Scrittura fuori del segno di limite

[antonio.ma...@gmail.com]

Riporto quanto scritto nel mio libro di testo (Nella Dodero, Nuovo Corso di Analisi)


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lim(x->inf) (2x+3)/(3x+1) = 2/3 + d(x)

con lim(x->inf) d(x) = 0

Possiamo anche trovare l'espressione analitica dell'infinitesimo d(x).
Infatti eseguendo la divisione tra (2x+3) e (3x+1) si trova per quoziente 2/3 e resto 7/3
E percio' (2x+3)/(3x+1) = 2/3 + 7/3/(3x+1)
Ossia d(x) = 7/3/(3x+1) che e' effettivamente un infinitesima per x->inf

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Se chiamo "A" l'infinito, e "n" il suo reciproco, l'infinitesimo, mi sembra che tutta la questione si ridisegni in modo piu' chiaro

la funzione diventa (2A+3)/(3A+1)

= 2/3 + 7/(9A) - 7/(27A^2) ...

= 2/3 + 7/9n - 7/27n^2 ...

La serie degli infinitesimi cosi' ottenuti (via via di grado maggiore) sono il d(x)

D'altra parte si puo' facilmente verificare, con approssimazione a piacere, utilizzando una semplice calcolatrice

Nel mio caso uso bc di liux

$ echo "scale=50;inf=10^10;n=1/inf;x=inf; (2*x+3)/(3*x+1); 2/3; 2/3+7/9*n; 2/3+7/9*n-7/27*n^2; n+n^2+n^3" | BC_LINE_LENGTH=0 bc -l
.66666666674444444444185185185193827160493539094650
.66666666666666666666666666666666666666666666666666
.66666666674444444444444444444444444444444444444443
.66666666674444444444185185185185185185185185185184
.00000000010000000001000000000100000000000000000000

Nella prima riga c'e' il valore della funzione (approssimato ad inf=10^10)
Nella seconda, il limite (2/3)
Nella terza il limite piu' l'infinitesimo di primo ordine (di primo grado)
ecc.
Nell'ultima riga, ci sono i "punti d'entrata" degli infinitesimi di primo, secondo, terzo grado ecc.

Ovviamente, proiettando l'inf ad un vero infinito, e non a 10^10, si ottengono, per ogni "ordine" di infinitesimi, infiniti zeri...

Quindi, senza approssimazioni, si avrebbe

0.666... (infiniti 6) ...6667444 (infiniti 4)... 444185185185 (infiniti 185) ... ecc.

E nell'ultima riga si avrebbe
.000 (infiniti zeri) ...0001000 (infiniti zeri)... 0001000 (infiti zeri)... 0001000 ecc.

Per il semplice principio che l'infinitesimo e' piu' piccolo di qualsiasi numero reale (0 < n < |x|), la soluzione del limite e' effettivamente 2/3
In quanto le rimanenti componenti infinitesimali sono "ininfluenti" (1 piu' un miliardo di infinitesimi fa sempre 1)
E anche gli infinitesimi tra loro (un infinitesimo piu' un miliardo di infinitesimi quadri fa sempre un infinitesimo)

Ma siccome "infiniti infinitesimi" fa 1 (reale), allora, se la funzione "continuasse" in questo modo...

( (2x+3) / (3x+1) - 2/3) * x = 7/9

Togliendo il limite reale, e lasciando solo gli infinitesimi (il d(x)), e quindi moltiplicando per infinito, ecco che vado ed evidenziare il primo della serie degli infinitesimi

ok?

Ecco quindi spiegato tutto.
ciao

N.B.
In generale mi sembra ci sia una gran confusione, in Analisi, tra zero, infinito e infinitesimo
Lo zero NON ha segno, mentre l'infinitesimo e l'infinito ovviamente si
E si dovrebbe considerare un'altra costante, reciproca di zero, anch'essa senza segno... che io ho chiamato "G" (G spot)

Ecco che, per dire, una disequazione x^2-1<0 diventa -1<x<1, passando per 0... mentre x^2-1>0 diventerebbe 1<x<-1, passando per G... non so se mi spiego

Sono buone idee... ma ci vogliono anni di lavoro per ripulire bene tutto il materiale

Ringrazio chiunque abbia avuto la pazienza di leggermi fin qui
saluti

[elreg]

Il giorno mercoledì 18 luglio 2018 09:16:46 UTC+2, antonio.ma...@gmail.com ha scritto:
> Riporto quanto scritto nel mio libro di testo (Nella Dodero, Nuovo Corso di Analisi)
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> lim(x->inf) (2x+3)/(3x+1) = 2/3 + d(x)
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> con lim(x->inf) d(x) = 0
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> Possiamo anche trovare l'espressione analitica dell'infinitesimo d(x).
> Infatti eseguendo la divisione tra (2x+3) e (3x+1) si trova per quoziente 2/3 e resto 7/3
> E percio' (2x+3)/(3x+1) = 2/3 + 7/3/(3x+1)
> Ossia d(x) = 7/3/(3x+1) che e' effettivamente un infinitesima per x->inf
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> Se chiamo "A" l'infinito, e "n" il suo reciproco, l'infinitesimo, mi sembra che tutta la questione si ridisegni in modo piu' chiaro

Dammi retta: affidati a Nella che mi sembra brava e buona.
Ella se la cava con una dimostrazione di due righe mentre tu ne utilizzi un numero N prossimo ad "A". Ma sopra a tutto, utilizzi i due numeri "A" e "1" che tu (e certamente Nella) non hai definito.
Puoi pensarla come vuoi (come noto, la matematica è una opinione). Tuttavia ti consiglio di non parlare a Nella di "A" e "n" all'esame perchè potrebbe reagire in modo violento.
> saluti
Sei sempre il benvenuto in questo onorevole gruppo. Ricambio i saluti.
Elreg