Poligoni sulla superficie di una sfera
Re bim
siamo in 5a liceo scientifico :
Sulla superficie di una sfera di raggio R disegno un poligono regolare.
Come calcolarne l'area?
Stiamo tentando con un quadrato di lato L, per iniziare.
La superficie ￜ certamente maggiore di L^2, e tende a L^2 quando L/R
tende a zero. Inoltre quando il lato del quadrato ￜ 1/2 Pi R, allora la
superficiￜ del quadrato ￜ la metￜ della superficie sferica.
Stiamo pensando che l'area del quadrato possa essere espressa da una
funzione del tipo
A=f(L,R)L^2, se non addirittura A=f(L/R)L^2.
Siamo sulla strada giusta?
Il mio compagno sta dicendo che bisogna trovare l'angolo solido al
centro ( non so se si dice cosￜ)che determina sulla superficie il
nostro quadrato. Allora l'area A sta alla superficie sferica, come
l'angolo solido sta all'angolo giro. Ma non ￜ facile trovare l'angolo.
Forse bisoignrebbe usare gli integrali, ma, amche qui, ￜ piￜ facile
dilo che farlo.
Grazie per l'aiuto
Pedro Peraria
> siamo in 5a liceo scientifico :
> Sulla superficie di una sfera di raggio R disegno un poligono regolare.
> Come calcolarne l'area?
> Stiamo tentando con un quadrato di lato L, per iniziare.
> tende a zero. Inoltre quando il lato del quadrato � 1/2 Pi R, allora la
> superfici� del quadrato � la met� della superficie sferica.
> Stiamo pensando che l'area del quadrato possa essere espressa da una
> funzione del tipo
> A=f(L,R)L^2, se non addirittura A=f(L/R)L^2.
> Siamo sulla strada giusta?
> Il mio compagno sta dicendo che bisogna trovare l'angolo solido al
> nostro quadrato. Allora l'area A sta alla superficie sferica, come
> Forse bisoignrebbe usare gli integrali, ma, amche qui, � pi� facile
> dilo che farlo.
> Grazie per l'aiuto
>
pi� che il quadrato dovreste partire studiando il triangolo sferico perch�
questo � la base per arrivare a calcolare l'area del poligono di lato n
sulla sfera.
L'area di quest'ultimo infatti si calcola dividendo, per quanto possibile,
il poligono sferico in triangoli sferici.
http://users.libero.it/prof.lazzarini/geometria_sulla_sfera/geo.htm
http://it.wikipedia.org/wiki/Triangolo_sferico
Pangloss
> Sulla superficie di una sfera di raggio R disegno un poligono regolare.
> Come calcolarne l'area?
> Stiamo tentando con un quadrato di lato L, per iniziare.
Seguite il consiglio di P.Peraria: date un'occhiata alla trigonometria
sferica ed iniziate esercitandovi sui triangoli sferici.
> La superficie è certamente maggiore di L^2, e tende a L^2 quando L/R
> tende a zero. Inoltre quando il lato del quadrato è 1/2 Pi R, allora la
> superficiè del quadrato è la metà della superficie sferica.
> Stiamo pensando che l'area del quadrato possa essere espressa da una
> funzione del tipo
> A=f(L,R)L^2, se non addirittura A=f(L/R)L^2.
> Siamo sulla strada giusta?
Avete buone intuizioni, ma sottovalutate la difficolta' del problema.
Mi sono divertito a risolverlo (con la trigonometria sferica) ed ho
ottenuto per l'area del quadrato di lato L (posto L/R=a):
A = { 8*arcsin[1/sqrt(1+cos a)] - 2*pi } * (L^2/a^2)
--
Elio Proietti
Valgioie (TO)
radicale 001
Avrei una domanda. Un po' "strana" forse, non saprei.
Osservando la tua formulona, piuttosto complessa, mi
son chiesto se la complessita' deriva dal voler forzatamente
"schiacciare" l' area del quadrato su un piano.
Perche' in effetti (forse, dimmi tu) se ragioniamo in termini
di superficie sferica ... Ovvero : se per unita' di area prendiamo
un quadratino *gia'* disegnato sulla sfera e lo poniamo di area
1, allora in qualche modo l' area del quadrato sferico dovrebbe
esprimersi con una formula del tipo L^2, semplicemente, dove
L e' non una lunghezza lineare, ma curva. Ed esattamente
uguale alla lunghezza Lu del lato del quadrato sferico unitario
moltiplicata per un certo reale r dato da L/Lu.
Per cui, dopo aver trovato la L^2, basterebbe riportarla, cioe'
"schiacciarla", secondo il rapporto esistente tra la superficie
del quadratino sferico unitario e quella del quadrato unitario
piano.
Re bim
> > A=f(L,R)L^2, se non addirittura A=f(L/R)L^2.
> > Siamo sulla strada giusta?
>
> Avete buone intuizioni, ma sottovalutate la difficolta' del problema.
> Mi sono divertito a risolverlo (con la trigonometria sferica) ed ho
> ottenuto per l'area del quadrato di lato L (posto L/R=a):
>
> A = { 8*arcsin[1/sqrt(1+cos a)] - 2*pi } * (L^2/a^2)
>
Caspita che formula.
Sei sicuro che tende a L^2 qando a tende a zero?
Non riesco a vedere il limite.
In effetti tra tutte le funzioni di a, con due punti assegnati e monotone
era difficile beccare propio quella.
Per� eravamo forse riusciti, confrontando una formula di carte nautiche
per tagliare a fette una sfera e schiacciarla sul piano, a trovare i
primi due termini dello sviluppo di Mc Laurin.
Proviamo ad andare un po' avanti, prima di leggere la trigonometria
sferica.
Se una cosa la fai da solo � molto pi� bella.
Comunque: grazie
LordBeotian
> Avrei questo problema, che tento di risolvere con un mio compagno (
> siamo in 5a liceo scientifico :
> Sulla superficie di una sfera di raggio R disegno un poligono regolare.
Ma siete ben consapevoli di quale sia l'equivalente di "tracciare una
retta" sulla sfera?
> Come calcolarne l'area?
[...]
> Il mio compagno sta dicendo che bisogna trovare l'angolo solido al
> centro ( non so se si dice così)che determina sulla superficie il
> nostro quadrato. Allora l'area A sta alla superficie sferica, come
> l'angolo solido sta all'angolo giro.
Ma l'angolo solido si definisce proprio come il rapporto tra la
superficie del vostro poligono e la superficie totale della sfera
quindi trovare l'angolo solido è un problema equivalente a trovare
l'area del poligono.
Comunque l'idea valida del tuo amico è quella di determinare l'area
tentando di capire qual'è il rapporto tra la superficie del poligono e
quella della sfera. Questo vi dovrebbe suggerire come trovare l'area
di una serie di poligoni "notevoli" per i quali si vede subito quanti
ne servono per ricoprire una sfera intera.
Pangloss
> Osservando la tua formulona, piuttosto complessa, mi
> son chiesto se la complessita' deriva dal voler forzatamente
> "schiacciare" l' area del quadrato su un piano.
>
> Perche' in effetti (forse, dimmi tu) se ragioniamo in termini
> di superficie sferica ... Ovvero : se per unita' di area prendiamo
> un quadratino *gia'* disegnato sulla sfera e lo poniamo di area
> 1, allora in qualche modo l' area del quadrato sferico dovrebbe
> esprimersi con una formula del tipo L^2, semplicemente, dove
> L e' non una lunghezza lineare, ma curva. Ed esattamente
> uguale alla lunghezza Lu del lato del quadrato sferico unitario
> moltiplicata per un certo reale r dato da L/Lu.
Non puo' funzionare perche' tale rapporto r non e' costante, ma varia
con la lunghezza L del lato.
La geometria sferica non e' euclidea, in essa non vi sono relazioni di
similitudine. Quadrati di area diversa non sono simili!
Se la memoria non mi tradisce, nel '600 un certo Wallis si era illuso
di avere dimostrato il mitico 5° postulato di Euclide, usando pero'
la "ovvia" ipotesi che per ogni figura geometrica ne esista una simile
di grandezza arbitraria.
Di fatto Wallis dimostro' solo che tale ipotesi sulla similitudine
equivale logicamente al postulato delle parallele: assumendolo si
costruisce la geometria euclidea, negandolo si pervenne (storicamente)
alle geometrie non euclidee.
El Filibustero
>Il mio compagno sta dicendo che bisogna trovare l'angolo solido al
>centro ( non so se si dice cos�)che determina sulla superficie il
>nostro quadrato. Allora l'area A sta alla superficie sferica, come
>l'angolo solido sta all'angolo giro. Ma non � facile trovare l'angolo.
>Forse bisoignrebbe usare gli integrali, ma, amche qui, � pi� facile
>dilo che farlo.
L'n-agono regolare viene suddiviso in n triangoli sferici isosceli unendo
il suo centro (mettiamo il polo Nord) ai suoi vertici (mettiamo situati
alla latitudine l). L'angolo al vertice di essi e' banalmente t=2pi/n;
l'angolo alla base e'
b = arctan( 1 / (sin(l) tan(t/2)) )
Nel caso di una triangolo di angoli alpha, beta e gamma sulla sfera di
raggio R, la formula di Hariot e'
Area = R^2(alpha+beta+gamma-pi)
quindi l'n-agono regolare ha area n*R^2(2pi/n+2b-pi). Ciao
radicale 001
>Non puo' funzionare perche' tale rapporto r non e' >costante, ma varia con la lunghezza L del lato.
(omissis)
Capito.
Ma se si rimanesse sulla sfera, allora scelto un
quadratino di lato di lunghezza u unitario *sulla*
sfera, almeno sarebbe vero che l' area di un
quadrato generico sempre sulla sfera e' :
r*u^2, con r reale ? O nemmeno questo ?
Pangloss
> Ma se si rimanesse sulla sfera, allora scelto un
> quadratino di lato di lunghezza u unitario *sulla*
> sfera, almeno sarebbe vero che l' area di un
> quadrato generico sempre sulla sfera e' :
> r*u^2, con r reale ? O nemmeno questo ?
Nemmeno questo, se non ti fraintendo.
Se riscrivi la formulaccia che avevo postato come segue:
A = { 8*arcsin[1/sqrt(1+cos (L/R))] - 2*pi } * (R^2)
e consideri fisso il raggio R della sfera, vedi che l'area A del
quadrato dipende in modo complicato dalla lunghezza L del lato.
Comunque, detto tra di noi, ho scritto quella formula solo per gioco,
tanto per complicare gli affari semplici.
Il punto centrale e' che, mentre nella geometria elementare la somma
degli angoli interni di un poligono di n lati vale (n-2)*pi, la stessa
somma per un poligono sferico e' superiore di un valore eps (detto
appunto "eccesso sferico") e si dimostra molto facilmente che l'area di
un poligono sferico vale eps*R^2 (vedi anche post di El Filibustero).
Rinunciando ad ogni nozione di geometria sferica, si può intuitivamente
notare che se su una stessa sfera di raggio R si traccia un quadrato di
lato U ed un altro quadrato di lato L *non* si ottengono figure simili:
gli angoli interni dei due quadrati non sono fra loro congruenti.
Pertanto, supposto ad esempio L=2*U, il quadrato di lato L non può essere
decomposto in quattro quadrati di lato U.
Temo però di non avere capito bene la tua domanda... :-(
Elio Fabri
> Sulla superficie di una sfera di raggio R disegno un poligono
> regolare.
> Come calcolarne l'area?
regolare" sulla sfera.
> Stiamo tentando con un quadrato di lato L, per iniziare.
Bene, limitiamoci ai quadrati.
Forse date per scontato cosa sono i lati: archi di cerchio massimo.
Ma come definite un quadrato?
Nella normale geometria euclidea, un quadrato e' un quadrilatero che
ha uguali tutti i lati e uguali (a un retto) tutti gli angoli.
Ma sulla sfera un figura cosi' fatta non e' possibile: potete porre
tutti uguali i lati e tutti uguali gli angoli, ma questi non saranno
retti, e se ne scosteranno tanto piu' quanto piu' il quadrato e'
grande.
A questo proposito c'e' una proprieta' che potrebbe essere utile: la
somma degli angoli interni del vostro quadrato (e in realta' di
qualunque quadrilatero, anche non regolare) supera 2pi per una
quantita' (detta "eccesso sferico") che e' proprio uguale all'angolo
solido di cui parli.
> Stiamo pensando che l'area del quadrato possa essere espressa da una
> funzione del tipo
> A=f(L,R)L^2, se non addirittura A=f(L/R)L^2.
Questo e' sicuramente vero, e lo si puo' dimostrare cosi'.
Considera due sfere, di raggi R e R' e disegna sulle due sfere due
quadrati di lati L, L' proporzionali ai raggi.
Le due figure cosi' costruite *sono simili*, con un rapporto di
similitudine R/R' = L/L', quindi per le due aree avremo
A/A' =(L/L')^2.
Ossia A/L^2 = A'/L'^2, cioe' A/L^2 e' lo stesso per i due quadrati,
anche se non vale 1.
Allora questo rapporto A/L^2 dipendera' solo dal rapporto L/R, che e'
lo stesso per le due figure.
Il solo problema e' che la funzione f(L/R), come avete visto, e'
piuttosto complicata, e non la potete ricavare senza trigonometria
sferica e senza il teorema dell'eccesso sferico che ho citato sopra.
--
Elio Fabri
Re bim
........Il solo problema e' che la funzione f(L/R), come avete visto, e'
> piuttosto complicata, e non la potete ricavare senza trigonometria
> sferica e senza il teorema dell'eccesso sferico che ho citato sopra.
>
>
Abbiamo pensato questa strategia, per la soluzione del problema:
Prendiamo un "lato" di questo "quadrato".
( definisco "lato" la distanza piￜ breve tra due punti, dato l'unico
grado di libertￜ il muoversi sulla superficie sferica.
Definisco "quadrato" una figura bidimensionale sulla sfera che ha 4 lati
uguali e 4 angoli uguali )
Esso ( il "Lato" )ￜ una frazione della ciconferenza che ha centro nel
centro della sfera e passa per i due estremi del "lato"
Il segmento ( questa volta in senso proprio ) che unisce i due estremi ￜ
una corda.
Dato un arco di circonferenza ed il raggio della circonferenza ￜ
univocamente determinata la corda corrispondente.
Poi cercheremo la formula che fa passare dall'arco alla corda
Facciamo che abbiamo trovato la corda 2C associata all'arco L.
L'angolo al centro corrispodente ￜ 2arcosen C/R
Si puￜ vedere una piramide regolare che ha spigolo R e base
corrispondente al quadrato ( in senso proprio ) che ha i vertici
sovrapposti al "quadrato" sulla sfera.
Adesso dobbiamo trovare l'angolo solido al vertice della piramide.
Se lo troviamo il gioco ￜ fatto, in qanto l'area del "quadrato" ￜ
proporzianale all'angolo.
Il problema ￜ adesso capire che si intende per angolo giro sferico,
ovvero tutto lo spazio tridimensionale.
Verrebbe da pensare a 4Pi^2, ma sembra troppo facile.
Anche troppo facile ￜ dire che l'angolo al vertice della piramide ￜ (2
arcosen C/R)^2.
Questo risultato sembra sbagliato.
Forse ci mancano dei concetti fondamnetali, come dici tu.
Perￜ la nostra insegnante di matematica ha messo in palio il massimo voto
per chi porta la soluzione, che, a suo avviso, si raggiunge con mezzi "
elementari ".
Non ha, perￜ, definito il termine Elementare.
Ciao
Pangloss
> ...
> Adesso dobbiamo trovare l'angolo solido al vertice della piramide.
> Se lo troviamo il gioco è fatto, in qanto l'area del "quadrato" è
> proporzianale all'angolo.
> Il problema è adesso capire che si intende per angolo giro sferico,
> ovvero tutto lo spazio tridimensionale.
> Verrebbe da pensare a 4Pi^2, ma sembra troppo facile.
> Anche troppo facile è dire che l'angolo al vertice della piramide è (2
> arcosen C/R)^2.
La misura di un angolo solido e' il rapporto tra la superficie sferica
sottesa ed R^2. Quindi l'angolo solido completo e' 4*pi; quello sotteso
dal quadrato non vedo come calcolarlo senza la trigonometria sferica.
Questa disciplina veniva un tempo insegnata negli istituti tecnici nautici,
e' uno sviluppo dell'ordinaria trigonometria, dunque in un certo senso e'
elementare (non richiede l'analisi matematica).
> Forse ci mancano dei concetti fondamnetali, come dici tu.
> Però la nostra insegnante di matematica ha messo in palio il massimo voto
> per chi porta la soluzione, che, a suo avviso, si raggiunge con mezzi "
> elementari ".
> Non ha, però, definito il termine Elementare.
Come studenti liceali siete bravini, ma non credo che la vostra prof
pretenda che vi reinventiate la trigonometria sferica da soli.
Quando avrete la sua misteriosa soluzione elementare inviatecela!
Elio Fabri
> Quando avrete la sua misteriosa soluzione elementare inviatecela!
--
Elio Fabri
radicale.002
> Temo però di non avere capito bene la tua domanda... :-(
Ammappa quanto sei bravo !
No no, hai capito eccome !
Grazie per le spiegazioni, te ne sono molto grato.
Poi, ti sforzi di portare il tutto su un piano intuitivo,
e cio' ti fa onore : significa che parli per essere
*capito*, e non per far sfoggio di sapere.
Un inchino. Te lo meriti.
radicale.002
> On 3 Mag, 19:25, Pangloss <proie...@ica-net.it> wrote:
>
> > Temo però di non avere capito bene la tua domanda... :-(
>
> Ammappa quanto sei bravo !
> No no, hai capito eccome !
M' hai fatto venire in mente una cosa :
In effetti se espando il quadrato fino a portarlo all' equatore,
non posso piu' disegnarlo ! Mi diventa un cerchio ! Oh !
Quindi il quadrato massimo sulla sfera e' ... Un cerchio !