Paradosso di Banam Tarski
RanMa iRS
insiemi di Borel)?
Grazie
Daniele Rossi
Daniele
RanMa iRS
Daniele Rossi ha scritto nel messaggio <6u08d8$9l7$1...@nslave1.tin.it>...
>forse intendi dire Banach-Tarski...
Opsh! Sui miei appunti avevo Banam, comunque penso che sia Banach!
Giovanni
wrote:
>Qualcuno sa illustrarmi il paradosso di Banam Tarski (con riferimento agli
>insiemi di Borel)?
>Grazie
>
>
>
Stai parlando del "Paradosso di Banach-Tarski".
E' qualcosa di veramente sorprendente.
In un mio libro di matematica lo paragona al miracolo della
moltiplicazione dei pani e dei pesci !!!
Esso dice che si puo' dividere una sfera in un numero finito di parti
e ricomporle a formare una sfera grande il doppio della
sfera iniziale !
Un vecchio articolo della rivista "Le Scienze" rende pienamente l'idea
di quanto sia "sconvolgente" il teorema:
parla di un tizio che e' riuscito finalmente ad applicare in pratica,
dopo faticosi tentativi infruttuosi, una tecnica per ritagliare una
sfera d'oro puro e ricomporla a formare una sfera grande il doppio.
E' un metodo per ottenere nuovo oro all'infinito dal nulla !
Troppo bello per essere vero ?
In effetti ...
Piu' seriamente.
Il paradosso era stato costruito da alcuni matematici (forse proprio
da Banach e/o Tarski (ma le attribuzioni di nomi non sono mai
rigorose)) con l'intento di dimostrare la non validita' del cosidetto
ASSIOMA DI SCELTA.
Che cos'e' ? E' presto detto.
E' un principio della teoria degli insiemi, afferma che dato un
qualunque insieme di insiemi, esiste sempre anche un altro insieme che
ha per elementi un elemento "scelto" da ognuno degli insiemi contenuti
nell'insieme iniziale.
E' un principio che vale senz'altro per gli insiemi finiti. Ma per gli
insiemi infiniti ?
Si tratta di ammettere la possibilita' di effettuare infinite scelte,
il che non e' altrettanto ovvio da farsi come nel caso finito.
Ebbene, il teorema di Banach-Tarski non si puo' dimostrare senza usare
l'assioma di scelta.
Chi ha inventato il paradosso voleva proprio mostrare a quali
conclusioni paradossali si giunge ammettendo l'assioma di scelta.
Ma a parte questo.
A ben vedere il modo di tagliare la sfera non rispetta alcune
condizioni minime di un normale taglio.
Basti dire che, operato il taglio, le varie parti NON HANNO BORDI !
In qualche modo, pur rimanendo perfettamente distinte, le varie parti
si compenetrano l'una l'altra in maniera intricatissima.
Qualcuno ha detto che i frattali in confronto sono uno scherzo !
In effetti piu' che con vere e proprie forme geometriche solide, il
teorema a che fare con INSIEMI DI PUNTI.
Il mio personale modo di vedere il paradosso, piuttosto che una
dimostrazione della problematicita' dell'assioma di scelta, e' di
considerarlo una dimostrazione dell'erroneita' di pensare le figure
geometriche come costituite solo da punti.
Cito alcuni passi presi da: "Dalla matematica alla filosofia - Hao
Wang p.97" della serie di Logica Matematica della Boringhieri.
"La retta [come] insieme dei punti che giacciono su di essa
(chiamiamolo concetto insiemistico)
[...]
"Secondo [l'altro concetto] intuitivo, sommando tutti i punti non si
ottiene ancora una retta, ma piuttosto i punti formano una specie di
impalcatura sulla retta."
[...]
"Quando usiamo il concetto insiemistico e cerchiamo di assegnare una
lunghezza a un qualunque insieme di punti arbitrario sulla retta,
perdiamo il contatto con il concetto intuitivo."
[...]
"Questo risolve anche il paradosso che da un punto di vista
insiemistico si puo' scomporre un globo in un numero finito di parti e
ricomporlo in modo da formare, senza sovrapposizioni, un globo piu'
piccolo [qui si opera un altra trasformazione della sfera iniziale, ma
la sostanza e' esattamente la stessa]. Alla luce di cio' che si e'
detto, questo significa soltanto che si puo' spezzare in varie parti
l'impalcatura formata dai punti e poi spostare insieme queste parti in
modo da fare stare tutte in uno spazio minore senza che si
sovvrapongano.
E' un risultato che vale soltanto per il concetto insiemistico."
L'ultima citazione sottintende il paradosso di Banach-Tarski.
Qui si passa da una sfera iniziale ad una piu' piccola.
Si puo' anche passare da una sfera a due altre sfere identiche alla
prima.
Sono in realta' tutte conseguenze dello stesso teorema.
Per quanto riguarda gli "Insiemi di Borel" credo che abbiano a che
vedere anch'essi con l'argomento, ma purtroppo non li conosco.
Ciao
Giovanni
Daniele A. Gewurz
> A ben vedere il modo di tagliare la sfera non rispetta alcune
> condizioni minime di un normale taglio.
> Basti dire che, operato il taglio, le varie parti NON HANNO BORDI !
> In qualche modo, pur rimanendo perfettamente distinte, le varie parti
> si compenetrano l'una l'altra in maniera intricatissima.
> Qualcuno ha detto che i frattali in confronto sono uno scherzo !
Si` sono uno scherzo, perche' i frattali sono degli insiemi misurabili,
mentre perche' il paradosso di Banach-Tarski funzioni, le parti in cui
"tagliamo" la sfera non sono insiemi misurabili (non fosse altro perche'
ogni misura decente e` invariante per traslazioni e additiva su unioni
finite).
Che poi le parti non abbiano "bordi" e` discutibile. Ogni sottoinsieme
di R^3 ha un bordo (o frontiera) nella topologia usuale, o in qualsiasi
altra topologia ci si metta sopra. E se, come accenni poi, non stiamo
considerando il tutto da un punto di vista topologico, allora non ha
proprio senso parlare di bordi.
> In effetti piu' che con vere e proprie forme geometriche solide, il
> teorema a che fare con INSIEMI DI PUNTI.
> Il mio personale modo di vedere il paradosso, piuttosto che una
> dimostrazione della problematicita' dell'assioma di scelta, e' di
> considerarlo una dimostrazione dell'erroneita' di pensare le figure
> geometriche come costituite solo da punti.
Perche' sarebbe erroneo questo punto di vista? Come sempre, dipende
dalle definizioni: se parli di uno spazio topologico, o metrico, o
vettoriale o altro, hai degli insiemi (di "punti"), piu` qualcos'altro:
una topologia, una distanza, delle operazioni, quello che ti pare. Ma che
ci puo` essere mai di "erroneo" nel considerare delle proprieta` puramente
insiemistiche?
Comunque hai ragione nel senso che il paradosso e` importante perche'
mostra come si debba diffidare dell'intuizione quando si lavora in ambiti
come la teoria degli insiemi in cui e` facile dare per scontati fatti che
invece non sono affatti ovvi, e magari sono addirittura falsi.
In piu`, permettimi di ricordare che non e` solo una curiosita`
matematica, bensi` (col senno di poi e di cio` che si e` fatto
successivamente) un caso particolare della teoria delle "decomposizioni
paradossali" che generalizzano il caso di B.-T. (sottoinsiemi di R^3
sottoposti all'azione del gruppo delle simmetrie di R^3) ad altri spazi,
su cui agiscono altri gruppi (ad esempio, gruppi liberi che agiscono su
alberi).
Ciao,
Daniele
Maurizio Vianello
>On Thu, 17 Sep 1998 13:08:09 +0200, "RanMa iRS" <ranm...@usa.net>
>wrote:
>
>>Qualcuno sa illustrarmi il paradosso di Banam Tarski (con riferimento agli
>>insiemi di Borel)?
>>Grazie
Per gli interessati segnalo che esiste un libro interamente dedicato a
questo "fenomeno":
The Banach Tarski Paradox
by Stan Wagon
Cambridge University Press
ISBN 0521457041
E' del 1993 (credo) e quindi ancora reperibile, anche se costoso.
Comunque le biblioteche universitarie dovrebbero averlo (quelle di
matematica, voglio dire).
Saluti.
-------------------------------
Maurizio Vianello
Dipartimento di Matematica
Politecnico di Milano
Piazza Leonardo da Vinci 32
20133 Milano, Italy
E-mail: mau...@mate.polimi.it
fax: (39) 2 23994568
Giovanni
<gew...@mat.uniroma1.it> wrote:
>On Tue, 22 Sep 1998, Giovanni wrote:
>
>> A ben vedere il modo di tagliare la sfera non rispetta alcune
>> condizioni minime di un normale taglio.
>> Basti dire che, operato il taglio, le varie parti NON HANNO BORDI !
>> In qualche modo, pur rimanendo perfettamente distinte, le varie parti
>> si compenetrano l'una l'altra in maniera intricatissima.
>> Qualcuno ha detto che i frattali in confronto sono uno scherzo !
>
> Si` sono uno scherzo, perche' i frattali sono degli insiemi misurabili,
>mentre perche' il paradosso di Banach-Tarski funzioni, le parti in cui
>"tagliamo" la sfera non sono insiemi misurabili (non fosse altro perche'
>ogni misura decente e` invariante per traslazioni e additiva su unioni
>finite).
> Che poi le parti non abbiano "bordi" e` discutibile. Ogni sottoinsieme
>di R^3 ha un bordo (o frontiera) nella topologia usuale, o in qualsiasi
>altra topologia ci si metta sopra. E se, come accenni poi, non stiamo
>considerando il tutto da un punto di vista topologico, allora non ha
>proprio senso parlare di bordi.
Purtroppo non saprei dartene una definizione formale.
Cerco di spiegarmi in termini intuitivi, sperando di essere compreso.
Da quanto ho capito dalla lettura di una dimostrazione del teorema e
da certe simulazioni che ho fatto al computer:
i punti di una parte ritagliata sono "mischiati" con i punti di un
altra. E' come una compenetrazione reciproca di due "nuvole di punti".
Immagina due nuvole di gas, diciamo di gas inerti (per evitare la
complicazione di eventuali reazioni chimiche), p.e. elio e neon, che
si mischiano.
Ora, in ogni punto dove c'e' un atomo di elio non ci sara' anche un
atomo di neon (e viceversa), quindi posso sempre in ogni momento
immaginare la sola nube di elio o la sola nube di neon, che in qualche
modo continuano a conservare la propria identita'.
Similmente mi sono fatto l'idea che nel teorema di Banach-Tarski si
traslino (quindi i punti continuano a mantere le distanze reciproche)
delle "nubi" di punti, e si vadano a collocare "frammezzo" ad altre
nubi di punti, con l'unica limitazione che due punti non vadano mai a
sovrapporsi.
A proposito di bordo.
Penso al bordo, come ad una superficie curva chiusa continua che
racchiude qualcosa, e che dentro a tale superficie non ci puo' stare
qualcos'altro. In sostanza e' l'idea che ci si fa pensando al bordo di
un oggetto solido consueto.
Su un sito web in inglese ho trovato qualcosa:
si dice che le parti non hanno un vero e proprio confine ("they do not
have reasonable boundaries") ed e' come se ciascun pezzo avesse per
confine l'intera sfera ("it is likely that each piece's
topological-boundary is the entire ball.").
Che e' appunto l'idea che mi ero fatto io.
Se non ti chiedo troppo: in termini intuitivi: dove passa tale
superficie nel caso di un insieme finito di punti ?
>
>> In effetti piu' che con vere e proprie forme geometriche solide, il
>> teorema a che fare con INSIEMI DI PUNTI.
>> Il mio personale modo di vedere il paradosso, piuttosto che una
>> dimostrazione della problematicita' dell'assioma di scelta, e' di
>> considerarlo una dimostrazione dell'erroneita' di pensare le figure
>> geometriche come costituite solo da punti.
>
> Perche' sarebbe erroneo questo punto di vista? Come sempre, dipende
>dalle definizioni: se parli di uno spazio topologico, o metrico, o
>vettoriale o altro, hai degli insiemi (di "punti"), piu` qualcos'altro:
>una topologia, una distanza, delle operazioni, quello che ti pare.
Uno spazio che come proprieta' si avvicini il piu' possibile a quello
geometrico consueto.
Ma vorrei puntualizzare la tua espressione " degli insiemi di punti
piu' qualcos'altro".
Faccio un esempio.
Consideriamo un segmento A, ed uno B lungo il doppio di A.
Da un punto di vista insiemistico (cantoriano) sia A che B sono
costituiti da punti e il "numero" di questi punti e' lo stesso (hanno
la stessa cardinalita').
Ma allora, se un segmento altro non e' che l'insieme dei suoi punti,
dove salta fuori la differente lunghezza ?
Se ho due file di palline, ed una e' piu' lunga dell'altra, posso
tranquillamente attribuire la differenza di lunghezza delle file al
diverso numero di palline: ma cio' nel caso dei punti di un segmento
non e' piu' possibile farlo.
La differenza dei due casi e' che per la fila di palline ogni pallina
ha in se' la proprieta' della lunghezza, mentre nella fila di punti i
singoli punti non hanno la proprieta' della lunghezza:
sommando dei punti adimensionali non si puo' mai ottenere una
lunghezza.
Un altro esempio.
Io posso simulare su computer che cosa accade ad un automobile che si
scontra con un muro: creo un modello astratto dell'automobile cercando
di simulare il piu' possibile tutte le proprieta' dell'auto reale.
Se facendo scontrare l'auto reale ottengo un risultato
significativamente diverso do' ovviamente colpa al modello che non e'
sufficientemente rappresentativo.
Cosi', a mio modesto parere (supportato anche dalle citazioni che
riportai l'altra volta) il modello insiemistico delle figure
geometriche in alcune circostanze fallisce.
>Ma che ci puo` essere mai di "erroneo" nel considerare delle proprieta` puramente
>insiemistiche?
v. sopra
> Comunque hai ragione nel senso che il paradosso e` importante perche'
>mostra come si debba diffidare dell'intuizione quando si lavora in ambiti
>come la teoria degli insiemi in cui e` facile dare per scontati fatti che
>invece non sono affatti ovvi, e magari sono addirittura falsi.
Si', ma e' anche vero che se con un modello matematico vogliamo
formalizzare una rappresentazione intuitiva ed esso mi da' risultati
completamente discordanti allora non e' valido.
P.e. se voglio assiomatizzare l'aritmetica e poi dai teoremi mi vien
fuori che 2+2=5 disconfermando l'intuizione che 2+2=4, la colpa non e'
dell'intuizione !
> In piu`, permettimi di ricordare che non e` solo una curiosita`
>matematica, bensi` (col senno di poi e di cio` che si e` fatto
>successivamente) un caso particolare della teoria delle "decomposizioni
>paradossali" che generalizzano il caso di B.-T. (sottoinsiemi di R^3
>sottoposti all'azione del gruppo delle simmetrie di R^3) ad altri spazi,
>su cui agiscono altri gruppi (ad esempio, gruppi liberi che agiscono su
>alberi).
>
>Ciao,
> Daniele
>
Ciao
Giovanni
Enrico Cavalli
> A proposito di bordo.
> Penso al bordo, come ad una superficie curva chiusa continua che
> racchiude qualcosa, e che dentro a tale superficie non ci puo' stare
> Se non ti chiedo troppo: in termini intuitivi: dove passa tale
> superficie nel caso di un insieme finito di punti ?
Bisogna intendersi sul termine bordo. Partendo dal presupposto di conoscere
un po` di topologia, il bordo di un insieme A non e` altro che la sua chiusura
meno il suo interno.
Nel caso di un insieme finito di punti, il bordo e`...l'insieme stesso
(topologia usuale ovviamente).
> Consideriamo un segmento A, ed uno B lungo il doppio di A.
[snip]
> sommando dei punti adimensionali non si puo' mai ottenere una
> lunghezza.
Qui entra in gioco il concetto di misura. E` vero che un punto ha
lunghezza (misura) zero. E` pur vero che un numero finito di punti avra`
ancora lunghezza zero. Infine e` vero che una quantita` numerabile di
punti avra` misura zero. Un segmento e` costituito da una quantita`
non numerabile di punti. E` li` l'inghippo.
>> Comunque hai ragione nel senso che il paradosso e` importante perche'
>>mostra come si debba diffidare dell'intuizione quando si lavora in ambiti
>>come la teoria degli insiemi in cui e` facile dare per scontati fatti che
>>invece non sono affatti ovvi, e magari sono addirittura falsi.
> Si', ma e' anche vero che se con un modello matematico vogliamo
> formalizzare una rappresentazione intuitiva ed esso mi da' risultati
> completamente discordanti allora non e' valido.
Forse il termine "paradosso" e` inapproppriato per il paradosso appunto
di B-T. Non l'ho mai studiato pero` presumo che l'unica cosa paradossale
sia pensare di riuscire a tagliuzzare in concreto la sfera in questione
come prescritto dal teorema. Se ci sono di mezzo insiemi non misurabili
sfido chiunque a riuscirci!
--
Enrico Cavalli | There are three types of mathematicians:
enrico.cavalli(at)mi.nettuno.it | those who can count, and those who can't.
LordBeotian
Giovanni ha scritto
>Esso dice che si puo' dividere una sfera in un numero finito di parti
>e ricomporle a formare una sfera grande il doppio della
>sfera iniziale !
Vorrei capire meglio il senso di "dividere":
Ipotesi mia: sono definite N traslazioni (N č il numero di parti in cui
dividiamo) che, se applicate ciascuna su un sottinsieme della sfera, mi
danno tutti e soli i punti di una sfera di raggio doppio. E' cosě?
Esiste una versione semplificata del teorema che parli di segmenti anzichč
di sfere?
Dal teorema dovremmo dedurre che l' unione di insiemi non misurabili
opportunamente traslati, fatta in modo che non ci siano sovrapposizioni, puň
dare origine a piů insiemi misurabili di misure differenti?
Saluti!! =)
MarcoDiscens
Maurizio Codogno
% Esiste una versione semplificata del teorema che parli di segmenti anzichč
% di sfere?
mi pare che occorra essere almeno in R3. Alla peggio puoi usare un cubo.
% Dal teorema dovremmo dedurre che l' unione di insiemi non misurabili
% opportunamente traslati, fatta in modo che non ci siano sovrapposizioni, puň
% dare origine a piů insiemi misurabili di misure differenti?
si`.
Eratostene
> Giovanni ha scritto
> >Esso dice che si puo' dividere una sfera in un numero finito di parti
> >e ricomporle a formare una sfera grande il doppio della
> >sfera iniziale !
>
> Esiste una versione semplificata del teorema che parli di segmenti anzichč
> di sfere?
>
Un'altro esempio abbastanza paradossale riguardante i segmenti e' l'esempio di
Vitali di insieme non misurabile (questo esempio dovrebbe dare una vaga idea di
come si possa dimostrare il paradosso di B-T):
Si consideri l'insieme [0,1] di R. Prendiamo la seguente relazione di
equivalenza su [0,1]:
x~y <==> x-y e' razionale
Sia Z una sezione di questa relazione di equivalenza, cioe' Z e' un insieme
formato dalla scelta di un elemento per ogni classe di equivalenza di "~" (qui
si usa l'assioma della scelta!).
Dunque se z e' in Z e q e' razionale z+q e z sono nella stessa classe di
equivalenza e quindi z+q non sta in Z, qualunque sia q razionale. Dunque se p e
q sono due razionali diversi Z+p e Z+q sono due insiemi disgiunti.
Inoltre ogni elemento di [0,1] e' della forma z+q per un certo z in Z e un
certo q in Q (e ovviamente -1<= q <= 1 ). Dunque al variare di q in Q
intersecato [-1,1] abbiamo una quantita' numerabile di insiemi Z+q che sono
tutti isometrici (sono tutte traslazioni di Z), sono disgiunti e la loro unione
contiene l'intero intervallo [0,1]. Il "paradosso" dunque e' questo:
Sia m la misura di Z. Siccome Z+q e' isometrico a Z anche Z+q ha misura m. Ma
la misura di una unione numerabile disgiunta e' uguale alla somma delle misure
(questo direbbe l'intuizione, ma e' vero solo se Z fosse misurabile!!!...) e
quindi la misura di [0,1] che e' 1 dovrebbe essere minore della somma infinita
delle misure degli Z+q che a sua volta dovrebbe essere minore della misura di
[-1,2] che e' 3. Ma la somma infinita di m da o zero (se m=0) o infinito...
Assurdo!
?manu*
Andrea Spallanzani
>Esiste una versione semplificata del teorema che parli di segmenti anzichč
>di sfere?
C'e' il paradosso di Hausdorff che consiste nello "smontare" il
segmento [0,1] e "rimontarlo" in [0,2], ma il numero di parti non e'
finito (come in Banach-Tarski dove si fanno 5 parti) ma infinito
numerabile. Ciao
Daniele A. Gewurz
: A proposito di bordo.
: Penso al bordo, come ad una superficie curva chiusa continua che
: racchiude qualcosa, e che dentro a tale superficie non ci puo' stare
: qualcos'altro. In sostanza e' l'idea che ci si fa pensando al bordo di
: un oggetto solido consueto.
: Su un sito web in inglese ho trovato qualcosa:
: si dice che le parti non hanno un vero e proprio confine ("they do not
: have reasonable boundaries") ed e' come se ciascun pezzo avesse per
: confine l'intera sfera ("it is likely that each piece's
: topological-boundary is the entire ball.").
: Che e' appunto l'idea che mi ero fatto io.
Mi scuso per il fatto che sto seguendo discontinuamente la discussione.
In parte, gia` altri ti hanno risposto.
Il problema forse e` qui. Il concetto di "bordo" (o "frontiera") e`
sempre definito, qualunque sia la topologia, anche se e` molto "brutta".
In genere non sara` un superficie: sara` solo un sottoinsieme (chiuso)
dello spazio in cui ti trovi. Il testo che citi (di cui ignoro la fonte)
probabilmente ha ragione a dire che non hanno "reasonable boundaries", se
per "ragionevole" intendiamo "continuo", liscio, e che non coincida col
bordo di tutto lo spazio che consideriamo.
: Se non ti chiedo troppo: in termini intuitivi: dove passa tale
: superficie nel caso di un insieme finito di punti ?
In molte topologie usuali, e in particolare in quella "standard", ogni
punto costituisce un chiuso e quindi e` la propria stessa frontiera. Lo
stesso per un insieme finito. Quindi non c'e` nessuna superficie in ballo.
: Faccio un esempio.
: Consideriamo un segmento A, ed uno B lungo il doppio di A.
: Da un punto di vista insiemistico (cantoriano) sia A che B sono
: costituiti da punti e il "numero" di questi punti e' lo stesso (hanno
: la stessa cardinalita').
: Ma allora, se un segmento altro non e' che l'insieme dei suoi punti,
: dove salta fuori la differente lunghezza ?
: Se ho due file di palline, ed una e' piu' lunga dell'altra, posso
: tranquillamente attribuire la differenza di lunghezza delle file al
: diverso numero di palline: ma cio' nel caso dei punti di un segmento
: non e' piu' possibile farlo.
: La differenza dei due casi e' che per la fila di palline ogni pallina
: ha in se' la proprieta' della lunghezza, mentre nella fila di punti i
: singoli punti non hanno la proprieta' della lunghezza:
: sommando dei punti adimensionali non si puo' mai ottenere una
: lunghezza.
Non ho capito bene di che cosa tutto questo sia un esempio. Spero
comunque che ti sia chiaro che non c'e` nessuna contraddizione, ad
esempio, tra il fatto che un segmento e una retta sono in biiezione
("hanno lo stesso numero di punti") e il fatto che hanno lunghezza, o
misura, differenti. Stiamo studiando gli stessi oggetti da punti di vista
diversi. E` come dire che due cibi hanno lo stesso colore ma sapori
diversi: ne consideriamo proprieta` diverse.
E se la topologia, o la teoria degli insiemi, o un altro dei punti di
vista possibili, descrivono meglio la tua visione intuitiva di certi enti,
forse vuol dire che hai una maggiore inclinazione per quella branca della
matematica piuttosto che per altre; non, ovviamente, che siano "piu`
giuste".
Fammi insistere che anche molti enti "elementari" sono molto meno
intuitivi di quello che sembra: basta pensare alle relazioni tra razionali
e reali, per esempio. Hanno cardinalita` differenti, ma sono, in un senso
preciso, inestricabilemente mischiati. La chiusura dei razionali nei reali
e` data da tutti i reali, mentre il loro interno e` l'insieme vuoto. E
cosi` via.
: Si', ma e' anche vero che se con un modello matematico vogliamo
: formalizzare una rappresentazione intuitiva ed esso mi da' risultati
: completamente discordanti allora non e' valido.
: P.e. se voglio assiomatizzare l'aritmetica e poi dai teoremi mi vien
: fuori che 2+2=5 disconfermando l'intuizione che 2+2=4, la colpa non e'
: dell'intuizione !
Occhio a non eccedere nella fiducia che accordi all'intuizione. Pensa
solo alle geometrie non euclidee, che per secoli sono state rifiutate in
nome del fatto che "intuitivamente" non potevano andar bene, mentre invece
non solo sono perfettamente coerenti e quindi valide come teorie
matematiche, ma descrivono anche perfettamente ambiti comuni come la
geometria su una sfera...
Ciao,
Daniele
Giovanni
Gewurz) wrote:
>: Faccio un esempio.
>: Consideriamo un segmento A, ed uno B lungo il doppio di A.
>: Da un punto di vista insiemistico (cantoriano) sia A che B sono
>: costituiti da punti e il "numero" di questi punti e' lo stesso (hanno
>: la stessa cardinalita').
>: Ma allora, se un segmento altro non e' che l'insieme dei suoi punti,
>: dove salta fuori la differente lunghezza ?
>: Se ho due file di palline, ed una e' piu' lunga dell'altra, posso
>: tranquillamente attribuire la differenza di lunghezza delle file al
>: diverso numero di palline: ma cio' nel caso dei punti di un segmento
>: non e' piu' possibile farlo.
>: La differenza dei due casi e' che per la fila di palline ogni pallina
>: ha in se' la proprieta' della lunghezza, mentre nella fila di punti i
>: singoli punti non hanno la proprieta' della lunghezza:
>: sommando dei punti adimensionali non si puo' mai ottenere una
>: lunghezza.
>
> Non ho capito bene di che cosa tutto questo sia un esempio.
E' sempre la questione che veniva trattata anche nelle citazioni che
avevo fatto all'inizio: che una figura geometrica (nell'esempio una
linea) non e' esauribile in un insieme di punti.
Il modello insiemistico non conserva tutte le proprieta' geometriche
di una figura.
E quando si manipola un insieme di punti che dovrebbe rappresentare la
figura si ottengono risultati che non sono piu' riconduicibili a
proprieta' della figura di partenza. P.e., nel paradosso di
Banach-Tarski, il raddoppiamento della sfera vale in realta' solo per
il modello insiemistico, ma non corrisponde ad una effettiva
proprieta' geometrica della sfera.
>Spero comunque che ti sia chiaro che non c'e` nessuna contraddizione, ad
>esempio, tra il fatto che un segmento e una retta sono in biiezione
>("hanno lo stesso numero di punti") e il fatto che hanno lunghezza, o
>misura, differenti. Stiamo studiando gli stessi oggetti da punti di vista
>diversi. E` come dire che due cibi hanno lo stesso colore ma sapori
>diversi: ne consideriamo proprieta` diverse.
In realta' si stanno confrontando un segmento NUMERICO ed una retta
NUMERICA. La biezione in realta' non e' tra i "punti" ma tra insiemi
ordinati di numeri: tra l'insieme dei numeri reali (retta reale) e un
suo sottoinsieme (segmento reale). Mentre la lunghezza ha a che fare
con entita' geometriche.
> E se la topologia, o la teoria degli insiemi, o un altro dei punti di
>vista possibili, descrivono meglio la tua visione intuitiva di certi enti,
>forse vuol dire che hai una maggiore inclinazione per quella branca della
>matematica piuttosto che per altre; non, ovviamente, che siano "piu`
>giuste".
Be', io ero convinto di far riferimento semplicemente al punto di
vista della geometria elementare, cioe' il modo di vedere piu' comune.
Da questo punto di vista, per quanto tu possa tagliare complicato un
pezzo di sfera, esso presentera' sempre una superficie UNICA CONTINUA.
P.e., non esiste nessuna nozione geometrica elementare che possa
ammettere come UNICA figura geometrica un insieme finito di punti.
Non so come formalizzare queste intuizioni, ma sono certo che e'
possibilissimo.
Sono anche convinto che quello che chiamo "punto di vista della
geometria elementare" sia anche un modello formale standard.
> Fammi insistere che anche molti enti "elementari" sono molto meno
>intuitivi di quello che sembra: basta pensare alle relazioni tra razionali
>e reali, per esempio. Hanno cardinalita` differenti, ma sono, in un senso
>preciso, inestricabilemente mischiati. La chiusura dei razionali nei reali
>e` data da tutti i reali, mentre il loro interno e` l'insieme vuoto. E
>cosi` via.
>
>: Si', ma e' anche vero che se con un modello matematico vogliamo
>: formalizzare una rappresentazione intuitiva ed esso mi da' risultati
>: completamente discordanti allora non e' valido.
>: P.e. se voglio assiomatizzare l'aritmetica e poi dai teoremi mi vien
>: fuori che 2+2=5 disconfermando l'intuizione che 2+2=4, la colpa non e'
>: dell'intuizione !
>
> Occhio a non eccedere nella fiducia che accordi all'intuizione. Pensa
>solo alle geometrie non euclidee, che per secoli sono state rifiutate in
>nome del fatto che "intuitivamente" non potevano andar bene, mentre invece
>non solo sono perfettamente coerenti e quindi valide come teorie
>matematiche, ma descrivono anche perfettamente ambiti comuni come la
>geometria su una sfera...
>
Che si possa ritagliare (in un senso che credo sia molto ragionevole,
anche se purtroppo non ho il linguaggio formale per dirtelo meglio)
una sfera e poi rimontarla grande il doppio e' evidentemente un
assurdita'.
Sono convinto che la formalizzazione in cui cio' non e' possibile non
e' un mio punto di vista particolare, ma sia molto piu' fondamentale.
Purtroppo non riesco a trovare libri che parlino di questi problemi in
maniera rigorosa che non vengano sempre presentati come pochissime
pagine AFFOGATE dentro a moltissime altre che parlano di tutt'altre
cose.
Ciao
Giovanni
Daniele A. Gewurz
: E quando si manipola un insieme di punti che dovrebbe rappresentare la
: figura si ottengono risultati che non sono piu' riconduicibili a
: proprieta' della figura di partenza. P.e., nel paradosso di
: Banach-Tarski, il raddoppiamento della sfera vale in realta' solo per
: il modello insiemistico, ma non corrisponde ad una effettiva
: proprieta' geometrica della sfera.
Bisogna vedere che cosa intendi per "proprieta` geometriche". A parte
che stiamo parlando di una "palla" (piena) e non di una sfera
(superficie), il paradosso di B.-T. non contraddice nessuna delle altre
proprieta` di una palla. Quali sarebbero le proprieta` che esso smentisce?
Al massimo, ripeto, smentisce la nostra idea intuitiva di certi enti, che
spesso e` sbagliata, magari per motivi semplici come il fatto che le
maestre di scuola non sanno la matematica...
L'idea centrale della geometria moderna, ipersemplificando, consiste
nello studiare le proprieta` che sono invarianti per l'azione di un certo
gruppo (proiettivo per la geom. proiettiva, affine per quella affine,
ortogonale per quella euclidea etc.). E il paradosso di B.-T. ci si
inserisce perfettamente: dice che esiste una partizione della palla in un
numero finito di parti che, opportunamente ruotate e traslate (cioe`
sottoposte all'azione del gruppo ortogonale), danno etc.
: In realta' si stanno confrontando un segmento NUMERICO ed una retta
: NUMERICA. La biezione in realta' non e' tra i "punti" ma tra insiemi
: ordinati di numeri: tra l'insieme dei numeri reali (retta reale) e un
: suo sottoinsieme (segmento reale). Mentre la lunghezza ha a che fare
: con entita' geometriche.
Anche la suddivisione tra "segmento numerico" o "segmento fatto di
punti" e` un po' futile. "Punto" significa elemento di un insieme (o di
uno spazio, che e` semplicemente un insieme con _in piu`_ altre strutture,
che pero` non eliminano le sue proprieta` in quanto insieme. Quindi, se
vuoi, i "numeri (reali)" sono i "punti" di R, o di un suo sottoinsieme, o
di un suo aperto se consideri su R una topologia, etc.
: Be', io ero convinto di far riferimento semplicemente al punto di
: vista della geometria elementare, cioe' il modo di vedere piu' comune.
: Da questo punto di vista, per quanto tu possa tagliare complicato un
: pezzo di sfera, esso presentera' sempre una superficie UNICA CONTINUA.
: P.e., non esiste nessuna nozione geometrica elementare che possa
: ammettere come UNICA figura geometrica un insieme finito di punti.
Come no! Mai sentito parlare di insiemi sconnessi? Mai sentito parlare
di inviluppo di un tale insieme? Etc. etc.
Ho l'impressione che tu abbia un'idea un po' scolastica della
geometria, fatta di triangoli, poligoni regolari, rette che si intersecano
e cosi` via. Sbaglio?
: Che si possa ritagliare (in un senso che credo sia molto ragionevole,
: anche se purtroppo non ho il linguaggio formale per dirtelo meglio)
: una sfera e poi rimontarla grande il doppio e' evidentemente un
: assurdita'.
Questa e` un'asserzione un po' forte. "Assurdo", in matematica, si dice
di asserzioni contraddittorie (come in "ragionamento per assurdo"), non di
cose poco intuitive.
Dacche' lo si e` dimostrato, e` semplicemente una conseguenza di un
certo insieme di assiomi. In particolare, come e` gia` venuto fuori,
dell'assioma della scelta, che in altri ambiti e` perfettamente innocuo e
anzi molto utile.
: Purtroppo non riesco a trovare libri che parlino di questi problemi in
: maniera rigorosa che non vengano sempre presentati come pochissime
: pagine AFFOGATE dentro a moltissime altre che parlano di tutt'altre
: cose.
Se mi dici che cosa intendi esattamente con "questi problemi",
cerchero` di aiutarti a cercare qualche libro adatto. Ma magari le altre
cose che sembrano "affogare" quello che ti interessa, sono a loro volta
utili e le chiarificano, magari da un punto di vista differente.
Se quello che cerchi e` una formalizzazione di tutte e sole le
proprieta` "intuitive" delle figure geometriche, che escluda il paradosso
di B.-T., dovrebbe essere un approccio che rifiuti l'assioma della scelta
(cosa perfettamente lecita, cosi` come si possono costruire geometrie che
prescindono dal quinto postulato di Euclide), che comunque sarebbe un
approccio un po' radicale e richiederebbe un po' di teoria degli insiemi
assiomatica (cioe` quella "seria", da logici, contrapposta a quella piu`
intuitiva, che da' piu` cose per scontata, la cosiddetta "teoria
ingenua").
Ciao,
Daniele
Giovanni
Gewurz) wrote:
>Giovanni (stla...@mbox.vol.it) wrote:
>: E quando si manipola un insieme di punti che dovrebbe rappresentare la
>: figura si ottengono risultati che non sono piu' riconduicibili a
>: proprieta' della figura di partenza. P.e., nel paradosso di
>: Banach-Tarski, il raddoppiamento della sfera vale in realta' solo per
>: il modello insiemistico, ma non corrisponde ad una effettiva
>: proprieta' geometrica della sfera.
>
> Bisogna vedere che cosa intendi per "proprieta` geometriche".
Intendo le proprieta' ricavabili dalle figure geometriche usando il
linguaggio della geometria come primitivo, ossia non TRADOTTO nel
linguaggio insiemistico. Cioe' lo studio delle figure spaziali come
entita' continue, estensioni spaziali continue, non discretizzate in
punti.
I PUNTI in tale geometria indicano solo delle POSIZIONI nelle figure e
non costituiscono affatto delle PARTI delle figure.
Come un segnaposto su un tavolo da ristorante indica una persona ma
non e' la persona stessa.
In tal modo avendo una figura una estensione, anche ogni sua parte ha
necessariamente una estensione.
Solo nel modello insiemistico si considerano parti di una figura come
insiemi di punti sconnessi e privi di estensione (misura).
Una proprieta' geometrica risultante e' che componendo le parti di una
figura, l'estensione totale risultante e' sempre la somma delle
estensioni delle parti.
Ecco che la proprieta' che dice che una sfera e' scomponibile in parti
che si possono ricomporre in una sfera grande il doppio non puo'
essere una proprieta' delle "parti" della sfera correttamente intese,
ma SOLO una proprieta' concernente gli insiemi di punti che si
vorrebbero rappresentare le parti di una sfera.
> A parte che stiamo parlando di una "palla" (piena) e non di una sfera
>(superficie),
Nella geometria elementare per sfera s'intende superficie+contenuto.
Inoltre anche nell'enunciato del teorema di Banach-Tarski del mio
libro (E' un libro della serie di logica matematica della Boringhieri,
a livello universitario) si parla di sfera.
> il paradosso di B.-T. non contraddice nessuna delle altre
>proprieta` di una palla. Quali sarebbero le proprieta` che esso smentisce?
>Al massimo, ripeto, smentisce la nostra idea intuitiva di certi enti, che
>spesso e` sbagliata, magari per motivi semplici come il fatto che le
>maestre di scuola non sanno la matematica...
> L'idea centrale della geometria moderna, ipersemplificando, consiste
>nello studiare le proprieta` che sono invarianti per l'azione di un certo
>gruppo (proiettivo per la geom. proiettiva, affine per quella affine,
>ortogonale per quella euclidea etc.).
Perfettamente daccordo.
Ma vedi allora che a seconda della geometria che consideri
(proiettiva, affine o ortogonale) variano le proprieta' degli stessi
enti geometrici: in una certa geometria una certa proprieta' e'
invariante, mentre in un altra no.
A parte gli invarianti, se consideriamo p.e. una geometria
non-euclidea in essa puo' valere la proprieta' che due rette
s'incontrano sempre, che non vale invece in quella euclidea.
Non ti sto parlando di "geometria da scuola elementare", ma di
"geometria elementare" basata cioe' su "altri assiomi".
Tra l'altro ci sono diverse formalizzazioni del concetto intuitivo di
AREA (come certamente sai): a seconda di quale si sceglie, una stessa
figura ha un area misurabile oppure no.
Ora, il fatto che in quest'ultimo caso il risultato sia no, non
significa che quel concetto di misura e' SBAGLIATO o ingenuo, ma
semplicemente che si basa su una diversa formalizzazione !
>: In realta' si stanno confrontando un segmento NUMERICO ed una retta
>: NUMERICA. La biezione in realta' non e' tra i "punti" ma tra insiemi
>: ordinati di numeri: tra l'insieme dei numeri reali (retta reale) e un
>: suo sottoinsieme (segmento reale). Mentre la lunghezza ha a che fare
>: con entita' geometriche.
>
> Anche la suddivisione tra "segmento numerico" o "segmento fatto di
>punti" e` un po' futile.
Leggo da "La storia della logica" di Mangione:
"Che ... ad ogni numero reale corrisponde un punto determinato la cui
coordinata (ascissa) e' uguale a quel numero ... e' nella sua natura
di non essere in generale dimostrabile ... [ma e' di] natura
assiomatica".
Da "La mente e l'infinito" di Rucker:
"E' ancora problematico se una retta continua sia realmente solo un
insieme di punti dati in modo discreto".
"Il discreto ed il continuo rappresentano aspetti fondamentalmente
diversi dell'universo matematico".
La stessa assegnazione di una cardinalita' al continuo e' controversa.
Godel riteneva che valesse Aleph2 (anziche' Aleph1).
Nell'"analisi non standard" p.e. si ritiene che tra i numeri reali ci
siano altri numeri: i numeri infinitesimi.
In una discussione con un matematico mi e' stato detto che si puo'
coerentemente assegnare al continuo qualunque ordine di cardinalita'
(entro certe limitazioni minime).
Potrei fare altre citazioni. Non si tratta quindi di qualcosa di
futile.
>"Punto" significa elemento di un insieme (o di
>uno spazio, che e` semplicemente un insieme con _in piu`_ altre strutture,
>che pero` non eliminano le sue proprieta` in quanto insieme. Quindi, se
>vuoi, i "numeri (reali)" sono i "punti" di R, o di un suo sottoinsieme, o
>di un suo aperto se consideri su R una topologia, etc.
>
Su questo non c'e' problema.
>: Be', io ero convinto di far riferimento semplicemente al punto di
>: vista della geometria elementare, cioe' il modo di vedere piu' comune.
>: Da questo punto di vista, per quanto tu possa tagliare complicato un
>: pezzo di sfera, esso presentera' sempre una superficie UNICA CONTINUA.
>: P.e., non esiste nessuna nozione geometrica elementare che possa
>: ammettere come UNICA figura geometrica un insieme finito di punti.
>
> Come no! Mai sentito parlare di insiemi sconnessi? Mai sentito parlare
>di inviluppo di un tale insieme? Etc. etc.
> Ho l'impressione che tu abbia un'idea un po' scolastica della
>geometria, fatta di triangoli, poligoni regolari, rette che si intersecano
>e cosi` via. Sbaglio?
>
Ripeto, non si tratta di una visione scolastica.
Faccio solo riferimento ad una particolare geometria. Che poi non e'
cosi' tanto particolare perche' e' quello sottintesa dalla maggioranza
delle persone.
Ma e' anche l'unica che ha valore fisico (tengo anche a precisare che
l'irrealizzabilita' fisica del taglio di Banach-Tarski non e' la
questione fondamentale).
E il fatto che sia solo intuito quello della maggioranza delle
persone, non significa nulla una volta che lo formalizzi !
Cerco di spiegarmi meglio con un esempio.
Supponiamo di avere un cesto con 5 mele e 7 pere.
Io sostengo che se inizio a contare dalle mele e poi proseguo a
contare con le pere alla fine ottengo il numero 12. E dico anche che
uscirei pazzo se cominciando a contare dalle pere e proseguendo con le
mele arrivassi ad un numero diverso da prima (cioe' diverso da 12).
In sostanza dico che in questo caso vale assolutamente la proprieta'
commutativa della somma. In altri termini dico che l'assiomatizzazione
dell'aritmetica che impone la proprieta' commutativa della somma
costituisce il giusto modello aritmetico del cesto di mele e pere.
Ora e' come se tu mi dicessi che il mio modo di fare la somma e'
ingenuo e troppo intuitivo, perche' nella matematica "superiore" una
somma puo' benissimo non essere commutativa, e mi citassi il caso
della somma ordinale transfinita (ci sono ovviamente anche altri
esempi), per cui
"5 + omega" e' diverso (minore) di "omega + 5".
Sarebbe davvero sorprendente che non valesse la proprieta' commutativa
della somma nel caso della frutta: non e' invece per nulla
sorprendente che non sia commutativa la somma ordinale transfinita,
dopo tutto ha a che vedere con entita' del tutto "esotiche" (infiniti)
e ci si puo' aspettare anche delle proprieta' altrettanto esotiche.
Ecco che io sto cercando di dire che sarebbe davvero sorprendente che
valesse per la sfera della geometria elementare la proprieta' di
-equiscomponibilita'- tra una sfera e la sua doppia. Non e' invece
sorprendente che tale proprieta' valga per il "modello insiemistico"
della sfera, dove si ammettono come parti della sfera "strani oggetti"
privi di estensione e di connessione.
>: Che si possa ritagliare (in un senso che credo sia molto ragionevole,
>: anche se purtroppo non ho il linguaggio formale per dirtelo meglio)
>: una sfera e poi rimontarla grande il doppio e' evidentemente un
>: assurdita'.
> Questa e` un'asserzione un po' forte. "Assurdo", in matematica, si dice
>di asserzioni contraddittorie (come in "ragionamento per assurdo"), non di
>cose poco intuitive.
> Dacche' lo si e` dimostrato, e` semplicemente una conseguenza di un
>certo insieme di assiomi. In particolare, come e` gia` venuto fuori,
>dell'assioma della scelta, che in altri ambiti e` perfettamente innocuo e
>anzi molto utile.
>
Se vuoi posso sostituire "assurdo" con "contradditorio": lo posso fare
perche' nella geometria formalizzata che intendo quello che dicevo e'
proprio contradditorio.
>: Purtroppo non riesco a trovare libri che parlino di questi problemi in
>: maniera rigorosa che non vengano sempre presentati come pochissime
>: pagine AFFOGATE dentro a moltissime altre che parlano di tutt'altre
>: cose.
>
> Se mi dici che cosa intendi esattamente con "questi problemi",
>cerchero` di aiutarti a cercare qualche libro adatto. Ma magari le altre
>cose che sembrano "affogare" quello che ti interessa, sono a loro volta
>utili e le chiarificano, magari da un punto di vista differente.
> Se quello che cerchi e` una formalizzazione di tutte e sole le
>proprieta` "intuitive" delle figure geometriche, che escluda il paradosso
>di B.-T., dovrebbe essere un approccio che rifiuti l'assioma della scelta
>(cosa perfettamente lecita, cosi` come si possono costruire geometrie che
>prescindono dal quinto postulato di Euclide), che comunque sarebbe un
>approccio un po' radicale e richiederebbe un po' di teoria degli insiemi
>assiomatica (cioe` quella "seria", da logici, contrapposta a quella piu`
>intuitiva, che da' piu` cose per scontata, la cosiddetta "teoria
>ingenua").
>
>Ciao,
> Daniele
La formalizzazione a cui mi riferisco non implica tanto l'esclusione
dell'assioma della scelta, quanto l'esclusione che un insieme di punti
possa esaurire l'essere di una figura geometrica, e peggio ancora che
una figura geometrica possa essere costituita da punti sparpagliati
(insiemi sconnessi).
Per concludere.
L'impressione che ho colto dalla lettura della dimostrazione del
teorema di Banach-Tarski e' appunto l'abuso del modello insiemistico e
non dell'assioma di scelta.
Dello stesso parere sono altri matematici.
Da Dawdney, dalla famosa rivista "Le scienze":
"... i 'pezzi' [della sfera] non sono affatto semplici ma ANDREBBERO
PIUTTOSTO DESCRITTI COME INSIEMI MATEMATICI"
E, scusa se ripeto la citazione,
da Hao Wang (serie di logica matematica della Boringhieri):
"Questo ... risolve anche il paradosso che DA UN PUNTO DI VISTA
INSIEMISTICO si puo' scomporre un globo in un numero finito di parti e
ricomporlo in modo da formare senza sovrapposizioni un globo piu'
piccolo [si tratta ovviamente di un altra variante del paradosso].
Alla luce di cio' che si e' detto, questo SIGNIFICA SOLTANTO che si
puo' spezzare in varie parti l'IMPALCATURA formata dai punti e poi
spostare insieme queste parti in modo da farle stare tutte in uno
spazio minore senza che si sovrappongano.
E' UN RISULTATO CHE VALE SOLO PER IL CONCETTO INSIEMISTICO."
[Il maiuscolo e' mio].
Ciao
Giovanni
Daniele A. Gewurz
se non rispondo punto per punto a quello che dici nel tuo ultimo, anche
perche' evidentemente abbiamo interessi e punti di vista piuttosto
differenti nei confronti della matematica.
Mi sembra che tu sia un po' troppo drastico quanto parli di "assurdo",
"contraddizione" o "abuso" nei confronti del "nostro" paradosso. Se ci
poniamo in un sistema assiomatico in cui esso e` un teorema, e` falso
definirlo in quel modo; se no, non ha proprio senso parlarne (e` come
parlare di tapiri in analisi funzionale).
Capisco che ti riferisci al fatto che non e` coerente con l'intuizione
comune, ma visto che la matematica non si fa con metodi demoscopici
(questo, pensando alla tua osservazione "Faccio solo riferimento ad una
particolare geometria. Che poi non e' cosi' tanto particolare perche' e'
intuizione e` formalizzata, ci ritroviamo nel caso precedente.
Per finire, visto che per lo piu` fai riferimento a libri divulgativi,
anche se ad ottimo livello, forse potrebbe esserti utile prendere qualche
libro di geometria e di teoria della misura a livello universitario (sono
molto piu` accessibili, a una persona intelligente ed interessata, di quel
che uno poterbbe temere). Per la geometria, c'e` solo l'imbarazzo della
scelta, e probabilmente ne avrai gia`. Per la teoria della misura,
applicata piu` che altro all'analisi reale, i classici sono i libri di
Rudin e quello di Royden. Poi ce n'e` uno specifico sul "nostro"
paradosso, che qualcuno ha gia` citato e di cui non ricordo gli estremi.
Salutoni,
Daniele
Maurizio Vianello
dedicato al paradosso di Banach Tarski:
The Banach Tarski Paradox
by Stan Wagon
Cambridge University Press
ISBN 0521457041
E' del 1993 (credo) e quindi ancora reperibile, anche se costoso.
Comunque le biblioteche universitarie dovrebbero averlo (quelle di
matematica, voglio dire).
Saluti.
Maurizio Vianello
Giovanni
Gewurz) wrote:
Caro Daniele,
intanto ti ringrazio per la tua sollecitudine a rispondere, che
purtroppo non riesco ad imitare perche', per motivi indipendenti dalla
mia volonta', posso accedere ad internet solo per pochissimo tempo in
un giorno.
>Questa discussione e` molto interessante, e ho piacere che continui. Scusa
>se non rispondo punto per punto a quello che dici nel tuo ultimo, anche
>perche' evidentemente abbiamo interessi e punti di vista piuttosto
>differenti nei confronti della matematica.
> Mi sembra che tu sia un po' troppo drastico quanto parli di "assurdo",
>"contraddizione" o "abuso" nei confronti del "nostro" paradosso. Se ci
>poniamo in un sistema assiomatico in cui esso e` un teorema, e` falso
>definirlo in quel modo; se no, non ha proprio senso parlarne (e` come
>parlare di tapiri in analisi funzionale).
> Capisco che ti riferisci al fatto che non e` coerente con l'intuizione
>comune, ma visto che la matematica non si fa con metodi demoscopici
>(questo, pensando alla tua osservazione "Faccio solo riferimento ad una
>particolare geometria. Che poi non e' cosi' tanto particolare perche' e'
>quello sottintesa dalla maggioranza delle persone"), una volta che tale
>intuizione e` formalizzata, ci ritroviamo nel caso precedente.
>
In realta' non siamo poi cosi' distanti come potrebbe sembrare
riguardo al rapporto tra intuizione e formalismo.
Ho studiato logica matematica (per diletto, ma non in maniera
superficiale), e ho una certa cognizione di cosa significa
formalizzazione.
Per altro mi e' capitato piu' di una volta di incontrare in NG (e da
altre parti) gente che vuole rivoluzionare la scienza. E, tra le piu'
diverse, incredibili, teorie ho notato una costante: l'uso
spregiudicato dell'intuizione: non trovavi mai una dimostrazione
rigorosa di quello che sostenevano.
Personalmente ritengo l'intuizione indispensabile per una piena
comprensione, ma e' la formalizzazione la sola che puo' rendere
OGGETTIVA una conoscenza. L'intuizione e' qualcosa di soggettivo,
ognuno vede una cosa dal lato che piu' preferisce (in relazione alle
sue esperienze personali), ma e' solo sulla formalizzazione della cosa
che ci si puo' confrontare.
Voglio sintetizzare il mio atteggiamento nei confronti del paradosso
di Banach-Tarski.
Si puo' suddividere in due aspetti:
1) Cerco di arrivare ad una buona comprensione di come avviene, da un
punto di vista strettamente matematico, la suddivisione della sfera (o
palla che dir si voglia) e la sua successiva ricomposizione.
2) La verifica se i dubbi che ho cercato di esprimere, in maniera
sicuramente impropria, e che ho trovato espressi in maniera molto
simile nelle citazioni che ho riportato, hanno un qualche significato.
Ovvero, come renderli in linguaggio matematicamente corretto.
E puo' anche capitare che cercando di tradurli in termini propri, essi
svaniscano di per se', rivelando semplicemente un mia insufficiente
comprensione della questione.
A proposito di quest'ultimo punto.
Ho notato che nelle tue risposte non hai mai fatto riferimento alle
citazioni che ho fatto, che provengono da gente sicuramente non
sprovveduta (per la maggior parte sono matematici e/o logici), e
peraltro mi sembrano molto attinenti alle questioni che ho posto.
In particolare vorrei un tuo parere su questa citazione, che e' quella
che piu' si avvicina alla questione (scusa se l'ho gia' riportata
altre volte):
da Hao Wang (serie di logica matematica della Boringhieri):
"Questo ... risolve anche il paradosso che DA UN PUNTO DI VISTA
INSIEMISTICO si puo' scomporre un globo in un numero finito di parti e
ricomporlo in modo da formare senza sovrapposizioni un globo piu'
piccolo. Alla luce di cio' che si e' detto, questo SIGNIFICA SOLTANTO
che si puo' spezzare in varie parti l'IMPALCATURA formata dai punti e
poi spostare insieme queste parti in modo da farle stare tutte in uno
spazio minore senza che si sovrappongano.
E' UN RISULTATO CHE VALE SOLO PER IL CONCETTO INSIEMISTICO."
[Il maiuscolo e' mio].
Posso immaginare quello che stai per dire, che questa citazione non
significa nulla finche' i termini intuitivi usati non vengono espressi
in una forma matematica utilizzabile.
Volevo semplicemente chiederti se quello posto dalla citazione (che e'
anche quello posto da me, rappresentato in varie forme) e' un problema
solamente fittizio o ha una qualche rilevanza, anche se poi si riesce
comunque a trovargli una sistemazione assiomatica soddisfacente.
Ossia esiste una sistemazione assiomatica, formale, (che e' poi in
definitiva quella insiemistica standard da te indicata) che e' priva
di contraddizioni.
> Per finire, visto che per lo piu` fai riferimento a libri divulgativi,
>anche se ad ottimo livello, forse potrebbe esserti utile prendere qualche
>libro di geometria e di teoria della misura a livello universitario (sono
>molto piu` accessibili, a una persona intelligente ed interessata, di quel
>che uno poterbbe temere). Per la geometria, c'e` solo l'imbarazzo della
>scelta, e probabilmente ne avrai gia`. Per la teoria della misura,
>applicata piu` che altro all'analisi reale, i classici sono i libri di
>Rudin e quello di Royden. Poi ce n'e` uno specifico sul "nostro"
>paradosso, che qualcuno ha gia` citato e di cui non ricordo gli estremi.
>
>Salutoni,
> Daniele
Si', sopratutto per il mio intendimento (1), si tratta di trovare un
buon testo, direi proprio sulla Teoria della misura.
Ti ringrazio intanto per i suggerimenti.
Ciao
Giovanni