domanda su distanze minime in geometrie non euclidee
Rocky
ed una curva regolare C non contenente A, la distanza più breve è quel
percorso leneare che forma un angolo retto con la tangente alla curva,
in altre parole data la congiungente lineare tra A e C, se è minimo il
percorso forma sempre un angolo di 90 gradi.....detto ciò la domanda
è: tale assunzione è valido anche in una geometria non euclidea? o no?
e se no per semplificare su uno spazio superficie sferica che succede?
una breve spiegazione sarebbe gradita, grazie
Valter Moretti
Ciao, si è vero, in una qualsiasi geometria riemanniana, se prendi A
in un intorno sufficientemente piccolo della curva in cui sono
definite coordinate normali geodetiche. Funziona anche con le
superfici...sono necessarie un po' di ipotesi sulla regolarità della
superficie o curva (deve essere una sottovarietà embedded).
Ciao, Valter
Rocky
aahh interessante...sembra essere una proprietà invariante allora ....
grazie Valter
Tetis
> On 2 Gen, 11:53, Rocky <rocst...@gmail.com> wrote:
>
> > in uno spazio euclideo non è difficile dimostrare che: dato un pto A
> > ed una curva regolare C non contenente A, la distanza più breve è quel
> > percorso leneare che forma un angolo retto con la tangente alla curva,
Più precisamente andrebbe detto: la distanza più breve è un percorso
lineare che forma un angolo retto con la tangente alla curva, ovvero è
quel percorso lineare che congiunge A ad un estremo della curva.
> > in altre parole data la congiungente lineare tra A e C, se è minimo il
> > percorso forma sempre un angolo di 90 gradi.....detto ciò la domanda
> > è: tale assunzione è valido anche in una geometria non euclidea? o no?
> > e se no per semplificare su uno spazio superficie sferica che succede?
> > una breve spiegazione sarebbe gradita, grazie
>
> Ciao, si è vero, in una qualsiasi geometria riemanniana, se prendi A
> in un intorno sufficientemente piccolo della curva in cui sono
> definite coordinate normali geodetiche.
Ma a che pro questa condizione di località? La domanda mi sembra sia
questa: supponiamo esista un punto C interno alla curva (ovvero che
non sia un estremo) che è a minima distanza da A, allora la geodetica
AC è ortogonale alla curva. La dimostrazione può essere condotta
considerando un intorno del punto C, non mi sembra necessario
richiedere che A appartenga a questo intorno, infatti la logica della
dimostrazione dovrebbe essere circa questa: supponiamo che la tangente
alla curva e la tangente alla geodetica formino in C un prodotto
scalare non nullo, allora è possibile individuare in un intorno di C
un punto C' a distanza più breve, per costruire questo punto si può
ragionare in coordinate geodetiche considerando solo i punti della
curva e della geodetica senza sapere dove è collocato il punto
esterno, o sbaglio?
Valter Moretti
>
> Ma a che pro questa condizione di località? La domanda mi sembra sia
> questa: supponiamo esista un punto C interno alla curva (ovvero che
> non sia un estremo) che è a minima distanza da A, allora la geodetica
> AC è ortogonale alla curva. La dimostrazione può essere condotta
> considerando un intorno del punto C, non mi sembra necessario
> richiedere che A appartenga a questo intorno, infatti la logica della
> dimostrazione dovrebbe essere circa questa: supponiamo che la tangente
> alla curva e la tangente alla geodetica formino in C un prodotto
> scalare non nullo, allora è possibile individuare in un intorno di C
> un punto C' a distanza più breve, per costruire questo punto si può
> ragionare in coordinate geodetiche considerando solo i punti della
> curva e della geodetica senza sapere dove è collocato il punto
> esterno, o sbaglio?
Ciao, non mimricordo bene e dovrei controllare, per esempio su "Semi
Riemannian Geometry" di B. O'Neill, ma ti faccio notare che se non
lavori in un dominio in cui esistono coordinate normali geodetiche
alla sottovarietà, potrebbe non esistere alcuna curva sulla quale la
distanza da un punto è la minima possibile (almeno in un intorno di un
punto sulla sottovarietà). La prova è elementare: mettiti nel caso in
cui tale curva esiste per un assegnato punto A ed un intorno sulla
sottovarietà (la curva assegnata) e poi rimuovi un punto dalla varietà
ambiente chegiace su quella curva e che non giace sulla sottovarietà,
la curva assegnata in questo caso. Non esiste più alcuna curva sulla
quale la distanza è minimizzata. Alternativamente, fuori da un intorno
normale geodetico può accadere che ci sono più curve che congingono il
punto alla sottovarietà e sulle quali la distanza è localmente o
globalmente minima (ed uguale nel secondo caso).
Però leggendo bene il questito (non avevo letto attentamente), noi
assumiamo a priori che la curva che minimizza la lunghezza esista e ci
chiediamo se è normale alla sottovarietà. Forse è vero che non è
necessariao lavorare in un intorno normale in tali ipotesi, ma non ne
sono sicuro. Quello che è sicuramente noto è che in per una varietà
riemanniana, in un intorno geodetico normale ad una sottovarietà
embedded, l'unica geodetica normale alla sottovarietà che congiunge
un punto fuori dalla sottovarietà alla sottovarietà minimizza la
distanza localmente...
Ciao, Valter
Tetis
Si potrebbe obiettare che in tal caso intendi un'estensione del
concetto di distanza, ovvero la distanza è l'estremo inferiore
dell'insieme delle lunghezze delle curve che congiungono i due punti e
non il minimo che si ha sulla geodetica. Comunque anche in questo caso
non mi sembra che la dimostrazione di normalità possa risentirne,
certo andrebbe comunque assunto che intorno al punto di minimo esista
un sistema locale di coordinate normali e non ci siano quindi casi
strani come ad esempio una curva che tange punti in infiniti punti un
dominio escluso dalla varietà. Questo però l'avevo assunto per ipotesi
appunto perché altrimenti si possono costruire controesempi, a questo
scopo avevo aggiunto infatti la precisazione che il punto a distanza
minima potrebbe essere un estremo della curva, ora aggiungo
esplicitamente che il punto a distanza minima potrebbe essere un punto
interno alla curva ma collocato in un punto di tangenza ad una regione
esclusa dal dominio di una varietà riemanniana che può essere vista
come sotto-varietà di una varietà assegnata. Ora in vista della
eventualità che la geodetica non esista l'affermazione dell'op appare
vuota di significato. Tuttavia come si è definita l'estensione del
concetto di distanza si può definire l'estensione del concetto di
angolo se si restringe l'insieme delle curve sulle quali si ricerca
l'estremo inferiore, all'insieme delle curve che sono geodetiche in
un intorno assegnato di C e si considera l'estremo dei prodotti
scalari.
Non esiste più alcuna curva sulla
> quale la distanza è minimizzata. Alternativamente, fuori da un intorno
> normale geodetico può accadere che ci sono più curve che congingono il
> punto alla sottovarietà e sulle quali la distanza è localmente o
> globalmente minima (ed uguale nel secondo caso).
ovvio, ma come può succedere che una curva che sia geodetica intorno a
C, dove ci sono definite le coordinate geodetiche normali, risulti
obliqua? Non può succedere.
> Però leggendo bene il questito (non avevo letto attentamente), noi
> assumiamo a priori che la curva che minimizza la lunghezza esista e ci
> chiediamo se è normale alla sottovarietà. Forse è vero che non è
> necessariao lavorare in un intorno normale in tali ipotesi, ma non ne
> sono sicuro.
Ma io non ho mai pensato che non occorra lavorare in un intorno
normale, anzi questo è fondamentale per impostare il ragionamento,
solo che mi sembra che si possano considerare anche punti esterni a
questo intorno.
Quello che è sicuramente noto è che in per una varietà
> riemanniana, in un intorno geodetico normale ad una sottovarietà
> embedded, l'unica geodetica normale alla sottovarietà che congiunge
> un punto fuori dalla sottovarietà alla sottovarietà minimizza la
> distanza localmente...
Io non sono sicuro di sapere cosa intendi con intorno geodetico
normale ad una sottovarietà. Se intendi un intorno di un punto della
sottovarietà in cui è definito un sistema di coordinate normali per la
varietà, ed allora non mi par vero quel che dici, o se intendi un
intorno in cui le coordinate normali della sottovarietà sono
completate considerando le geodetiche normali alla sottovarietà,
allora è ragionevole.
Infatti in generale sotto opportune ipotesi di regolarità della
varietà (per esempio esiste un atlante di carte geodetiche) possono
esistere più d'una geodetica normale ad un varietà che la congiungono
ad un punto dato e tutto quello che si può dire di ognuna è che essa è
un estremo locale rispetto alle variazioni, non che sia un minimo.
Per esempio consideriamo una circonferenza "embedded" in un piano
euclideo: dato un punto eccentrico esistono due geodetiche normali
alla circonferenza uscenti dal punto: una è di minimo locale, l'altra
è di massimo locale. Ora se si considerano le coordinate normali in un
intorno di un punto della circonferenza, come risultano dalla mappa
esponenziale applicata allo spazio tangente al piano, ritroviamo
semplicemente le coordinate cartesiane e di conseguenza l'intero piano
euclideo è un intorno nel quale sono definite le coordinate normali.
Se invece si considera il completamento mediante geodetiche normali
alla sottovarietà esiste un'ostruzione al prolungare queste coordinate
oltre il centro della circonferenza.
> Ciao, Valter
Valter Moretti
>
> Si potrebbe obiettare che in tal caso intendi un'estensione del
> concetto di distanza, ovvero la distanza è l'estremo inferiore
> dell'insieme delle lunghezze delle curve che congiungono i due punti e
> non il minimo che si ha sulla geodetica.
Cercdo di essere il più preciso possibile per evitare ogni ambiguità.
Quella che hai scritto sopra è la *definizione* di distanza su una
varietà rimenanniana,
ma mi pareva che si chiedesse in più che tale distanza coincidesse con
la lunghezza di un segmento
di curva tracciato tra la sottovarietà (nel caso in esame una curva)
ed un punto fuori dalla sottovarietà.
O mi sbaglio?
Per coordinate normali attorno ad una sottovarietà intendo questo.
Prendi una varietà riemanniana M e una sottovarietà S < M embedded.
Prendi il fibrato normale a S, NS. Considera infine l'applicazione che
associa ad ogni
elemento (n, s) di NS (dove quindi s è un punto di S e n un vettore
normale a S in s),
il punto di M dato da exp_s (n). Dove exp : TM -> M è la solita mappa
esponenziale costruita con la metrica riemanniana di M.
Se prendi un insieme aperto A abbastanza piccolo attorno a S in M,
risulta che la funzione (n,s) -> exp_s(n)
è un diffeomeorfismo da un intorno aperto della sezione nulla di NS ad
A.
In tal caso A è detto intorno (geodetico) normale di S.
In tale intorno vale la proprietà che (vado a memoria per cui potrebbe
essere diverso l'enunciato ed ora non posso controllare)
se p in A allora l'unica geodetica g che congiunge S a p, normale ad
S, minimizza in un intorno O su S del punto q in cui g tocca S,
la lunghezza di tutte le curve che congiungono S ad A partendo
dall'intorno detto. La lunghezza del segmento di geodetica g è, per
definizione,
la distanza di S intersecato O rispetto a p.
Questo è quanto ricordo...
Ora è più chiaro?
Ciao, Valter
Valter Moretti
> minimizza in un intorno O su S del punto q in cui g tocca S,
> la lunghezza di tutte le curve che congiungono S ad A
scusa: *che congiungono S a p*
Riciao, Valter
Tetis
> Tetis ha scritto:
> > Si potrebbe obiettare che in tal caso intendi un'estensione del
> > concetto di distanza, ovvero la distanza è l'estremo inferiore
> > dell'insieme delle lunghezze delle curve che congiungono i due punti e
> > non il minimo che si ha sulla geodetica.
>
> Cercdo di essere il più preciso possibile per evitare ogni ambiguità.
> Quella che hai scritto sopra è la *definizione* di distanza su una
> varietà rimenanniana,
> ma mi pareva che si chiedesse in più che tale distanza coincidesse con
> la lunghezza di un segmento
> di curva tracciato tra la sottovarietà (nel caso in esame una curva)
> ed un punto fuori dalla sottovarietà.
> O mi sbaglio?
Non sbagli, infatti è così che avevo interpretato la nozione di
distanza proposta dall'op: distanza minima non come minima distanza
geodetica, bensì come minima lunghezza effettiva, la nozione di
distanza viene espressa diversamente, e cioè come estremo inferiore,
proprio perché in generale possono verificarsi situazioni in cui non
esiste la geodetica perché, ad esempio, la metrica degenera (per
esempio la metrica di Jacobi dove il potenziale uguaglia l'energia),
ma sono casi e situazioni speciali: in questo frame del tutto
generale, in mancanza di geodetiche, occorre fare riferimento ad una
famiglia di curve che approssimino il minimo e diventa tutto più
complesso. Per evitare queste precisazioni basta fare riferimento ad
una varietà riemanniana completa, ma occorre accettarne le
limitazioni, come ad esempio il fatto che non si possa estendere il
risultato in modo automatico ad una varietà di Jacobi, quando invece è
immediatamente intuitivo che continua a valere.
> Per coordinate normali attorno ad una sottovarietà intendo questo.
> Prendi una varietà riemanniana M e una sottovarietà S < M embedded.
> Prendi il fibrato normale a S, NS. Considera infine l'applicazione che
> associa ad ogni
> elemento (n, s) di NS (dove quindi s è un punto di S e n un vettore
> normale a S in s),
> il punto di M dato da exp_s (n). Dove exp : TM -> M è la solita mappa
> esponenziale costruita con la metrica riemanniana di M.
> Se prendi un insieme aperto A abbastanza piccolo attorno a S in M,
> risulta che la funzione (n,s) -> exp_s(n)
> è un diffeomeorfismo da un intorno aperto della sezione nulla di NS ad
> A.
> In tal caso A è detto intorno (geodetico) normale di S.
Perfetto, non hai dato la definizione di fibrato normale, ma si può
intuire che è il sottospazio nello spazio tangente alla varietà, dei
vettori ortogonali ai vettori tangenti alla sottovarietà, questa
apparente contorsione è necessaria perché in generale in geometria
curva il modello vettoriale cartesiano dello spazio euclideo non
sussiste. In pratica la costruzione corrisponde a completare le
coordinate normali locali sulla sottovarietà a coordinate locali (non
necessariamente normali) nella varietà identificando i punti, anche
esterni alla sottovarietà, a partire da un punto della sottovarietà
mediante un'ulteriore insieme di coordinate definite mediante la
rappresentazione esponenziale nel sottospazio dello spazio tangente
della varietà che è normale allo spazio tangente della sottovarietà,
rivisto come sottospazio dello spazio tangente della varietà, tornando
al caso semplice della circonferenza si tratta di aggiungere alla
coordinata curvilinea il complementare della distanza radiale e questo
sistema di coordinate è certamente singolare al centro della
circonferenza.
> In tale intorno vale la proprietà che (vado a memoria per cui potrebbe
> essere diverso l'enunciato ed ora non posso controllare)
> se p in A allora l'unica geodetica g che congiunge S a p, normale ad
> S, minimizza in un intorno O su S del punto q in cui g tocca S,
> la lunghezza di tutte le curve che congiungono S ad A partendo
> dall'intorno detto.
Ok. Qui ti sei confuso perché nella notazione dell'op A era quello che
tu hai chiamato punto p.
La lunghezza del segmento di geodetica g è, per
> definizione,
> la distanza di S intersecato O rispetto a p.
Esatto, questo è credibile, ma è molto riduttivo rispetto alle
richieste dell'op infatti può ben succedere che la varietà riemanniana
sia completa mentre l'intorno geodetico normale alla sotto-varietà non
può essere esteso fino ad includere il punto a distanza minima da
S.
Valter Moretti
>
> Esatto, questo è credibile, ma è molto riduttivo rispetto alle
> richieste dell'op infatti può ben succedere che la varietà riemanniana
> sia completa mentre l'intorno geodetico normale alla sotto-varietà non
> può essere esteso fino ad includere il punto a distanza minima da
> S.
Non ho capito quello che sostieni. L'intorno geodetico è, nella mia
costruzione un intorno della sottovarietà S. Il punto p fuori da S è
fissato, il punto a distanza minima da p, se ho capito bene, si deve
prendere, se c'è, su S, quindi è sempre nell'intorno normale geodetico
di S!
Inoltre, anche se la varietà ambiente M è geodeticamente completa (che
è equivalente alla completezza
rispetto alla distanza definita come l'inf delle lunghezze delle curve
tra una coppia di punti), questo non implica che presa una
sottovarietà embedded S ed un punto p fuori da essa ci sia un punto su
S con distanza minima da p.
Ciao, Valter
Valter Moretti
In ogni caso non ho ben capito cosa sostieni tu. Tu dici che se p è
fuori da S e c'è una curva da p a S che minimizza la distanza allora
tale curva è normale a S, anche se p è fuori da un intorno normale
geodetico di S, oppure sostieni altro?
Ciao, Valter
Tetis
> On Jan 4, 10:46 pm, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
>
>
>
> > Esatto, questo è credibile, ma è molto riduttivo rispetto alle
> > richieste dell'op infatti può ben succedere che la varietà riemanniana
> > sia completa mentre l'intorno geodetico normale alla sotto-varietà non
> > può essere esteso fino ad includere il punto a distanza minima da
> > S.
>
> Non ho capito quello che sostieni. L'intorno geodetico è, nella mia
> costruzione un intorno della sottovarietà S. Il punto p fuori da S è
> fissato, il punto a distanza minima da p, se ho capito bene, si deve
> prendere, se c'è, su S, quindi è sempre nell'intorno normale geodetico
> di S!
Ma fino a prova contraria niente ti garantisce che in una varietà
riemanniana completa il punto p sia in un intorno normale geodetico
del punto q a minima distanza su S, o sbaglio?
> Inoltre, anche se la varietà ambiente M è geodeticamente completa (che
> è equivalente alla completezza
> rispetto alla distanza definita come l'inf delle lunghezze delle curve
> tra una coppia di punti), questo non implica che presa una
> sottovarietà embedded S ed un punto p fuori da essa ci sia un punto su
> S con distanza minima da p.
E certo, ma chi l'ha detto questo, l'ipotesi di partenza dell'op è che
tale punto esistesse.
> Ciao, Valter
Arcobaleno
>
> > in uno spazio euclideo non è difficile dimostrare che: dato un pto A
> > ed una curva regolare C non contenente A, la distanza più breve è quel
> > percorso leneare che forma un angolo retto con la tangente alla curva,
> > in altre parole data la congiungente lineare tra A e C, se è minimo il
> > percorso forma sempre un angolo di 90 gradi.....detto ciò la domanda
> > è: tale assunzione è valido anche in una geometria non euclidea? o no?
> > e se no per semplificare su uno spazio superficie sferica che succede?
> > una breve spiegazione sarebbe gradita, grazie
>
Ciao Valter, Buon Anno:)))
Premetto subito che non conosco, se non per via intuitiva, questo
argomento, quindi perdona il mio linguaggio approssimativo, e cioè il
linguaggio che mi serve per porti delle domande:))
Ho capito che il punto esterno alla curva sarà distante AL MINIMO da
UN PUNTO della curva se noi prendiamo un punto su quella curva, e tale
punto della curva avrà una tangente in quel punto(quanti punti:))).
Quando noi tracciamo un segmento di retta che congiunge il punto
esterno con il punto PIU' VICINO sulla appartenente alla curva, ecco
che questo segmento formerà un angolo di novanta gradi con la
tangente, da qui il discorso sulla normale ecc ecc. E fino a qui ho
capiato benissimo: almeno spero:)
Poi è stato chiesto riguardo alle geometrie non euclidee, e qui il
discorso da mio modesto punto di vista si complica perché abbiamo il
quinto postulato ASSENTE. Ma lo tralascio perché dovrei farmi un
ripasso di almeno un giorno su questo tema e non lo tocco.
Però è stato toccato il discorso della geometria sulla sfera e quindi
le geodetiche: le linee rette della sfera se così possiamo dire. Ora
la geometria sulla sfera è un MODELLO di geometria non euclidea
(correggimi se sbaglio).
Se quindi noi stabiliamo che anche sulla sfera si ottiene quello che
otteniamo nel piano(tangente novanta gradi ecc) ecco che in qualche
maniera abbiamo capito(non parlo di dimostrazione) che in geometria
non euclidea si può avere lo stesso che in geometria EUCLIDEA.
Ora tu e Tetis state ragionando sugli intorni.
Io sinceramente non ho capito in che senso ne state parlando, e anche
tu non hai capito(o Tetis non si è spiegato al meglio) parte del suo
discorso.
Ora permettimi di fare un esempio giusto per vedere se sto capendo.
Prendo un foglio di carta, poi disegno sopra due assi perpendicolari
tra loro.
Poi quel foglio di carta diventa un cilindro. La curvatura è costante.
Le geodetiche sul cilindro godono quindi della proprietà del piano.
Per quanto riguarda la sfera io ragiono come segue. Prendo per es. la
linea dell'equatore. Poi prendo quella del polo nord, e capisco
intuitivamente che le due si incontrano formando un angolo di novanta
gradi, e cioè che un punto di minima distanza dalla linea
dell'equatore si deve trovare su una geodetica che incontra la linea
dell'equatore passando per il polo nord e sud, altrimenti la distanza
aumenta.
Parlare di tangenti(nel piano) non mi sembra il caso, perché non si
tratta più del piano, e quindi dovrei parlare di tangenti ad una
superficie, e cioè di tangenti ad una curva(la geodetica) nello SPAZIO
TRIDIMENSIONALE (ho portato i bambini a vedere christmas carol in 3D,
che ne pensi di queste tacnologia, mi indichi qualche sito per capire
come fanno per favore?:)))).
Ora, quando tu e Tetis parlate di intorni, vi riferite al punto dove
le due geodetiche si incrociano? Cioè state parlando dell'intorno del
punto dove le due geodetiche si incontrano?
Grazie milla Valter, e scusami per le imprecisioni, ma con un disegno
avrei fatto molto prima e sarei stato più esatto e capibile.
A.
Arcobaleno
>
>
> Ma fino a prova contraria niente ti garantisce che in una varietà
> riemanniana completa il punto p sia in un intorno normale geodetico
> del punto q a minima distanza su S, o sbaglio?
>
questa garanzia bisogna cercarla per via analitica immagino. Se è così
si potrebbe procedere con l'algebra lineare, le basi ecc ecc? Se ho
capito bene si tratta di geometria differenziale. Giusto?
Mi sembra di aver capito che si tratta dei concetti di algebra
lineare, più precisamente dei concetti di spazio vettoriale, ovvero di
geometria vettoriale applicati alla geometria sulla sfera e a quelle
NON euclidee.
Per questa via è possibile avere questa garanzia a tuo parere o non
c'entra proprio nulla questa via e quindi non ho capito bene?
Grazie mille!!
Valter Moretti
Ciao, mi pare che sia vera la questione nella forma più generale
possibile (nei termini posti dall'OP) usando la proposizione (sugli
intorni geodetici normali di sottovarietà...) che ho citato ma che non
ho avuto ancora il tempo di controllare. Non ho tempo per pensarci per
bene ma ho una traccia di dimostrazione che mi pare essenzialmente
corretta.
*Teorema (congettura)* Sia M una varietà riemanniana smooth e S una
sottovarietà embedded. Sia p un punto fuori da S. Se esiste q in S e
una curva smooth g da p a q tale che la lunghezza della curva è il
minimo
delle lunghezze di tutte le curve da p a qualche punto su S, allora g
è perpendicolare a S in q.
Traccia di dimostrazione.
Per assurdo. Se g in q non è perpendicolare a S consideriamo un punto
p' su g sufficientemente vicino a q, ma ancora fuori da S, in modo da
essere in un intorno normale geodetico di S. Allora l'unica geodetica
che congiunge p' a S passando per q' in S minimizza strettamente la
distanza tra p' e S e quindi la lunghezza di p'q' è strettamente
inferiore a quella di p'q. Sarà p'q = p'q' + e con e>0
sufficientemente piccolo.
Possiamo deformare il tratto p'q' facendo diventare la spezzata pp'+
p'q' una cirva smooth in modo tale che la lunghezza della porzione
p'q' deformata differisca da quella indeformata per meno di e.
Di consequanza la curva smooth pp'+p'q' cos' ottenuta ha lunghezza
inferiore a quella di pq che è impossibile
per ipotesi.
Ciao, Valter
Valter Moretti
> Ho capito che il punto esterno alla curva sarà distante AL MINIMO da
> UN PUNTO della curva se noi prendiamo un punto su quella curva, e tale
> punto della curva avrà una tangente in quel punto(quanti punti:))).
>
OK
> Quando noi tracciamo un segmento di retta che congiunge il punto
> esterno con il punto PIU' VICINO sulla appartenente alla curva, ecco
> che questo segmento formerà un angolo di novanta gradi con la
> tangente, da qui il discorso sulla normale ecc ecc. E fino a qui ho
> capiato benissimo: almeno spero:)
>
OK
> Poi è stato chiesto riguardo alle geometrie non euclidee, e qui il
> discorso da mio modesto punto di vista si complica perché abbiamo il
> quinto postulato ASSENTE. Ma lo tralascio perché dovrei farmi un
> ripasso di almeno un giorno su questo tema e non lo tocco.
>
si... io intendevo il problema nel caso generico di una geometria
riemanniana curva non necessariamente a curvatura costante e nemmeno
in dimensione 2, mi riferivo a varietà riemanniane di dimensione
arbitraria n come spazio ambiente ed a sottovarietà di dimensione m <n
al posto della curva.
> Però è stato toccato il discorso della geometria sulla sfera e quindi
> le geodetiche: le linee rette della sfera se così possiamo dire. Ora
> la geometria sulla sfera è un MODELLO di geometria non euclidea
> (correggimi se sbaglio).
>
Ma si ma quello è un caso particolarissimo...
> Se quindi noi stabiliamo che anche sulla sfera si ottiene quello che
> otteniamo nel piano(tangente novanta gradi ecc) ecco che in qualche
> maniera abbiamo capito(non parlo di dimostrazione) che in geometria
> non euclidea si può avere lo stesso che in geometria EUCLIDEA.
>
si, ma il contesto in cui mi mettevo io è molto più generale della
geometria sferica.
> Ora tu e Tetis state ragionando sugli intorni.
>
> Io sinceramente non ho capito in che senso ne state parlando, e anche
> tu non hai capito(o Tetis non si è spiegato al meglio) parte del suo
> discorso.
>
si, in verità non ho capito bene quello che ha scritto Tetis perché a
volte usa i termini in modo un po' improprio (ma lo faccio anche io).
> Ora permettimi di fare un esempio giusto per vedere se sto capendo.
>
> Prendo un foglio di carta, poi disegno sopra due assi perpendicolari
> tra loro.
>
si
> Poi quel foglio di carta diventa un cilindro. La curvatura è costante.
più precisamente, la curvatura intrinseca, che è quella che ci
interessa, per il cilindro è proprio zero. Un cilindro che eredita la
metrica di R^3 è una varietà localmente piatta.
> Le geodetiche sul cilindro godono quindi della proprietà del piano.
mica tutte, solo in intorni abbastanza piccoli (basta "non fare il
giro" completo del cilindro)
>
> Per quanto riguarda la sfera io ragiono come segue. Prendo per es. la
> linea dell'equatore. Poi prendo quella del polo nord, e capisco
> intuitivamente che le due si incontrano formando un angolo di novanta
> gradi, e cioè che un punto di minima distanza dalla linea
> dell'equatore si deve trovare su una geodetica che incontra la linea
> dell'equatore passando per il polo nord e sud, altrimenti la distanza
> aumenta.
>
Si, è vero.
> Parlare di tangenti(nel piano) non mi sembra il caso, perché non si
> tratta più del piano, e quindi dovrei parlare di tangenti ad una
> superficie, e cioè di tangenti ad una curva(la geodetica) nello SPAZIO
> TRIDIMENSIONALE (ho portato i bambini a vedere christmas carol in 3D,
> che ne pensi di queste tacnologia, mi indichi qualche sito per capire
> come fanno per favore?:)))).
>
Non ho capito bene cosa hai scritto, ma è evidente che tu stai
pensando le varietà come superfici immerse in spazi più grandi, ma non
è l'ottica giusta (o per lo meno non è quella che usavo io), devi
invece pensarle come oggetti intrinseci nella loro geometria
intinseca. Per esempio il "piano tangente" è una nozione indipendente
dalla possibile immersione della varietà in uno spazio ambiente. Sono
nozioni che si imparano in geometria differenziale. Per esempio sul
libro di Sernesi, secondo volume, trovi i fondamenti.
> Ora, quando tu e Tetis parlate di intorni, vi riferite al punto dove
> le due geodetiche si incrociano? Cioè state parlando dell'intorno del
> punto dove le due geodetiche si incontrano?
Qui cominciano le incomprensioni. Io ho sempre inteso un insieme
aperto che include la *curva*, cioè la sottovarietà. Tetis forse
intende altro, ma non ho ancora capito.
>
> Grazie milla Valter, e scusami per le imprecisioni, ma con un disegno
> avrei fatto molto prima e sarei stato più esatto e capibile.
>
> A.
Prego e ciao (e Buon Anno),
Valter
Tetis
> Ciao, mi pare che sia vera la questione nella forma più generale
> possibile (nei termini posti dall'OP) usando la proposizione (sugli
> intorni geodetici normali di sottovarietà...) che ho citato ma che non
> ho avuto ancora il tempo di controllare. Non ho tempo per pensarci per
> bene ma ho una traccia di dimostrazione che mi pare essenzialmente
> corretta.
>
> *Teorema (congettura)* Sia M una varietà riemanniana smooth e S una
> sottovarietà embedded. Sia p un punto fuori da S. Se esiste q in S e
> una curva smooth g da p a q tale che la lunghezza della curva è il
> minimo
> delle lunghezze di tutte le curve da p a qualche punto su S, allora g
> è perpendicolare a S in q.
>
> Traccia di dimostrazione.
> Per assurdo. Se g in q non è perpendicolare a S consideriamo un punto
> p' su g sufficientemente vicino a q, ma ancora fuori da S, in modo da
> essere in un intorno normale geodetico di S. Allora l'unica geodetica
> che congiunge p' a S passando per q' in S minimizza strettamente la
> distanza tra p' e S e quindi la lunghezza di p'q' è strettamente
> inferiore a quella di p'q. Sarà p'q = p'q' + e con e>0
> sufficientemente piccolo.
Ok. Si può comunque fare a meno di utilizzare il teorema in questione
se si sfrutta l'ipotesi che la varietà sia embedded ragionando sui
termini asintotici, basta l'esistenza delle coordinate normali
geodetiche: se il prodotto scalare è diverso da zero otteniamo un
triangolo rettangolo la cui ipotenusa, a meno di termini del secondo
ordine riconducibili agli effetti di curvatura è uguale alla radice
quadrata della somma dei cateti e quindi esiste, in un intorno del
punto q un punto q' a distanza da p definitivamente inferiore della
distanza di q da p medesimo.
> Possiamo deformare il tratto p'q' facendo diventare la spezzata pp'+
> p'q' una cirva smooth in modo tale che la lunghezza della porzione
> p'q' deformata differisca da quella indeformata per meno di e.
A che scopo occorre considerare una curva smooth? Non basta la
derivabilità a tratti per parlare di lunghezza di una curva?
Tetis
preciso l'argomento accennato in precedenza: considerando un punto p'
sulla geodetica g ed il punto q' che ha le stesse coordinate
geodetiche lungo la varietà embedded, otteniamo che p'q'q è un
triangolo rettangolo. Ora risulta, per definizione mappa esponenziale:
d(q,p') = ||v t'|| + o(t') dove v è il vettore unitario in q tangente
a g e t' è uno scalare tale che exp_q(vt')=p'. Ed in particolare
abbiamo: v^2 = v_s^2+v_n^2 dove v_s e v_n sono le componenti lungo lo
spazio tangente e lungo lo spazio normale del vettore v. Pertanto:
d(q,p') = sqrt(d(q,q')^2+d(q,p')^2) + o(t') = sqrt(v_s^2+v_n^2)t' + o
(t')
che segue dal teorema di Zassenhaus:
http://en.wikipedia.org/wiki/Baker%E2%80%93Campbell%E2%80%93Hausdorff_formula
Ora risulta che per ipotesi d(q,p) = d(q,p')+d(p',p) <= d(q',p')+ d
(p',p) ovvero: d(q,p') <= d(q',p') e quindi:
(v^2 - v_n^2)t'^2 = v_s^2 (t')^2 + o(t'^2) <= 0
da cui segue: v_s = 0.
otteniamo un
> triangolo rettangolo la cui ipotenusa, a meno di termini del secondo
> ordine riconducibili agli effetti di curvatura è uguale alla radice
> quadrata della somma dei cateti e quindi esiste, in un intorno del
> punto q un punto q' a distanza da p definitivamente inferiore della
> distanza di q da p medesimo.
>
> > Possiamo deformare il tratto p'q' facendo diventare la spezzata pp'+
> > p'q' una cirva smooth in modo tale che la lunghezza della porzione
> > p'q' deformata differisca da quella indeformata per meno di e.
>
> A che scopo occorre considerare una curva smooth? Non basta la
> derivabilità a tratti per parlare di lunghezza di una curva?
Ovviamente intendo che la curva g non è vincolata ad essere embedded,
a differenza della varietà S.
Valter Moretti
Si ci avevo pensato anche io, ma non sono risucito a dire "per bene"
che quei termini sono
"del secondo ordine", intendo: fare una stima esplicita e mostrare che
sono più infinitesimi di
della lunghezza dei cateti).
Il teorema che uso io invece fa le cose al finito per cui è
tecnicamente più corto.
>
> > Possiamo deformare il tratto p'q' facendo diventare la spezzata pp'+
> > p'q' una cirva smooth in modo tale che la lunghezza della porzione
> > p'q' deformata differisca da quella indeformata per meno di e.
>
> A che scopo occorre considerare una curva smooth? Non basta la
> derivabilità a tratti per parlare di lunghezza di una curva?
Probabilmente si, è che sui libri di geometria differenziale si usa
tutto smooth.
Probabilmente basta considerare curve rettificabili che è ancora più
debole di regolari a tratti...
e definire la distanza come l'inf delle lunghezze su curve
rettificabili.
Ciao, Valter
Valter Moretti
Pertanto:
>
> d(q,p') = sqrt(d(q,q')^2+d(q,p')^2) + o(t') = sqrt(v_s^2+v_n^2)t' + o
> (t')
>
Ecco quello che hai scritto sopra è il punto che mi mancava, non
conoscevo questo
teorema di Zassenhaus:. Mi pare che funzioni.
Ciao, Valter
Valter Moretti
Unica precisazione. Nella tua dimostrazione, in generale non è
corretto dire che v_s e v_n sono le componenti lungo lo spazio
tangente e lungo lo spazio normale del vettore v, se per "componente
tangente" intendi quella tangente alla sottovarità. Questo perché non
è vero, in generale che i punti della sottovarietà si ottengono
applicando la funzione esponenziale, riferita allo spazio ambiente
grande, ai vettori tangenti in q alla sottovarità. Devi, per ottenere
questo, ovviamente, usare la funzione esponziale riferita alla metrica
indotta sulla sottovarietà...
Però la cosa che hai scritto funziona ugualmente intepretando
opportunamente quelle "componenti normali e tangenti"...
Ciao, Valter
Arcobaleno
>
>
> > Se quindi noi stabiliamo che anche sulla sfera si ottiene quello che
> > otteniamo nel piano(tangente novanta gradi ecc) ecco che in qualche
> > maniera abbiamo capito(non parlo di dimostrazione) che in geometria
> > non euclidea si può avere lo stesso che in geometria EUCLIDEA.
>
> si, ma il contesto in cui mi mettevo io è molto più generale della
> geometria sferica.
>
>
Meno male:)) Temevo di non riuscire più a seguire un discorso che per
me dovrebbe essere un pochino intuitivo in senso geometrico...
>
> > Poi quel foglio di carta diventa un cilindro. La curvatura è costante.
>
> più precisamente, la curvatura intrinseca, che è quella che ci
> interessa, per il cilindro è proprio zero. Un cilindro che eredita la
> metrica di R^3 è una varietà localmente piatta.
>
Quindi se sto capendo, il cilindro è un piano che però diventa
qualcosa di curvo(perdona i termini non precisi), e inoltre, come mi
hai chiarito, devo considerare il tutto a livello LOCALE, cioè senza
andare a girare tutto intorno senza fermarmi. In pratica i segmenti
sul cilindro non devono incontrarsi da una parte all'altra.....
> > Le geodetiche sul cilindro godono quindi della proprietà del piano.
>
> mica tutte, solo in intorni abbastanza piccoli (basta "non fare il
> giro" completo del cilindro)
>
Questo perché se si fa il giro completo dobbiamo considerare altre
relazioni tra queste "linee" disegnate sulla superficie cilindrica.
Ora se io penso alle linee disegnate sulla superficie cilindrica sto
facendo la geometrie intrinseca a quel tipo di superficie? Cioè se io
MI LIMITO solo a pensare alle linee disegnate su quel tipo di
superficie ecco che ragiono in termini intrinseci? E' così?
Se invece RIvedo il cilindro IMMERSO in R^3 e penso a quelle linee
come CURVE DI R^3 ecco che NON penso più a qualcosa di intrinseco ma
che viene immerso nello spazio ambiente R^3.
Questa differenza è molto sottile dal mio punto di vista e ci sono
arrivato leggendo la tua risposta. Sono sulla strada giusta per capire
il concetto di varietà in questo contesto?
>
> Non ho capito bene cosa hai scritto, ma è evidente che tu stai
> pensando le varietà come superfici immerse in spazi più grandi, ma non
> è l'ottica giusta (o per lo meno non è quella che usavo io), devi
> invece pensarle come oggetti intrinseci nella loro geometria
> intinseca. Per esempio il "piano tangente" è una nozione indipendente
> dalla possibile immersione della varietà in uno spazio ambiente. Sono
> nozioni che si imparano in geometria differenziale. Per esempio sul
> libro di Sernesi, secondo volume, trovi i fondamenti.
>
>
Tu spieghi meglio di Sernesi che ho pure letto ma non capito:)))
>
> Ora, quando tu e Tetis parlate di intorni, vi riferite al punto dove
> > le due geodetiche si incrociano? Cioè state parlando dell'intorno del
> > punto dove le due geodetiche si incontrano?
>
> Qui cominciano le incomprensioni. Io ho sempre inteso un insieme
> aperto che include la *curva*, cioè la sottovarietà. Tetis forse
> intende altro, ma non ho ancora capito.
>
>
Cioè tu intendi la curva come un INSIEME di punti e questo insieme di
punti è immerso in un insieme APERTO.
Ora se l'insieme di punti è sul piano, ovviamente se parliamo di
INCROCI di curve, ecco che dobbiamo pensare ad intorni circolari:
giusto?
Quindi un PEZZO di piano per es. è un insieme APERTO e la
sottovarietà che viene CONTENUTO da questo pezzo di piano, è la curva.
E' sottovarietà perché è contenuta in una varietà, cioè quella del
piano, cioè un R^1(sottovarietà) contenuto in un R^2 (varietà).
Carissimo professore: sto capendo?
Buon Anno anche a te:)
Ciao e grazie mille
A.
p.s. sul cinema 3D non hai risposto:) Cosa ne sai e cosa ne pensi?:))
Ci sono applicazioni di fisica immagino, o no.....
Valter Moretti
> Quindi se sto capendo, il cilindro è un piano che però diventa
> qualcosa di curvo(perdona i termini non precisi), e inoltre, come mi
> hai chiarito, devo considerare il tutto a livello LOCALE, cioè senza
> andare a girare tutto intorno senza fermarmi. In pratica i segmenti
> sul cilindro non devono incontrarsi da una parte all'altra.....
>
Il cilindro dotato della metrica indotta da R^3 è *localmente*
isometrico ad R^2 con la geometria solita.
Localmente significa che puoi *isometricamente* identificare insiemi
aperti del cilindro con insiemi aperti di R^2, purché siano abbastanza
piccoli: nel cilindro "non devono fare il giro" come dicevamo.
Le proprietà metriche sul cilindro le indici da quelle di R^3 come
segue. E' chiaro che quando sai calcolare la lunghezza delle curve sul
cilindro sai misurare. Per misurare la lunghezza di una curva ti basta
saper calcolare la lunghezza dei vettori tangenti alla curva in ogni
suo punto. Tali vettori tangenti sono *anche* vettori di R^3 di cui
sai calcolare la lunghezza nel modo solito. Il questo modo sai
calcolare le lunghezze sul cilindro.
Bene con questa nozione di lunghezza per ogni insime aperto sul
cilindro "che non faccia il giro" puoi trovare un insieme aperto sul
piano ed una corrispondenza biunivoca tra i due insiemi che trasformi
curve in curve preservandone le lunghezze (tale corrispondenza è anche
continua con inversa continua mettendo sul cilindro la topologia
indota da R^3)...
> > > Le geodetiche sul cilindro godono quindi della proprietà del piano.
>
> > mica tutte, solo in intorni abbastanza piccoli (basta "non fare il
> > giro" completo del cilindro)
>
> Questo perché se si fa il giro completo dobbiamo considerare altre
> relazioni tra queste "linee" disegnate sulla superficie cilindrica.
si
> Ora se io penso alle linee disegnate sulla superficie cilindrica sto
> facendo la geometrie intrinseca a quel tipo di superficie? Cioè se io
> MI LIMITO solo a pensare alle linee disegnate su quel tipo di
> superficie ecco che ragiono in termini intrinseci? E' così?
si devi anche usare la geometria metrica indotta da R^3 e dimenticarti
come ci è arrivata.
In effetti puoi mettere più di una geometria metrica sul cilindro. Su
un toro ne puoi mettere due in modo canonico.
Se vedi il torno come una superficie immersa in R^3 la geometria
metrica che induci da R^3 rende il toro una varietà curva...Se però
pensi il toro come un quadrato di R^2 con la geometria metrica
ereditata da R^2 trovi una varietà che è localmente piatta come lo è
il cilindro.
Le geodetiche sul toro sono diverse a seconda di quale delle due
geometrie ci metti. E puoi mettercene, di geometrie metriche, anche
altre che non sono né indotte dall'immersione in R^3 e nemmeno
dall'identificazione dei bordi del quadrato in R^2...
>
> Se invece RIvedo il cilindro IMMERSO in R^3 e penso a quelle linee
> come CURVE DI R^3 ecco che NON penso più a qualcosa di intrinseco ma
> che viene immerso nello spazio ambiente R^3.
>
si però non è tanto comprensibile con il cilindro. Il caso del toro e
delle due geometrie che dicevo prima è molto più illuminante.
> Questa differenza è molto sottile dal mio punto di vista e ci sono
> arrivato leggendo la tua risposta. Sono sulla strada giusta per capire
> il concetto di varietà in questo contesto?
si però pensda più al toro che al cilindro.
>
>
> > Non ho capito bene cosa hai scritto, ma è evidente che tu stai
> > pensando le varietà come superfici immerse in spazi più grandi, ma non
> > è l'ottica giusta (o per lo meno non è quella che usavo io), devi
> > invece pensarle come oggetti intrinseci nella loro geometria
> > intinseca. Per esempio il "piano tangente" è una nozione indipendente
> > dalla possibile immersione della varietà in uno spazio ambiente. Sono
> > nozioni che si imparano in geometria differenziale. Per esempio sul
> > libro di Sernesi, secondo volume, trovi i fondamenti.
>
> Tu spieghi meglio di Sernesi che ho pure letto ma non capito:)))
>
Ma non è vero io ho scritto due idee striminzite. Poi queste cose
bisogna studiarsele sui testi, facendo i conti.
Io il Sernesi non l'ho letto da studente (non esisteva ancora), per
cui non sono in grado di dire molto.
> Cioè tu intendi la curva come un INSIEME di punti e questo insieme di
> punti è immerso in un insieme APERTO.
>
Si
> Ora se l'insieme di punti è sul piano, ovviamente se parliamo di
> INCROCI di curve, ecco che dobbiamo pensare ad intorni circolari:
> giusto?
>
no, per intorno di un punto io intendo un qualsiasi inieme aperto che
include il punto.
Non faccio altre ipotesi. Poi se vuoi puoi considerare intorni dati da
palle aperte che sono una base della topologia...
> Quindi un PEZZO di piano per es. è un insieme APERTO e la
> sottovarietà che viene CONTENUTO da questo pezzo di piano, è la curva.
Deve e essere aperto quel pesso di piano però...
> E' sottovarietà perché è contenuta in una varietà, cioè quella del
> piano, cioè un R^1(sottovarietà) contenuto in un R^2 (varietà).
>
una sottovarietà è una nozione un po' più tecnica, ma ora non ho tempo
di dire altro...
> Carissimo professore: sto capendo?
>
mi pare di si, ma devi applicarti!
> Buon Anno anche a te:)
>
> Ciao e grazie mille
> A.
>
> p.s. sul cinema 3D non hai risposto:) Cosa ne sai e cosa ne pensi?:))
> Ci sono applicazioni di fisica immagino, o no.....
Non ho visto il film per cui non saprei dirti...
Ciao, Valter
Tetis
> On 5 Gen, 19:41, Valter Moretti <vmoret...@hotmail.com> wrote:
>
> > On 5 Gen, 18:44, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
> > Pertanto:
>
> > > d(q,p') = sqrt(d(q,q')^2+d(q,p')^2) + o(t') = sqrt(v_s^2+v_n^2)t' + o
> > > (t')
>
> > Ecco quello che hai scritto sopra è il punto che mi mancava, non
> > conoscevo questo
> > teorema di Zassenhaus:. Mi pare che funzioni.
> > Ciao, Valter
>
> Unica precisazione. Nella tua dimostrazione, in generale non è
> corretto dire che v_s e v_n sono le componenti lungo lo spazio
> tangente e lungo lo spazio normale del vettore v, se per "componente
> è vero, in generale che i punti della sottovarietà si ottengono
> applicando la funzione esponenziale, riferita allo spazio ambiente
> questo, ovviamente, usare la funzione esponenziale riferita alla metrica
> indotta sulla sottovarietà...
Esatto. Mi sono reso conto della lacuna argomentativa dopo avere
inviato: c'era qualcosa che mi risuonava sospetto, ed è il fatto che
non ho usato il fatto che la sottovarietà è embedded. Comunque sono
certo che si possa precisare in modo da renderla una dimostrazione
degna.
Arcobaleno
>
>
> Non ho visto il film per cui non saprei dirti...
>
E' un bel film, tratto dal romanzo di Dickens, e dal punto del 3D è il
migliore che abbia mai visto, con effetti incredibili. Quindi ti
consiglio di vederlo, almeno dal punto di vista strettamente tecnico è
molto bello, poi la storia dipende dai gusti:))
Il 15 gennaio, uscirà Avatar, anche questo in 3D, dove però ci sono
gli attori, e si parla di spazio, alieni ecc ecc.
Da quel che ho capito io, si è avviata una nuova rivoluzione nel campo
della visione. Sembra di vedere degli ologrammi anche se non sono
tali, e si sfrutta la visione binoculare. Senza gli occhialini non si
vede l'immagine sdoppiata, appena si indossano gli occhiali si vede
tutto bene, senza fastidi alla vista e mal di testa.
Visto che sono andato ot, volevo chiederti a che punto sono gli
ologrammi. Se cioè si riesce già a generare una immagine olografica e
poter girare intorno alla stessa come se fosse una statua, persona,
oggetto.
Diciamo un TORO immerso in R^3:))
Ho pensato anche possibili applicazioni didattiche a livello
scolastico delle immagini 3D, che potrebbero attirare talmente tanto
l'attenzione dei ragazzi a scuola, da farli ragionare bene anche sui
fenomeni fisici che spesso si vedono solo sui video PIATTI. Oppure per
la geometria tridimensionale.
Invece di avere quindi nelle scuole solo il televisore, ci sarà uno
schermo ed un proiettore 3D.
Ciao
A.
p.s. devo applicarmi un po' come mi hai consigliato e poi vedo se ho
capito. Cmq mi hai messo sulla strada giusta:) Grazie!!!
Rocky
domanda :-)
Valter Moretti
> non pensavo di scatenare tutto stò putiferio da un'innocente
> domanda :-)
Ciao, ma quale puteferio? C'è stata solo una discussione, cosa normale
quando si trova qualche argomento interessante. Anzi io avrei ancora
qualcosa da dire, ma mi devo fermare perché devo lavorare: le vacanze
sono finite...
Ciao, Valter
Valter Moretti
> Visto che sono andato ot, volevo chiederti a che punto sono gli
> ologrammi. Se cioè si riesce già a generare una immagine olografica e
> poter girare intorno alla stessa come se fosse una statua, persona,
> oggetto.
>
Non ne ho idea, bisognerebbe chiederlo ad un fisico sperimentale (e su
un NG di fisica), io conosco a malapena cosa sia un ologramma.
Ciao, Valter
Arcobaleno
> domanda :-)
>
Putiferio in senso positivo ovviamente tu intendevi:)))
E' vero, a volte domande apparentemente semplici si arricchiscono via
via che due o più persone preparate(come Valter e Tetis) cominciano ad
approfondire quel tema.
Grazie anche a te per aver scatenato il "putiferio" e felice anno
nuovo:))
Ciao
A.
Arcobaleno
>
> Anzi io avrei ancora
> qualcosa da dire, ma mi devo fermare perché devo lavorare: le vacanze
> sono finite...
>
In effetti scrivere sul ng porta via un po' di tempo. Io spero che
anche tu ne ricavi qualcosa di buono, se non altro il fatto di
condividere con brave persone(come Tetis per es) questa forte passione
per la scienza.
Cmq caro Valter non sparire per tutto l'anno:)))
A prestissimo!!!
A.
Rocky
grazie, ricambio a te ed a i 2 titani che lottano :-) .... certo
ch'ero consapevole .. sono le piccole cose che nascondono i grandi
misteri ... non a caso il neutrino è sfuggente :-) ... scatenare
putiferio l'ho detto in senso ironico...bye bye buon lavoro
superpollo
> On 6 Gen, 11:39, Arcobaleno <arcobalenocolor...@freemail.it> wrote:
>> On 5 Gen, 23:50, Rocky <rocst...@gmail.com> wrote:
>>
>>> domanda :-)
>> Putiferio in senso positivo ovviamente tu intendevi:)))
>> E' vero, a volte domande apparentemente semplici si arricchiscono via
>> approfondire quel tema.
infatti e' stato un thread interessantissimo, che ho letto con piacere,
e non sono intervenuto per limiti miei, ma avrei voluto.
magari e' tempo di tornare a studiare un po' di matematica seria...
bye