Problema del quarto anno del liceo scientifico

[frengo]

Traccia:
E' dato il quadrilatero ABCD inscritto in una circonferenza di raggio r.
L'angolo in A è 60°, quello in B è tale che ABD=2DBC.
Determina l'espressione analitica
f(x)=AB/AD+BC/DC dopo aver posto l'angolo DBC=x
Determina per quali valori di x f(x)>sqrt(3)/2
Io ci ho fatto una marea di conti, esiste un modo 'elegante' per farlo ?
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[Enrico Gregorio]

frengo <autos...@puglia.fg> scrive:

> Traccia:
> E' dato il quadrilatero ABCD inscritto in una circonferenza di raggio r.
> L'angolo in A è 60°, quello in B è tale che ABD=2DBC.
> Determina l'espressione analitica
> f(x)=AB/AD+BC/DC dopo aver posto l'angolo DBC=x
> Determina per quali valori di x f(x)>sqrt(3)/2
> Io ci ho fatto una marea di conti, esiste un modo 'elegante' per farlo ?

Teorema dei seni:

AB/sin ADB = AD/sin ABD

Siccome ADB = pi - (pi/3 + 2x) e ABD = 2x avrai

AB/AD = sin(pi/3 + 2x)/sin 2x

Analogamente

BC/sin BDC = DC/sin DBC

Siccome BDC = pi - (2pi/3 + x), dal momento che l'angolo DCB
è supplementare di BAD = pi/3, e DBC = x avrai

BC/DC = sin(2pi/3 + x)/sin x = sin(pi/3 - x)/sin x

Dunque, ponendo r = sqrt(3)/2,

f(x) = (r cos 2x + (1/2)sin 2x)/sin 2x
+ (r cos x - (1/2)sin x)/sin x

= r cos 2x/sin 2x + r cos x/sin x

La disuguaglianza diventa dunque

cos 2x/sin 2x + cos x/sin x > 1

La condizione 0 < 2x < 2pi/3 (che vale perché 2x è un angolo
di un triangolo con un angolo di pi/3) dice che i denominatori
sono positivi, quindi non c'è pericolo a toglierli; inoltre
vale 0 < x < pi/3. Perciò

sin x cos 2x + sin 2x cos x > sin x sin 2x

sin x(cos^2 x - sin^2 x) + 2 sin x cos^2 x - 2 sin^2 x cos x > 0

Si può semplificare per sin x > 0:

cos^2 x - sin^2 x + 2cos^2 x - 2 sin x cos x > 0

sin^2 x + 2 sin x cos x - 3 cos^2 x < 0

Dal momento che 0 < x < pi/3, possiamo dividere per cos^2 x
ottenendo

tan^2 x + 2 tan x - 3 < 0

Le radici di X^2 + 2X - 3 sono 1 e -3; dunque

-3 < tan x < 1

che, sapendo tan x > 0, diventa 0 < tan x < 1, cioè

0 < x < pi/4

(Controlla i calcoli.)

Ciao
Enrico