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Re: Leibniz su individuzazione di un'equazione dati alcuni punti su un piano
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Tetis
Dec 21, 2011, 8:58:30 AM12/21/11
to
Nel suo scritto precedente, multivac85 ha sostenuto :
> Nel "Discorso di metafisica" Leibniz scrive "Se segnassimo a caso dei
> punti su un foglio di carta, si potrebbe individuare sempre e comunque
> un'equazione matematica tale da rendere conto di quanto fatto."
Certamente: indicando con r1, ... r_n i vettori che indicano i punti
un'equazione che li compendia come soluzioni è:
(x-r1)^2 (x - r2)^2 ...(x-r_n)^2 = 0
> Da studente di filosofia profano in matematica volevo sapere quale
> procedimento generale si può usare per trovare, dati un certo numero
> di punti sul piano, un'equazione che li contiene tutti, sarebbe
> interessante sapere anche, nel caso ci siano più equazioni soddisfanti
> ciò, trovare la più semplice, e mi interesserebbe sapere se già
> Leibniz di fatto conosceva a fondo procedimenti simili.
Il criterio di semplicità è qualcosa di estremamente poco elementare da
individuare, per ragioni filosofiche al cui riguardo Leibniz avrebbe
avuto molto da insegnare. La semplicità è questione di punto di visto,
un oggetto semplice dal punto di vista estensionale è certamente
complesso dal punto di vista intensionale, e naturalmente viceversa. In
termini più moderni ciò che l'uomo reputa semplice è generalmente
qualcosa che è legato da un lato ad un'abilità acquisita nel corso di
un'evoluzione di milioni di anni dall'altro ad un'abilità di giudizio
anch'essa legata allo sviluppo biologico del cervello da un lato ed
allo sviluppo storico della cultura dall'altro. A ben riflettere questa
evoluzione ha poco di semplice, ed è servita a per lo più a trovare
aghi in un pagliaio.
Scendendo più al concreto Leibniz era a conoscenza dei metodi di
interpolazione polinomiale. Ma lascio a te giudicare quale fra queste
due equazioni sia più semplice:
(x-r1)^2 (x - r2)^2 ...(x-r_n)^2 = 0
|x-r1| |x - r2| ...|x-r_n| = 0
> Ciao.
> Nel "Discorso di metafisica" Leibniz scrive "Se segnassimo a caso dei
> punti su un foglio di carta, si potrebbe individuare sempre e comunque
> un'equazione matematica tale da rendere conto di quanto fatto."
Certamente: indicando con r1, ... r_n i vettori che indicano i punti
un'equazione che li compendia come soluzioni è:
(x-r1)^2 (x - r2)^2 ...(x-r_n)^2 = 0
> Da studente di filosofia profano in matematica volevo sapere quale
> procedimento generale si può usare per trovare, dati un certo numero
> di punti sul piano, un'equazione che li contiene tutti, sarebbe
> interessante sapere anche, nel caso ci siano più equazioni soddisfanti
> ciò, trovare la più semplice, e mi interesserebbe sapere se già
> Leibniz di fatto conosceva a fondo procedimenti simili.
Il criterio di semplicità è qualcosa di estremamente poco elementare da
individuare, per ragioni filosofiche al cui riguardo Leibniz avrebbe
avuto molto da insegnare. La semplicità è questione di punto di visto,
un oggetto semplice dal punto di vista estensionale è certamente
complesso dal punto di vista intensionale, e naturalmente viceversa. In
termini più moderni ciò che l'uomo reputa semplice è generalmente
qualcosa che è legato da un lato ad un'abilità acquisita nel corso di
un'evoluzione di milioni di anni dall'altro ad un'abilità di giudizio
anch'essa legata allo sviluppo biologico del cervello da un lato ed
allo sviluppo storico della cultura dall'altro. A ben riflettere questa
evoluzione ha poco di semplice, ed è servita a per lo più a trovare
aghi in un pagliaio.
Scendendo più al concreto Leibniz era a conoscenza dei metodi di
interpolazione polinomiale. Ma lascio a te giudicare quale fra queste
due equazioni sia più semplice:
(x-r1)^2 (x - r2)^2 ...(x-r_n)^2 = 0
|x-r1| |x - r2| ...|x-r_n| = 0
> Ciao.
multivac85
Dec 21, 2011, 9:15:41 AM12/21/11
to
On 21 Dic, 14:58, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
> Nel suo scritto precedente, multivac85 ha sostenuto :
>
> > Nel "Discorso di metafisica" Leibniz scrive "Se segnassimo a caso dei
> > punti su un foglio di carta, si potrebbe individuare sempre e comunque
> > un'equazione matematica tale da rendere conto di quanto fatto."
>
> Certamente: indicando con r1, ... r_n i vettori che indicano i punti
> un'equazione che li compendia come soluzioni è:
>
> (x-r1)^2 (x - r2)^2 ...(x-r_n)^2 = 0
>
Interessante, e qual è il nome tecnico di questa interpolazione?
> Nel suo scritto precedente, multivac85 ha sostenuto :
>
> > Nel "Discorso di metafisica" Leibniz scrive "Se segnassimo a caso dei
> > punti su un foglio di carta, si potrebbe individuare sempre e comunque
> > un'equazione matematica tale da rendere conto di quanto fatto."
>
> Certamente: indicando con r1, ... r_n i vettori che indicano i punti
> un'equazione che li compendia come soluzioni è:
>
> (x-r1)^2 (x - r2)^2 ...(x-r_n)^2 = 0
>
> > Da studente di filosofia profano in matematica volevo sapere quale
> > procedimento generale si può usare per trovare, dati un certo numero
> > di punti sul piano, un'equazione che li contiene tutti, sarebbe
> > interessante sapere anche, nel caso ci siano più equazioni soddisfanti
> > ciò, trovare la più semplice, e mi interesserebbe sapere se già
> > Leibniz di fatto conosceva a fondo procedimenti simili.
>
> Il criterio di semplicità è qualcosa di estremamente poco elementare da
> individuare, per ragioni filosofiche al cui riguardo Leibniz avrebbe
> avuto molto da insegnare. La semplicità è questione di punto di visto,
> un oggetto semplice dal punto di vista estensionale è certamente
> complesso dal punto di vista intensionale, e naturalmente viceversa. In
> termini più moderni ciò che l'uomo reputa semplice è generalmente
> qualcosa che è legato da un lato ad un'abilità acquisita nel corso di
> un'evoluzione di milioni di anni dall'altro ad un'abilità di giudizio
> anch'essa legata allo sviluppo biologico del cervello da un lato ed
> allo sviluppo storico della cultura dall'altro. A ben riflettere questa
> evoluzione ha poco di semplice, ed è servita a per lo più a trovare
> aghi in un pagliaio.
>
al riguardo...
> Scendendo più al concreto Leibniz era a conoscenza dei metodi di
> interpolazione polinomiale. Ma lascio a te giudicare quale fra queste
> due equazioni sia più semplice:
>
> (x-r1)^2 (x - r2)^2 ...(x-r_n)^2 = 0
> |x-r1| |x - r2| ...|x-r_n| = 0
>
>
>
>
>
>
>
> > Ciao.
P.S.: qualcuno trovi un modo per unire i due post con lo stesso nome
(e magari correggete pure il titolo togliendo la "z" in più), giuro
che d'ora in poi manderò via solo un post e non lo elimino più a causa
di pignolerie come errori di battitura e vari...
Ciao.
Tetis
Dec 21, 2011, 12:30:17 PM12/21/11
to
multivac85 ci ha detto :
>>> Da studente di filosofia profano in matematica volevo sapere quale
>>> procedimento generale si può usare per trovare, dati un certo numero
>>> di punti sul piano, un'equazione che li contiene tutti, sarebbe
>>> interessante sapere anche, nel caso ci siano più equazioni soddisfanti
>>> ciò, trovare la più semplice, e mi interesserebbe sapere se già
>>> Leibniz di fatto conosceva a fondo procedimenti simili.
>>
>> Il criterio di semplicità è qualcosa di estremamente poco elementare da
>> individuare, per ragioni filosofiche al cui riguardo Leibniz avrebbe
>> avuto molto da insegnare. La semplicità è questione di punto di visto,
>> un oggetto semplice dal punto di vista estensionale è certamente
>> complesso dal punto di vista intensionale, e naturalmente viceversa. In
>> termini più moderni ciò che l'uomo reputa semplice è generalmente
>> qualcosa che è legato da un lato ad un'abilità acquisita nel corso di
>> un'evoluzione di milioni di anni dall'altro ad un'abilità di giudizio
>> anch'essa legata allo sviluppo biologico del cervello da un lato ed
>> allo sviluppo storico della cultura dall'altro. A ben riflettere questa
>> evoluzione ha poco di semplice, ed è servita a per lo più a trovare
>> aghi in un pagliaio.
>>
>
> Magari sarebbe interessante se tu mi dessi dei consigli bibliografici
> al riguardo...
Puoi vedere se trovi una traduzione con un buon apparato critico per
"Specimen calculi coincidentium et inexistentium" le pagine fra le 830
ed 845 contengono i fondamenti del calcolo logico di Leibniz unitamente
alle sue motivazioni filosofiche, in merito agli argomenti di inerenza
e coincidenza. E poi lo "Specimen calculi coincidentium" fra le pagine
816 ed 822 dove fa uso della giustapposizione di lettere per indicare
due differenti operazioni logiche: il loro significato differisce nel
contesto intensionale (attinente la coincidenza) dal contesto
estensionale (attinente l'inerenza). L'espressione AB con A e B termini
qualsiasi estensionalmente designa l'insieme degli individui che sono
sia A sia B; intensionalmente designa il concetto costituito unendo le
due proprietà A e B.
In termini più moderni queste nozioni sono filtrate e si sono
distillate nell'interpretazione logica del calcolo di Boole e
nell'interpretazione insiemistica.
Per qualche consiglio puoi scrivere a Massimo Mugnai che è un cultore
di Leibniz in Italia:
http://www.leibnizlab.unito.it/doku.php?id=sodalitas:conferenza2009
E di certo può indirizzarti meglio di come posso io.
http://www.leibnizlab.unito.it/doku.php?id=sodalitas_leibnitiana
>> Scendendo più al concreto Leibniz era a conoscenza dei metodi di
>> interpolazione polinomiale. Ma lascio a te giudicare quale fra queste
>> due equazioni sia più semplice:
>>
>> (x-r1)^2 (x - r2)^2 ...(x-r_n)^2 = 0
>>> x-r1| |x - r2| ...|x-r_n| = 0
>>> Ciao.
>
> Dai rimasugli di matematica che mi restano, ritengo sia la seconda!
Sapevo che avresti risposto così ed è in un certo senso corretto.
Tuttavia la seconda è un'espressione più complicata da calcolare
rispetto alla prima perchè sottintende quanto segue: ponendo x =
(X,Y,Z) ed r1 = (X1, Y1 , Z1)
|x-r1| significa:
sqrt( (X-X1)^2 + (Y-Y1)^2 + (Z-Z1)^2)
mentre:
(x-r1)^2 è semplicemente:
(X-X1)^2 + (Y-Y1)^2 + (Z-Z1)^2
La prima espressione è quindi un'interpolazione polinomiale, la seconda
no.
La curiosità è che in una dimensione l'interpolazione polinomiale per n
punti è di grado n, questo metodo di interpolaziona ammette estensione
in due dimensioni in termini dell'algebra dei numeri complessi ma
equivale ad un sistema di due equazioni di grado n in 2 variabili
reali, in tre dimensioni introducendo l'algebra di Clifford di grado 3
equivale ad un sistema di tre equazioni di grado n, in tre variabili
reali etc...
Tuttavia dal momento che Leibniz, che io sappia, non conosceva questi
metodi dovuti a Gauss e Clifford, e nemmeno gli spazi di dimensione
arbitraria, ma conosceva molto bene, per avere contribuito a porli, i
fondamenti della geometria analitica è più probabile che con una
equazione intendesse una equazioni di 1, 2 o 3 variabili reali secondo
della dimensione di interesse. L'equazione di interpolazione
polinomiale di grado minimo in una dimensione è allora di grado n, in
dimensione maggiore di 1 è di grado 2n.
> P.S.: qualcuno trovi un modo per unire i due post con lo stesso nome
> (e magari correggete pure il titolo togliendo la "z" in più), giuro
> che d'ora in poi manderò via solo un post e non lo elimino più a causa
> di pignolerie come errori di battitura e vari...
Per il momento ti rispondo su questo, poi vediamo se si può riepilogare
il tutto in un nuovo thread, ma più in là. Per il momento la frittata è
impiattata :-) Questi due post non li puoi eliminare da tutti i server
dove sono stati condivisi prima che tu cambiassi idea, e qualcuno
leggendo potrà sempre volerti rispondere, aggiungendo una sintesi nuova
aggiungeresti forse solo una nuova fonte di confusione.
> Ciao.
> On 21 Dic, 14:58, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
>> Nel suo scritto precedente, multivac85 ha sostenuto :
>>
>>> Nel "Discorso di metafisica" Leibniz scrive "Se segnassimo a caso dei
>>> punti su un foglio di carta, si potrebbe individuare sempre e comunque
>>> un'equazione matematica tale da rendere conto di quanto fatto."
>>
>> Certamente: indicando con r1, ... r_n i vettori che indicano i punti
>> un'equazione che li compendia come soluzioni è:
>>
>> (x-r1)^2 (x - r2)^2 ...(x-r_n)^2 = 0
>>
>
> Interessante, e qual è il nome tecnico di questa interpolazione?
Interpolazione polinomiale in tre indeterminate.
>> Nel suo scritto precedente, multivac85 ha sostenuto :
>>
>>> Nel "Discorso di metafisica" Leibniz scrive "Se segnassimo a caso dei
>>> punti su un foglio di carta, si potrebbe individuare sempre e comunque
>>> un'equazione matematica tale da rendere conto di quanto fatto."
>>
>> Certamente: indicando con r1, ... r_n i vettori che indicano i punti
>> un'equazione che li compendia come soluzioni è:
>>
>> (x-r1)^2 (x - r2)^2 ...(x-r_n)^2 = 0
>>
>
> Interessante, e qual è il nome tecnico di questa interpolazione?
>>> Da studente di filosofia profano in matematica volevo sapere quale
>>> procedimento generale si può usare per trovare, dati un certo numero
>>> di punti sul piano, un'equazione che li contiene tutti, sarebbe
>>> interessante sapere anche, nel caso ci siano più equazioni soddisfanti
>>> ciò, trovare la più semplice, e mi interesserebbe sapere se già
>>> Leibniz di fatto conosceva a fondo procedimenti simili.
>>
>> Il criterio di semplicità è qualcosa di estremamente poco elementare da
>> individuare, per ragioni filosofiche al cui riguardo Leibniz avrebbe
>> avuto molto da insegnare. La semplicità è questione di punto di visto,
>> un oggetto semplice dal punto di vista estensionale è certamente
>> complesso dal punto di vista intensionale, e naturalmente viceversa. In
>> termini più moderni ciò che l'uomo reputa semplice è generalmente
>> qualcosa che è legato da un lato ad un'abilità acquisita nel corso di
>> un'evoluzione di milioni di anni dall'altro ad un'abilità di giudizio
>> anch'essa legata allo sviluppo biologico del cervello da un lato ed
>> allo sviluppo storico della cultura dall'altro. A ben riflettere questa
>> evoluzione ha poco di semplice, ed è servita a per lo più a trovare
>> aghi in un pagliaio.
>>
>
> Magari sarebbe interessante se tu mi dessi dei consigli bibliografici
> al riguardo...
"Specimen calculi coincidentium et inexistentium" le pagine fra le 830
ed 845 contengono i fondamenti del calcolo logico di Leibniz unitamente
alle sue motivazioni filosofiche, in merito agli argomenti di inerenza
e coincidenza. E poi lo "Specimen calculi coincidentium" fra le pagine
816 ed 822 dove fa uso della giustapposizione di lettere per indicare
due differenti operazioni logiche: il loro significato differisce nel
contesto intensionale (attinente la coincidenza) dal contesto
estensionale (attinente l'inerenza). L'espressione AB con A e B termini
qualsiasi estensionalmente designa l'insieme degli individui che sono
sia A sia B; intensionalmente designa il concetto costituito unendo le
due proprietà A e B.
In termini più moderni queste nozioni sono filtrate e si sono
distillate nell'interpretazione logica del calcolo di Boole e
nell'interpretazione insiemistica.
Per qualche consiglio puoi scrivere a Massimo Mugnai che è un cultore
di Leibniz in Italia:
http://www.leibnizlab.unito.it/doku.php?id=sodalitas:conferenza2009
E di certo può indirizzarti meglio di come posso io.
http://www.leibnizlab.unito.it/doku.php?id=sodalitas_leibnitiana
>> Scendendo più al concreto Leibniz era a conoscenza dei metodi di
>> interpolazione polinomiale. Ma lascio a te giudicare quale fra queste
>> due equazioni sia più semplice:
>>
>> (x-r1)^2 (x - r2)^2 ...(x-r_n)^2 = 0
>>> x-r1| |x - r2| ...|x-r_n| = 0
>>> Ciao.
>
> Dai rimasugli di matematica che mi restano, ritengo sia la seconda!
Tuttavia la seconda è un'espressione più complicata da calcolare
rispetto alla prima perchè sottintende quanto segue: ponendo x =
(X,Y,Z) ed r1 = (X1, Y1 , Z1)
|x-r1| significa:
sqrt( (X-X1)^2 + (Y-Y1)^2 + (Z-Z1)^2)
mentre:
(x-r1)^2 è semplicemente:
(X-X1)^2 + (Y-Y1)^2 + (Z-Z1)^2
La prima espressione è quindi un'interpolazione polinomiale, la seconda
no.
La curiosità è che in una dimensione l'interpolazione polinomiale per n
punti è di grado n, questo metodo di interpolaziona ammette estensione
in due dimensioni in termini dell'algebra dei numeri complessi ma
equivale ad un sistema di due equazioni di grado n in 2 variabili
reali, in tre dimensioni introducendo l'algebra di Clifford di grado 3
equivale ad un sistema di tre equazioni di grado n, in tre variabili
reali etc...
Tuttavia dal momento che Leibniz, che io sappia, non conosceva questi
metodi dovuti a Gauss e Clifford, e nemmeno gli spazi di dimensione
arbitraria, ma conosceva molto bene, per avere contribuito a porli, i
fondamenti della geometria analitica è più probabile che con una
equazione intendesse una equazioni di 1, 2 o 3 variabili reali secondo
della dimensione di interesse. L'equazione di interpolazione
polinomiale di grado minimo in una dimensione è allora di grado n, in
dimensione maggiore di 1 è di grado 2n.
> P.S.: qualcuno trovi un modo per unire i due post con lo stesso nome
> (e magari correggete pure il titolo togliendo la "z" in più), giuro
> che d'ora in poi manderò via solo un post e non lo elimino più a causa
> di pignolerie come errori di battitura e vari...
il tutto in un nuovo thread, ma più in là. Per il momento la frittata è
impiattata :-) Questi due post non li puoi eliminare da tutti i server
dove sono stati condivisi prima che tu cambiassi idea, e qualcuno
leggendo potrà sempre volerti rispondere, aggiungendo una sintesi nuova
aggiungeresti forse solo una nuova fonte di confusione.
> Ciao.
multivac85
Dec 21, 2011, 2:05:47 PM12/21/11
to
On 21 Dic, 18:30, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
> Per qualche consiglio puoi scrivere a Massimo Mugnai che è un cultore
> di Leibniz in Italia:
>
> http://www.leibnizlab.unito.it/doku.php?id=sodalitas:conferenza2009
>
> E di certo può indirizzarti meglio di come posso io.
>
> http://www.leibnizlab.unito.it/doku.php?id=sodalitas_leibnitiana
>
Lo conosco, è ben noto che l'opera omnia di Leibniz è lungi ancora
> Per qualche consiglio puoi scrivere a Massimo Mugnai che è un cultore
> di Leibniz in Italia:
>
> http://www.leibnizlab.unito.it/doku.php?id=sodalitas:conferenza2009
>
> E di certo può indirizzarti meglio di come posso io.
>
> http://www.leibnizlab.unito.it/doku.php?id=sodalitas_leibnitiana
>
dall'essere del tutto pubblicata ^_^
trovato un esempio di interpolazione langrangiana, se non erro
polinomiale anch'essa, la cosa che mi incuriosirebbe è sapere le
differenze con gli altri tipi di interpolazione, vedendo se le curve
risultanti sono più o meno "complesse" a seconda del tipo di
interpolazione usato.
Ho letto che oltre all'interpolazione in ambito statistico si usa
anche il "curve fitting" che da quel che ho capito la differenza con
le interpolazioni è che cerca più che altro di trovare curve che
perlomeno approssimano questi punti, o sbaglio?
> > P.S.: qualcuno trovi un modo per unire i due post con lo stesso nome
> > (e magari correggete pure il titolo togliendo la "z" in più), giuro
> > che d'ora in poi manderò via solo un post e non lo elimino più a causa
> > di pignolerie come errori di battitura e vari...
>
> Per il momento ti rispondo su questo, poi vediamo se si può riepilogare
> il tutto in un nuovo thread, ma più in là. Per il momento la frittata è
> impiattata :-) Questi due post non li puoi eliminare da tutti i server
> dove sono stati condivisi prima che tu cambiassi idea, e qualcuno
> leggendo potrà sempre volerti rispondere, aggiungendo una sintesi nuova
> aggiungeresti forse solo una nuova fonte di confusione.
>
>
>
>
>
>
>
> > Ciao.
interventi da googlegroup (in pratica mi ha detto solo che
l'operazione descritta da Leibniz è l'interpolazione e che già Newton
la usava), io cancello i miei nel post doppione, così in teoria almeno
su google groups (che uso io per usenet) non vedo più il doppione.
Ci terrei a farlo perchè vorrei approfondire qui il tema della
semplicità e della complessità, questo documento http://arxiv.org/pdf/math/0306303v2
parte proprio da Leibniz per approfondire questo tema.
Ciao.
superpollo
Dec 21, 2011, 2:27:03 PM12/21/11
to
multivac85 ha scritto:
...
necessarie per provvedere a quanto richiesto.
bye
--
- La verdad amigo, es que en tu sangre, tienes mierda!
- Es posible, pero la mierda viva es mejor que la mierda muerta...
- Amigo... la mierda, siempre mierda es!!
...
> Ho un idea: chiedo all'utente "superpollo" di "cancellare" i suoi due
> interventi da googlegroup (in pratica mi ha detto solo che
> l'operazione descritta da Leibniz è l'interpolazione e che già Newton
> la usava), io cancello i miei nel post doppione, così in teoria almeno
> su google groups (che uso io per usenet) non vedo più il doppione.
l'utente "superpollo" non ha le credenziali di accesso ai server
> interventi da googlegroup (in pratica mi ha detto solo che
> l'operazione descritta da Leibniz è l'interpolazione e che già Newton
> la usava), io cancello i miei nel post doppione, così in teoria almeno
> su google groups (che uso io per usenet) non vedo più il doppione.
necessarie per provvedere a quanto richiesto.
bye
--
- La verdad amigo, es que en tu sangre, tienes mierda!
- Es posible, pero la mierda viva es mejor que la mierda muerta...
- Amigo... la mierda, siempre mierda es!!
multivac85
Dec 21, 2011, 2:44:09 PM12/21/11
to
vedere se un messaggio l'ho davvero inviato o no...
Ciao.
Tetis
Dec 21, 2011, 5:29:25 PM12/21/11
to
multivac85 scriveva il 21/12/2011 :
specificamente, te lo garantisco, ne ha scritto su alcuni quaderni
editi da Le Scienze.
>
> Qui http://www.math.ucla.edu/~baker/java/hoefer/Lagrange.htm ho
> trovato un esempio di interpolazione langrangiana, se non erro
> polinomiale anch'essa, la cosa che mi incuriosirebbe è sapere le
> differenze con gli altri tipi di interpolazione, vedendo se le curve
> risultanti sono più o meno "complesse" a seconda del tipo di
> interpolazione usato.
Il caso specifico che ho descritto corrisponde a trovare una funzione
di interpolazione che assume il valore zero nei punti r1,...,rn, questo
risolve il problema che ponevi di trovare un'equazione matematica che,
come dice Leibniz, renda conto di questi punti. E ne rende conto nel
senso che individua strettamente quei punti come soluzioni di
un'equazione matematica.
In generale il problema dell'interpolazione è trovare una funzione (in
generale da R^D_r in R^D_q ) polinomiale in r che assuma il valore q1
in r1, q2 in r2, .... qn in rn, quindi gli r variano in R^D_r mentre i
q in R^D_q. Nel caso dell'interpolazione lagrangiana del link che hai
postato D_t = 1 cioè i valori di t1,...,tn sono reali, mentre D_r = 2,
e la funzione cercata è da R^1 in R^3. In questo modo trovi una
funzione che passa per quei punti ma non un'equazione matematica che
individua quei soli punti in qualche modo.
Nel caso del problema di trovare una equazione che descriva
strettamente un dato insieme di punti come insieme degli zeri D_r = 3,
D_q = 1 e la funzione cercata è da R^3 in R^1. Le due questioni sono
differenti come vedi, in generale i valori r1,...rn potrebbero anche
essere indeterminati.
> Ho letto che oltre all'interpolazione in ambito statistico si usa
> anche il "curve fitting" che da quel che ho capito la differenza con
> le interpolazioni è che cerca più che altro di trovare curve che
> perlomeno approssimano questi punti, o sbaglio?
Esatto è un problema che generalmente trae origine dal mondo
sperimentale, in varie forme: di consueto si dispone di una ipotesi di
correlazione fra due insiemi di grandezze determinate sperimentalmente
o statisticamente con un certo grado di incertezza o di variabilità e
si cerca l'insieme di parametri che descrivano al meglio la situazione
specifica. Per esempio può trattarsi di determinare l'accelerazione
dalla misura del periodo e della lunghezza di un pendolo. Esistono
delle affinità e dei problemi comuni fra i due argomenti, che però
terrei distinti.
> Ci terrei a farlo perchè vorrei approfondire qui il tema della
> semplicità e della complessità, questo documento
> http://arxiv.org/pdf/math/0306303v2 parte proprio da Leibniz per approfondire
> questo tema.
? Leibniz e Chaitin non è un mix pericoloso :-)
> Ciao.
> On 21 Dic, 18:30, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
>
>> Per qualche consiglio puoi scrivere a Massimo Mugnai che è un cultore
>> di Leibniz in Italia:
>>
>> http://www.leibnizlab.unito.it/doku.php?id=sodalitas:conferenza2009
>>
>> E di certo può indirizzarti meglio di come posso io.
>>
>> http://www.leibnizlab.unito.it/doku.php?id=sodalitas_leibnitiana
>>
>
> Lo conosco, è ben noto che l'opera omnia di Leibniz è lungi ancora
> dall'essere del tutto pubblicata ^_^
Ma di quell'argomento e di quei volumi Mugnai si è occupato
>
>> Per qualche consiglio puoi scrivere a Massimo Mugnai che è un cultore
>> di Leibniz in Italia:
>>
>> http://www.leibnizlab.unito.it/doku.php?id=sodalitas:conferenza2009
>>
>> E di certo può indirizzarti meglio di come posso io.
>>
>> http://www.leibnizlab.unito.it/doku.php?id=sodalitas_leibnitiana
>>
>
> Lo conosco, è ben noto che l'opera omnia di Leibniz è lungi ancora
> dall'essere del tutto pubblicata ^_^
specificamente, te lo garantisco, ne ha scritto su alcuni quaderni
editi da Le Scienze.
>
> Qui http://www.math.ucla.edu/~baker/java/hoefer/Lagrange.htm ho
> trovato un esempio di interpolazione langrangiana, se non erro
> polinomiale anch'essa, la cosa che mi incuriosirebbe è sapere le
> differenze con gli altri tipi di interpolazione, vedendo se le curve
> risultanti sono più o meno "complesse" a seconda del tipo di
> interpolazione usato.
di interpolazione che assume il valore zero nei punti r1,...,rn, questo
risolve il problema che ponevi di trovare un'equazione matematica che,
come dice Leibniz, renda conto di questi punti. E ne rende conto nel
senso che individua strettamente quei punti come soluzioni di
un'equazione matematica.
In generale il problema dell'interpolazione è trovare una funzione (in
generale da R^D_r in R^D_q ) polinomiale in r che assuma il valore q1
in r1, q2 in r2, .... qn in rn, quindi gli r variano in R^D_r mentre i
q in R^D_q. Nel caso dell'interpolazione lagrangiana del link che hai
postato D_t = 1 cioè i valori di t1,...,tn sono reali, mentre D_r = 2,
e la funzione cercata è da R^1 in R^3. In questo modo trovi una
funzione che passa per quei punti ma non un'equazione matematica che
individua quei soli punti in qualche modo.
Nel caso del problema di trovare una equazione che descriva
strettamente un dato insieme di punti come insieme degli zeri D_r = 3,
D_q = 1 e la funzione cercata è da R^3 in R^1. Le due questioni sono
differenti come vedi, in generale i valori r1,...rn potrebbero anche
essere indeterminati.
> Ho letto che oltre all'interpolazione in ambito statistico si usa
> anche il "curve fitting" che da quel che ho capito la differenza con
> le interpolazioni è che cerca più che altro di trovare curve che
> perlomeno approssimano questi punti, o sbaglio?
sperimentale, in varie forme: di consueto si dispone di una ipotesi di
correlazione fra due insiemi di grandezze determinate sperimentalmente
o statisticamente con un certo grado di incertezza o di variabilità e
si cerca l'insieme di parametri che descrivano al meglio la situazione
specifica. Per esempio può trattarsi di determinare l'accelerazione
dalla misura del periodo e della lunghezza di un pendolo. Esistono
delle affinità e dei problemi comuni fra i due argomenti, che però
terrei distinti.
> Ci terrei a farlo perchè vorrei approfondire qui il tema della
> semplicità e della complessità, questo documento
> http://arxiv.org/pdf/math/0306303v2 parte proprio da Leibniz per approfondire
> questo tema.
> Ciao.
Tommaso Russo, Trieste
Dec 21, 2011, 7:06:21 PM12/21/11
to
Il 21/12/2011 20:05, multivac85 ha scritto:
> Ho letto che oltre all'interpolazione in ambito statistico si usa
> anche il "curve fitting" che da quel che ho capito la differenza con
> le interpolazioni è che cerca più che altro di trovare curve che
> perlomeno approssimano questi punti, o sbaglio?
Sono due cose completamente diverse.
> Ho letto che oltre all'interpolazione in ambito statistico si usa
> anche il "curve fitting" che da quel che ho capito la differenza con
> le interpolazioni è che cerca più che altro di trovare curve che
> perlomeno approssimano questi punti, o sbaglio?
Con l'interpolazione polinomiale cerchi (e trovi *sempre*) un'equazione
polinomiale nelle coordinate dei punti che e' *esattamente* soddisfatta
dalle coordinate dei punti dati. L'equazione trovata non ti da' molta
informazione, e nessuno ti garantisce che aggiungendo (serimentalmente?)
un punto a quelli dati anche le sue coordinate soddisfino all'equazione
trovata. A meno che:
1) i coefficenti dell'equazione polinomiale trovata siano, in valore
assoluto, *molto piccoli* rispetto agli altri per i termini di grado
superiore a un certo n piccolo (es. 2 o 3). In questo caso puoi
sospettare di aver scoperto una legge di natura "semplice", di grado 2 o
3, e che le misure che ti hanno portato a quei punti siano state affette
da un errore casuale o rumore che hanno fatto comparire termini di grado
superiore.
2) esplicitando la dipendenza di alcune coordinate (variabili
dipendenti) dalle rimanenti (variabili indipendenti) tu trovi dei
polinomi che assomigliano *moltissimo* all'espansione in serie di Taylor
di funzioni trascendenti (esponenziali, trigonometriche). Anche in
questo caso puoi sospettare di aver scoperto una legge di natura
"semplice", e che le misure che ti hanno portato a quei punti siano
state affette da un errore casuale o rumore.
*Se* arrivi a questo punto puoi ricorrere al curve fitting.
Nel curve fitting tu fai *prima di tutto*, su basi teoriche, l'ipotesi
che i punti misurati soddisfino ad una legge generale (variabili
dipendenti = funzione (variabili indipendenti)) di cui pensi di
conoscere l'andamento (polinomiale di grado piccolo, esponenziale,
logaritmico, trigonometrico, loro combinazioni) ma di cui *non* conosci
i parametri (i termini costanti delle funzioni). In questo caso, cerchi
*i parametri* con cui la funzione della *forma* da te ipotizzata
soddisfa "al meglio" le coordinate dei punti ottenuti sperimentalmente.
"Al meglio" significa, normalmente, che per ogni punto, fissate le
variabili indipendenti eguali a quelle dei punti misurati, dagli scarti
fra le variabili dipendenti calcolate e misurate si ottiene una distanza
fra il punto teorico e quello misurato. I parametri migliori sono quelli
che minimizzano la somma dei quadrati di tali distanze.
C'e' una ragione teorica profonda per scegliere proprio la somma dei
quadrati delle distanze come obbiettivo da minimizzare: ma io sono di
partenza per le Dolomiti, per cui senza aspettare l'anno prossimo te la
esporra' qualcun altro :-)
(Magari Teti_s, che la conosce meglio di me :-)
> Ci terrei a farlo perchè vorrei approfondire qui il tema della
> semplicità e della complessità, questo documento http://arxiv.org/pdf/math/0306303v2
> parte proprio da Leibniz per approfondire questo tema.
insight migliore.
Buon Natale e Buon Anno nuovo :-)
--
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni
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