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Aperti non misurabili secondo Peano-Jordan
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Tetis
Jan 19, 2013, 7:00:36 AM1/19/13
to
Il libro di Giusti scrive: "...esiste per esempio un aperto limitato
non integrabile secondo Peano-Jordan"
Sarￜ ottuso ma non sono mai riuscito a trovare questo esempio.
Naturalmente insiemi misurabili secondo Lebesgue, ma non secondo
Peano-Jordan potrei costruirne a volontￜ, ma aperti?
non integrabile secondo Peano-Jordan"
Sarￜ ottuso ma non sono mai riuscito a trovare questo esempio.
Naturalmente insiemi misurabili secondo Lebesgue, ma non secondo
Peano-Jordan potrei costruirne a volontￜ, ma aperti?
Enrico Gregorio
Jan 19, 2013, 7:16:19 AM1/19/13
to
Tetis <lje...@yahoo.it> scrive:
> Il libro di Giusti scrive: "...esiste per esempio un aperto limitato
> non integrabile secondo Peano-Jordan"
>
> Sar� ottuso ma non sono mai riuscito a trovare questo esempio.
Il "fat Cantor set" o insieme di Smith-Volterra-Cantor �
compatto, quindi chiuso, e non misurabile secondo Peano-Jordan.
<http://en.wikipedia.org/wiki/Smith�Volterra�Cantor_set>
Ne segue che se prendi il suo complementare in (-1,2), hai un
insieme aperto e limitato che non � misurabile secondo
Peano-Jordan.
Ciao
Enrico
> Il libro di Giusti scrive: "...esiste per esempio un aperto limitato
> non integrabile secondo Peano-Jordan"
>
> Naturalmente insiemi misurabili secondo Lebesgue, ma non secondo
> Peano-Jordan potrei costruirne a volont�, ma aperti?
Il "fat Cantor set" o insieme di Smith-Volterra-Cantor �
compatto, quindi chiuso, e non misurabile secondo Peano-Jordan.
<http://en.wikipedia.org/wiki/Smith�Volterra�Cantor_set>
Ne segue che se prendi il suo complementare in (-1,2), hai un
insieme aperto e limitato che non � misurabile secondo
Peano-Jordan.
Ciao
Enrico
joseph cornelius hallenbeck
Jan 19, 2013, 7:18:48 AM1/19/13
to
Enrico Gregorio ha scritto:
--
ho avuto un flirt con un topo, non ricordo i particolari
> Tetis <lje...@yahoo.it> scrive:
>
>> Il libro di Giusti scrive: "...esiste per esempio un aperto limitato
>> non integrabile secondo Peano-Jordan"
>>
>> Sar� ottuso ma non sono mai riuscito a trovare questo esempio.
>> Naturalmente insiemi misurabili secondo Lebesgue, ma non secondo
>> Peano-Jordan potrei costruirne a volont�, ma aperti?
>
> Il "fat Cantor set" o insieme di Smith-Volterra-Cantor �
> compatto, quindi chiuso, e non misurabile secondo Peano-Jordan.
>
> <http://en.wikipedia.org/wiki/Smith�Volterra�Cantor_set>
"Wikipedia does not have an article with this exact name."
>
>> Il libro di Giusti scrive: "...esiste per esempio un aperto limitato
>> non integrabile secondo Peano-Jordan"
>>
>> Sar� ottuso ma non sono mai riuscito a trovare questo esempio.
>> Naturalmente insiemi misurabili secondo Lebesgue, ma non secondo
>> Peano-Jordan potrei costruirne a volont�, ma aperti?
>
> Il "fat Cantor set" o insieme di Smith-Volterra-Cantor �
> compatto, quindi chiuso, e non misurabile secondo Peano-Jordan.
>
> <http://en.wikipedia.org/wiki/Smith�Volterra�Cantor_set>
--
ho avuto un flirt con un topo, non ricordo i particolari
Kiuhnm
Jan 19, 2013, 7:23:41 AM1/19/13
to
On 1/19/2013 13:16, Enrico Gregorio wrote:
> Tetis <lje...@yahoo.it> scrive:
>
>> Il libro di Giusti scrive: "...esiste per esempio un aperto limitato
>> non integrabile secondo Peano-Jordan"
>>
>> Sar� ottuso ma non sono mai riuscito a trovare questo esempio.
>> Naturalmente insiemi misurabili secondo Lebesgue, ma non secondo
>> Peano-Jordan potrei costruirne a volont�, ma aperti?
>
> Il "fat Cantor set" o insieme di Smith-Volterra-Cantor �
> compatto, quindi chiuso, e non misurabile secondo Peano-Jordan.
>
> <http://en.wikipedia.org/wiki/Smith�Volterra�Cantor_set>
<http://en.wikipedia.org/wiki/Smith-Volterra-Cantor_set>
> Tetis <lje...@yahoo.it> scrive:
>
>> Il libro di Giusti scrive: "...esiste per esempio un aperto limitato
>> non integrabile secondo Peano-Jordan"
>>
>> Sar� ottuso ma non sono mai riuscito a trovare questo esempio.
>> Naturalmente insiemi misurabili secondo Lebesgue, ma non secondo
>> Peano-Jordan potrei costruirne a volont�, ma aperti?
>
> Il "fat Cantor set" o insieme di Smith-Volterra-Cantor �
> compatto, quindi chiuso, e non misurabile secondo Peano-Jordan.
>
> <http://en.wikipedia.org/wiki/Smith�Volterra�Cantor_set>
Kiuhnm
josh
Jan 19, 2013, 9:06:45 AM1/19/13
to
Tetis
Jan 19, 2013, 11:05:00 AM1/19/13
to
Il 19/01/2013, Enrico Gregorio ha detto :
>
> Il "fat Cantor set" o insieme di Smith-Volterra-Cantor è
> Peano-Jordan.
>
> Ciao
> Enrico
Grazie. Ho capito, penso, perché non l'avrei mai trovato questo
esempio, avendo studiato all'epoca in parallelo sul Giusti e sul
Kolmogorov Fomin, che presenta il concetto di misura interna e di
misura esterna solo in subordine all'additività numerabile, davo
essenzialmente per scontata l'additività numerabile delle misure
'serie'.
Ma i plurirettangoli di Peano Jordan devono essere unione finite di
intervalli, quindi il fatto che esistano unioni non numerabili di
intervalli che coprono l'aperto complementare dell'insieme di Volterra
e tali che l'inf della loro misura sia metà della misura piena non è
rilevante ai fini dell'integrabilità secondo Peano-Jordan, ed infatti
il problema è che non esiste alcuna unione __finita__ di intervalli,
diversa dall'intero intervallo, che possa coprire il complementare
dell'insieme di Volterra.
Per quanto riguarda la funzione caratteristica di questo insieme il
problema con l'integrazione di Riemann è con le somme superiori, per
come si prenda una partizione finita dell'intervallo ogni intervallo
contiene almeno un punto dell'insieme. Bene, ma allora quale è il nesso
fra l'integrabilità di Riemann e la misura di Peano-Jordan?
Ho trovato un articolo che illustra il fatto che sebbene i due concetti
siano strettamente collegabili tanto in termini di necessità quanto in
termini di sufficienza, tuttavia fino al 1933 sembra che questo
collegamento non sia stato riconosciuto in modo serio o con il dovuto
rigore.
http://www.math.uga.edu/~pete/Frink33.pdf
Ora veniamo allo spunto di Josh: 'allora prova con i chiusi', quando è
arrivato il messaggio di Josh questa seconda parte che segue era in
realtà già a buon punto di composizione, avevo iniziato a riflettere
autonomamente sul punto. E scrivevo testualmente:
forse sbaglio ancora qualcosa, o semplicemente non trovo l'esempio
giusto su cui appuntare l'attenzione, ma non mi è ben nitido il motivo
per cui nel definire la misura esterna non basta ancora considerare le
unioni numerabili di intervalli chiusi, ma invece occorre usare gli
aperti, per esser più precisi ho un'intuizione chiara del perché debba
essere così (unioni numerabili di aperti possono contenere insiemi non
numerabili di punti di frontiera a misura non trascurabile) ma non mi
riesce di capire, proprio pensando all'esempio dell'insieme di
Volterra, perchè questo debba essere un impedimento.
Mi spiego in pratica:
se considero il complementare dell'insieme di Volterra, vedo
chiaramente che ogni punto dell'insieme di Volterra è di accumulazione
per il complementare, quindi la chiusura del complementare dell'insieme
di Volterra è, se non vado errato, l'intero intervallo e questo è di
fatto ciò che costituisce un problema per la misura di PJ, infatti so
che un insieme è misurabile secondo PJ sse la sua frontiera è un
insieme di misura nulla (e non mi riusciva di trovare esempi del
contrario perché avevo presente gli ordinari insiemi di Cantor che
hanno misura nulla).
Se però mi limito ad ammettere unioni numerabili di chiusi in modo che
la somma delle misure di ogni chiuso dell'unione converga mi sembra che
il problema non si ponga.
Considero la procedura costruttiva dell'insieme di Volterra vedo che
inizialmente tolgo un aperto di misura 1/4, poi 2 aperti di misura
1/16, poi 4 aperti di misura 1/64, etc... secondo la regola 2^n aperti
di misura 1/2^(2n+2). Con n che parte da 0 e prosegue per tutti i
naturali. Questa collezione di insiemi è evidentemente numerabile e
posso infatti enumerare anche i punti di frontiera di ogni insieme
parziale, inizialmente sono 2 punti, poi se ne aggiungono 4, poi altri
8, etc... ad ogni passo per individuare un punto della frontiera basta
specificare accanto all'allineamento finito di cifre binarie che
individua l'aperto un'ulteriore cifra binaria che individua il punto.
E qui si pone una prima domanda la cui risposta è bene discutere in
dettaglio, come mai l'insieme che rimane contiene degli ulteriori punti
di accumulazione che non fanno parte di questo insieme?
A questo si risponde così: l'insieme limite conterrà di fatti tutti i
punti che sono di accumulazione per almeno una sequenza dei punti di
frontiera parziali, cioè tutti quei punti individuati dagli
allineamenti binari infiniti composti concatenando i numeri binari
finiti che individuano ciascun punto di frontiera parziale.
D'altra parte se considero per ogni aperto di misura 1/2^(2n+2) un
chiuso pochissimo più grande, di misura diciamo: 1/2^(2n+2) + 1/(Mn+M)
vedo che, come la somma delle misure degli aperti vale 1/2, così la
somma della misura dei chiusi associati con gli aperti (che non sono
due a due disgiunti) vale 1/2 + 1/(2^M-2).
Questa somma dovrebbe essere una maggiorazione della misura dell'unione
di tutti i chiusi considerati, e quindi una maggiorazione della misura
dell'insieme considerato (che lo ricordo ancora è il complementare
dell'insieme di Volterra ed è un aperto). Questo insieme non sarà
necessariamente chiuso (solo le unioni finite di chiusi lo sono) il che
è del resto pienamente in accordo con la circostanza che il
complementare dell'insieme che riveste (l'insieme di Volterra) è denso
nell'insieme considerato (il complementare dell'insieme di Volterra).
Del resto senza stare tanto a penare avrei potuto limitarmi a
considerare per ogni intervallo aperto della procedura costruttiva la
sua chiusura avendo fin da subito la garanzia che la somma delle misure
parziali andasse a coincidere con 1/2. Esistono forse dei casi in cui
questa procedura di sostituzione di un ricoprimento aperto con una
unione numerabile di chiusi non è possibile oppure è solo più comodo
fare riferimento fin da principio agli aperti? (magari per qualche
costruzione che coinvolge la compattezza ed il teorema di Heine-Borel).
Grazie anticipatamente.
> Tetis <lje...@yahoo.it> scrive:
>
>> Il libro di Giusti scrive: "...esiste per esempio un aperto limitato
>> non integrabile secondo Peano-Jordan"
>>
>> Sarò ottuso ma non sono mai riuscito a trovare questo esempio.
>
>> Il libro di Giusti scrive: "...esiste per esempio un aperto limitato
>> non integrabile secondo Peano-Jordan"
>>
>> Naturalmente insiemi misurabili secondo Lebesgue, ma non secondo
>> Peano-Jordan potrei costruirne a volontà, ma aperti?
>
> Il "fat Cantor set" o insieme di Smith-Volterra-Cantor è
> compatto, quindi chiuso, e non misurabile secondo Peano-Jordan.
>
> <http://en.wikipedia.org/wiki/SmithVolterraCantor_set>
>
> Ne segue che se prendi il suo complementare in (-1,2), hai un
> insieme aperto e limitato che non è misurabile secondo
>
> <http://en.wikipedia.org/wiki/SmithVolterraCantor_set>
>
> Ne segue che se prendi il suo complementare in (-1,2), hai un
> Peano-Jordan.
>
> Ciao
> Enrico
Grazie. Ho capito, penso, perché non l'avrei mai trovato questo
esempio, avendo studiato all'epoca in parallelo sul Giusti e sul
Kolmogorov Fomin, che presenta il concetto di misura interna e di
misura esterna solo in subordine all'additività numerabile, davo
essenzialmente per scontata l'additività numerabile delle misure
'serie'.
Ma i plurirettangoli di Peano Jordan devono essere unione finite di
intervalli, quindi il fatto che esistano unioni non numerabili di
intervalli che coprono l'aperto complementare dell'insieme di Volterra
e tali che l'inf della loro misura sia metà della misura piena non è
rilevante ai fini dell'integrabilità secondo Peano-Jordan, ed infatti
il problema è che non esiste alcuna unione __finita__ di intervalli,
diversa dall'intero intervallo, che possa coprire il complementare
dell'insieme di Volterra.
Per quanto riguarda la funzione caratteristica di questo insieme il
problema con l'integrazione di Riemann è con le somme superiori, per
come si prenda una partizione finita dell'intervallo ogni intervallo
contiene almeno un punto dell'insieme. Bene, ma allora quale è il nesso
fra l'integrabilità di Riemann e la misura di Peano-Jordan?
Ho trovato un articolo che illustra il fatto che sebbene i due concetti
siano strettamente collegabili tanto in termini di necessità quanto in
termini di sufficienza, tuttavia fino al 1933 sembra che questo
collegamento non sia stato riconosciuto in modo serio o con il dovuto
rigore.
http://www.math.uga.edu/~pete/Frink33.pdf
Ora veniamo allo spunto di Josh: 'allora prova con i chiusi', quando è
arrivato il messaggio di Josh questa seconda parte che segue era in
realtà già a buon punto di composizione, avevo iniziato a riflettere
autonomamente sul punto. E scrivevo testualmente:
forse sbaglio ancora qualcosa, o semplicemente non trovo l'esempio
giusto su cui appuntare l'attenzione, ma non mi è ben nitido il motivo
per cui nel definire la misura esterna non basta ancora considerare le
unioni numerabili di intervalli chiusi, ma invece occorre usare gli
aperti, per esser più precisi ho un'intuizione chiara del perché debba
essere così (unioni numerabili di aperti possono contenere insiemi non
numerabili di punti di frontiera a misura non trascurabile) ma non mi
riesce di capire, proprio pensando all'esempio dell'insieme di
Volterra, perchè questo debba essere un impedimento.
Mi spiego in pratica:
se considero il complementare dell'insieme di Volterra, vedo
chiaramente che ogni punto dell'insieme di Volterra è di accumulazione
per il complementare, quindi la chiusura del complementare dell'insieme
di Volterra è, se non vado errato, l'intero intervallo e questo è di
fatto ciò che costituisce un problema per la misura di PJ, infatti so
che un insieme è misurabile secondo PJ sse la sua frontiera è un
insieme di misura nulla (e non mi riusciva di trovare esempi del
contrario perché avevo presente gli ordinari insiemi di Cantor che
hanno misura nulla).
Se però mi limito ad ammettere unioni numerabili di chiusi in modo che
la somma delle misure di ogni chiuso dell'unione converga mi sembra che
il problema non si ponga.
Considero la procedura costruttiva dell'insieme di Volterra vedo che
inizialmente tolgo un aperto di misura 1/4, poi 2 aperti di misura
1/16, poi 4 aperti di misura 1/64, etc... secondo la regola 2^n aperti
di misura 1/2^(2n+2). Con n che parte da 0 e prosegue per tutti i
naturali. Questa collezione di insiemi è evidentemente numerabile e
posso infatti enumerare anche i punti di frontiera di ogni insieme
parziale, inizialmente sono 2 punti, poi se ne aggiungono 4, poi altri
8, etc... ad ogni passo per individuare un punto della frontiera basta
specificare accanto all'allineamento finito di cifre binarie che
individua l'aperto un'ulteriore cifra binaria che individua il punto.
E qui si pone una prima domanda la cui risposta è bene discutere in
dettaglio, come mai l'insieme che rimane contiene degli ulteriori punti
di accumulazione che non fanno parte di questo insieme?
A questo si risponde così: l'insieme limite conterrà di fatti tutti i
punti che sono di accumulazione per almeno una sequenza dei punti di
frontiera parziali, cioè tutti quei punti individuati dagli
allineamenti binari infiniti composti concatenando i numeri binari
finiti che individuano ciascun punto di frontiera parziale.
D'altra parte se considero per ogni aperto di misura 1/2^(2n+2) un
chiuso pochissimo più grande, di misura diciamo: 1/2^(2n+2) + 1/(Mn+M)
vedo che, come la somma delle misure degli aperti vale 1/2, così la
somma della misura dei chiusi associati con gli aperti (che non sono
due a due disgiunti) vale 1/2 + 1/(2^M-2).
Questa somma dovrebbe essere una maggiorazione della misura dell'unione
di tutti i chiusi considerati, e quindi una maggiorazione della misura
dell'insieme considerato (che lo ricordo ancora è il complementare
dell'insieme di Volterra ed è un aperto). Questo insieme non sarà
necessariamente chiuso (solo le unioni finite di chiusi lo sono) il che
è del resto pienamente in accordo con la circostanza che il
complementare dell'insieme che riveste (l'insieme di Volterra) è denso
nell'insieme considerato (il complementare dell'insieme di Volterra).
Del resto senza stare tanto a penare avrei potuto limitarmi a
considerare per ogni intervallo aperto della procedura costruttiva la
sua chiusura avendo fin da subito la garanzia che la somma delle misure
parziali andasse a coincidere con 1/2. Esistono forse dei casi in cui
questa procedura di sostituzione di un ricoprimento aperto con una
unione numerabile di chiusi non è possibile oppure è solo più comodo
fare riferimento fin da principio agli aperti? (magari per qualche
costruzione che coinvolge la compattezza ed il teorema di Heine-Borel).
Grazie anticipatamente.
josh
Jan 19, 2013, 12:00:37 PM1/19/13
to
On 01/19/2013 05:05 PM, Tetis wrote:
> Ora veniamo allo spunto di Josh: 'allora prova con i chiusi', quando è
> arrivato il messaggio di Josh questa seconda parte che segue era in
> realtà già a buon punto di composizione, avevo iniziato a riflettere
> autonomamente sul punto. E scrivevo testualmente:
>
> forse sbaglio ancora qualcosa, o semplicemente non trovo l'esempio
> giusto su cui appuntare l'attenzione, ma non mi è ben nitido il motivo
> per cui nel definire la misura esterna non basta ancora considerare le
> unioni numerabili di intervalli chiusi, ma invece occorre usare gli
> aperti,
Non è necessario considerare intervalli aperti. Ottieni una teoria
> Ora veniamo allo spunto di Josh: 'allora prova con i chiusi', quando è
> arrivato il messaggio di Josh questa seconda parte che segue era in
> realtà già a buon punto di composizione, avevo iniziato a riflettere
> autonomamente sul punto. E scrivevo testualmente:
>
> forse sbaglio ancora qualcosa, o semplicemente non trovo l'esempio
> giusto su cui appuntare l'attenzione, ma non mi è ben nitido il motivo
> per cui nel definire la misura esterna non basta ancora considerare le
> unioni numerabili di intervalli chiusi, ma invece occorre usare gli
> aperti,
equivalente anche se usi solo gli intervalli chiusi o solo gli
intervalli semi-aperti (purchè ci sia sempre l'intervallo vuoto). Oppure
tutti i tipi di intervalli.
Ciao, Josh.
Tetis
Jan 19, 2013, 12:55:20 PM1/19/13
to
josh ci ha detto :
Quindi il punto di svolta nella teoria di Lebesgue si riduce
essenzialmente, come scrive appunto Kolmogorov nel suo libro di Analisi
nel capitolo sulle misure, nell'ammettere l'additività numerabile degli
insiemi disgiunti, null'altro ?
Ma come mai allora la scelta di definire la misura in termini di aperti
coprenti in luogo che come limite inferiore delle misure di unioni
numerabili di intervalli coprenti?
essenzialmente, come scrive appunto Kolmogorov nel suo libro di Analisi
nel capitolo sulle misure, nell'ammettere l'additività numerabile degli
insiemi disgiunti, null'altro ?
Ma come mai allora la scelta di definire la misura in termini di aperti
coprenti in luogo che come limite inferiore delle misure di unioni
numerabili di intervalli coprenti?
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