Algebra lineare: determinare sottospazio supplementare
alessio
determinare il sottospazio T supplementare di S, cio� tale che R^n sia
somma diretta di S e T.
Il sottospazio S pu� essere dato in diverse forme...ad esempio
(poniamo di essere in R^4) S = {(x,y,z,w)| x+z=0,y+w=...ecc} oppure
direttamente nella forma (x,-3x,y,x-2y) al variare di x e y in R
oppure nella forma <(1,0,0,3),(0,0,0,1)>, cio� come sottospazio
generato dai due vettori fra parentesi (sto facendo esempi, i tre
sopra non indicano lo stesso sottospazio..).
In ogni caso � quasi immediato determinare una base di S. Solo se il
sottospazio � dato nella terza forma si deve verificare prima che i
vettori generatori siano linearmente indipendenti.
E' possibile risolvere l'esercizio lavorando soltanto sulle basi? Ad
esempio, rimanendo in R^4, se S ha dimensione 2 e ne ho trovata una
base, � sufficiente determinare altri due vettori linearmente
indipendenti che non appartengono a S?
Lo chiedo perch� negli esercizi svolti che sto studiando, una volta
determinati questi due vettori linearmente indipendenti il libro
"perde tempo" a verificare che l'intersezione fra S e T � vuota mentre
la loro unione genera R^4
Enrico Gregorio
> Dato un sottospazio S di R^n, un esercizio classico richiede di
> determinare il sottospazio T supplementare di S, cio� tale che R^n sia
> somma diretta di S e T.
>
> Il sottospazio S pu� essere dato in diverse forme...ad esempio
> (poniamo di essere in R^4) S = {(x,y,z,w)| x+z=0,y+w=...ecc} oppure
> direttamente nella forma (x,-3x,y,x-2y) al variare di x e y in R
> oppure nella forma <(1,0,0,3),(0,0,0,1)>, cio� come sottospazio
> generato dai due vettori fra parentesi (sto facendo esempi, i tre
> sopra non indicano lo stesso sottospazio..).
>
> In ogni caso � quasi immediato determinare una base di S. Solo se il
> sottospazio � dato nella terza forma si deve verificare prima che i
> vettori generatori siano linearmente indipendenti.
No. Considera la matrice A che ha come colonne i vettori che generano
il tuo sottospazio (scritti in colonna, naturalmente). Allora un
supplementare del sottospazio � dato dallo spazio delle soluzioni
di A^T x = 0.
Ovviamente � lo stesso considerare la matrice B che ha come righe
i tuoi vettori (scritti in riga) e risolvere il sistema Bx=0.
> E' possibile risolvere l'esercizio lavorando soltanto sulle basi? Ad
> esempio, rimanendo in R^4, se S ha dimensione 2 e ne ho trovata una
> base, � sufficiente determinare altri due vettori linearmente
> indipendenti che non appartengono a S?
No.
> Lo chiedo perch� negli esercizi svolti che sto studiando, una volta
> determinati questi due vettori linearmente indipendenti il libro
> "perde tempo" a verificare che l'intersezione fra S e T � vuota mentre
> la loro unione genera R^4
Una volta che determini che l'intersezione fra S e T � {0} e che la
somma delle dimensioni dei due sottospazi � 4 (o la dimensione dello
spazio ambiente, in generale) sei a posto.
Ciao
Enrico
alessio
<greg...@math.unipd.it> wrote:
>alessio <q...@ws.ed> scrive:
>
>> Dato un sottospazio S di R^n, un esercizio classico richiede di
>> determinare il sottospazio T supplementare di S, cio� tale che R^n sia
>> somma diretta di S e T.
>>
>> Il sottospazio S pu� essere dato in diverse forme...ad esempio
>> (poniamo di essere in R^4) S = {(x,y,z,w)| x+z=0,y+w=...ecc} oppure
>> direttamente nella forma (x,-3x,y,x-2y) al variare di x e y in R
>> oppure nella forma <(1,0,0,3),(0,0,0,1)>, cio� come sottospazio
>> generato dai due vettori fra parentesi (sto facendo esempi, i tre
>> sopra non indicano lo stesso sottospazio..).
>>
>> In ogni caso � quasi immediato determinare una base di S. Solo se il
>> sottospazio � dato nella terza forma si deve verificare prima che i
>> vettori generatori siano linearmente indipendenti.
>
>No. Considera la matrice A che ha come colonne i vettori che generano
>il tuo sottospazio (scritti in colonna, naturalmente). Allora un
>supplementare del sottospazio � dato dallo spazio delle soluzioni
>di A^T x = 0.
questo primo "No" a cosa si riferisce? Alla frase "Solo se il
sottospazio � dato nella terza forma si deve verificare prima che
vettori generatori siano linearmente indipendenti"?
In ogni caso rimane un dubbio, sia S = {(x,y,z): 2x-y+z=0} un
sottospazio di R^3.
Le terne di S sono del tipo (x,2x+z,z) con x,z reali, quindi S ha
dimensione 2 e una base � B={(1,2,0),(0,1,1)} (e si verifica
facilmente che B � una base...tralascio)
la matrice A come dici tu sarebbe di tipo 3x2 e ha come colonne i
vettori di V. La sua trasposta A^T � del tipo 2x3. x immagino sia un
vettore di 3 righe e una colonna (x,y,z). Il prodotto A^T x � un
elemento di R^2, cosa c'entra?
alessio
<greg...@math.unipd.it> wrote:
>> E' possibile risolvere l'esercizio lavorando soltanto sulle basi? Ad
>> esempio, rimanendo in R^4, se S ha dimensione 2 e ne ho trovata una
>> base, � sufficiente determinare altri due vettori linearmente
>> indipendenti che non appartengono a S?
>
>No.
>
>> Lo chiedo perch� negli esercizi svolti che sto studiando, una volta
>> determinati questi due vettori linearmente indipendenti il libro
>> "perde tempo" a verificare che l'intersezione fra S e T � vuota mentre
>> la loro unione genera R^4
>
>Una volta che determini che l'intersezione fra S e T � {0} e che la
>somma delle dimensioni dei due sottospazi � 4 (o la dimensione dello
>spazio ambiente, in generale) sei a posto.
>
>Ciao
quindi devo sempre controllare che l'intersezione degli spazi sia
vuota e che la somma delle dimensioni sia quella dello spazio
ambiente?
questo vuol dire che se in R^4 considero un sottospazio S e costruisco
un sottospazio T di dimensione 2 partendo da due vettori linearmente
indipendenti che non appartengono a S, S e T possono ache non essere
in somma diretta?
Enrico Gregorio
> On Wed, 23 Dec 2009 14:14:53 +0100, Enrico Gregorio
> <greg...@math.unipd.it> wrote:
>
> >alessio <q...@ws.ed> scrive:
> >
> >> Dato un sottospazio S di R^n, un esercizio classico richiede di
> >> determinare il sottospazio T supplementare di S, cio� tale che R^n sia
> >> somma diretta di S e T.
> >>
> >> Il sottospazio S pu� essere dato in diverse forme...ad esempio
> >> (poniamo di essere in R^4) S = {(x,y,z,w)| x+z=0,y+w=...ecc} oppure
> >> direttamente nella forma (x,-3x,y,x-2y) al variare di x e y in R
> >> oppure nella forma <(1,0,0,3),(0,0,0,1)>, cio� come sottospazio
> >> generato dai due vettori fra parentesi (sto facendo esempi, i tre
> >> sopra non indicano lo stesso sottospazio..).
> >>
> >> In ogni caso � quasi immediato determinare una base di S. Solo se il
> >> sottospazio � dato nella terza forma si deve verificare prima che i
> >> vettori generatori siano linearmente indipendenti.
> >
> >No. Considera la matrice A che ha come colonne i vettori che generano
> >il tuo sottospazio (scritti in colonna, naturalmente). Allora un
> >supplementare del sottospazio � dato dallo spazio delle soluzioni
> >di A^T x = 0.
>
> questo primo "No" a cosa si riferisce? Alla frase "Solo se il
> sottospazio � dato nella terza forma si deve verificare prima che
> vettori generatori siano linearmente indipendenti"?
Si riferisce al fatto che non occorre affatto prendere un insieme
linearmente indipendente di vettori.
> In ogni caso rimane un dubbio, sia S = {(x,y,z): 2x-y+z=0} un
> sottospazio di R^3.
> Le terne di S sono del tipo (x,2x+z,z) con x,z reali, quindi S ha
> dimensione 2 e una base � B={(1,2,0),(0,1,1)} (e si verifica
> facilmente che B � una base...tralascio)
>
> la matrice A come dici tu sarebbe di tipo 3x2 e ha come colonne i
> vettori di V. La sua trasposta A^T � del tipo 2x3. x immagino sia un
> vettore di 3 righe e una colonna (x,y,z). Il prodotto A^T x � un
> elemento di R^2, cosa c'entra?
Dov'� il problema? L'insieme delle soluzioni di A^T x = 0 � o non �
un sottospazio di R^3?
Una base di S si ottiene risolvendo il "sistema" (di una equazione)
2x - y + z = 0.
Le variabili libere sono y e z e l'equazione diventa 2x = y - z.
Una base di S si ottiene con le soluzioni date da y=1, z=0 e
y=0, z=1; quindi � formata dai vettori
(2,1,0) e (-2,0,1)
La matrice A^T che devi considerare � dunque (scrivo direttamente la
2x3):
2 1 0
-2 0 1
Con un solo passo di eliminazione in avanti, la forma ridotta �
2 1 0
0 1 1
e un altro passo di eliminazione all'indietro produce
2 0 -1
0 1 1
La variabile libera � z: le due equazioni sono
2x = z, y = -z
Dando a z il valore 1, ottieni il vettore (2,-1,1) che costituisce
una base del supplementare T di S.
Verifica, se proprio ci tieni. Sia k(2,-1,1) un vettore di T; la
sua appartenenza a S implica che
2(2k) - (-k) + k = 0
cio� 6k=0, quindi k=0. Dunque l'intersezione fra S e T � {0}.
Ciao
Enrico
Enrico Gregorio
Certo che possono non essere in somma diretta:
v_1 = (1,0,0,0), v_2 = (0,1,0,0); S generato da v_1 e v_2;
w_1 = (1,1,1,0), w_2 = (0,0,1,0); T generato da w_1 e w_2.
I vettori w_1 e w_2 non appartengono a S, e sono linearmente
indipendenti. Per� (1,1,0,0) appartiene a S e a T.
Ciao
Enrico
alessio
hai ragione! ma mi sono spiegato male, in realt� non volevo domandare
questo.
io chiedevo questo: quello di trovare il sottospazio supplementare �
un esercizio classico. In genere il testo dell' esercizio d� lo spazio
ambiente (per es. R^4) e un sottospazio S di cui, in un modo o nell'
altro, riesco a determinare facilmente una base B. Si chiede di
determinare il supplementare T.
Se io, partendo da questa base B, la "amplio ad una base dello spazio
ambiente" aggiungendo vettori che non appartengono al sottospazio e
che nel contempo siano linearmente indipendenti fra di loro (perch�
appunto devono formare una base dello spazio ambiente, posso terminare
subito l'esercizio considerando il supplementare T come quello
generato dai vettori aggiunti per ampliare la base?
In poche parole, posso evitare di verificare ad esempio che T e S
abbiano intersezione nulla?
Lo so che nel 90% dei casi i calcoli sono semplici e risparmierei solo
30 secondi, ma in uno scritto di 60 minuti 4-5 minuti mi farebbero
comodo per esercizi un po' pi� complessi...
Enrico Gregorio
> io chiedevo questo: quello di trovare il sottospazio supplementare �
> un esercizio classico. In genere il testo dell' esercizio d� lo spazio
> ambiente (per es. R^4) e un sottospazio S di cui, in un modo o nell'
> altro, riesco a determinare facilmente una base B. Si chiede di
> determinare il supplementare T.
>
> Se io, partendo da questa base B, la "amplio ad una base dello spazio
> ambiente" aggiungendo vettori che non appartengono al sottospazio e
> che nel contempo siano linearmente indipendenti fra di loro (perch�
> appunto devono formare una base dello spazio ambiente, posso terminare
> subito l'esercizio considerando il supplementare T come quello
> generato dai vettori aggiunti per ampliare la base?
L'esempio che ti ho proposto dimostra che non basta.
> In poche parole, posso evitare di verificare ad esempio che T e S
> abbiano intersezione nulla?
No. E se hanno intersezione non nulla sei nei pasticci, non trovi?
> Lo so che nel 90% dei casi i calcoli sono semplici e risparmierei solo
> 30 secondi, ma in uno scritto di 60 minuti 4-5 minuti mi farebbero
> comodo per esercizi un po' pi� complessi...
Il metodo migliore � quello che ti ho indicato che non � affatto pi�
lungo di "completare a una base e sperare per il meglio".
Ciao
Enrico
alessio
<greg...@math.unipd.it> wrote:
>alessio <q...@ws.ed> scrive:
>
>> io chiedevo questo: quello di trovare il sottospazio supplementare �
>> un esercizio classico. In genere il testo dell' esercizio d� lo spazio
>> ambiente (per es. R^4) e un sottospazio S di cui, in un modo o nell'
>> altro, riesco a determinare facilmente una base B. Si chiede di
>> determinare il supplementare T.
>>
>> Se io, partendo da questa base B, la "amplio ad una base dello spazio
>> ambiente" aggiungendo vettori che non appartengono al sottospazio e
>> che nel contempo siano linearmente indipendenti fra di loro (perch�
>> appunto devono formare una base dello spazio ambiente, posso terminare
>> subito l'esercizio considerando il supplementare T come quello
>> generato dai vettori aggiunti per ampliare la base?
>
>L'esempio che ti ho proposto dimostra che non basta.
quando parlo di ampliare o estendere una base di un sottospazio ad una
base dello spazio ambiente intendo dire che i vettori del nuovo
insieme dovranno essere linearmente indipendenti.
Nell' esempio che hai proposto,
v_1 = (1,0,0,0), v_2 = (0,1,0,0); S generato da v_1 e v_2;
w_1 = (1,1,1,0), w_2 = (0,0,1,0); T generato da w_1 e w_2.
se S � il sottospazio di R^4 generato da v_1 e v_2 e mi si chiede di
trovarne il supplementare T, io di certo ai due vettori non aggiungo i
vettori w_1 e w_2, perch� questi quattro vettori sono linearmente
dipendenti.
In realt� sto seguendo un eserciziario e il procedimento di estendere
le basi � quello che il testo usa praticamente sempre (solo che poi
nello svolgimento si preoccupa di verificare che l' intersezione �
nulla, ed � appunto questo punto che mi chiedevo se si potesse
eliminare).
Prover� a ragionarci un po' applicando il metodo che mi hai proposto
nell' altro troncone del thread.
Enrico Gregorio
L'esempio che ti ho fatto dimostra che non basta prendere due vettori
linearmente indipendenti che non appartengano a S; con l'ipotesi
aggiuntiva che i vettori cos� ottenuti siano una base di R^4 invece
tutto torna.
Vediamo un po' di teoria, che non fa mai male.
Supponiamo che S e T siano sottospazi di V e che l'unione di una
base di S e di una di T formi una base di V. Allora S e T sono
supplementari. Infatti
dim(S+T) = dim S + dim T - dim U
dove U � l'intersezione di S e T. Infatti S+T �, per ipotesi, V
e, ancora per ipotesi, dim S + dim T = dim V; dunque dim U = 0.
Dunque il procedimento di estensione della base produce un
supplementare.
Butta quell'eserciziario.
Ciao
Enrico
Elio Fabri
> Dato un sottospazio S di R^n, un esercizio classico richiede di
> somma diretta di S e T.
dall'inizio che l'enunciato e' *sbagliato* quando dice *il*
sottospazio supplementare, dal momento che questo non e' affatto unico,
ma ne esistono infiniti.
O sono rincretinito io?
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Elio Fabri
Enrico Gregorio
> alessio ha scritto:
> > Dato un sottospazio S di R^n, un esercizio classico richiede di
> > determinare il sottospazio T supplementare di S, cio� tale che R^n sia
> > somma diretta di S e T.
> A me lascia alquanto perplesso che non si stato osservato fin
> dall'inizio che l'enunciato e' *sbagliato* quando dice *il*
> sottospazio supplementare, dal momento che questo non e' affatto unico,
> ma ne esistono infiniti.
>
> O sono rincretinito io?
No, no. Tranquillizzati. :)
Ciao
Enrico