Somma degli angoli interni di un poligono concavo

[saturni....@gmail.com]

Salve,

la somma degli angoli interni di un poligono convesso è n*180 - 360
in cui n è il numero dei lati del poligono.

Se il poligono è concavo la formula sopra scritta continua ad essere valida?

Grazie,
André

[lefthand]

Il Sun, 29 Jun 2014 09:16:44 -0700, saturni.andrea90 ha scritto:

> Salve,
>
> la somma degli angoli interni di un poligono convesso è n*180 - 360 in
> cui n è il numero dei lati del poligono.

Sono gradi sessagesimali, DEVI metterci il tondino °.

> Se il poligono è concavo la formula sopra scritta continua ad essere
> valida?

Perché no?

[El Filibustero]

On Sun, 29 Jun 2014 09:16:44 -0700 (PDT), saturni....@gmail.com
wrote:

>la somma degli angoli interni di un poligono convesso � n*180 - 360
>in cui n � il numero dei lati del poligono.
>
>Se il poligono � concavo la formula sopra scritta continua ad essere valida?

Certo, purche' il poligono sia semplicemente connesso, cioe' che non
abbia buchi (omeomorfo a un cerchio). Infatti ogni n-agono
semplicemente connesso si puo' suddividere in n-2 triangoli. Ciao

[saturni....@gmail.com]

> Certo, purche' il poligono sia semplicemente connesso, cioe' che non
>
> abbia buchi (omeomorfo a un cerchio). Infatti ogni n-agono
>
> semplicemente connesso si puo' suddividere in n-2 triangoli. Ciao

Non mi convince la tua risposta. Gli omeomorfismi non sono conformità, in generale. Comunque credo che la proprietà sia ancora verificata.

[Giorgio Bibbiani]

saturni....@gmail.com wrote:
>> Certo, purche' il poligono sia semplicemente connesso, cioe' che non
>>
>> abbia buchi (omeomorfo a un cerchio). Infatti ogni n-agono
>>
>> semplicemente connesso si puo' suddividere in n-2 triangoli. Ciao
>
> Non mi convince la tua risposta. Gli omeomorfismi non sono
> conformità, in generale.

Non c'entra che siano conformità, quello di El Filibustero era
solo un esempio per caratterizzare la richiesta di semplice
connessione del poligono.

> Comunque credo che la proprietà sia ancora
> verificata.

Quale proprietà? Comunque il ragionamento di cui sopra
è corretto.

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[giulia...@gmail.com]

Chi mi può aiutare a risolvere un esercizio che chiede proprio questo quesito? Grazie

[JTS]

On Tuesday, June 4, 2019 at 2:34:31 PM UTC+2, giulia...@gmail.com wrote:
> Chi mi può aiutare a risolvere un esercizio che chiede proprio questo quesito? Grazie

Scusa per la risposta un po' impertinente, ma se l'esercizio chiede proprio questo, allora la risposta e' proprio quella :-) Intendo la risposta data da El Filibustero (forse ti interessa sapere come scomporre il poligono in triangoli?).

[El Filibustero]

On Tue, 4 Jun 2019 05:44:51 -0700 (PDT), JTS wrote:

>> Chi mi puņ aiutare a risolvere un esercizio che chiede proprio questo quesito? Grazie

>
>Scusa per la risposta un po' impertinente, ma se l'esercizio chiede proprio questo,
>allora la risposta e' proprio quella :-) Intendo la risposta data da El Filibustero

che per ora non ha dato nessuna risposta.

>(forse ti interessa sapere come scomporre il poligono in triangoli?).

Appunto. Hint per l'OP: dimostrare per induzione che ogni n+2-agono,
(concavo o convesso importasega) e' unione di n triangoli. Ciao

[JTS]

On Tuesday, June 4, 2019 at 2:58:29 PM UTC+2, El Filibustero wrote:
> On Tue, 4 Jun 2019 05:44:51 -0700 (PDT), JTS wrote:
>
> >> Chi mi puņ aiutare a risolvere un esercizio che chiede proprio questo quesito? Grazie
> >
> >Scusa per la risposta un po' impertinente, ma se l'esercizio chiede proprio questo,
> >allora la risposta e' proprio quella :-) Intendo la risposta data da El Filibustero
>
> che per ora non ha dato nessuna risposta.

Intendo quella del 2014 (da completare), che do per scontato che l'OP del 2019 abbia visto.

[Bruno Campanini]

on 04-06-19, JTS supposed :

> On Tuesday, June 4, 2019 at 2:34:31 PM UTC+2, giulia...@gmail.com wrote:
>> Chi mi può aiutare a risolvere un esercizio che chiede proprio questo
>> quesito? Grazie
>

> [...]

> (forse ti interessa sapere come scomporre il poligono in
> triangoli?).

Se così fosse, quale sarebbe il tuo suggerimento?

Bruno

[Giorgio Pastore]

Il 04/06/19 15:11, JTS ha scritto:
....

> Intendo quella del 2014 (da completare), che do per scontato che l'OP del 2019 abbia visto.
>

Dai per scontate cose che non lo sono. Ogni news server ha la sua
politica sul tempo di disponibilità di vecchi post. E non
necessariamente uno sa come/dove cercare vecchi post.

[JTS]

Per l'OP: spoiler parziale (la soluzione non e' completa, pero' se vuoi fare tutto da solo/a non leggere).




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Partendo dall'idea di ElF di usare l'induzione (mi sembra che sia necessario mettere a posto alcuni dettagli).
Aggiungere un lato vuol dire spezzarne uno in due. Lo si puo' spezzare facendo passare i nuovi lati dentro o fuori. Il caso "fuori" lo diamo per buono. Nel caso "dentro" devo capire cosa fare se i nuovi lati intersecano uno dei lati della vecchia suddivisone in triangoli. Se mi viene in mente posto.

[JTS]

Ragionevole, visto che l'OP non da' segno di avere visto la risposta; pero' e' curioso che il server tenga il post con la domanda e non tenga i follow-up, che sono meno vecchi.

[JTS]

Comunque per l'OP mi riferisco a questo post con il suggerimento di suddividere il poligono in triangoli:

https://groups.google.com/d/msg/it.scienza.matematica/737RHmyOVTw/1LoOWGYkRsgJ

[El Filibustero]

On Tue, 4 Jun 2019 10:03:15 -0700 (PDT), JTS wrote:

>Partendo dall'idea di ElF di usare l'induzione
>(mi sembra che sia necessario mettere a posto alcuni dettagli).

Effettivamente, per usare l'induzione occorrerebbe provare
collateralmente un fatto piu' forte dello stretto necessario ai fini
della dimostrazione: questo fatto e' che ogni poligono semplicemente
connesso ha (almeno) una diagonale completamente interna. Non e'
difficile da provare, ma si potrebbe bypassare come sotto...

>Aggiungere un lato vuol dire spezzarne uno in due.

Esatto: due vertici dell'n-agono cessano di essere consecutivi perche'
viene aggiunto un n+1-esimo punto P fra essi. Ma se l'n-agono e'
semplicemente connesso, P puo' essere solo o dentro o fuori. Nel primo
caso si aggiunge un triangolo e siamo a posto. Nel secondo si toglie
un triangolo e cosi' facendo si diminuiscono due angoli del vecchio
n-agono, ma in compenso si aggiunge un angolo concavo che supera
esattamente di un angolo piatto la somma dei due angoli persi. Ciao

[JTS]

Am 04.06.2019 um 20:07 schrieb El Filibustero:
> On Tue, 4 Jun 2019 10:03:15 -0700 (PDT), JTS wrote:
>
>> Partendo dall'idea di ElF di usare l'induzione
>> (mi sembra che sia necessario mettere a posto alcuni dettagli).
>
> Effettivamente, per usare l'induzione occorrerebbe provare
> collateralmente un fatto piu' forte dello stretto necessario ai fini
> della dimostrazione: questo fatto e' che ogni poligono semplicemente
> connesso ha (almeno) una diagonale completamente interna.

Perche' puoi utilizzare questo per dividere il poligono in due poligoni
piu' piccoli a cui applichi l'ipotesi induttiva; cioe' il contrario di
quello che stavo cercando di fare io. La dimostrazione dell'esistenza
della diagonale necessaria per il momento non la vedo, pero' ci penso :-)

[Teomondo Scrofolo]

Il Tue, 04 Jun 2019 05:34:29 -0700, giuliagambi95 ha scritto:

> Chi mi può aiutare a risolvere un esercizio che chiede proprio questo
> quesito? Grazie

La somma degli angoli interni di un poligono concavo *NON* *INTRECCIATO*
è la stessa del poligono convesso, cioè tanti angoli piatti quanti sono
i vertici meno due, ossia:

\sum \alpha_i = 180° (n-2)

mentre la somma degli angoli esterni è sempre due un angolo giro, 360°
pur di considerare negativo l'angolo esterno di un angolo concavo.

La dimostrazione è, come già ricordato, uguale a quella riportata sui
testi di geometria razionale per poligoni convessi pur di dimostrare
preliminarmente, anche questo già ricordato, che ogni poligono concavo
*non* *intrecciato* ha almeno una diagonale interna al poligono.



Per le poligonali generiche, intrecciate o meno, si dimostra che la somma
degli angoli (esterni) orientati formati dal prolungamento di un lato con
il lato consecutivo è uguale al numero di avvolgimenti della poligonale
per un angolo giro; ossia:

\sum \beta_i = a · 360°

La dimostrazione è immediata, basta considerare i lati della poligonale
come vettori, notare che la poligonale si chiude solo se la somma
vettoriale dei suoi lati è nulla e ricordare che questo implica che la
somma degli angoli come è stata definita è un multiplo di un angolo giro.

Il teorema segue notando che tale multiplo è proprio il numero di giri
che la poligonale compie attorno al vertice iniziale che, per
definizione, è il numero di avvolgimenti.


Questo per i poligoni non intrecciati, concavi o convessi che siano
equivale ad affermare che la somma degli angoli esterni orientati è
pari a un angolo giro, 360° e come corollario segue la formula

\sum \alpha_i = 180°·(n-2)

Doe però, si noti bene, si è fatta la convenzione di considerare positivi
per gli angoli esterni agli angoli convessi del poligono dove prolunga_
menti dei lati sono esterni al poligono, e negativi gli angoli esterni
agli angoli concavi dove i prolungamenti dei lati sono interni al
poligono.



Per i poligoni intrecciati la questione è rognosa e controintuitiva;
esistono definizioni alternative di area, di esterno, di interno ed è
ambiguo parlare di angoli interni ed esterni.

Però se si fanno opportune convenzioni, non ambigue e coerenti con i
teoremi qui enunciati, si ricava:

\sum \alpha = 180°·n - 360°·a

[giulia...@gmail.com]

Vorrei mandarvi la foto dell esercizio. Però non so come inserire la foto qui. La mia mail è giulia...@gmail.com

[JTS]

Am 06.06.2019 um 11:13 schrieb giulia...@gmail.com:
> Vorrei mandarvi la foto dell esercizio. Però non so come inserire la foto qui. La mia mail è giulia...@gmail.com
>

Qui non e' possibile (i server che distribuiscono i messaggi non la
accettano) ma puoi postarla su un sito Internet a tua scelta e poi dare
qui un link.

[giulia...@gmail.com]

https://www.youmath.it/formulari/formulari-di-geometria-piana/420-poligoni-convessi-poligoni-concavi-poligoni-semplici-e-complessi.html

Del poligono concavo (a forma di corona). Trovare una strategia per calcolare la somma degli angoli interni (attraverso la scomposizione in triangoli).

Grazie

[JTS]

Ho l'impressione che esistano delle strategie migliori, ma quella che ti scrivo qui dovrebbe funzionare.

Si basa sul fatto che ogni poligono non intrecciato ha una diagonale completamente contenuta al suo interno. Allora bisogna prima trovare una tale diagonale (provandole tutte); una volta tracciata, si hanno due poligoni. Siccome ho supposto che la diagonale sia completamente contenuta all'interno del poligono iniziale, vuol dire che non interseca nessuno dei lati. Di conseguenza i due poligoni che trovo sono non intrecciati e posso applicare lo stesso ragionamento a ciascuno di essi. Proseguo finche' ho diviso in triangoli.

Forse ci sono dei dettagli da mettere a posto (ma puo' darsi che sia gia' a posto, solo non mi sento sicuro) ma credo che funzioni.

[Bruno Campanini]

It happens that giulia...@gmail.com formulated :

Senza scomporre alcunché:
Somma degli angoli interni di un poligono qualunque:
90 * (NumeroConvessità - 1) + 270 * NumeroConcavità.

Bruno

[Bruno Campanini]

Bruno Campanini brought next idea :

Rectius... "con riferimento alla figura proposta dall'OP..."

Bruno

[JTS]

Non mi e' chiaro. Se la somma degli angoli interni dipende dal numero
delle concavita', allora non dipende solo dal numero dei lati. Per
poligoni senza incroci mi pare che invece dipenda solo dal numero dei lati.

[Bruno Campanini]

JTS formulated on Thursday :

Ho precisato "con riferimento alla figura proposta dall'OP...",
a quella figura che definisce "a forma di corona".

Bruno