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Integrale fuori o dentro la sommatoria?
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Rocky3
Nov 1, 2011, 8:15:59 AM11/1/11
to
Ciao a tutti!
Data una funzione F(x), so per ipotesi che si può sviluppare in una serie
di coseni (il cui argomento dipende da un indice n), ognuno con una certa
ampiezza. Diciamo:
F(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} An*f_n(x)
dove f_n(x) è la funzione coseno n-esima (ad esempio cos(nkx), con k uguale
per tutti) e An la sua ampiezza.
Moltiplico ambo i membri per una funzione f_m(x) e integro in x tra 0 ed a
(con a finito):
\int_0^a F(x)*f_m(x) dx = \int_0^a \sum_{n=0}^{+\infty} An*f_n(x)*f_m(x)
Si dice a questo punto che se la serie converge uniformemente possiamo
scambiare la sommatoria con l'integrale, per il Teorema di Parseval.
\int_0^a F(x)*f_m(x) dx =
= \sum_{n=0}^{+\infty} \int_0^a An*f_n(x)*f_m(x) dx
Ma il Teorema stabilisce solo che se la potenza di un segnale è finita,
allora anche la serie con i moduli dei suoi coefficienti di Fourier
converge. Cosa c'entra con l'integrale? Quando si può "portare" un
integrale dentro la sommatoria in una serie?
Ho cercato e ricercato su Google senza trovare molto.
Dove posso trovare delucidazioni?
Grazie in ogni caso,
Rocky3
Data una funzione F(x), so per ipotesi che si può sviluppare in una serie
di coseni (il cui argomento dipende da un indice n), ognuno con una certa
ampiezza. Diciamo:
F(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} An*f_n(x)
dove f_n(x) è la funzione coseno n-esima (ad esempio cos(nkx), con k uguale
per tutti) e An la sua ampiezza.
Moltiplico ambo i membri per una funzione f_m(x) e integro in x tra 0 ed a
(con a finito):
\int_0^a F(x)*f_m(x) dx = \int_0^a \sum_{n=0}^{+\infty} An*f_n(x)*f_m(x)
Si dice a questo punto che se la serie converge uniformemente possiamo
scambiare la sommatoria con l'integrale, per il Teorema di Parseval.
\int_0^a F(x)*f_m(x) dx =
= \sum_{n=0}^{+\infty} \int_0^a An*f_n(x)*f_m(x) dx
Ma il Teorema stabilisce solo che se la potenza di un segnale è finita,
allora anche la serie con i moduli dei suoi coefficienti di Fourier
converge. Cosa c'entra con l'integrale? Quando si può "portare" un
integrale dentro la sommatoria in una serie?
Ho cercato e ricercato su Google senza trovare molto.
Dove posso trovare delucidazioni?
Grazie in ogni caso,
Rocky3
Tommaso Russo, Trieste
Nov 1, 2011, 9:08:47 AM11/1/11
to
Il 01/11/2011 13:15, Rocky3 ha scritto:
Cosa c'entra con l'integrale? Quando si può "portare" un
> integrale dentro la sommatoria in una serie?
Non entro nel merito del problema: ma se *qualcosa* moltiplica tutti i
Cosa c'entra con l'integrale? Quando si può "portare" un
> integrale dentro la sommatoria in una serie?
termini di una sommatoria, e *non* dipende dall'indice del termine, puoi
considerarlo come una costante, applicare la proprieta' distributiva del
prodotto rispetto all'addizione e metterlo in evidenza (fuori dalla
sommatoria).
--
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni
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