Analogie tra giochi e sistemi assiomatici

[multi...@gmail.com]

In qualche testo di divulgazione (probabilmente era Odifreddi o Lolli) era affermata una serie di analogie tra i giochi da tavolo e i sistemi assiomatici. In pratica dovevano essere le seguenti:

1) gli assiomi corrispondono alle posizioni di partenza (negli scacchi ad esempio, le posizioni dei pezzi a inizio partita)
2) le regole di induzione corrispondono alle regole per muovere i pezzi e più genericamente per cambiare la situazione sulla scacchiera (spostamenti, catture, posare pezzi nuovi, promozioni...)
3) Le sentenze formali corrispondono alle posizioni sulla scacchiera
4) Le posizioni sulla scacchiera legalmente raggiungibili a partire dalla posizione iniziale corrispondono ai teoremi.
5) Le dimostrazioni dei teoremi corrispondono alle partite che portano a quelle posizioni raggiungibili.

Il teorema di Goedel in pratica potrebbe corrispondere alla seguente affermazione:

in ogni gioco sufficientemente complesso esistono posizioni sulla scacchiera di cui è impossibile sapere se verranno mai raggiunte in una partita oppure no.

Secondo voi queste analogie sono corrette? Oppure si tratta di un semplice approccio divulgativo per non addetti ai lavori senza pretese di precisione matematica?

Ciao.

[Giorgio Bibbiani]

multi...@gmail.com wrote:
> in ogni gioco sufficientemente complesso esistono posizioni sulla
> scacchiera di cui è impossibile sapere se verranno mai raggiunte in
> una partita oppure no.

Mi sembrerebbe una proposizione falsa se la scacchiera e i pezzi
e le regole per muovere i pezzi sono in numero finito, e le regole
per una data mossa dipendono solo dalla configurazione attuale,
infatti le configurazioni possibili della scacchiera sono in numero finito
n, dunque ogni data configurazione C puo' essere raggiunta da un
numero finito < n di configurazioni immediatamente precedenti,
procedendo allora a ritroso partendo da C, in ogni caso in un
numero di passi < n^n si sara' ottenuta la configurazione iniziale I,
e allora C sara' una configurazione che e' possibile raggiungere in
una partita partendo da I, oppure non si sara' ottenuta I e allora
non sara' possibile raggiungere C partendo da I.

Che poi si possano definire giochi sufficientemente complessi
da non poter concretamente sapere quanto sopra e' un altro
discorso...;-)

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[Peano numero 1]

Il giorno lunedì 2 marzo 2015 15:10:37 UTC+1, multi...@gmail.com ha scritto:

> Il teorema di Goedel in pratica potrebbe corrispondere alla seguente affermazione:
>
> in ogni gioco sufficientemente complesso esistono posizioni sulla scacchiera di cui è impossibile sapere se verranno mai raggiunte in una partita oppure no.
>

Secondo me questa affermazione corrisponde di più al teorema di Church-Turing.
Il teorema di Godel lo farei corrispondere ad un'altra affermazione:

esiste una posizione della scacchiera che non è mai raggiungibile, ma, in base al senso del gioco, sarebbe giusto che fosse raggiungibile.

[Peano numero 1]

Il giorno lunedì 2 marzo 2015 15:58:18 UTC+1, Giorgio Bibbiani ha scritto:

> Mi sembrerebbe una proposizione falsa se la scacchiera e i pezzi
> e le regole per muovere i pezzi sono in numero finito, e le regole
> per una data mossa dipendono solo dalla configurazione attuale

e allora si vede che quello non è un gioco sufficientemente complesso

[multi...@gmail.com]

Cosa vuol dire "in base al senso del gioco" e "sarebbe giusto che fosse raggiungibile"?

Ciao.

[fma...@gmail.com]

Sì, anche se il TdG non è applicabile agli scacchi, visto che non vedo come
sia possibile trovare un'analogia per la ricorsione necessaria.
Forse trovando un modo per codificare le mosse con le stesse posizioni della
scacchiera (tipo rnbqkbnr/pp1ppppp/8/2p5/4P3/5N2/PPPP1PPP/RNBQKB1R in FEN
oltre alla relativa posizione può rappresentare anche la mossa Bd5)..

Ma non vedo proprio a che possa servire :D

Ciao!

[Peano numero 1]

Il giorno lunedì 2 marzo 2015 17:34:49 UTC+1, multi...@gmail.com ha scritto:

>
> Cosa vuol dire "in base al senso del gioco" e "sarebbe giusto che fosse raggiungibile"?
>

Dato che è un'analogia è difficile spiegare tutto, far quadrare tutto.
Supponiamo che tu inventi un gioco (cioè le regole del gioco) avendo in mente qualcosa di realistico, che fa parte delle tue esperienze e supponiamo quindi che le regole riflettano in qualche maniera le tue esperienze o i tuoi riferimenti concreti.
Supponiamo anche che una determinata posizione corrisponda effettivamente a qualcosa che abbia senso.
Se dimostri che a quella posizione non è raggiungibile in base alle regole che hai fissato, allora hai dimostrato un analogo del teorema di Godel.
Facciamo un esempio: sei un appassionato di strategia militare e vuoi inventare un nuovo gioco di guerra; definisci le regole del gioco in base alle tue conoscenze strategiche; se poi scopri che una determinata situazione militare è rappresentabile nel tuo gioco, ha senso da un punto di vista pratico (per esempio, perché c'è un precedente storico), ma non vi si può arrivare con le regole che hai fissato, questo secondo me sarebbe un analogo del teorema di Godel.

Ciao

[multi...@gmail.com]

Il giorno martedì 3 marzo 2015 02:56:04 UTC+1, Peano numero 1 ha scritto:
> Il giorno lunedì 2 marzo 2015 17:34:49 UTC+1, multi...@gmail.com ha scritto:
>
> >
> > Cosa vuol dire "in base al senso del gioco" e "sarebbe giusto che fosse raggiungibile"?
> >
>
> Dato che è un'analogia è difficile spiegare tutto, far quadrare tutto.
> Supponiamo che tu inventi un gioco (cioè le regole del gioco) avendo in mente qualcosa di realistico, che fa parte delle tue esperienze e supponiamo quindi che le regole riflettano in qualche maniera le tue esperienze o i tuoi riferimenti concreti.

Ma io qui mi riferivo agli aspetti puramente matematici dei giochi, a prescindere dal fatto irrilevante e difficilmente quantificabile che siano più o meno ispirati a situazioni reali.

> Supponiamo anche che una determinata posizione corrisponda effettivamente a qualcosa che abbia senso.
> Se dimostri che a quella posizione non è raggiungibile in base alle regole che hai fissato, allora hai dimostrato un analogo del teorema di Godel.

Se tu dicendo "che abbia senso" intendi "che è una posizione che usa la scacchiera e i pezzi di quel gioco ma che per il momento non si sa se è raggiungibile legalmente" allora se si dimostra che quella posizione non è raggiungibile in base alle regole fissate e alla posizione di partenza fissata, allora si è semplicemente dimostrata la negazione di un teorema (ad esempio in geometria euclidea è come dire che si è dimostrato che è falso che il quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale al prodotto dei quadrati costruiti sui cateti).

Se tu invece dicendo "che abbia senso" intendi "che ricorda una certa situazione della vita reale a cui si ispira il gioco" io ritengo che sia un'affermazione troppo vaga per essere affrontata matematicamente.

> Facciamo un esempio: sei un appassionato di strategia militare e vuoi inventare un nuovo gioco di guerra; definisci le regole del gioco in base alle tue conoscenze strategiche; se poi scopri che una determinata situazione militare è rappresentabile nel tuo gioco, ha senso da un punto di vista pratico (per esempio, perché c'è un precedente storico), ma non vi si può arrivare con le regole che hai fissato, questo secondo me sarebbe un analogo del teorema di Godel.
>
> Ciao

Questo secondo me non avrebbe a che fare con il teorema di Goedel e più in generale a questioni sui sistemi assiomatici perché tu qui stai parlando della loro possibilità di corrispondere a fenomeni della realtà da formalizzare, temi più legati alla fisica e alla filosofia (specialmente la filosofia della scienza) che alla matematica in senso stretto.

Ciao.

[radica...@gmail.com]

Il giorno lunedì 2 marzo 2015 15:10:37 UTC+1, multi...@gmail.com ha scritto:

> Secondo voi queste analogie sono corrette ?

No, direi proprio di no se non vagamente.

In realta' :
la coppia (Sistema Assiomatico ; I suoi vari modelli) e' la chiave per
comprendere davvero come funziona quella roba.

[multi...@gmail.com]

E perché per esempio il gioco degli scacchi non si può considerare un caso di sistema assiomatico con le corrispondenze viste prima?

Ciao.

[radica...@gmail.com]

Ecco cos'e' davvero un sistema formale (o assiomatico) :

http://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_formale

Ma per comprendere la cosa fino in fondo occorre capire cosa sono
i modelli. Ecco qua una spiegazione semplice per iniziare :

http://progettomatematica.dm.unibo.it/NonEuclidea/File/ip17%20coerenza.htm

[Peano numero 1]

Il giorno martedì 3 marzo 2015 10:53:06 UTC+1, multi...@gmail.com ha scritto:


> Se tu invece dicendo "che abbia senso" intendi "che ricorda una certa situazione della vita reale a cui si ispira il gioco" io ritengo che sia un'affermazione troppo vaga per essere affrontata matematicamente.

intendevo questo; puoi aver ragione, ma in tal caso salta la possibilità di fare l'analogia

> Questo secondo me non avrebbe a che fare con il teorema di Goedel e più in generale a questioni sui sistemi assiomatici perché tu qui stai parlando della loro possibilità di corrispondere a fenomeni della realtà da formalizzare, temi più legati alla fisica e alla filosofia (specialmente la filosofia della scienza) che alla matematica in senso stretto.

Se il teorema di Godel non avesse conseguenze filosofiche, Kurt Godel non sarebbe diventato tanto famoso; il fatto è che il teorema di Godel è più un teorema sui numeri naturali che sui sistemi formali, mentre il teorema di Church-Turing è più un teorema sui sistemi formali che sui numeri.

[multi...@gmail.com]

Il giorno martedì 3 marzo 2015 13:41:31 UTC+1, Peano numero 1 ha scritto:
> Se il teorema di Godel non avesse conseguenze filosofiche, Kurt Godel non sarebbe diventato tanto famoso; il fatto è che il teorema di Godel è più un teorema sui numeri naturali che sui sistemi formali, mentre il teorema di Church-Turing è più un teorema sui sistemi formali che sui numeri.

Ma io qui non stavo parlando delle conseguenze del teorema di Goedel al di fuori della matematica pura, ovvero alle applicazioni legate al rapporto tra i sistemi formali e il mondo reale e dunque a temi scientifici e filosofici, stavo parlando dei campi a cui il teorema di Goedel si applica direttamente (e comunque i numeri naturali in matematica sono definiti in modo formale mediante gli assiomi di Peano, a prescindere dal loro rapporto con il mondo reale e da domande filosofiche su cosa sono "veramente" i numeri.

Ciao.

[multi...@gmail.com]

Ma quali sarebbero le caratteristiche di un sistema formale o assiomatico che non sarebbero presenti nel gioco degli scacchi (o altri giochi simili)?

Ciao.

[radica...@gmail.com]

Il giorno martedì 3 marzo 2015 14:12:04 UTC+1, multi...@gmail.com ha scritto:

> Ma quali sarebbero le caratteristiche di un sistema formale o assiomatico
> che non sarebbero presenti nel gioco degli scacchi (o altri giochi simili)?

ad es.

"Le posizioni sulla scacchiera legalmente raggiungibili a partire dalla
posizione iniziale corrispondono ai teoremi."

No, semmai alle fbf

"Le dimostrazioni dei teoremi corrispondono alle partite che portano a
quelle posizioni raggiungibili."

No, qui piscia completamente fuori dalla tazza.

E' come se io ti chiedessi :
che differenza c'e' tra un verme e una nave ?

Tu diresti : hai presente il verme ? Si ? Beh la nave e' TUUUUUTTA un'
altra cosa :-)

[fma...@gmail.com]

On Tuesday, March 3, 2015 at 2:12:04 PM UTC+1, multi...@gmail.com wrote:
> Ma quali sarebbero le caratteristiche di un sistema formale o assiomatico che
> non sarebbero presenti nel gioco degli scacchi (o altri giochi simili)?
>

Per poter applicare il TdG (o il TdCT che ha citato Peano) devi avere in
mente come funziona la dimostrazione:
in brevissimo....
Per quanto riguarda la matematica (e quindi il TdG) il "trucco" è che puoi
codificare un teorema sui numeri con un numero G (per esempio, semplicemente,
lo scrivi, prendi il codice ascii delle lettere ed hai un altro numero). A
questo punto prendi in esame una teorema che utilizza il suo stesso G.
Per il TdCT più o meno vale lo stesso procedimento sulle MdT.

Puoi farlo sugli scacchi? Come ti ho detto prima, sarebbe necessario trovare
un modo di codificare una posizione (o una mossa) con una mossa (o una
posizione), e poi forse.

Ciao!

[multi...@gmail.com]

Il giorno martedì 3 marzo 2015 14:17:38 UTC+1, radica...@gmail.com ha scritto:
> Il giorno martedì 3 marzo 2015 14:12:04 UTC+1, multi...@gmail.com ha scritto:
>
> > Ma quali sarebbero le caratteristiche di un sistema formale o assiomatico
> > che non sarebbero presenti nel gioco degli scacchi (o altri giochi simili)?
>
> ad es.
>
> "Le posizioni sulla scacchiera legalmente raggiungibili a partire dalla
> posizione iniziale corrispondono ai teoremi."
>
> No, semmai alle fbf

Io non direi, le formule ben formate dovrebbero corrispondere a posizioni sulla scacchiera che "rispettano" la grammatica degli scacchi che "preesiste" alle regole del movimento degli scacchi, ovvero che abbiano la scacchiera corretta (cioé negli scacchi una scacchiera 8x8 e non una 10x6), e che i pezzi degli scacchi presenti nella posizione siano appartenenti all'insieme di 6 tipi "pedone (p), torre (r), alfiere (b), cavallo (n), donna (q), re (k)": una formula ben formata è ad esempio nel sistema FEN la seguente: rnbqkbnr/pp1ppppp/8/2p5/4P3/5N2/PPPP1PPP/RNBQKB1R e sarebbe ben formata anche se ci fossero nove pedoni bianchi (cosa che non accadrebbe mai in una partita vera), non sarebbe invece ben formata se avesse 60 caselle o se avesse dei pezzi che si chiamano F o J, in quanto non appartenenti all'insieme della grammatica degli scacchi.

>
> "Le dimostrazioni dei teoremi corrispondono alle partite che portano a
> quelle posizioni raggiungibili."
>
> No, qui piscia completamente fuori dalla tazza.
>
> E' come se io ti chiedessi :
> che differenza c'e' tra un verme e una nave ?
>
> Tu diresti : hai presente il verme ? Si ? Beh la nave e' TUUUUUTTA un'
> altra cosa :-)

Non so se la mia precisazione prima sulle fbf cambia qualcosa su questo punto...

Ciao.

[Pangloss]

[it.scienza.matematica 02 Mar 2015] multi...@gmail.com ha scritto:
> In qualche testo di divulgazione (probabilmente era Odifreddi o Lolli) era affermata una serie di analogie tra i giochi da tavolo e i sistemi assiomatici. In pratica dovevano essere le seguenti:
>
> 1) gli assiomi corrispondono alle posizioni di partenza (negli scacchi ad esempio, le posizioni dei pezzi a inizio partita)
> 2) le regole di induzione corrispondono alle regole per muovere i pezzi e più genericamente per cambiare la situazione sulla scacchiera (spostamenti, catture, posare pezzi nuovi, promozioni...)
> 3) Le sentenze formali corrispondono alle posizioni sulla scacchiera
> 4) Le posizioni sulla scacchiera legalmente raggiungibili a partire dalla posizione iniziale corrispondono ai teoremi.
> 5) Le dimostrazioni dei teoremi corrispondono alle partite che portano a quelle posizioni raggiungibili.

L'analogia e' ineccepibile.
L'esempio della teoria degli scacchi e' tratto dal ben noto ed autorevole
libro divulgativo di Nagel e Newman "La prova fi Goedel", ove viene usato
per illustrare la "metamatematica" hilbertiana tramite i metascacchi.
"Se il bianco ha solo due cavalli oltre al re e' impossibile che esso dia
scacco maatto al nero dotato del solo re" e' un noto esempio di asserzione
"metascacchistica" , ossia un teorema dimostrabile con "metodi finitari".

> Il teorema di Goedel in pratica potrebbe corrispondere alla seguente affermazione:
> in ogni gioco sufficientemente complesso esistono posizioni sulla scacchiera di cui è impossibile sapere se verranno mai raggiunte in una partita oppure no.
> Secondo voi queste analogie sono corrette? Oppure si tratta di un semplice approccio divulgativo per non addetti ai lavori senza pretese di precisione matematica?

IMHO i teoremi di Goedel sono gia' difficili da caoire bene per i sistemi
formali aritmetici; le estensioni a s.f. di altro genere o le conclusioni
filosofiche azzardate rischiano di essere cretinate.

Spesso si enuncia il primo teorema dicendo semplicisticamente che esistono
proposizioni aritmetiche vere ma non dimostrabili (magari aggiungendo che
un esempio potrebbe forse essere la mitica congettura di Goldbach).
Anche accontentandosi di considerare l'intuitiva "incompletezza semantica"
dell'aritmetica, cosa potrebbe corrispondervi nella teoria degli scacchi?
Occorrerebbe anzitutto scegliere una proprieta' che ogni configurazione dei
pezzi sulla scacchiera (comunque predisposta) possa avere (o non avere),
ad esempio quella di essere "vincente per il bianco".
Mei tipici problemi di scacchi si chiede di dimostrare che in una situazione
raffigurata il bianco matta in tre mosse: risolvere il problema significa
trovare una dimostrazione sintattica della "verita'" di tale configurazione.
Mi pare pero' che se una configurazione e' "vera=vincente" almeno in linea
di principio sia sempre possibile dimostrarlo in un numero finito di passi,
insomma non saprei usare il s.f degli scacchi per illustrare Goedel.

--
Elio Proietti
Valgioie (TO)

[Peano numero 1]

Il giorno martedì 3 marzo 2015 14:04:28 UTC+1, multi...@gmail.com ha scritto:

> e comunque i numeri naturali in matematica sono definiti in modo formale mediante gli assiomi di Peano

non è così, anzi, il teorema di Godel dimostra che l'intuizione che abbiamo dei numeri naturali non può mai essere espressa completamente tramite un sistema assiomatico (dato un sistema formale che parla dei numeri naturali in maniera sufficientemente espressiva, esiste una formula vera che il sistema non può dimostrare); immediatamente dopo si dimostra che se il sistema assiomatico è coerente e corretto, allora è incompleto (se il sistema è corretto non può dimostrare non-f perché è vero f, non può dimostrare neanche f, da qui l'incompletezza).
Quindi non è vero che in matematica i numeri naturali sono definiti dagli assiomi di Peano, in matematica i naturali sono un'intuizione che poi può portare a definire uno o più sistemi formali.

[Giovanni]

Intanto, l'analogia che hai fatto coglie abbastanza bene il senso di un sistema assiomatico formale, infatti e' un analogia molto usata.

Prima del risultato di Godel, si riteneva, soprattutto da Hilbert e i matematici formalisti, fosse possibile catturare in un sistema formale tutta la matematica.
Quindi, secondo le intenzioni dei formalisti pre-Godel, un sistema formale per l'aritmetica doveva "raggiungere" tutte le possibili espressioni aritmetiche vere.
Il fallimento, in particolare del sistema usato da Godel, mostra come il sistema ha una espressivita' (Capacita' di esprimere mediante il suo linguaggio le proposizioni dell'aritmetica) maggiore della dimostrabilita' (Capacita' di derivare tutte le proposizioni vere).

.
Giovanni

[radica...@gmail.com]

Il giorno martedì 3 marzo 2015 15:57:02 UTC+1, Pangloss ha scritto:

> L'analogia e' ineccepibile.

Perdonami, ma non sono d' accordo. Una preghiera : prima di rispondere
(nel caso ovviamente tu decida di rispondermi), leggi tutto cio' che
segue ossia consideralo un tutt' uno.

ad es. tu scrivi :

"Se il bianco ha solo due cavalli oltre al re e' impossibile che esso dia

scacco matto al nero dotato del solo re" e' un noto esempio di asserzione

"metascacchistica" , ossia un teorema dimostrabile con "metodi finitari".

Ma questo significherebbe che i teoremi deducibili sono veri o falsi in
funzione di un particolare stato della scacchiera in un dato momento.
Concetto questo che, in termini di sistemi assiomatici (PERLOMENO stando
all' analogia cosi' come descritta dall' OP), non trova corrispondenza
alcuna.

Allora bisognerebbe impostare il discorso in maniera completamente diversa,
ossia dire che :

1)
gli assiomi descrivono lo stato iniziale della scacchiera (qualunque esso
sia)

2)
i movimenti dei pezzi sono le regole logiche

3)
le fbf sono ... cosa ?

4) i teoremi sono quello che hai scritto tu

A meno che una "partita" non sia un *modello* (uno dei tanti) del
sistema formale.

Insomma come vedi c'e' molto da lavorare e precisare rispetto alla
lista di asserzioni numerate che ha presentato l' OP : cosi' nude e
crude IMHO non hanno molto a che fare con un vero sistema assiomatico.

Mi piacerebbe moltissimo allora, magari con il tuo aiuto, buttare
giu' una analogia (ma fatta come si deve, non cosi' !) tra il gioco
degli scacchi e sistema formale con i suoi modelli.

[multi...@gmail.com]

Il giorno mercoledì 4 marzo 2015 13:20:38 UTC+1, radica...@gmail.com ha scritto:
>
> "Se il bianco ha solo due cavalli oltre al re e' impossibile che esso dia
> scacco matto al nero dotato del solo re" e' un noto esempio di asserzione
> "metascacchistica" , ossia un teorema dimostrabile con "metodi finitari".
>
> Ma questo significherebbe che i teoremi deducibili sono veri o falsi in
> funzione di un particolare stato della scacchiera in un dato momento.
> Concetto questo che, in termini di sistemi assiomatici (PERLOMENO stando
> all' analogia cosi' come descritta dall' OP), non trova corrispondenza
> alcuna.
>

In effetti questo esempio io lo modificherei mettendo al posto di "Se il bianco ha solo due cavalli oltre al re" una precisa posizione sulla scacchiera, scelta in questo caso come "iniziale" e dunque corrispondente agli assiomi.

> Allora bisognerebbe impostare il discorso in maniera completamente diversa,
> ossia dire che :
>
> 1)
> gli assiomi descrivono lo stato iniziale della scacchiera (qualunque esso
> sia)
>
> 2)
> i movimenti dei pezzi sono le regole logiche
>
> 3)
> le fbf sono ... cosa ?

Io pensavo, come già detto prima, che le fbf sono le raffigurazioni di una posizione che usa una certa scacchiera e certi pezzi e quella scacchiera è una scacchiera quadrata 8x8 e ciascuno dei pezzi è uno tra i sei tipi di pezzi del gioco degli scacchi. Ad esempio, una scacchiera 8x8 totalmente piena di donne bianche che in FEN corrisponde a

"QQQQQQQQ/QQQQQQQQ/QQQQQQQQ/QQQQQQQQ/QQQQQQQQ/QQQQQQQQ/QQQQQQQQ/QQQQQQQQ"

è una fbf mentre non lo è una in cui la scacchiera è un triangolo rettangolo e in cui compare un pezzo "j" non identificato:

1/2/K2/4/4q/5j/1N5/3k4

Ciao.

[Giovanni]

Il giorno mercoledì 4 marzo 2015 13:20:38 UTC+1, radica...@gmail.com ha scritto:

Scusa se mi intrometto.
Ma, a parte il resto, siamo sempre con la solita questione dei MODELLI :-)
Un sistema formale in se' e' solo la struttura logica astratta.
Se, per es.:, come SF prendiamo la logica dei predicati del primo ordine, il SF vero e proprio, e' fatto SOLO da espressioni linguistiche tipo P1(X1), P2(X3,X4), P1(f(a,b)), ecc...
Ora, abbiamo a che fare con "gli scacchi", quindi con una scacchiera, delle figure variamente sagomate, di solito di legno.
A rigore, gli scacchi sono un MODELLO, di una certa struttura logica astratta, il vero SF.
Diciamo meglio che gli scacchi sono un "Sistema formale INTERPRETATO", che, stante la loro semplicita' materiale costitutiva, formalita' (In senso intuitivo) delle regole, meglio di altro si avvicina all'astrattezza e formalita' di un SF.
Infatti, volendo, si potrebbe svolgere una partita solo mediante l'uso del linguaggio predicativo.

Ma, accettando il tuo senso: se gli scacchi sono un SF, a cosa corrisponde la nozione di MODELLO di un SF ?
Be', corrispondera' ad un certo sistema fisico o situazione umana che pare richiamare il gioco degli scacchi. Alle volte si dice che una certa persona A e' come stesse giocando una partita a scacchi con B.

.
Giovanni

[radica...@gmail.com]

Una giusta precisazione, pero' non m' aiuta a capire come costruire
un SF che abbia come modello anche gli scacchi.

Sospetto pero' che piu' che gli scacchi il modello dovrebbe essere
una *certa partita* di essi come anche adombri tu.

Allora l' SF dovrebbe esprimere il gioco visto con le sue regole
astratte (e basta) e una partita su una scacchiera uno dei suoi modelli.

Che ne pensi ?

P.S.

UEEEEEEEEEE Giova' !!!! Come stai ? :D
Era una vita che non ti leggevo mi sei mancato ! Davvero eh !

[Giovanni]

Come dicevo, il SF e' uno SCHEMA LOGICO.
Per la logica non ha importanza come gli scacchi sono realizzati fisicamente.
Basta sapere che ci sono n oggetti diversi: pedone, cavallo, alfiere, re', ecc..., ossia: a1, a2, a3, ...
non ha ovviamente nessuna importanza il cavallo, la torre, la regina, ... come li intendiamo normalmente.
E poi ci vorra' una geometria, ma forse basta una topologia, per poter esprimere le RELAZIONI TRA tali oggetti, le particolari proprieta' degli oggetti.
Poi bisognera' esprimere in astratto la "cattura di un pezzo", lo "scacco matto", ecc...
Astrazioni di questo genere certamente esistono nei PROGRAMMI per computer che giocano a scacchi.
Pensa che molti anni fa, quando non esistevano ancora i PC, ho implementato un programmino per giocare a battaglia navale in una Calcolatrice TI59 programmabile della Texas Instrument, che aveva solo un display numerico ed era dotata solo delle comuni funzioni matematiche (Oltre che delle basilari istruzioni di programma).
La calcolatrice costruiva automaticamente uno schema random di battaglia navale con le navi e io davo le coordinate (Come si gioca normalmente a battaglia navale) cercando di colpire le navi.
Anche in questo caso, lo "spazio di mare" con le navi, era una costruzione astratta di puri numeri, era un puro schema logico.
Si puo' dire che il tradizionale schema di battaglia navale che si giocava da ragazzi disegnato sul foglio a quadretti era UN MODELLO di quello schema logico.

> Sospetto pero' che piu' che gli scacchi il modello dovrebbe essere
> una *certa partita* di essi come anche adombri tu.

No.
Gli assiomi indicano la situazione di partenza della partita.
Le regole di inferenza rappresentano le regole di movimento degli scacchi.
Ogni possibile disposizione dei pezzi sulla scacchiera rappresenta una fbf generica.
Ogni particolare situazione dei pezzi sulla scacchiera, durante la partita, rappresenta particolari fbf: i teoremi.
Lo svolgimento di una particolare partita puo' essere vista come una DIMOSTRAZIONE di come si ottiene un certo teorema: cioe' di come si ottiene una certa fbf (Disposizione sulla scacchiera) a partire dagli assiomi (Disposizione di partenza)

> P.S.
>
> UEEEEEEEEEE Giova' !!!! Come stai ? :D
> Era una vita che non ti leggevo mi sei mancato ! Davvero eh !

Ogni tanto do' un occhiata al NG.
Quando ci sono argomenti di logica spesso intervengo :-)

.
Giovanni

[Giovanni]

In effetti, bisognerebbe aggiungere che qui ci troviamo in una situazione un po' particolare, concettualmente un po' ingarbugliata.

Il gioco degli scacchi qui funge da modello, non in senso generico di un modello di SF, ma qui si vuole modellizzare il SF in se' !!!
Normalmente in un modello non si vede un SF gia' di per se', ma un modello e basta.

Per es., un certo SF puo' costituire la struttura logica della Teoria dei gruppi, per cui quest'ultima ne e' un modello.
Ma gli oggetti della Teoria dei gruppi non sono assiomi, teoremi, dimostrazioni.
Nel gioco degli scacchi, invece, vogliamo proprio vedere assiomi, teoremi, dimostrazioni, ...

Lo so di non essere stato troppo chiaro, purtroppo ho poco tempo.
Spero almeno che qualcosa ti sia arrivato.

.
Ciao
Giovanni

[Pangloss]

[it.scienza.matematica 04 Mar 2015] radica...@gmail.com ha scritto:
> ad es. tu scrivi :
> "Se il bianco ha solo due cavalli oltre al re e' impossibile che esso dia
> scacco matto al nero dotato del solo re" e' un noto esempio di asserzione
> "metascacchistica" , ossia un teorema dimostrabile con "metodi finitari".

Avrei dovuto essere piu' chiaro. La proposizione citata non e' una fbf o
un teorema "del" s.f.scacchistico, ma e' una proposizione metalogica che
asserisce qualcosa "sul" gioco degli scacchi (dimostrabile applicando le
regole sintattiche del gioco).

Nella formalizzazione del gioco degli scacchi:
- pezzi e posizioni corrispondono ai _segni_ del calcolo (alfabeto logico);
- le configurazionidei pezzi sulla scacchiera corrispondono alle _fbf_;
- la posizione iniziale del gioco corrisponde agli _assiomi_;
- le regole del gioco forniscono le _regole di inferenza_ del calcolo;
- le configurazioni successive ottenibili in una partita sono i _teoremi_,
cioe' le fbf derivabili dagli assiomi con le regole di inferenza.

Mi pare che Giovanni abbia gia' risposto alle tue osservazioni.
Naturalmente il s.f. del quale il gioco degli scacchi costituisce una
interpretazione non ha alcuna parentela con gli usuali s.f.aritmetici:
puo' essere usato per illustrare la sintassi di un calcolo, per chiarire
la distinzione tra logica e metalogica, ma non certo per esemplificare i
T. di Goedel validi per s.f.aritmetici di tutt'altro genere.

> Ma questo significherebbe che i teoremi deducibili sono veri o falsi in
> funzione di un particolare stato della scacchiera in un dato momento.

Ho gia' detto che ho voluto fornire un esempio di proposizione metalogica
vera, ossia citare un "teorema metascacchistico" dimostrabile mediante un
attento uso della sintassi del gioco.
I teoremi logici del s.f. (modellizzati dalle configurazioni di una partita)
sono un concetto sintattico, come gia' detto sono fbf derivabili dagli
assiomi con le regole di inferenza.
IMHO in questo contesto l'attributo vero/falso non ha a priori alcun senso,
a meno che non si scelga convenzionalmente una proprieta' metalogica che
caretterizzi le proposizioni "vere". Nel mio post precedente avevo suggerito
di chiamare vere le configurazioni vincenti per il bianco, al fine di
interpretare i problemi di scacchi come esercizi di dimostrazione di
proposizioni vere.
Qui pero' mi sto sbilanciando in voli pindarici che intendo chiudere,
prima che Giovanni o qualche altro logico esperto mi prenda a bastonate.