi avvicinarlo ad essa? Se no non capisco perché
> > parli di "cono" e che "degenera".

> No. L'nsieme dei vettori tangenti in un punto a una superficie è un
> cono, perché
> a) ha dimensione 2
> b) se v è un vettore tangente, anche kv lo è, per k in R.

Ok.

> Un piano è un cono degenere, nel senso che ha direttrice complanare al
> vertice.

Che mi pare quello che dicevo io: prendendo un punto vicino alla superficie ed avvicinandolo ad essa la direttrice del cono formsto dai vettori tangenti alla sup. si avvicina al punto, fino a diventarne complanare quando il punto è su S.

> > Quindi la definizione di "punto regolare" non è, come credevo, che fx,
> > fy e fx siano non tutte nulle. Ma allora qual'è la definizione?

> Come ben sai, le definizioni sono arbitrarie.
> Visto che la cond. è nec. e suff., puoi benissimo invertire il discorso.
> La differenza è solo di gusti, o di punti di vista.
> Quella che ho data io è più geometrica (se avesi fatto il matematico,
> di sicuro io sarei stato geometra).
> Quella che dai tu è "analitica" (nel senso di appartenente all'Analisi).
>
> > E' sufficiente dire che la superficie (la parametrizzazione della
> > superficie) è differenziabile in P?

> Lo vedi che non leggi con attenzione?
> Io ho scritto che mi limitavo a sup. /algebriche/.

Hai ragione.

> > Inoltre: un punto di una superficie dovrebbe essere singolare anche se
> > una delle tre derivate parziali non esiste, giusto?

> Questo per una sup. algebrica non succede mai.
> E' una delle ragioni per cui ho fatto la scelta di pensare solo a sup.
> algebriche.
> In questo modo perdo un po' di singolarità che per una sup. algebrica
> non sono possibili.
> Esempio banale: la sup. di equazione z = |x|.
> Questa rientra nel caso che hai segnalato, e ha una singolarità a
> "spigolo" (tutto l'asse y). Non so quale sia il nome in uso per questo
> tipo di sing.

Domanda:
z^2-x^2 = 0 (1)
si può scrivere: (z-x)(z+x) = 0 ma anche:
(z-|x|)(z+|x|) = 0 (2)

la (1) non contempla anche il caso (2)?

> Giusto per darti un altro po' da pensare. Un diverso approccio alle
> singolarità, che puoi usare per funzioni f analitiche (sviluppabili in
> serie di Taylor attorno a ogni punto di un qualche aperto) sta nel
> considerare la serie di Taylor attorno a un P(x0,y0,z0) della sup.
> Il primo termine è nullo: f(x0.y0,z0) = 0 per ipotesi.
> Se i termini di primo ordine non sono tutti nulli, P è un punto
> regolare. (L'eq. del piano tangente la scrivi subito.)
> Altrimenti si passa ai termini di secondo ordine.
> Se non sono tutti nulli, la singol. si dice /di primo ordine/ (spero).
> I termini di secondo ordine formano una forma quadratica in (x,y,z) e
> le diverse singolarità si classificano studiando questa forma.
> Per cominciare, è evidente che la parte dominante di f in un intorno
> di P rappresenta un /cono quadrico/.
>
> E qui mi fermo...

Si, se no devo pensare troppo :-)
Dovrei venire a trovarti per farti di persona i complimenti!

[ADPUF]

Elio Fabri 11:49, venerdì 19 gennaio 2018:

> Wakinian Tanka ha scritto:
>> Quindi qual'è la definizione di "cono" a cui fai
>> riferimento, se non è quella di "quadrica con certe
>> proprietà?
> Dal mio post avresti dovuto capire che esistono due accezioni
> di "cono".
> Una è quella cui ti riferisci tu: il cono /quadrico/.
> Un'altra è quella che avevo usato nel mio post, e che ora ti
> preciso.
>
> Dico /cono/ la superficie costituita delle rette
> (generatrici) che passano per un punto P e che si appoggiano
> a una curva qualsiasi (direttrice) non passante per P.
> Ovviamente la direttrice di un cono non è unica.
> Dico /regolare/ un cono che ammette direttrice regolare.
> (Nota: non garantisco questa definizione: l'ho improvvisata
> :-) )

Ma un cono siffatto è una superficie regolare, avendo un
vertice, ossia una singolarità essenziale?
Il vertice non è un punto semplice.

> In altro post avevi chiesto che cos'è una singolarità conica.
> Considera un punto P di una superficie (per es. algebrica,
> per evitare complicazioni eccessive).
> L'insieme delle rette tangenti in P alla superficie è sempre
> un cono (cono tangente in P alla superficie).
> Se P è un punto regolare, questo cono degenera in un piano:
> il piano tangente.
> Se f(x,y,z)=0 è l'eq. della superficie, la condizione nec. e
> suff. perché P sia regolare è che le tre derivate parziali di
> f non si annullino tutte in P.
> Se P è singolare, con cono tangente regolare, la singolarità
> è detta /conica/.
> (Nota: anche questa definizione l'ho inventata ora.)

Secondo la mia dispensa di geometria algebrica Predonzan:
"Un punto P di S dicesi _semplice_ se in esso il cono tangente
si riduce a un piano, e se esiste su S un conveniente intorno
superficiale di P (avente P come punto interno se P non
appartiene al contorno di S) che si possa proiettare
ortogonalmente, in maniera biunivoca, sul piano suddetto.
Appare evidente che _i punti di una superficie regolare sono
tutti semplici_."

> JTS ha scritto:
> > ma E. ha molta esperienza con la geometria differenziale.
> Mi sopravvaluti. Ne so un pochino, sia grazie al corso di
> geometria 2 all'università, sia per lo studio di
> "Gravitation". Ma ho molti limiti.
> Per es. il libro di Arnol'd "Metodi geometrici della teoria
> delle eq, diff. ordinarie" mi è in larga parte
> incomprensibile. Né conosco la classificazione generale delle
> singolarità delle superficie.
> Peggio: non sono neppure sicuro di non aver scritto c...ate
> :-)
>
> A proposito di superfici aventi singolrità coniche senza
> essere coni. Un es. è la sup. di equazione
>
> x^4 - 2x^2 - y^2 - z^2 + 1 = 0.
>
> Verificare che ha *due* sing. coniche e che quindi non è un
> cono. Darne una descrizione geometrica (ci si arriva
> osservando l'equazione...).


x^4 - 2x^2 - y^2 - z^2 + 1 = 0

x^4 - 2x^2 +1 = y^2 + z^2

Fissato un x il membro sinistro è sempre non-negativo e può
rappresentare il quadrato del raggio di una circonferenza sul
piano definito da x.
Per x = +- 1 il raggio si annulla.

Poi boh... :-(


--
E-S °¿°
Ho plonkato tutti quelli che postano da Google Groups!
Qui è Usenet, non è il Web!

[ADPUF]

Wakinian Tanka 16:57, giovedì 18 gennaio 2018:
> Il giorno giovedì 18 gennaio 2018 16:33:53 UTC+1, ADPUF ha

>
>> del cono, come fare a calcolare il centro
>>

>> Dipende da dove si parte.
>> L'equazione normalizzata di un cono del secondo ordine è
>> (x/a)^2 + (y/b)^2 - (z/c)^2 = 0
>
> Se parti da questa non c'è neanche bisogno di chiederlo, dove
> sia il vertice :-)


Oh!
:-O


>> Si tratta di una particolare quadrica.
>> Partendo dalla quadrica generica
>> axx +byy+czz+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+l=0
>> bisogna traslare e ruotare gli assi con le apposite
>> trasformazioni.
>
> Eh, certo! Prima di riuscire a far quello, lo sai quanti
> vertici di coni differenti riescu a trovare! :-)
>
>> Per due dimensioni so come fare (copio dal manuale
>> Vygodskij), con tre dimensioni no...
>
> L'hai scritto sotto :-)
>
>> Il trucco è eliminare i termini misti xy, xz e yz (rotazione
>> assi) poi si trasla e si elimina i termini di primo grado.
>> Forse si faceva ciò nel corso di geometria analitica...
>> dimenticato tutto... :-(
>
> Le quadriche mai fatte, neanche all'università. Ma in findo
> per alcune cose si tratta di generalizzare da certe matrrici
> 3x3 a certe 4x4.


Mi ricordo qualcosa con le coordinate omogenee x_i ma forse era
in 2D.

Oppure gli angoli di Eulero... era in meccanica razionale mi
pare...


Si trovano PDF in Rete con la classificazione e i metodi di
normalizzazione.

Mi sono scaricato:
www.dmi.unict.it/~bonacini/resources/Slide/Quadriche.pdf
www.dmi.unict.it/~bonacini/resources/Classificazione-quadriche.pdf
calvino.polito.it/~casnati/Geometria05BCG/Geometria/Geometria24.pdf
‎www.science.unitn.it/~carrara/ESERCIZIARIO/scap14.pdf
web.math.unifi.it/users/brambill/homepage/quadriche.pdf
‎
https://it.wikipedia.org/wiki/Quadrica

....
Ho ripescato in soffitta le mie dispense Predonzan di geometria
ma non ho trovato molto, specie in 3D.

I PDF devo ancora leggerli...

[ADPUF]

Wakinian Tanka 16:10, sabato 20 gennaio 2018:

>
>> > Inoltre: un punto di una superficie dovrebbe essere
>> > singolare anche se una delle tre derivate parziali non
>> > esiste, giusto?
>
>> Questo per una sup. algebrica non succede mai.
>> E' una delle ragioni per cui ho fatto la scelta di pensare
>> solo a sup. algebriche.
>> In questo modo perdo un po' di singolarità che per una sup.
>> algebrica non sono possibili.
>> Esempio banale: la sup. di equazione z = |x|.
>> Questa rientra nel caso che hai segnalato, e ha una
>> singolarità a "spigolo" (tutto l'asse y). Non so quale sia
>> il nome in uso per questo tipo di sing.

Spigolo? :-)

Se in 2D si ha la cuspide, bisognerebbe chiedere agli
architetti.

> Domanda:
> z^2-x^2 = 0   (1)
> si può scrivere:
> (z-x)(z+x) = 0
> ma anche:
> (z-|x|)(z+|x|) = 0     (2)

E anche
(|z|- x )(|z|+ x ) = 0 (3)
(|z|-|x|)(|z|+|x|) = 0 (4)

>
> la (1) non contempla anche il caso (2)?

e 3 e 4 ...

[Wakinian Tanka]

Il giorno sabato 20 gennaio 2018 19:33:02 UTC+1, ADPUF ha scritto:
> Wakinian Tanka 16:57, giovedì 18 gennaio 2018:
> > Il giorno giovedì 18 gennaio 2018 16:33:53 UTC+1, ADPUF ha
>

> >> Dipende da dove si parte.
> >> L'equazione normalizzata di un cono del secondo ordine è
> >> (x/a)^2 + (y/b)^2 - (z/c)^2 = 0
> >
> > Se parti da questa non c'è neanche bisogno di chiederlo, dove
> > sia il vertice :-)
>
> Oh!
> :-O
>

Il vertice è nell'origine.
Se lo tagli con il piano x = 0 (o y = 0) cosa ottieni?
Che famiglia di curve ottieni se poni z = c?

--
Wakinian Tanka

[Yoda]

Addi' 20 gen 2018 18:41:54, ADPUF scrive:

--total cut--

> --
> E-S °¿°
> Ho plonkato tutti quelli che postano da Google Groups!
> Qui è Usenet, non è il Web!

Nei NG la signature e' sacrosanta, dunque incontestabile.. ma allora
aggiornala ciao!

--
Yoda

[Wakinian Tanka]

Il giorno sabato 20 gennaio 2018 19:25:35 UTC+1, ADPUF ha scritto:
>
> Ma un cono siffatto è una superficie regolare, avendo un
> vertice, ossia una singolarità essenziale?

È regolare non in toto ma in tutti i punti non singolari :-)
Tolto il vertice, il cono si divide in 2 zone, sconnesse tra loro,
ma regolari.

Il concetto di singolarità essenziale lo conosco solo per le funzioni di variabile complessa; sei sicuro che si applichi anche alle superfici (reali)?

> Il vertice non è un punto semplice.

Se era semplice l'avresti trovato subito! :-)

> Secondo la mia dispensa di geometria algebrica Predonzan:

"Predonzan" è il farmaco che devi prendere per digerire la dispensa? :-)

> "Un punto P di S dicesi _semplice_ se in esso il cono tangente
> si riduce a un piano, e se esiste su S un conveniente intorno
> superficiale di P (avente P come punto interno se P non
> appartiene al contorno di S) che si possa proiettare
> ortogonalmente, in maniera biunivoca, sul piano suddetto.
> Appare evidente che _i punti di una superficie regolare sono
> tutti semplici_."

Intetessante. E come la definisce "superficie regolare"?

> x^4 - 2x^2 - y^2 - z^2 + 1 = 0
> x^4 - 2x^2 +1 = y^2 + z^2
> Fissato un x il membro sinistro è sempre non-negativo e può
> rappresentare il quadrato del raggio di una circonferenza sul
> piano definito da x.

Ovvero su un piano parallelo al piano Z-Y

> Per x = +- 1 il raggio si annulla.

Quindi si annulla in 2 punti.

> Poi boh... :-(

Visto che tagliando la superficie con piani x = costante = c ottieni circonferenze, per essere un cono dovrebbe essere verificato anche che:
1. c'è uno ed un solo valore c in cui il raggio si annulla;
2. il raggio è proporzionale a |x-c| ovvero alla distanza dal vertice (del piano x = c).

Ma non avviene nè 1. nè 2.

--
Wakinian Tanka

[Wakinian Tanka]

Esercizio. Data l'equazione:

x*z^2(x^2-3y^2)=(x^2+y^2)^2

dire se rappresenta un cono (generalizzato), se no perché, se si perché e trovarne il vertice.

--
Wakinian Tanka

[Wakinian Tanka]

Il giorno domenica 21 gennaio 2018 21:40:57 UTC+1, Wakinian Tanka ha scritto:
> Esercizio. Data l'equazione:
>
> x*z^2(x^2-3y^2)=(x^2+y^2)^2

Chiedo scusa. L'equazione è:

x*z(x^2-3y^2)=(x^2+y^2)^2

--
Wakinian Tanka

[El Filibustero]

On Sun, 21 Jan 2018 12:43:59 -0800 (PST), Wakinian Tanka wrote:

>Il giorno domenica 21 gennaio 2018 21:40:57 UTC+1, Wakinian Tanka ha scritto:
>> Esercizio. Data l'equazione:
>>
>> x*z^2(x^2-3y^2)=(x^2+y^2)^2
>

>Chiedo scusa. L'equazione č:
>
>x*z(x^2-3y^2)=(x^2+y^2)^2

la quale soddisfa banalmente la condizione necessaria e sufficiente
citata da JTS (f(x,y,z)=0, f omogenea) per essere un cono con vertice
nell'origine. Ciao

[Wakinian Tanka]

Il giorno lunedì 22 gennaio 2018 09:37:41 UTC+1, El Filibustero ha scritto:
> On Sun, 21 Jan 2018 12:43:59 -0800 (PST), Wakinian Tanka wrote:

> >Chiedo scusa. L'equazione è :

> >x*z(x^2-3y^2)=(x^2+y^2)^2
>
> la quale soddisfa banalmente la condizione necessaria e sufficiente
> citata da JTS (f(x,y,z)=0, f omogenea) per essere un cono con vertice
> nell'origine. Ciao

Ottimo.
Adesso trova la generatrice
f = 0
z = 1

--
Wakinian Tanka

[El Filibustero]

On Mon, 22 Jan 2018 01:37:34 -0800 (PST), Wakinian Tanka wrote:

>> >x*z(x^2-3y^2)=(x^2+y^2)^2

>Adesso trova la generatrice

direttrice, magari (generatrici sono le rette per il vertice).

>f = 0
>z = 1

x(xx-3yy)=(xx+yy)^2

che e' una quartica detta folium, in coordinate polari rho = cos(3t),
dato che, posto x:=rho cos(t) e y:=rho sin(t), si ha

rho^3 (cos(t)^3 - 3 cos(t) sin(t)^2) = rho^4 ossia cos(3t) = rho.

Ciao

[Wakinian Tanka]

Il giorno lunedì 22 gennaio 2018 14:09:43 UTC+1, El Filibustero ha scritto:
> On Mon, 22 Jan 2018 01:37:34 -0800 (PST), Wakinian Tanka wrote:
>
> >> >x*z(x^2-3y^2)=(x^2+y^2)^2
>
> >Adesso trova la generatrice
>
> direttrice, magari

cavolo, è vero, e l'avevo anche ripassato ieri...

> (generatrici sono le rette per il vertice).

Si, in generale le rette che generano la rigata al variare di un solo parametro:

f(u,v) = Q(u) + v*g(u)

Q(u) è un punto e g(u) un vettore, di R^3. Al variare di u e v, f(u,v) è la parametrizzazione della rigata. Se Q = costante, un cono di vertice Q.

> > f = 0
> > z = 1
>
> x(xx-3yy)=(xx+yy)^2
> che e' una quartica detta folium, in coordinate polari rho = cos(3t),
> dato che, posto x:=rho cos(t) e y:=rho sin(t), si ha
> rho^3 (cos(t)^3 - 3 cos(t) sin(t)^2) = rho^4 ossia cos(3t) = rho.

Quasi ottimo! Non ti do la lode perché non hai aggiunto che, più precisamente, è un /tri/folium :-)

--
Wakinian Tanka

[Wakinian Tanka]

Il giorno lunedì 22 gennaio 2018 16:36:00 UTC+1, Wakinian Tanka ha scritto:
>è

> Si, in generale le rette che generano la rigata al variare di un solo parametro:
> f(u,v) = Q(u) + v*g(u)

Nel senso che, fissato u e variando v si hanno i diversi punti di un'unica retta generatrice. Fissato invece v ad un valore diverso da 0 e variando u si hanno i punti di una direttrice.

--
Wakinian Tanka

[Elio Fabri]

Wakinian Tanka ha scritto:

> Nel senso che, fissato u e variando v si hanno i diversi punti di
> un'unica retta generatrice. Fissato invece v ad un valore diverso da
> 0 e variando u si hanno i punti di una direttrice.

Non è ncessario fissare v: puoi anche prenderlo funzione di u, a patto
che non si annulli mai.
Poi c'è un'altra difficoltà: in questo caso, ma anche in quello più
semplice di un cono quadrico, quel sistema di coordinate non puoi
usarlo per l'intera superficie.
Il problema è che non puoi parametrizzare *tutta* una curva chiusa con
un'unica coordinata.
Sentito mai parlare di /carte/?


--
Elio Fabri

[Wakinian Tanka]

Il giorno lunedì 22 gennaio 2018 17:12:12 UTC+1, Elio Fabri ha scritto:
> Wakinian Tanka ha scritto:
> > Nel senso che, fissato u e variando v si hanno i diversi punti di
> > un'unica retta generatrice. Fissato invece v ad un valore diverso da
> > 0 e variando u si hanno i punti di una direttrice.

> Non è ncessario fissare v: puoi anche prenderlo funzione di u, a patto
> che non si annulli mai.

Certo. Facciamo l'esempio del cono circolare: fissare v significa tagliare il cono con un piano ortogonale all'asse, ottenendo una circonferenza come generatrice; facendo variare v dipendentemente da u in modo opportuno si può ottenere un'ellisse o una curva non piana più complessa.

> Poi c'è un'altra difficoltà: in questo caso, ma anche in quello più
> semplice di un cono quadrico, quel sistema di coordinate non puoi
> usarlo per l'intera superficie.

Dunque, vediamo, forse perché non si riesce a passare in modo continuo/differenziabile da un punto vicino al vertice, posto su una "falda" ad un altro vicino ad esso sull'altra falda e dalla "stessa parte" (adesso non saprei come formalizzare il concetto visivo di "stessa parte", potrei solo illustrarlo con un disegno) in quanto la variabile u dovrebbe fare un "salto" nel vertice?

> Il problema è che non puoi parametrizzare *tutta* una curva chiusa con
> un'unica coordinata.

Se la curva chiusa si svolge su entrambe le falde?

> Sentito mai parlare di /carte/?

No, di "atlanti" ma solo per sentito dire o poco più.

--
Wakinian Tanka

[Giorgio Pastore]

Il 22/01/18 17:49, Wakinian Tanka ha scritto:

> Il giorno lunedì 22 gennaio 2018 17:12:12 UTC+1, Elio Fabri ha scritto:

....

>> Il problema è che non puoi parametrizzare *tutta* una curva chiusa con
>> un'unica coordinata.
>
> Se la curva chiusa si svolge su entrambe le falde?

parametrizzazioni continue? come fa una funzione continua a trasformare
un insieme connesso in uno non connesso?

[Wakinian Tanka]

Come "non connesso"?

--
Wakinian Tanka

[Giorgio Pastore]

Il 22/01/18 21:11, Wakinian Tanka ha scritto:
...
> Come "non connesso"?
fai un esempio di curva chiusa che si svoleg su entrambe le falde".
Forse non ho capito cosa intendevi.

[Wakinian Tanka]

Per esempio una curva "a otto" con un occhiello su una falda, uno sull'altra e il punto comune ai 2 nel vertice. Come un bifolium con i petali su ogni falda.

--
Wakinian Tanka

[Elio Fabri]

Wakinian Tanka ha scritto:

> Per esempio una curva "a otto" con un occhiello su una falda, uno
> sull'altra e il punto comune ai 2 nel vertice. Come un bifolium con
> i petali su ogni falda.

Che casino!...
Mi spiego: non ho niente contro la discussione che state facendo.
Solo che tutto è partito dal mio post del 22, ore 17:11, che tu hai
frainteso.
Dopo di che, siete andati in tutt'altra direzione.

Per conodità di tutti, ricopio la mia frase "incriminata":

> Poi c'è un'altra difficoltà: in questo caso, ma anche in
> quello più semplice di un cono quadrico, quel sistema di
> coordinate non puoi usarlo per l'intera superficie.

> Il problema è che non puoi parametrizzare *tutta* una curva chiusa con
> un'unica coordinata.

> Sentito mai parlare di /carte/?

Tu hai risposto (alle 17:49):
> Dunque, vediamo, forse perché9 non si riesce a passare in modo

> continuo/differenziabile da un punto vicino al vertice, posto su una
> "falda" ad un altro vicino ad esso sull'altra falda e dalla "stessa
> parte" (adesso non saprei come formalizzare il concetto visivo di
> "stessa parte", potrei solo illustrarlo con un disegno) in quanto la
> variabile u dovrebbe fare un "salto"

Ossia hai equivocato, e io non ho fatto in tempo a chiarire, che ci
avete scritto altri 4 post :-(

Non pensavo affatto a quello che dici, ma a qualcosa di più sempice e
generale.
Non c'è bisogno di pensare a coni, ma partiamo pure da lì.
In precedenza (alle 16:35) avevi scritto l'eq. generica di una rigata:

> Si, in generale le rette che generano la rigata al variare di un solo

> param= etro:

>
> f(u,v) = Q(u) + v*g(u)
>

> Q(u) è un punto e g(u) un vettore, di R^3. Al variare di u e v, f(u,v)
> è la parametrizzazione della rigata. Se Q = costante, un cono di
> vertice Q.

Qual è il problema con l'eq. che hai scritto?.
Prima di tutto, non si dice quale sia il dominio di u e v.
Per v possiamo dare per scontato che sia tutto R, visto che deve
generare una generatrice.
Per u, si sceglierà caso per caso.
Esempio: cono circolare retto, di eq.
z^2 = x^2 + y^2.
Prenderemo Q(u) = O = (0,0,0).
Quanto a g(u), posto v=1 abbiamo

f(u,1) = g(u)

(g è una funzione ? --> R^3, dove ? sta a indicare che il dominio va
scelto insieme a g, per ottenere una direttrice del cono).
Per es., se z=1, dobbiamo avere x^2+y^2 = 1 che si soddisfa nel modo
più ovvio ponendo
x = cos(u)
y = sin(u) (1)
u in [0,2pi].

Così vedi che la questione è sulla parametrizzazione della direttrice.
Dato che in generale si definisce (arco di) curva una mappa da un
intervallo chiuso di R a un generico spazio topologico (nel nostro
caso, a R^3) la soluzione sopra scritta è del tutto corretta.

Però... Nell'esempio che ho fatto, la dir. è una curva chiusa:
P(0) = P(2pi).
E questo pone un problema: è vero che la mappa scelta fornisce tutti i
punti della curva in funzione del parametro u, ma la corrisp. non è
biunivoca (la mappa non è bigettiva): c'è un punto che si ottiene due
volte.
Questo non è in accordo con la definizione di varietà, che richiede
almeno un omeomorfismo (per una varietà topologica; altrimenti un
diffeomorfismo, ecc.)
Quindi con la scelta fatta la circonf. direttrice non è una varietà, e
di conseguenza non lo è neppure il cono.

Non si risolve la difficoltà sostituendo l'intervallo chiuso con uno
semiaperto, per es. [0,2pi[
In questo modo si soddisfa la bigettività, ma non la cntinuità, quindi
non si soddisfa il requisito di omeomorfismo.

E non c'è niente da fare: per salvarsi bisogna attenuare un'altra
richiesta: ossia che la curva sia descritta da un *unico* sistema di
coordinate, come (1).
E' qui che nasce l'idea di un /atlante/ formato di /carte/.
Nel caso di una curva chiusa l'idea si riduce a questo (lo spiego sempre
sull'esempio della circonf. C: x^2+y^2=1).

Scegli *due* aperti di C, tali che la loro unione sia C e che siano
ciascuno omeomorfo a unintervallo aperto di R. Per es. così:
- una semicirconf. "abbondante" superiore C1
- una semicirconf. "abbondante" inferiore C2
(abbondante significa che ha un angolo al centro > pi; superiore che
include tutti i punti con y >= 0; inferiore per tutti i punti con
y<=0).
Poi definisci la due /carte/:
- per C1: x = cos(u1), y = sin(u1), u1 in ]-eps, pi+eps[
- per C2: x = cos(u2), y = sin(u2), u2 in ]-pi-eps,+eps[
dove eps è un reale fissato in ]0,pi/2[.
In questo modo per C hai *due* sistemi di coord. che si sovrappongono
parzialmente.

Con questo abbiamo sistmato la direttrice, ma ciò non basta per
trattare l'intero cono come una varietà.
Il vertice è un problema a parte, non risolubile perché si tratta di
una vera singolarità (topologica, non solo differenziale).
Intendo dire che non c'è modo di mappare la regione del cono attorno al
vertice in modo omeomorfo su R^2.
Almeno credo, a meno di smentite :-)


--
Elio Fabri

[El Filibustero]

On Tue, 23 Jan 2018 01:04:11 -0800 (PST), Wakinian Tanka wrote:

>Per esempio una curva "a otto" con un occhiello su una falda, uno sull'altra
>e il punto comune ai 2 nel vertice. Come un bifolium con i petali su ogni falda.

x = sin(t)^2
y = sin(t) cos(t)
z = sin(t)

per t = 0..2pi.

Curva lemniscata, evidentemente parametrizzata in modo perfettamente
regolare e liscio, si svolge su entrambe le falde del cono zz=xx+yy,
con nodo nel vertice del cono e un petalo su ogni falda. Dov' e' il
problema? Probabilmente non ho capito dove vuoi arrivare. Ciao

[El Filibustero]

On Tue, 23 Jan 2018 14:22:49 +0100, El Filibustero wrote:

>x = sin(t)^2
>y = sin(t) cos(t)
>z = sin(t)
>
>per t = 0..2pi.
>
>Curva lemniscata, evidentemente parametrizzata in modo perfettamente
>regolare e liscio, si svolge su entrambe le falde del cono zz=xx+yy,
>con nodo nel vertice del cono e un petalo su ogni falda.

Dimenticavo: parametrizzata con un solo parametro, situata "dalla
stessa parte" del cono. Boh. Ciao

[Wakinian Tanka]

Nessuno, proprio come dicevo, rispondendo a G. Pastore che mi chiedeva un "esempio di curva chiusa che si svolge su entrambe le falde".

> Probabilmente non ho capito dove vuoi arrivare. Ciao

Avevo scritto la seguente parametrizzazione del cono:

f:R^2 --> R^3
f(u,v) = Q + v*g(u) (1)

u,v, app. R

Q punto fisso = vertice del cono
g(u) vettore che definisce una determinata direttrice al variare di u; fissato u, i punti di una retta generatrice si trovano variando v (v*g è parallelo al vettore g).

La mia domanda/questione era: usando *quella* parametrizzazione, è possibile passare in modo continuo/differenziabile da un punto P1 su una falda ad un altro P2 sull'altra falda, se P1 e P2 sono "dalla stessa parte" del cono?

"Dalla stessa parte" significa quanto segue.
Prendiamo per semplicità il solito cono circolare retto con vertice nell'origine e asse lungo z: z^2 = x^2 + y^2
Lo taglio con i 2 piani:

pi_1: z=1
pi_2: y=0

Ottengo i punti (-1,0,1) e P1 = (1,0,1).

Lo taglio con:
pi_2
pi_3 = z=-1

ottengo (-1,0,-1) e P2 = (1,0,-1)

Naturalmente potevo scrivere subito le coordinate di P1 e P2, ma in questo modo altri che leggono possono visualizzare meglio.

Cerco un modo semplice per passare da P1 a P2 con una curva continua, usando la parametrizzazione (1). Il modo più semplice è: parto da
g(u) = (cos(u),sin(u),1) con u = 0 e vario v ad u fisso, fino al vertice, cioè fino a v=0 (perché se continuassi mi muoverei ancora lungo la generatrice definita da u = 0, ma che adesso si triva dall'altra parte del cono). A questo punto, ovvero a v = 0, tengo fisso v al valore 0 e vario u da o a pi: in questo modo mi posiziono sulla generatrice "diametralmente opposta" (spero si capisca il senso), dopodiché tengo fisso u al valore pi e vario di nuovo v da 0 a -1
(un disegno è altamente consigliabile).

Nel piano u,v (u ascisse, v ordinate) si percorrono quindi i tre segmenti perpendicolari: verticale, orizzontale, verticale.
Quindi, sul vertice, la variabile u continua a variare mentre il punto (il vertice) rimane fisso. Mi chiedo se ciò corrisponde ad una qualche "irregolarità" di una curva.

Ma dal punto di vista geometrico, il modo più semplice sarebbe passare da P1 a P2 con i due segmenti: P1-->0 e 0-->P2 variando in modo continuo *una sola variabile*. Questo però non può essere fatto nè con u nè con v, da quanto appena visto.

Lo si può fare cambiando variabile e parametrizzazione:

x = |w|
y = 0
z = w
w app. [-1,1]

--
Wakinian Tanka

[El Filibustero]

On Tue, 23 Jan 2018 07:47:58 -0800 (PST), Wakinian Tanka wrote:

>La mia domanda/questione era: usando *quella* parametrizzazione,

[...]

>Cerco un modo semplice per passare da P1 a P2 con una curva continua,
>usando la parametrizzazione (1). Il modo più semplice è: parto da
>g(u) = (cos(u),sin(u),1) con u = 0 e vario v ad u fisso, fino al vertice,
>cioè fino a v=0 (perché se continuassi mi muoverei ancora lungo
>la generatrice definita da u = 0, ma che adesso si triva dall'altra
>parte del cono). A questo punto, ovvero a v = 0, tengo fisso v al
>valore 0 e vario u da o a pi: in questo modo mi posiziono sulla
>generatrice "diametralmente opposta" (spero si capisca il senso),
>dopodiché tengo fisso u al valore pi e vario di nuovo v da 0 a -1

Se ho ben capito, "usare *quella* parametrizzazione" per te significa
muoversi solo su linee v (generatrici) e linee u (direttrice g e sue
omotetiche). In questi termini, la domanda e' veramente banale, priva
di un contenuto geometrico interessante. E' ovvio che un percorso
liscio (ie con versore tangente) di quel tipo non esiste, a meno che g
non sia tangente a (almeno) una sua generatrice. In questo caso si
prende l'omotetica di g passante per P1, la si percorre fino al punto
di contatto con una generatrice r tangente, si fa r fino all'omotetica
di g per P2, indi su questa fino a P2. Ciao

[Elio Fabri]

ADPUF ha scritto:

> Ma un cono siffatto è una superficie regolare, avendo un

> vertice, ossia una singolaritè essenziale?

> Il vertice non è un punto semplice.

Questa almeno è un'obiezione sensata.
Però solo sula scelta del nome.

E' effettivamente discutibile chiamare "cono regolare" un particolare
tipo di cono, visto che come superficie un cono non è regolare.
Basta cambiare nome.


--
Elio Fabri

[Elio Fabri]

Metto insieme un po' di risposte più brevi, a post che avevo marcato
ma poi si sono persi nella marea di quest thread (oltre 60 post in 5
giorni!

Wakinian Tanka (20/1, 16:10)
> Che mi pare quello che dicevo io: prendendo un punto vicino alla
> superficie ed avvicinandolo ad essa la direttrice del cono formsto dai
> vettori tangenti alla sup. si avvicina al punto, fino a diventarne
> complanare quando il punto su S.
Forse nel frattempo l'hai capito.
Non è affatto quello che dicevi tu.
Il mio punto sta *sempre* sulla superficie.
Ma per es. nel vvertice di un cono tutte le generatrici sono
tangenti.

Domanda:
> z^2-x^2 = 0 (1)
> si può scrivere: (z-x)(z+x) = 0 ma anche:
> (z-|x|)(z+|x|) = 0 (2)
>

> la (1) non contempla anche il caso (2)?

Grrrr...
La (1) *non è* la sup. del mio esempio.
La (1) è formata da due piani, la mia da due semipiani.
Ma perché non pensi pirma di scrivere?

ADPUF ha scritto:

> Spigolo? :-)
>
> Se in 2D si ha la cuspide, bisognerebbe chiedere agli
> architetti.

Ma quale cuspide!
Ma lo sai che cos'è una cuspide? per es. x^2 = y^3, oppure una
cicloide.
E' vero che gli americani ignoranti usano "cusp", ma non quelli che
sanno la matematica.
Controlla wikipedia (eng.)

> E anche
> (|z|- x )(|z|+ x ) = 0 (3)
> (|z|-|x|)(|z|+|x|) = 0 (4)
>

> e 3 e 4 ...

Meriti la stessa risposta che ho dato a WT.
La (3) è l'unione di due coppie di semipiani, tra loro opposte.
Idem la (4).
Ovvio che l'unione di due piani non paralleli si può descrivere in
tanti modi come unione di semipiani...
Ma stiamo all'asilo?


--
Elio Fabri

[Wakinian Tanka]

Il giorno martedì 23 gennaio 2018 21:39:37 UTC+1, Elio Fabri ha scritto:
> Wakinian Tanka wrote:
...

> Domanda:
> > z^2-x^2 = 0 (1)
> > si può scrivere: (z-x)(z+x) = 0 ma anche:
> > (z-|x|)(z+|x|) = 0 (2)
> > la (1) non contempla anche il caso (2)?

> Grrrr...
> La (1) *non è* la sup. del mio esempio.
> La (1) è formata da due piani, la mia da due semipiani.

> Ma perché non pensi prima di scrivere?

Lo so che la tua è formata da due semipiani e invece la mia, cioè la (1) /anche/ da due piani (vedi dopo cosa significa /anche/), ma io ho scritto "contempla" che significa "include/contiene".
Chiedevo se la (1) si può pensare, oltre che come unione dei due piani:

z = x
z = -x,

anche come unione delle due coppie di semipiani

z = |x|
z = -|x|

In quest'ultimo caso avrei due funzioni z(x,y) non differenziabili nello spigolo, nonostante il fatto che "mettendole insieme" si ottenga una equazione algebrica: z^2 - x^2 = 0, che invece è differenziabile.


--
Wakinian Tanka

[JTS]

On Tuesday, January 23, 2018 at 10:22:54 PM UTC+1, Wakinian Tanka wrote:

> Chiedevo se la (1) si può pensare, oltre che come unione dei due piani:
>
> z = x
> z = -x,
>
> anche come unione delle due coppie di semipiani
>
> z = |x|
> z = -|x|
>
> In quest'ultimo caso avrei due funzioni z(x,y) non differenziabili nello spigolo, nonostante il fatto che "mettendole insieme" si ottenga una equazione algebrica: z^2 - x^2 = 0, che invece è differenziabile.
>
>

Rispondo io al posto di ELio. Una funzione algebrica puo' essere ottenuta come prodotto di funzioni non algebriche; credo che nel tuo caso il fatto che le due funz. non algebriche si combinino proprio nello spigolo non sia importante. Un'analogia che potrebbe essere d'aiuto e' questa: una funzione continua puo' essere ottenuta come prodotto di funzioni non continue.

[ADPUF]

Yoda 01:07, domenica 21 gennaio 2018:

E' a scopo intimidatorio... ma nessuno s'intimida :-(

[ADPUF]

Elio Fabri 21:37, martedì 23 gennaio 2018:

> ADPUF ha scritto:
>> Spigolo? :-)
>>
>> Se in 2D si ha la cuspide, bisognerebbe chiedere agli
>> architetti.
> Ma quale cuspide!
> Ma lo sai che cos'è una cuspide? per es. x^2 = y^3, oppure
> una cicloide.

Un punto angoloso dove la retta tangente destra e quella
sinistra coincidono.

Volevo solo dire che i termini da usare a volte si trovano nel
lessico architettonico.

P.es. bovolo = elica conica (più o meno)

[ADPUF]

Wakinian Tanka 11:31, domenica 21 gennaio 2018:

> Il giorno sabato 20 gennaio 2018 19:25:35 UTC+1, ADPUF ha
>>

>> Ma un cono siffatto è una superficie regolare, avendo un
>> vertice, ossia una singolarità essenziale?
>
> È regolare non in toto ma in tutti i punti non singolari :-)
> Tolto il vertice, il cono si divide in 2 zone, sconnesse tra
> loro, ma regolari.
>
> Il concetto di singolarità essenziale lo conosco solo per le
> funzioni di variabile complessa; sei sicuro che si applichi
> anche alle superfici (reali)?

Il testo distingue tra singolarità parametriche e singolarità
essenziali:
25.- Superfici non regolari.
...
I punti e le curve di una superficie S, in cui cadono in
difetto le suddette condizioni i), ii), diconsi _singolari_,
le loro singolarità distinguendosi in _parametriche_ od
_essenziali_: le prime possono eliminarsi con un opportuno
cambiamento di parametri; le seconde invece sono intrinseche
per la superficie stessa.

>> Il vertice non è un punto semplice.
>
> Se era semplice l'avresti trovato subito! :-)
>
>> Secondo la mia dispensa di geometria algebrica Predonzan:
>
> "Predonzan" è il farmaco che devi prendere per digerire la
> dispensa? :-)

Ahah!

Era un tipo strano, sembrava uscito dall'Ottocento... ogni
tanto, spiegando, diceva: "come Lor Signori ben
sapranno..." :-)
Aveva un assistente che faceva di tutto per asssomigliargli...
(sua lingua fuori) e una assistente molto formosa... (nostra
lingua fuori)
Esame pesante, del primo anno.

>> "Un punto P di S dicesi _semplice_ se in esso il cono
>> tangente si riduce a un piano, e se esiste su S un
>> conveniente intorno superficiale di P (avente P come punto
>> interno se P non appartiene al contorno di S) che si possa
>> proiettare ortogonalmente, in maniera biunivoca, sul piano
>> suddetto. Appare evidente che _i punti di una superficie
>> regolare sono tutti semplici_."
>
> Intetessante. E come la definisce "superficie regolare"?

Ricopio:
III LE SUPERFICI
23.- Superfici regolari.
Introdotto nello spazio un sistema cartesiano ortogonale
O(x,y,z), si consideri (n.5) un punto:
(157) P=P(u,v),
funzione di due variabili (parametri) u,v, definita uin un
dominio bidimensionale connesso D di un piano cartesiano
O^*(u,v), il cui contorno (appartenente o no a D) sia una
curva chiusa regolare (n.8) ^(1)
[^(1) Il dominio D può essere, eventualmente, tutto il piano
cartesiano O^*(u,v).]
Si dica S l'insieme dei punti P dello spazio che si ottengono
dalla (157) in corrispondenza a tutte le determinazioni
(reali) di u,v in D, cioè in corrispondenza a tutti i punti
P^* di D. Si supponga inoltre che:
i) P(u,v) ammetta in D, e siano ivi continui, i due vettori
derivati parziali primi P'_u(u,v), P'_v(u,v), e per essi si
abbia, in ogni punto D:
(158) P'_u(u,v) <vett.> P'_v(u,v) =/= 0;
ii) la (157) stabilisca tra i punti di S e quelli di D una
corrispondenza biunivoca senza eccezioni.
Sotto queste condizioni l'insieme S, prima definito, dicesi
_superficie regolare_, e la (157) ne costituisce una
_rappresentazione parametrica puntuale regolare_.
La (157) può scriversi (n.5) nell'equivalente forma scalare:
(159) cx=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v),
apparendo così le coordinate x,y,z del punto P, variabile su S,
come funzioni di u,v, definite in D. In questo caso le
condizioni i), ii) divengono:
i') x(u,v), y(u,v), z(u,v) ammettano in D, e siano ivi
continue, le derivate parziali prime, e per esse si abbia, in
ogni punto di D:
(160) || x'_u(u,v) y'_u(u,v) z'_u(u,v) ||
|| x'_v(u,v) y'_v(u,v) z'_v(u,v) || =/= 0 ;
ii') le (159) stabiliscano tra i punti di S e quelli di D una
corrispondenza biunivoca senza eccezioni.
Le (159) costituiscono una _rappresentazione parametrica
cartesiana regolare_ della superficie regolare S.
Se il dominio D è serrato, (cioè comprende anche i punti del
suo contorno), l'insieme dei punti P(u,v) di S, che provengono
dai punti del contorno di D, dicesi _contorno_ di S.
...
_Osservazione_.- Di una superficie regolare S si possono avere
infinite rappresentazioni parametriche regolari.

[ADPUF]

Wakinian Tanka 21:04, sabato 20 gennaio 2018:
> Il giorno sabato 20 gennaio 2018 19:33:02 UTC+1, ADPUF ha
>> Wakinian Tanka 16:57, giovedì 18 gennaio 2018:
>> > Il giorno giovedì 18 gennaio 2018 16:33:53 UTC+1, ADPUF ha
>>
>> >> Dipende da dove si parte.
>> >> L'equazione normalizzata di un cono del secondo ordine è
>> >> (x/a)^2 + (y/b)^2 - (z/c)^2 = 0
>> >
>> > Se parti da questa non c'è neanche bisogno di chiederlo,
>> > dove sia il vertice :-)
>>
>> Oh!
>> :-O
>>
> Il vertice è nell'origine.
> Se lo tagli con il piano x = 0 (o y = 0) cosa ottieni?
> Che famiglia di curve ottieni se poni z = c?


Avevo scritto "Oh!"
:-)

[Wakinian Tanka]

Il giorno sabato 20 gennaio 2018 12:04:40 UTC+1, Elio Fabri ha scritto:
>...
> Giusto per darti un altro po' da pensare. Un diverso approccio alle
> singolarità, che puoi usare per funzioni f analitiche (sviluppabili in
> serie di Taylor attorno a ogni punto di un qualche aperto) sta nel
> considerare la serie di Taylor attorno a un P(x0,y0,z0) della sup.
> Il primo termine è nullo: f(x0.y0,z0) = 0 per ipotesi.
> Se i termini di primo ordine non sono tutti nulli, P è un punto
> regolare. (L'eq. del piano tangente la scrivi subito.)

Visto che sei un geometra mancato :-), come si fa a visualizzare ovvero ad interpretare geometricamente @f/@x, @f/@y, @f/@z?

Se la superficie la parametrizzo:

fi(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))

sono in grado di visualizzare immediatamente i 2 vettori @fi/@u, @fi/@v e quindi capisco cosa significa che siano entrambi non nulli e indipendenti tra loro (vedi definizione che ha scritto ADPUF di "punto regolare" della superficie).

> Altrimenti si passa ai termini di secondo ordine.
> Se non sono tutti nulli, la singol. si dice /di primo ordine/ (spero).
> I termini di secondo ordine formano una forma quadratica in (x,y,z)

... e quindi f = 0 rappresenta una quadrica se ci limitiamo a questi.

> e le diverse singolarità si classificano studiando questa forma.
> Per cominciare, è evidente che la parte dominante di f in un intorno
> di P rappresenta un /cono quadrico/.

... in quanto se ci sono solo termini del secondo ordine si ha omogeneità e quindi la quadrica è un cono.

Eh, mi sarebbe piaciuto, studiare queste cose, a suo tempo.

Più ci rifletto e più mi domando che razza di genio fosse Gauss...

--
Wakinian Tanka

[paolap...@gmail.com]

Il giorno mercoledì 24 gennaio 2018 17:55:33 UTC+1, Wakinian Tanka ha scritto:

> Più ci rifletto e più mi domando che razza di genio fosse Gauss...

già, e capiva non solo di matematica e fisica, ci scommetto

[paolap...@gmail.com]

no, ho perso la scommessa, ho appena leggiucchiato la sua biografia su wiki, lui capiva solo di scienza, povera Sophie

[Wakinian Tanka]

Il giorno mercoledì 24 gennaio 2018 14:59:29 UTC+1, ADPUF ha scritto:
> Wakinian Tanka 11:31, domenica 21 gennaio 2018:
>

> > Il concetto di singolarità essenziale lo conosco solo per le
> > funzioni di variabile complessa; sei sicuro che si applichi
> > anche alle superfici (reali)?
>
> Il testo distingue tra singolarità parametriche e singolarità
> essenziali:
> 25.- Superfici non regolari.
> ...
> I punti e le curve di una superficie S, in cui cadono in
> difetto le suddette condizioni i), ii), diconsi _singolari_,
> le loro singolarità distinguendosi in _parametriche_ od
> _essenziali_: le prime possono eliminarsi con un opportuno
> cambiamento di parametri; le seconde invece sono intrinseche
> per la superficie stessa.
>

> > "Predonzan" è il farmaco che devi prendere per digerire la
> > dispensa? :-)
>
> Ahah!
> Era un tipo strano, sembrava uscito dall'Ottocento... ogni
> tanto, spiegando, diceva: "come Lor Signori ben sapranno..." :-)
> Aveva un assistente che faceva di tutto per asssomigliargli...
> (sua lingua fuori) e una assistente molto formosa... (nostra
> lingua fuori)

LOL

> Esame pesante, del primo anno.

Quella roba lì al primo anno? Poveretti!

> > Interessante. E come la definisce "superficie regolare"?

>
> Ricopio:
> III LE SUPERFICI
> 23.- Superfici regolari.
> Introdotto nello spazio un sistema cartesiano ortogonale
> O(x,y,z), si consideri (n.5) un punto:
> (157) P=P(u,v),

> funzione di due variabili (parametri) u,v, definita in un

> dominio bidimensionale connesso D di un piano cartesiano
> O^*(u,v), il cui contorno (appartenente o no a D) sia una
> curva chiusa regolare (n.8) ^(1)
> [^(1) Il dominio D può essere, eventualmente, tutto il piano
> cartesiano O^*(u,v).]
> Si dica S l'insieme dei punti P dello spazio che si ottengono
> dalla (157) in corrispondenza a tutte le determinazioni
> (reali) di u,v in D, cioè in corrispondenza a tutti i punti
> P^* di D. Si supponga inoltre che:
> i) P(u,v) ammetta in D, e siano ivi continui, i due vettori
> derivati parziali primi P'_u(u,v), P'_v(u,v), e per essi si
> abbia, in ogni punto D:
> (158) P'_u(u,v) <vett.> P'_v(u,v) =/= 0;

Ovvero i due vettori siano lineamente indipendenti.

> ii) la (157) stabilisca tra i punti di S e quelli di D una
> corrispondenza biunivoca senza eccezioni.
> Sotto queste condizioni l'insieme S, prima definito, dicesi
> _superficie regolare_, e la (157) ne costituisce una
> _rappresentazione parametrica puntuale regolare_.
> La (157) può scriversi (n.5) nell'equivalente forma scalare:
> (159) cx=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v),
> apparendo così le coordinate x,y,z del punto P, variabile su S,
> come funzioni di u,v, definite in D. In questo caso le
> condizioni i), ii) divengono:
> i') x(u,v), y(u,v), z(u,v) ammettano in D, e siano ivi
> continue, le derivate parziali prime, e per esse si abbia, in
> ogni punto di D:
> (160) || x'_u(u,v) y'_u(u,v) z'_u(u,v) ||
> || x'_v(u,v) y'_v(u,v) z'_v(u,v) || =/= 0 ;

Che è un altro modo per dire che i due vettori:

P'_u = (@x/@u, @y/@u, @z/@u) = (x'_u,...)
P'_v = (@x/@v, @y/@v, @z/@v) = (x'_v,...)

sono indipendenti. Prendi una superficie, ad es quella di una pallina da
ping-pong e disegnaci un punto, Q e due brevi linee curve che si intersecano in quel punto. Esiste certamente una parametrizzazione P(u,v) = x(u,v), y(u,v), z(u,v) della superficie (in generale: della superficie, in un intorno di Q), nella quale i 2 tratti che hai disegnato rappresentano la curva:

x(u), y(u), z(u) (1)
e la curva
x(v), y(v), z(v) (2)

cioè il primo tratto che hai disegnato si ottiene tenendo fisdo v e variando v e viceversa per il secondo. Allora P'_u è il vettore tangente alla curva (1) (cioè al primo tratto che hai disegnato) in Q e P'_v quello tangente alla curva (2) (cioè al secondo tratto che hai disegnato)
in Q.

> ii') le (159) stabiliscano tra i punti di S e quelli di D una
> corrispondenza biunivoca senza eccezioni.
> Le (159) costituiscono una _rappresentazione parametrica
> cartesiana regolare_ della superficie regolare S.
> Se il dominio D è serrato, (cioè comprende anche i punti del
> suo contorno), l'insieme dei punti P(u,v) di S, che provengono
> dai punti del contorno di D, dicesi _contorno_ di S.
> ...
> _Osservazione_.- Di una superficie regolare S si possono avere
> infinite rappresentazioni parametriche regolari.

Ti sono grato per lo sforzo profuso :-)
Ciao.

--
Wakinian Tanka

[Wakinian Tanka]

Il giorno mercoledì 24 gennaio 2018 18:32:39 UTC+1, Wakinian Tanka ha scritto:

> cioè il primo tratto che hai disegnato si ottiene tenendo fisso v e variando v

leggi: "e variando u".

--
Wakinian Tanka

[paolap...@gmail.com]

Il giorno mercoledì 24 gennaio 2018 18:25:16 UTC+1, paolap...@gmail.com ha scritto:
>
> no, ho perso la scommessa, ho appena leggiucchiato la sua biografia su wiki, lui capiva solo di scienza, povera Sophie

credo proprio che per Sophie non sarebbe niente, anche se Gauss fosse stato diverso. Era una fascinazione cerebrale.

[paolap...@gmail.com]

Il giorno mercoledì 24 gennaio 2018 22:35:00 UTC+1, paolap...@gmail.com ha scritto:
> Il giorno mercoledì 24 gennaio 2018 18:25:16 UTC+1, paolap...@gmail.com ha scritto:
> >
> > no, ho perso la scommessa, ho appena leggiucchiato la sua biografia su wiki, lui capiva solo di scienza, povera Sophie
>
> credo proprio che per Sophie non sarebbe

cambiato

[Wakinian Tanka]

Il giorno mercoledì 24 gennaio 2018 14:59:29 UTC+1, ADPUF ha scritto:

> Ricopio:
> III LE SUPERFICI
> 23.- Superfici regolari.

...

> Introdotto nello spazio un sistema cartesiano ortogonale
> O(x,y,z), si consideri (n.5) un punto:
> (157) P=P(u,v),

> funzione di due variabili (parametri) u,v, definita in un

> dominio bidimensionale connesso D di un piano cartesiano
> O^*(u,v), il cui contorno (appartenente o no a D) sia una
> curva chiusa regolare (n.8) ^(1)

Non ho ancora capito la richiesta che il contorno del dominio D debba essere "una curva chiusa regolare" (tra l'altro non mi vengono nemmeno in mente esempi in cui ls curva chiusa che rappresenta il contorno potrebbe non essere regolare).

--
Wakinian Tanka

[Elio Fabri]

Wakinian Tanka ha scritto:

> Lo so che la tua è formata da due semipiani e invece la mia, cioè la
> (1) /anche/ da due piani (vedi dopo cosa significa /anche/), ma io ho
> scritto "contempla" che significa "include/contiene".

> Chiedevo se la (1) si puòpensare, oltre che come unione dei due piani:
> ...

> In quest'ultimo caso avrei due funzioni z(x,y) non differenziabili
> nello spigolo, nonostante il fatto che "mettendole insieme" si ottenga
> una equazione algebrica: z^2 - x^2 = 0, che invece è differenziabile.

Sì, certamente, ma non è interessante.

Perfino in casi molto più banali, come per es. una parabola nel piano,
puoi inventare rappres. parametriche, o con equazioni f(x,y), che non
sono differenziabili.
Non è questo che conta.
Conta invece che una rappres. differenziabile *esista*.

ADPUF ha scritto:

> Un punto angoloso dove la retta tangente destra e quella sinistra
> coincidono.

Non direi.
Se scrivi y = x^(2/3), per x=0 la funzione non è derivabile, né a
destra né a sinistra.
Se scrivi f(x,y)=0, con f = x^2 - y^3, sei nel caso di cui ho parlato
in un altro post: @f/@x = @f/@y = 0.
Lo sviluppo di f arrestato al secondo ordine dà f = x^2, quindi
l'origine è un /punto doppio a tangenti coinidenti/, che è appunto la
defin. di cuspide.
"Punto angoloso" va riservato a una situazione diversa: quando la f
*non è differenziabile* nel punto in esame.

L'esempio della cuspide, visto in senso cinematico, ti mostra la
differenza.
Eq. parametriche:

x = t - sin(t)
y = 1 - cos(t).

Le componenti della velocità si annullano entrambe per t=0: il punto
di contatto tra la circonf. e la retta su cui rotola ha vel. istantanea
nulla.
In un punto angoloso avresti vel. *non nulla* ma discontinua.
Es.
x = t
y = |t|.
Lo puoi vedere come il rimbalzo elastico di una palla sulla sponda del
biliardo.

> Il testo distingue tra singolarità parametriche e singolarità
> essenziali:

> ...

> Era un tipo strano, sembrava uscito dall'Ottocento...

Si vede :-)
Anch'io ho conosciuto vecchi matematici "originali", che facevano
tutto a modo loro, e in genere erano fuori dalle correnti della
ricerca.
Credo che dipenda dal fatto che la scuola matematica italiana, che
aveva conosciuto un periodo d'oro attorno al volgere del secolo tra
800 e 900, col passare del tempo, quando i grandi sono invecchiati e
sono stati sostituiti da loro allievi, si è ripiegata su se stessa,
mentre il resto del mondo (che ancor oggi ricorda i Peano, i Dini, i
Volterra, i Levi-Civita, i Castelnuovo...) li metteva da parte.

> Se il dominio D è serrato, (cioè comprende anche i punti del suo
> contorno),

Proprio un bell'originale! Quello che tutto il mondo chiamava "insieme
chiuso", lui lo chiama "serrato".
Certo, una porta serrata è chiusa. magarei anche a chiave e col
paletto :-)
Se posso darti un consiglio, lascialo perdere...
Per questo c'è un motivo serio, che spiegherò più oltre, e che non
vale solo per lui.

Wakinian Tanka ha scritto:

> Visto che sei un geometra mancato :-), come si fa a visualizzare
> ovvero ad interpretare geometricamente @f/@x, @f/@y, @f/@z?

E' strano che tu me lo chieda: sono sicuro che lo sai.
Ti ricordi una cosa chiamata "gradiente"?

Ovvero:
f(x,y,z) = 0
è una /superficie di livello/ di f, per il valore 0.
Ora prendi una seconda curva di livello, per un valore c<>0:
f(x,y,z) = c.
Esprimi la distanza tra la due superfici in un punto (x0.y0.z0) della
prima, al primo ordine in c.
Che succede se in (x0,y0,z0) le tre derivate parziali si annullano?
Applica quanto sopra alla f = x^2 + y^2 - z^2.

> Se la superficie la parametrizzo:
>
> fi(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))
>
> sono in grado di visualizzare immediatamente i 2 vettori @fi/@u,
> @fi/@v e quindi capisco cosa significa che siano entrambi non nulli
> e indipendenti tra loro (vedi definizione che ha scritto ADPUF di
> "punto regolare" della superficie).

Molto bene.
Allora studia la funzione composta
g = f o fi.
Sarà identicamente g=0, e derivando questa rispetto a u e v:

0 = @f/@x @x/@u + @f/@y @y/@u + @f/@z @z/@u = grad f . @fi/@u
0 = @f/@x @x/@v + @f/@y @y/@v + @f/@z @z/@v = grad f . @fi/@v.

Queste ti dicono che i tuoi due vettori @fi/@u, @fi/@v sono
ortogonali a grad f.
Infatti i primi sono tangenti alla superficie; grad f è normale.
Ossia, grad f ha la direzione del prodotto vettore.
Se i due vettori tangenti non sono indipendenti, la direzione di
grad f è indeterminata, il che è possibile solo se è nullo.

> Più ci rifletto e più mi domando che razza di genio fosse Gauss...

Su questo non ci piove, ma che c'entra?
Quello che ha fatto Gauss in materia di geom. diff. delle superfici è
ben altro: basta ricordare il "theorema egregium"...
Ed è solo una (piccola) parte del contributo che Gauss ha dato alla
matematica (e alla fisica).
Veramente senza paragoni. Se avesse senso un confronto a 2000 anni di
distanza, sul piano di Gauss ci metterei solo Archimede.
Un pochino indietro, Eulero :-)

PS. Avevo scritto all'inizio
> Per questo c'è un motivo serio, che spiegherò più oltre, e che non
> vale solo per lui.
ma ho già scritto troppo.
Rimando a domani o chissà...


--
Elio Fabri

[marcofuics]

Una retta passa per 2 punti: uno appartiene alla curva chiusa di cui esiste eq.ne e l'altro è il vertice--> ho il cono se considero tutte le rette passanti per la curva. È chiaro che l'eq.ne del cono è manipolabile ma (ricordi di geometria) il cono ti dà sempre il suo vertice, ovvio che sulla catena algoritmica ci si può trovare in punti diversi, quindi se proprio vuole l'op può definire la catena algoritmica estremale ed eventualmente ridurla alla bisogna

[Wakinian Tanka]

Il giorno giovedì 25 gennaio 2018 17:22:09 UTC+1, marcofuics ha scritto:
> Una retta passa per 2 punti:

E basta? Dev'essere una retta economica" :-)

> uno appartiene alla curva chiusa di cui esiste eq.ne e l'altro è il
> vertice--> ho il cono se considero tutte le rette passanti per la curva.
> È chiaro che l'eq.ne del cono è manipolabile ma (ricordi di geometria) il
> cono ti dà sempre il suo vertice,

E come fa a "dartelo"?

--
Wakinian Tanka

[paolap...@gmail.com]

Il giorno giovedì 25 gennaio 2018 17:17:29 UTC+1, Elio Fabri ha scritto:
>
> Quello che ha fatto Gauss in materia di geom. diff. delle superfici è
> ben altro: basta ricordare il "theorema egregium"...
> Ed è solo una (piccola) parte del contributo che Gauss ha dato alla
> matematica (e alla fisica).
> Veramente senza paragoni. Se avesse senso un confronto a 2000 anni di
> distanza, sul piano di Gauss ci metterei solo Archimede.
> Un pochino indietro, Eulero :-)

Una particolarità di Gauss era il suo scrivere oscuro, in modo che gli altri matematici non avessere idea di che cosa stesse studiando in quel momento e a che cosa si riferisse. Altri scienziati del passato sai se usassero la stessa tecnica 'crittografica'?

[Wakinian Tanka]

Il giorno giovedì 25 gennaio 2018 17:17:29 UTC+1, Elio Fabri ha scritto:
> Wakinian Tanka ha scritto:

> > Visto che sei un geometra mancato :-), come si fa a visualizzare
> > ovvero ad interpretare geometricamente @f/@x, @f/@y, @f/@z?

> E' strano che tu me lo chieda: sono sicuro che lo sai.
> Ti ricordi una cosa chiamata "gradiente"?

E chi lo sa :-)
Con una f(x,y) non ho problemi a visualizzare la situazione in toto.

> Ovvero:
> f(x,y,z) = 0
> è una /superficie di livello/ di f, per il valore 0.
> Ora prendi una seconda curva di livello,

"superficie" di livello, ma si capiva.

> per un valore c<>0:
> f(x,y,z) = c.
> Esprimi la distanza tra la due superfici in un punto (x0.y0.z0) della
> prima, al primo ordine in c.

Ci provo ma sono un pò arrugginito.

f(x0,y0,z0) = 0

sia P1 = (x1,y1,z1) un punto sulla superficie f(x,y,z) = c e vicino al punto P0 = (x0,y0,z0) in modo che si possa approssimare:

c = f(x1,y1,z1)-f(x0,y0,z0) ~= grad f(P0).(x1-x0,y1-y0,z1-z0) =

= grad f(P0).(P1-P0).

Posso dire che, per |c|<<1, la distanza tra le due superfici di livello sarà circa la distanza d tra i piani tangenti a tali sup. nei punti P0 e P1?
Se ho fatto bene i conti, tale distanza vale:

d = |grad f(P0).(P1-P0)| / |grad f(P0)|

(in quanto grad f(P0) è normale al piano tangente in P0, come hai fatto vedere dopo)

e quindi è pari a |c|/|grad f(P0)|.

> Che succede se in (x0,y0,z0) le tre derivate parziali si annullano?
> Applica quanto sopra alla f = x^2 + y^2 - z^2.

grad f = 2(x,y,-z), quindi è = 0 solo nell'origine;
comunque la distanza tra le superfici di livello verrebbe infinita nonostante |c| sia piccolo.
Ma allora non può essere P1 vicino a P0 come ho assunto per ipotesi.

> > Se la superficie la parametrizzo
> > fi(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))
> > sono in grado di visualizzare immediatamente i 2 vettori @fi/@u,
> > @fi/@v e quindi capisco cosa significa che siano entrambi non nulli
> > e indipendenti tra loro (vedi definizione che ha scritto ADPUF di
> > "punto regolare" della superficie).

> Molto bene.
> Allora studia la funzione composta
> g = f o fi.
> Sarà identicamente g=0, e derivando questa rispetto a u e v:
> 0 = @f/@x @x/@u + @f/@y @y/@u + @f/@z @z/@u = grad f . @fi/@u
> 0 = @f/@x @x/@v + @f/@y @y/@v + @f/@z @z/@v = grad f . @fi/@v.
> Queste ti dicono che i tuoi due vettori @fi/@u, @fi/@v sono
> ortogonali a grad f.
> Infatti i primi sono tangenti alla superficie; grad f è normale.
> Ossia, grad f ha la direzione del prodotto vettore.
> Se i due vettori tangenti non sono indipendenti, la direzione di
> grad f è indeterminata, il che è possibile solo se è nullo.

La situazione l'avevamo studiata in dettaglio ad Analisi 2 per funzioni di due variabili: z = f(x,y). In quel caso si visualizzano bene le varie /curve/ di livello perché si può visualizzare la funzione in una intera regione. Si visualizza anche bene il fatto che grad f è normale alla curva di livello: poiché la derivata direzionale lungo la direzione di un versore v è grad f.v e poiché su una curva di livello, per definizione la f non varia ovvero la derivata lungo v è nulla, grad f deve essere normale a v.

Ciao e grazie, le cose che hai scritto non le avevo mai studiate.

--
Wakinian Tanka

[asetof...@gmail.com]

Il vertice ê una cosa il centro di massa é un'altra...
Se stiamo parlando di vertice, avendo equazione del cono...io prenderei un fascio (il + semplice possibili) di piani paralleli... Il verice del cono é dato dall'intersezione dell'unico piano nel fascio col il cono che ha soluzione reale in un punto soltanto

[Wakinian Tanka]

Il giorno sabato 27 gennaio 2018 11:16:16 UTC+1, asetof...@gmail.com ha scritto:
> ...
> Se stiamo parlando di vertice, avendo equazione del cono...io prenderei un
> fascio (il + semplice possibili) di piani paralleli... Il verice del cono é
> dato dall'intersezione dell'unico piano nel fascio col il cono che ha
> soluzione reale in un punto soltanto

Facile a dirsi ma meno facile a farsi.
Prova ad applicare questo procedimento al cono:

x^4 + y^4 + 2x^2y^2 - zx^3 + 3xzy^2 - x^3 - 4y^3 - 4yx^2 - 6xyx + 3xy^2 + 2x^2 + 6y^2 + 3xz - 6xy + 3x - 4y + 1 = 0

:-)

--
Wakinian Tanka

[Wakinian Tanka]

Il giorno sabato 27 gennaio 2018 21:26:58 UTC+1, Wakinian Tanka ha scritto:

>
> Facile a dirsi ma meno facile a farsi.
> Prova ad applicare questo procedimento al cono:
> x^4 + y^4 + 2x^2y^2 - zx^3 + 3xzy^2 - x^3 - 4y^3 - 4yx^2 - 6xyx + 3xy^2 +
> 2x^2 + 6y^2 + 3xz - 6xy + 3x - 4y + 1 = 0

Qualcuno sa provare in qualche modo che è proprio un cono (in senso generalizzato)?

--
Wakinian Tanka

[marcofuics]

#######

E come fa a "dartelo"?

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Prima o poi
Non mi ricordo :) ma alla fine te lo dà