luogo zeri funzione continua connesso archi
Evolution
positivo ed
un valore negativo.
Congettura: il luogo di zeri di una tale funzione contiene un chiuso
connesso per archi.
--------------------------------
Inviato via http://usenet.libero.it
Vittorino Pata
Evolution wrote:
>
> Una funzione continua su un aperto connesso per archi ammetta un valore
> positivo ed
> un valore negativo.
>
> Congettura: il luogo di zeri di una tale funzione contiene un chiuso
> connesso per archi.
Dimostrazione: contiene un punto.
Papero
Vittori', io son tanto impegnato a scrivere cazzate su it.cultura.filosofia
(che e' il ng delle cazzate).
lalala'!
lalala'!
lalala'!
Evolution
> Dimostrazione: contiene un punto.
31414 secondi per trovarlo :-)
Cosa ne penserebbe Sorrentino
che cerca il pi greco in tutte le cose?
Ad ogni modo una funzione assolutamente continua
sembra esser costretta a crescere su un
sottinsieme di misura non nulla qualora il suo valore a
destra superi il suo valore a sinistra. Chissà se è vero.
Vittorino Pata
Evolution wrote:
>
> > Dimostrazione: contiene un punto.
>
> 31414 secondi per trovarlo :-)
> Cosa ne penserebbe Sorrentino
> che cerca il pi greco in tutte le cose?
>
> Ad ogni modo una funzione assolutamente continua
> sembra esser costretta a crescere su un
> sottinsieme di misura non nulla qualora il suo valore a
> destra superi il suo valore a sinistra. Chissà se è vero.
Sia f a.c., e non costante.
Ordiniamo per inclusione gli insiemi
su cui la restrizione della f e' strettamente monotona.
"Zornificando", esiste
un elemento massimale M. Ora M e' chiuso
(poiche' f e' continua). Pertanto il suo complementare
e' un'unione disgiunta di aperti A_i. Su ogni A_i la
f e' costante (per la massimalita' di M). Ergo
f(U A_i) ha misura nulla. Ne consegue che f(M) ha misura
positiva, e quindi, dalla a.c. di f, M ha misura positiva.
Nota: si usa l'assioma della scelta.
Evolution
> Sia f a.c., e non costante.
> Ordiniamo per inclusione gli insiemi
> su cui la restrizione della f e' strettamente monotona.
> "Zornificando", esiste
> un elemento massimale M. Ora M e' chiuso
> (poiche' f e' continua). Pertanto il suo complementare
> e' un'unione disgiunta di aperti A_i. Su ogni A_i la
> f e' costante (per la massimalita' di M). Ergo
> f(U A_i) ha misura nulla. Ne consegue che f(M) ha misura
> positiva, e quindi, dalla a.c. di f, M ha misura positiva.
> Nota: si usa l'assioma della scelta.
Ne ho trovato una dimostrazione che non usa l'assioma della scelta
è possibile che sia corretta? Oppure l'ho usato senza accorgermene?
Io considero gli insiemi il minimo ed il massimo valore di x per cui
f vale 1/2, poi gli insiemi per cui vale 1/4 e 3/4 nel complementare
all'intervallo
fra questi due punti, e poi vado a sottrarre questi intervalli etc...
Se la misura dell'insieme limite (sul quale la funzione è strettamente
crescente)
fosse zero esisterebbe un insieme di misura arbitrariamente piccola sul
quale la funzione
varia di 1. Contro la definizione di assoluta continuità.
Evolution
> Ne ho trovato una dimostrazione che non usa l'assioma della scelta
> è possibile che sia corretta? Oppure l'ho usato senza accorgermene?
> Io considero gli insiemi il minimo ed il massimo valore di x per cui
> f vale 1/2, poi gli insiemi per cui vale 1/4 e 3/4 nel complementare
> all'intervallo
> fra questi due punti, e poi vado a sottrarre questi intervalli etc...
Lo so che non è un granchè come dimostrazione,
anzi non dimostra proprio nulla,
però una scelta l'ho fatta. No?
Evolution
> Lo so che non è un granchè come dimostrazione,
> anzi non dimostra proprio nulla,
> però una scelta l'ho fatta. No?
La stanchezza mi ha fatto credere che fosse sbagliata una dimostrazione che
era solo
scritta in modo frettoloso. Riflettendo mi sono accorto che funziona. La
ripropongo
in una forma piu' leggibile.
Considero dunque l'insieme degli zeri per l'equazione f(x)=1/2(f(b)-f(a))
poiche' la funzione e' continua questo insieme ha un minimo ed un
massimo. Siano x_00 ed x_01 il minimo ed il massimo.
costruisco l'insieme A_00=[x_00,x_01]. Data la continuita' ed il teorema
degli zeri la funzione sara' minore di un mezzo nell'intervallo [0,x00] e
maggiore
di 1/2 nell'intervallo [x01,b]. Riapplico il procedimento descritto alla
funzione
considerata limitatamente all'intervallo [0,x00] e costruisco gl'intervalli
A_10
ed A_11. Iterando sui quattro intervalli rimanenti costruisco A_20 A_21 A_22
A_23.
E di seguito. La funzione ristretta al complementare dell'unione di questa
famiglia
numerabile di intervalli e' una funzione monotona. La misura del
complementare non
puo' essere 0 perche' questo e' in contraddizione con l'assoluta'
continuita' della funzione.
Dunque risulta costruita una restrizione di f monotona crescente su un
insieme di
misura non nulla. In effetti una scelta in qualche modo e' implicita nel
modo in cui
scelgo i valori 1/2, 1/4, 3/4 solo che si tratta di una scelta costruttiva,
che permette,
in questo caso fortunato, di evitare l'utilizzo dell'assioma della scelta o
della sua variante
data dal lemma di Zorn. In generale puo' darsi che l'assioma di scelta sia
necessario
quando si deve dimostrare la non costruibilita' di qualcosa?
Vittorino Pata
Evolution wrote:
>
> Riflettendo mi sono accorto che funziona. La
> ripropongo
> in una forma piu' leggibile.
l'ho letta, ma francamente non mi pare molto leggibile.
In ogni caso, questo passaggio:
> La funzione ristretta al complementare dell'unione di questa
> famiglia numerabile di intervalli e' una funzione monotona
mi lascia un po' perplesso.
Aldo
In effetti una scelta in qualche modo e' implicita nel
> modo in cui
> scelgo i valori 1/2, 1/4, 3/4 solo che si tratta di una scelta costruttiva,
> che permette,
> in questo caso fortunato, di evitare l'utilizzo dell'assioma della scelta o
> della sua variante
> data dal lemma di Zorn. In generale puo' darsi che l'assioma di scelta sia
> necessario
> quando si deve dimostrare la non costruibilita' di qualcosa?
Scusa se mi intrometto con delle osservazioni da profano, ma vorrei
chiarirmi le idee un po' su questo argomento
1.
perche' ti preoccupa l'aver usato l'assioma della scelta? Io sono
cresciuto nella convinzione che fosse equivalente al principio di
induzione... e dovrei buttare via gran parte della matematica che mi
hanno insegnato se dovessi rinunciarci.
2.
secondo me, potrei sbagliarmi, quando costruisci la tua famiglia
numerabile di intervalli, quello che fai e' dimostrare un teorema di
esistenza, che _utilizza il principio di induzione_ , in quanto
l'esistenza di ciascun intervallo viene mostrata dando per assunta
l'esistenza dell'intervallo (o gli intervalli) che lo precedono nella
famiglia (e nella costruzione).
cosa ne pensi?
Vittorino Pata
Aldo wrote:
>
> perche' ti preoccupa l'aver usato l'assioma della scelta? Io sono
> cresciuto nella convinzione che fosse equivalente al principio di
> induzione... e dovrei buttare via gran parte della matematica che mi
> hanno insegnato se dovessi rinunciarci.
>
Il principio di induzione (transfinita o no) funziona su
un insieme che e' gia' bene ordinato in partenza.
Non e' equivalente all'assioma della scelta.
Cio' detto, penso che chiunque faccia molto bene
a preoccuparsi dell'assioma della scelta.
Senza il quale si butta via un po' di matematica
(ne resta comunque abbastanza), ma certamente
si buttano via un sacco di patologie.
Ovviamente non mi riferisco ad AS numerabile,
che mi pare irrinunciabile (oltre che
ragionevole).
In ultima analisi e' una questione di scelta!
Evolution
> l'ho letta, ma francamente non mi pare molto leggibile.
E' solo una questione di leggibilità o di contenuto?
> In ogni caso, questo passaggio:
>
> > La funzione ristretta al complementare dell'unione di questa
> > famiglia numerabile di intervalli e' una funzione monotona
>
> mi lascia un po' perplesso.
Nel senso che non ti persuade
la verità di questa affermazione?
Se x<y allora f(x)<=f(y) e nel caso in cui valga l'uguale
questo è vero per ogni valore intermedio. Ora questa
per me è una funzione monotona. Però
alcuni intendono per funzione monotona
una funzione strettamente crescente o strettamente decrescente.
Tuttavia si dimostra anche questo togliendo preliminarmente tutti
gli intervalli costanti.
Evolution
> Scusa se mi intrometto con delle osservazioni da profano, ma vorrei
Io sono ignorante in tutto tranne che in poche cose che studio con tormento
e quindi amo la possibilità di confrontarmi su questi miei "tormenti" in
spirito filosofico.
> 1.
> perche' ti preoccupa l'aver usato l'assioma della scelta? Io sono
> cresciuto nella convinzione che fosse equivalente al principio di
> induzione... e dovrei buttare via gran parte della matematica che mi
> hanno insegnato se dovessi rinunciarci.
Forse capisco il senso di questa affermazione: come tutti gli interi sono
equivalenti a
meno di una traslazione così anche i razionali e la "simmetria" interna dei
sistemi
che si considerano, in genere, è alla base di tanti ragionamenti, ora tu
dici, se io ho
una gran classe di oggetti tutti "simmetrici" fra loro visto uno visti
tutti. Tuttavia attenzione,
perchè la possibilità di scegliere un oggetto fra tanti, di creare un
"eletto" può introdurre,
talora, un'asimmetria. (Quale non si ha nell'uso che ne fece Vitali). La sua
utilità è
largamente riconosciuta, le critiche che fin dai primi tempi hanno
accompagnato
l'opportunità del suo utilizzo vanno di pari passo con l'evoluzione
irrequieta della
logica. Ora io non dico che non serva o che ne voglio fare a meno, credo che
la finezza
dello strumento sia esuberante rispetto alla grossolanità dell'analisi
classica.
Quando i partigiani della teoria della misura secondo Lebesgue si opponevano
all'esempio di Vitali, criticando l'uso dell'assioma della scelta,
semplicemente non
si capacitavano della luce del sole. Cioè del fatto che gli insiemi
misurabili, che sono
tantissimi, sono un'infima parte degli insiemi contenuti in R e che
l'assioma di
completezza rende naturale un modo di pensare "censorio" nei confronti della
ricchezza degli insiemi di R. Tuttavia i vantaggi che derivano dall'assioma
di completezza, come quelli che derivano dall'assioma della scelta sono
immensi ed irrinunciabili.
> 2.
> secondo me, potrei sbagliarmi, quando costruisci la tua famiglia
> numerabile di intervalli, quello che fai e' dimostrare un teorema di
> esistenza, che _utilizza il principio di induzione_ , in quanto
> l'esistenza di ciascun intervallo viene mostrata dando per assunta
> l'esistenza dell'intervallo (o gli intervalli) che lo precedono nella
> famiglia (e nella costruzione).
>
> cosa ne pensi?
All'incirca quel che dici.
Evolution
> Il principio di induzione (transfinita o no) funziona su
> un insieme che e' gia' bene ordinato in partenza.
> Non e' equivalente all'assioma della scelta.
> Cio' detto, penso che chiunque faccia molto bene
> a preoccuparsi dell'assioma della scelta.
> Senza il quale si butta via un po' di matematica
> (ne resta comunque abbastanza), ma certamente
> si buttano via un sacco di patologie.
> Ovviamente non mi riferisco ad AS numerabile,
> che mi pare irrinunciabile (oltre che
> ragionevole).
> In ultima analisi e' una questione di scelta!
IMHO sinceramente, nella mia modesta opinione:
io sono incline a credere che gran parte delle
patologie, quali insiemi non misurabili, paradosso
di Tarski-Banach, in effetti mettano in evidenza
la grossolanità del concetto di intorno. Mettere
tutti insiemi una folla di punti con cardinalità quanto
tutto R è un fatto problematico, e l'effetto è quello
che quelle misure che usano pesantemente questo
genere di massificazione tendono talvolta ad invitare
il pensiero a far passare cammelli per crune d'ago.
Aldo
> Io sono ignorante in tutto tranne che in poche cose che studio con tormento
> e quindi amo la possibilità di confrontarmi su questi miei "tormenti" in
> spirito filosofico.
>
>
>>1.
>>perche' ti preoccupa l'aver usato l'assioma della scelta? Io sono
>>cresciuto nella convinzione che fosse equivalente al principio di
>>induzione... e dovrei buttare via gran parte della matematica che mi
>>hanno insegnato se dovessi rinunciarci.
>
>
> Forse capisco il senso di questa affermazione: come tutti gli interi sono
> equivalenti a
> meno di una traslazione così anche i razionali e la "simmetria" interna dei
> sistemi
> che si considerano, in genere, è alla base di tanti ragionamenti, ora tu
> dici, se io ho
> una gran classe di oggetti tutti "simmetrici" fra loro visto uno visti
> tutti.
No, no! nulla del genere, la mia era pura ignoranza. Ero veramente
convinto che il principio di induzione numerabile fosse equivalente al
Lemma di Zorn! Se vuoi il paradosso e' che non ho mai approfondito la
cosa perche', dopo averla sentita a lezione (evidentemente
fraintendendo), ho provato a dimostrarla da solo, cosi', per curiosita',
e, dopo aver visto quanto era difficile ricavare Zorn dal principio di
induzione (per forza!!!:-)), mi sono detto "questa cosa e' troppo
difficile, mi occorera' spendere una settimana o piu' su qualche libro
di logica per arrivarci" e alla fine ho deciso di fidarmi senza
conoscere la dimostrazione!!!
La cosa incredibile è che sono sopravvissuto a tutta l'universita' con
questa idea sbagliata in testa, e non e' che non mi ci sia mai piu'
imbattuto!!!
Tuttavia attenzione,
> perchè la possibilità di scegliere un oggetto fra tanti, di creare un
> "eletto" può introdurre,
> talora, un'asimmetria.(Quale non si ha nell'uso che ne fece Vitali). La sua
> utilità è
> largamente riconosciuta, le critiche che fin dai primi tempi hanno
> accompagnato
> l'opportunità del suo utilizzo vanno di pari passo con l'evoluzione
> irrequieta della
> logica. Ora io non dico che non serva o che ne voglio fare a meno, credo che
> la finezza
> dello strumento sia esuberante rispetto alla grossolanità dell'analisi
> classica.
Ora che mi e' mi e' chiaro che l'induzione non implica l'assioma della
scelta, sembra ragionevole anche a me lasciare in evidenza tutte le
occasioni in cui quest'ultimo compare. E riesco a concepire (magari mi
sto allargando troppo) che possa esserci l'analisi reale senza A.S.
Piuttosto avrei maggiori perplessita' a rinunciarvi in algebra: ho
seguito un corso sulla teoria di Galois in cui tre teoremi fondamentali
come il teorema di Sylow, il teorema di Jordan-Holder ed il teorema di
esistenza della chiusura algebrica di un campo, erano tutti dimostrati
usando il Lemma di Zorn. Anche se il teorema di Sylow ha comunque una
dimostrazione che non ne fa uso (mi sembra), mi chiedo a quanta algebra
dovremmo rinunciare senza Lemma di Zorn.
> Quando i partigiani della teoria della misura secondo Lebesgue si opponevano
> all'esempio di Vitali, criticando l'uso dell'assioma della scelta,
> semplicemente non
> si capacitavano della luce del sole. Cioè del fatto che gli insiemi
> misurabili, che sono
> tantissimi, sono un'infima parte degli insiemi contenuti in R e che
> l'assioma di
> completezza rende naturale un modo di pensare "censorio" nei confronti della
> ricchezza degli insiemi di R. Tuttavia i vantaggi che derivano dall'assioma
> di completezza, come quelli che derivano dall'assioma della scelta sono
> immensi ed irrinunciabili.
qui non ti seguo qual e' l'assioma di completezza?
intendi che R ha la proprieta' dell'estremo superiore (cioe' ogni
insieme con un limite superiore ha un estremo superiore)?
perche' introduce un modo di pensare "censorio" nei confronti etc.?
Vittorino Pata
Evolution wrote:
>
> > l'ho letta, ma francamente non mi pare molto leggibile.
>
> E' solo una questione di leggibilità o di contenuto?
Io non l'ho capita. Quindi non sono in grado
di dirti se e' un problema di contenuto. Sicuramente
e' poco leggibile.
> > In ogni caso, questo passaggio:
> >
> > > La funzione ristretta al complementare dell'unione di questa
> > > famiglia numerabile di intervalli e' una funzione monotona
> >
> > mi lascia un po' perplesso.
>
> Nel senso che non ti persuade
> la verità di questa affermazione?
Non avendo capito del tutto quello che hai scritto,
puo' darsi che mi sbagli. Tuttavia a me sembra
che la tua funzione nel complementare non sia
necessariamente monotona.
Quando tu crei gli intervallini successivi puo'
succedere che nell'intervallino di destra la fuzione
sia sotto la media, e sia sopra nell'intervallino di sinistra.
Per questo mi pare che non si riesca a concludere nella direzione
che hai indicato.
Prova a riscriverla.
Vittorino Pata
Evolution wrote:
>
> IMHO sinceramente, nella mia modesta opinione:
> io sono incline a credere che gran parte delle
> patologie, quali insiemi non misurabili, paradosso
> di Tarski-Banach, in effetti mettano in evidenza
> la grossolanità del concetto di intorno. Mettere
> tutti insiemi una folla di punti con cardinalità quanto
> tutto R è un fatto problematico, e l'effetto è quello
> che quelle misure che usano pesantemente questo
> genere di massificazione tendono talvolta ad invitare
> il pensiero a far passare cammelli per crune d'ago.
Che l'intorno sia equipotente a R lo dimostri.
Quindi puo' piacere o meno, ma cosi' e'.
Le patologie mettono solo in evidenza che
la scelta non e' una pratica indolore (tant'e' che se
levi AS le patologie semplicemente non ci sono piu').
Il problema e' grave in analisi, dove le assurdita'
le "vedi". In algebra lo e' molto meno, dato che si
maneggiano oggetti astratti.
Tra l'altro l'unica vera obiezione (riguardo l' analisi) e' che
sulla scelta si basa il teorema di Hahn-Banach,
senza il quale non si va da nessuna parte.
Tuttavia non capita praticamente ma di aver bisogno
di HB in spazi non separabili
(e nei separabili e' sufficiente AS numerabile!).
Vittorino Pata
>
> Evolution wrote:
> >
> > > l'ho letta, ma francamente non mi pare molto leggibile.
> >
> > E' solo una questione di leggibilità o di contenuto?
>
> Io non l'ho capita. Quindi non sono in grado
> di dirti se e' un problema di contenuto. Sicuramente
> e' poco leggibile.
Rettifico. Ho capito quello che vuoi fare.
Praticamente un procedimento simile alla
costruzione dela funzione di Cantor
(ed e' un'idea molto carina).
Rimane pero' il problema della monotonia
(nel post precedente sono stato poco preciso).
Non mi pare ovvio dimostrarla.
Diciamo che tu hai due intervalli chiusi di tipo
suddivisione di "Cantor", Chiamiamoli I e J, con I<J.
Sia A l'aperto che sta in mezzo.
Sicuramente in ogni punto di A la funzione sta sopra
il valore che assume all'estremo desto di I. Pero' non
puoi garantire che stia sotto l'estremo sinistro di J.
Se si dimostra la monotonia, allora il tuo esempio
funziona (senza la scelta!)
Evolution
> Non avendo capito del tutto quello che hai scritto,
> puo' darsi che mi sbagli. Tuttavia a me sembra
> che la tua funzione nel complementare non sia
> necessariamente monotona.
> Quando tu crei gli intervallini successivi puo'
> succedere che nell'intervallino di destra la fuzione
> sia sotto la media, e sia sopra nell'intervallino di sinistra.
> Per questo mi pare che non si riesca a concludere nella direzione
> che hai indicato.
Non capisco la tua obiezione. Se f(b) > f(a) con b>a riscalo la funzione in
modo che f(0)=0 f(1)=1.
Costruito il primo intervallo la funzione sta sopra un mezzo a destra e
sotto un mezzo a sinistra.
Ti convince? Se esistesse un punto a destra in cui la funzione va sotto un
mezzo poiche' in f(1) vale 1
applico il teorema degli zeri e trovo un punto a destra della funzione dove
la funzione vale 1/2.
Questo contraddice il fatto che l'estremo superiore della funzione e' il
massimo zero per f(x)=1/2.
Analogamente, a sinistra, la funzione sta sotto 1/2. Posso ripetere
induttivamente questo argomento
a destra ed a sinistra. Ovvero su ciascuno degli intervalli del
complementare andando di volta in volta
a cercare gli zeri per la funzione che ha valore intermedio fra il valore
della funzione nel primo intervallo
a sinistra ed il valore della funzione nel primo intervallo a destra. Ad
ogni passo gli intervalli del complementare
risultano ordinati in modo che fra due intervalli distinti esistano uno o
piu' intervalli agli estremi del quale la
funzione ha un valore minore dei valori presi dalla funzione a destra e
maggiore dei
valori presi dalla funzione a sinistra.
Evolution
> Praticamente un procedimento simile alla
> costruzione dela funzione di Cantor
> (ed e' un'idea molto carina).
>
> Rimane pero' il problema della monotonia
> (nel post precedente sono stato poco preciso).
> Non mi pare ovvio dimostrarla.
> Diciamo che tu hai due intervalli chiusi di tipo
> suddivisione di "Cantor", Chiamiamoli I e J, con I<J.
> Sia A l'aperto che sta in mezzo.
> Sicuramente in ogni punto di A la funzione sta sopra
> il valore che assume all'estremo desto di I. Pero' non
> puoi garantire che stia sotto l'estremo sinistro di J.
E' sufficiente ragionare sui passi intermedi della costruzione.
Certo che e' garantito se A e' connesso. Come hai costruito J?
Cercando gli zeri della funzione nell'intervallo a destra di I per un valore
superiore al valore assunto dalla funzione negli estremi dell'intervallo J.
Se la funzione assumesse in A un valore superiore al valore nell'estremo
sinistro di J,
Essendo ivi continua ammetterebbe ivi uno zero minore del minimo zero.
Vittorino Pata
Evolution wrote:
>
> Non capisco la tua obiezione....
Hai ragione. Funziona.
Vittorino Pata
Evolution wrote:
> Ne ho trovato una dimostrazione che non usa l'assioma della scelta
[...]
Ci ho riflettuto un po'.
La tua dimostrazione (opportunamente
riscritta, pero!) e' veramente bella.
Sono anche abbastanza sicuro che non sia
in commercio.
Potrebbe valere la pena che tu la inviassi
a un giornale, tipo Archimede.
Evolution
> La tua dimostrazione (opportunamente
> riscritta, pero!) e' veramente bella.
> Sono anche abbastanza sicuro che non sia
> in commercio.
>
> Potrebbe valere la pena che tu la inviassi
> a un giornale, tipo Archimede.
Mi fa piacere che ti piaccia.
Tuttavia ho troppe curiosita' limitrofe irrisolte
per mettermi a scrivere qualcosa di stabilito in
forma da pubblicare. Ad esempio non sono ancora
riuscito a capire cosa avviene in generale per una
funzione continua. E cercando di applicare la tua
dimostrazione mi e' sorto un dubbio quando dici che
un elemento massimale sul quale risulta che f e'
strettamente monotona e' chiuso. A me sembra
solo si possa dire se un punto F e' nel complementare
allora il sup S dell'insieme dei punti di M minori di F o l'inf I
dei punti di M maggiori di F e' in M. Ne segue che se il
complementare di M non e' vuoto
deve avere parte interna non vuota. A questo punto la
tua dimostrazione torna a funzionare con la considerazione che
f(M) coincide con f(chiusura di M), se e' vero che un
aperto si puo' scrivere come unione numerabile di aperti connessi.
Questo fatto per me discende dalla circostanza che i razionali sono
numerabili. Inoltre non e' vero in generale che la funzione e' costante
sulle parti connesse del complementare di M, ma questo non altera la
dimostrazione del fatto che f(M) ha misura piena.
Ok, ma allora alla fine della dissertazione ho capito cosa
avviene se f e' continua. Se f e' continua e considero la sua restrizione
al complementare degli intervalli aperti sui quali f e' costante risulta che
esiste un insieme M sul quale f e' strettamente monotona, inoltre l'immagine
di tale M e' misurabile e la sua misura coincide con la differenza fra il
massimo ed il
minimo. Inoltre M e' misurabile e la sua misura e' pari alla misura
dell'intervallo meno
la misura del complementare in quanto il complementare e' un
insieme la cui parte interna coincide con l'insieme a meno di un insieme
numerabile.
Va boh, forse vale la pena che qualcuno pubblichi questo risultato.
Infatti mi sembra che la costruzione che suggerivo si adatti anche a
funzioni continue,
e dimostra che si puo' sempre costruire una restrizione crescente su
supporto misurabile con immagine di misura piena.
Evolution
> solo si possa dire se un punto F e' nel complementare
> allora il sup S dell'insieme dei punti di M minori di F o l'inf I
> dei punti di M maggiori di F e' in M. Ne segue che se il
> complementare di M non e' vuoto
> deve avere parte interna non vuota.
In effetti la conclusione esatta e' un po' piu'
forte di cosi' e dice che le componenti connesse
del complementare di M hanno tutte parte interna
non vuota. Ovvero che il complementare
di M non ha punti isolati e che i punti di accumulazione o
sono di frontiera o sono interni. Da cui il seguito.
Evolution
> In effetti la conclusione esatta e' un po' piu'
> forte di cosi' e dice che le componenti connesse
> del complementare di M hanno tutte parte interna
> non vuota. Ovvero che il complementare
> di M non ha punti isolati e che i punti di accumulazione o
> sono di frontiera o sono interni.
Uffy, non riesco a caratterizzare quel che voglio dire:
i punti del complementare non sono isolati e questo ok,
ma inoltre se un punto e' di accumulazione allora per ogni suo intorno
esiste un punto distinto dal punto stesso, in tale intorno, che ha un
intorno
interamente contenuto nell'insieme. Che significa questo? Significa che
il punto non soltanto non e' isolato, ma non ha nei suoi dintorni nessun
punto
isolato.
Vittorino Pata
Evolution wrote:
>
> Tuttavia ho troppe curiosita' limitrofe irrisolte
> per mettermi a scrivere qualcosa di stabilito in
> forma da pubblicare. Ad esempio non sono ancora
> riuscito a capire cosa avviene in generale per una
> funzione continua.
Per una funzione continua e' falso.
Si puo' costruire l'esempio (e' un po' complicato, nel
senso di tortuoso, ma si fa)
E cercando di applicare la tua
> dimostrazione mi e' sorto un dubbio quando dici che
> un elemento massimale sul quale risulta che f e'
> strettamente monotona e' chiuso.
Nella mia dim. in realta' devi fare 2 insiemi massimali
(uno in cui e' monotona crescente e l'altro in cui e' dec.)
Entrambi sono chiusi (semplicemente verifica che sulla chiusura
hai monotonia. E' quasi immediato)
> Va boh, forse vale la pena che qualcuno pubblichi questo risultato.
> Infatti mi sembra che la costruzione che suggerivo si adatti anche a
> funzioni continue,
> e dimostra che si puo' sempre costruire una restrizione crescente su
> supporto misurabile con immagine di misura piena.
D'accordo. Ma l'insieme in questione puo' avere
misura nulla (se non usi ass.cont.)
Evolution
> Per una funzione continua e' falso.
> Si puo' costruire l'esempio (e' un po' complicato, nel
> senso di tortuoso, ma si fa)
La funzione di Lebesgue ad esempio.
> Nella mia dim. in realta' devi fare 2 insiemi massimali
> (uno in cui e' monotona crescente e l'altro in cui e' dec.)
> Entrambi sono chiusi (semplicemente verifica che sulla chiusura
> hai monotonia. E' quasi immediato)
D'accordo a patto di rinunciare alla condizione che si tratti di monotonia
stretta.
D'altra parte il numero di punti in cui la funzione sulla chiusura ha zeri
doppi è
limitato ad un insieme numerabile in quanto il complementare dell'insieme
massimale è composto da un insieme numerabile di componenti connesse.
> D'accordo. Ma l'insieme in questione puo' avere
> misura nulla (se non usi ass.cont.)
è appunto il caso delle funzione di Lebesgue. Mi chiedo in particolare se
ordinando gli
insiemi massimali in base alla misura al sup della misura corrisponda un
insieme.
Cioè mi chiedo se il sup delle misure è un massimo.
In alcuni casi, vedi la funzione di Weierstrasse, non riesco semplicemente a
capire
se esiste un dominio di monotonia di misura non nulla. E se si possa
stabilire un criterio
in base al comportamento del rapporto incrementale. Per le funzioni
assolutamente
continue ad esempio possiamo dire, senza paura di essere smentiti, che
poichè f è derivabile
quasi ovunque, ed inoltre vale il teorema fondamentale, come ci insegna
Vitali, allora
variazioni di misura non nulla devono essere ottenute su un insieme di
misura non nulla.
La mia congettura è che anche nel caso della funzione di Weierstrasse gli
insiemi di
monotonia siano di misura nulla. E che in generale si possa dire questo
quando il fatto che
il rapporto incrementale abbia un massimo limite ed un minimo limite
differenti risulti una condizione generica. Tuttavia non mi riesce di
dimostrarlo e chissà se non esiste un
controesempio.
Vittorino Pata
Evolution wrote:
>
> > Per una funzione continua e' falso.
> > Si puo' costruire l'esempio (e' un po' complicato, nel
> > senso di tortuoso, ma si fa)
>
> La funzione di Lebesgue ad esempio.
Intendevo un sesmpio di funzione non monotona (nemmeno in
senso lato) su alcun insieme di misura positiva.
(se vogliamo dare a Cesare il suo, la funzione di Lebesgue
la chiamerei funzione di Vitali!)
> > Nella mia dim. in realta' devi fare 2 insiemi massimali
> > (uno in cui e' monotona crescente e l'altro in cui e' dec.)
> > Entrambi sono chiusi (semplicemente verifica che sulla chiusura
> > hai monotonia. E' quasi immediato)
>
> D'accordo a patto di rinunciare alla condizione che si tratti di monotonia
> stretta.
> D'altra parte il numero di punti in cui la funzione sulla chiusura ha zeri
> doppi è
> limitato ad un insieme numerabile in quanto il complementare dell'insieme
> massimale è composto da un insieme numerabile di componenti connesse.
certamente.
> La mia congettura è che anche nel caso della funzione di Weierstrasse gli
> insiemi di
> monotonia siano di misura nulla. E che in generale si possa dire questo
> quando il fatto che
> il rapporto incrementale abbia un massimo limite ed un minimo limite
> differenti risulti una condizione generica. Tuttavia non mi riesce di
> dimostrarlo e chissà se non esiste un
> controesempio.
Non ho capito molto qui.
Comunque ti consiglio di dare un'occhiata al
Kannan-Krueger, Advanced Analysis on the Real
Line (Springer).
In particolare la parte sulle derivate di Dini
e il teorema di Denjoy-Saks-Young
Evolution
> > La mia congettura č che anche nel caso della funzione di Weierstrasse
gli
> > insiemi di
> > monotonia siano di misura nulla. E che in generale si possa dire questo
> > quando il fatto che
> > il rapporto incrementale abbia un massimo limite ed un minimo limite
> > differenti risulti una condizione generica. Tuttavia non mi riesce di
> > controesempio.
Con condizione generica intendo che e' verificata quasi ovunque.
Un esempio che avevo trovato di funzione continua che non
ammette restrizione monotone ( a parte la Weierstrasse, che
se la mia congettura fosse vera avrebbe appunto la proprieta'
richiesta) lo avevo cercato in modo un poco contorto iterando la
scala di Lebesgue-Vitali, dimostro che questa iterazione ha un limite,
a ogni passo di iterazione ha misura nulla ogni intervallo di monotonia
stretta, ma da qui a concludere che la proprieta' e' soddisfatta dalla
funzione limite ho trovato difficolta' anche se lo trovo plausibile.
> Comunque ti consiglio di dare un'occhiata al
> Kannan-Krueger, Advanced Analysis on the Real
> Line (Springer).
> In particolare la parte sulle derivate di Dini
> e il teorema di Denjoy-Saks-Young
Non ho avuto molto tempo di guardare, ma
appena ho una mezza libera (mentalmente)
mi fiondo su quel libro. Intanto ne ho trovati
un paio un po' meno recenti che trattano di
questi argomenti, ma non ho avuto il tempo
di guardare nemmeno quelli. Grazie.