Logaritmo di una matrice
Keenan
sia A una matrice quadrata di dimensione nxn sui complessi.
Quali sono le condizioni di esistenza e unicità del suo
logaritmo,log(A)?
C'è una formula chiusa per calcolarlo (almeno teoricamente)?
Grazie!
--
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Gerarchie it, italia, it-alt, tin, it.binari. Unico!
Valter Moretti
> Salve a tutti,
>
> sia A una matrice quadrata di dimensione nxn sui complessi.
>
> Quali sono le condizioni di esistenza e unicità del suo
> logaritmo,log(A)?
>
> C'è una formula chiusa per calcolarlo (almeno teoricamente)?
>
> Grazie!
> --
> Gerarchie it, italia, it-alt, tin, it.binari. Unico!
Ciao, si può dimostrare che in ogni algebra di Banach, quindi in
particolare per l'algebra delle matrici complesse nxn, la funzione
esponenziale A -> expA è suriettiva sull'algebra se A varia nel gruppo
degli elementi invertibili.
Conseguentemente ogni matrice invertibile ammette un logaritmo. Non in
modo unico, ovviamente, dato che
exp{A} e exp{2pi k A} producono lo stesso risultato per ogni k intero
(non saprei se questo è l'unico grado di libertà permesso come per
l'esponenziale sui complessi, ma mi aspetto di no, ma non ci ho mai
pensato).
Come calcolare esplicitamente un logaritmo? Bel casino. Se la matrice
A è normale, cioè commuta con la sua complessa coniugata, un modo c'è
passando per la decomposizione polare. Ora vado a pranzo poi te lo
spiego.
Ciao, Valter
Valter Moretti
Allora, se A è normale, cioè commuta con A* (la matrice aggiunta
hermitiana di A), allora la decomposizione polare A=UP è tale che U e
P commutano (lo vedi dal teorema spettrale). Ricordo che U è una
matrice unitaria
(se A è invertibile in dimensione finita) e P una matrice hermitiana
definita positiva (se A è invertibile).
Dato che P è autoaggiunta e U unitaria, vale il teorema spettrale
e quindi
P = V diag(p_1,...,p_n)V*
U= V diag(u_1,...,u_n) V*
dove p_1,...,p_n > 0 sono gli autovalori di P
e u_1,...,u_n tutti della forma
u_k = exp{i a_k} con ogni a_k in R
sono gli autovalori di U. V è una matrice unitaria.
Il fatto che U e P commutino assicura che esista una base ortonormale
comune di autovettori di entrambe le matrici e V è la matrice di
passaggio da tale base a quella canonica di C^n.
Definendo
ln(A) := V( diag(ln p_1,...,ln p_n) + diag(ia_1,...,ia_n) ) V'*
(nota che gli a_k sono definiti a meno di costanti additive 2 pi r_k
con r_k intero dipendente da k in generale e questo dice che
l'ambiguità nel definire il logaritmo di matrice è più grande di
quella che si ha nei numeri complessi) per costruzione hai che
exp(ln(A)) = A
come si prova facilmente dalla definizione di esponsnziale di matrici
tenendo conto della proprietà che segue dalla serie che definisce
l'esponenziale:
Z (exp B) Z^{-1} = exp{ZBZ^{-1}}
e del fatto che V^{-1} = V*.
Nel caso in cui A non sia normale, ma si possa scrivere come
I + B con ||B|| <1 (la norma è quella operatoriale, ma va bene
qualsiasi dato che in dimensione finita sono tutte equivalenti, perà
bisogna cambiare il bound 1 in generale)
puoi definire il logaritmo con la serie di Taylor:
ln A = ln (I - B) = -sum_{k=0}^{+oo} (-1)^k B^k/k
Ciao, Valter
Valter Moretti
> puoi definire il logaritmo con la serie di Taylor:
>
> ln A = ln (I - B) = -sum_{k=0}^{+oo} (-1)^k B^k/k
>
> Ciao, Valter
scusa, ho scritto in fretta e mi sono sbagliato, doveva essere
ln A = ln (I + B) = -sum_{k=1}^{+oo} (-1)^k B^k/k
ciao, Valter
Keenan
> On May 26, 2:38=A0pm, Valter Moretti> > ln A =3D ln (I - B) =3D -sum_{k=3D0}^{+oo} (-1)^k
> B^k/k
> >
> > Ciao, Valter
>
> scusa, ho scritto in fretta e mi sono sbagliato,
> doveva essere
>
> k B^k/k
>
> ciao, Valter
Grazie mille!
Ottima spiegazione,
Ciao
--
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