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Problema con radiazione di multipoli
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Elio Fabri
Sep 5, 2012, 2:14:38 PM9/5/12
to
Sono alle prese da qualche giorno con un problema che non so risolvere.
Riguarda lo sviluppo in multipoli della radiazione di un sistema di
cariche e correnti, e pi� precisamente la dipendenza dall'origine
scelta per il calcolo dei multipoli.
Partiamo dall'inizio.
Il termine di ordine pi� basso � quello di dipolo elettrico.
Si sa che il momento di dipolo el. dipende dall'origine scelta, a meno
che la carica totale non sia nulla.
Per� qui non c'� problema, perch� la dipendenza dall'origine � prop.
alla carica totale, che anche se non � nulla � costante, per cui non
contribuisce al campo di radiazione che dipende dalla derivata seconda
rispetto al tempo del momento di dipolo.
Se per� passiamo al quadrupolo nascono i guai...
Il momento di quadrupolo dipende dall'origine attraverso un termine
prop. alla carica, e questo non disturba. Ma c'� anche un termine
prop. al momento di dipolo; e a meno che questo non sia nullo per suo
conto, non si annullerano in generale neppure le sue derivate rispetto
al tempo.
Quindi il campo radiativo di quadrupolo dipenderebbe dalla scelta
dell'origine, il che appare assurdo.
Problema analogo si presenta anche per il dipolo magnetico.
Avevo anzi sospettato che i due etfetti, per quadrupolo e per dipolo
magnetico, potessero compensarsi, ma non pare che sia cos�, e d'altra
parte si tratta di armoniche sferiche vettoriali diverse: quindi come
potrebbe esserci compensazione?
--
Elio Fabri
From
Riguarda lo sviluppo in multipoli della radiazione di un sistema di
cariche e correnti, e pi� precisamente la dipendenza dall'origine
scelta per il calcolo dei multipoli.
Partiamo dall'inizio.
Il termine di ordine pi� basso � quello di dipolo elettrico.
Si sa che il momento di dipolo el. dipende dall'origine scelta, a meno
che la carica totale non sia nulla.
Per� qui non c'� problema, perch� la dipendenza dall'origine � prop.
alla carica totale, che anche se non � nulla � costante, per cui non
contribuisce al campo di radiazione che dipende dalla derivata seconda
rispetto al tempo del momento di dipolo.
Se per� passiamo al quadrupolo nascono i guai...
Il momento di quadrupolo dipende dall'origine attraverso un termine
prop. alla carica, e questo non disturba. Ma c'� anche un termine
prop. al momento di dipolo; e a meno che questo non sia nullo per suo
conto, non si annullerano in generale neppure le sue derivate rispetto
al tempo.
Quindi il campo radiativo di quadrupolo dipenderebbe dalla scelta
dell'origine, il che appare assurdo.
Problema analogo si presenta anche per il dipolo magnetico.
Avevo anzi sospettato che i due etfetti, per quadrupolo e per dipolo
magnetico, potessero compensarsi, ma non pare che sia cos�, e d'altra
parte si tratta di armoniche sferiche vettoriali diverse: quindi come
potrebbe esserci compensazione?
--
Elio Fabri
From
Tetis
Sep 5, 2012, 6:19:51 PM9/5/12
to
Elio Fabri ha pensato forte :
> alla carica totale, che anche se non è nulla è costante, per cui non
mi pare di ricordare, se non ricordo male avevo svolto in dettaglio il
calcolo per un caso particolare spostando il centro, che il problema si
presenta fermandosi al quadrupolo, e si riassorbe tenendo conto di
tutti gli ordini più alti, per quanto la cosa possa apparire strana
dato che si tratta di andamenti in esponenti diversi. In particolare un
semplice dipolo puro, può contribure a tutti gli ordini di multipolo se
la scelta del centro non li annulla per parità.
> Il momento di quadrupolo dipende dall'origine attraverso un termine
> prop. alla carica, e questo non disturba. Ma c'è anche un termine
vettoriali (che dipendono dai momenti magnetici) ai fini del calcolo
corretto del campo elettrico e viceversa, cambiando il centro dello
sviluppo del potenziale elettrico... il vincolo di gauge come si
trascrive-trasforma? Cioè è vero che al livello dei quadrupoli
magnetici e dei quadrupoli elettrici non c'è relazione diretta, ma fra
momenti di multipolo di ordine differente, dei due tipi non mi sento di
escludere dei vincoli.
> Sono alle prese da qualche giorno con un problema che non so risolvere.
> Riguarda lo sviluppo in multipoli della radiazione di un sistema di
> cariche e correnti, e più precisamente la dipendenza dall'origine
> Riguarda lo sviluppo in multipoli della radiazione di un sistema di
> scelta per il calcolo dei multipoli.
>
> Partiamo dall'inizio.
> Il termine di ordine più basso è quello di dipolo elettrico.
>
> Partiamo dall'inizio.
> Si sa che il momento di dipolo el. dipende dall'origine scelta, a meno
> che la carica totale non sia nulla.
> Però qui non c'è problema, perché la dipendenza dall'origine è prop.
> che la carica totale non sia nulla.
> alla carica totale, che anche se non è nulla è costante, per cui non
> contribuisce al campo di radiazione che dipende dalla derivata seconda
> rispetto al tempo del momento di dipolo.
>
> Se però passiamo al quadrupolo nascono i guai...
> rispetto al tempo del momento di dipolo.
>
mi pare di ricordare, se non ricordo male avevo svolto in dettaglio il
calcolo per un caso particolare spostando il centro, che il problema si
presenta fermandosi al quadrupolo, e si riassorbe tenendo conto di
tutti gli ordini più alti, per quanto la cosa possa apparire strana
dato che si tratta di andamenti in esponenti diversi. In particolare un
semplice dipolo puro, può contribure a tutti gli ordini di multipolo se
la scelta del centro non li annulla per parità.
> Il momento di quadrupolo dipende dall'origine attraverso un termine
> prop. al momento di dipolo; e a meno che questo non sia nullo per suo
> conto, non si annullerano in generale neppure le sue derivate rispetto
> al tempo.
> Quindi il campo radiativo di quadrupolo dipenderebbe dalla scelta
> dell'origine, il che appare assurdo.
>
> Problema analogo si presenta anche per il dipolo magnetico.
> Avevo anzi sospettato che i due etfetti, per quadrupolo e per dipolo
> magnetico, potessero compensarsi, ma non pare che sia così, e d'altra
> conto, non si annullerano in generale neppure le sue derivate rispetto
> al tempo.
> Quindi il campo radiativo di quadrupolo dipenderebbe dalla scelta
> dell'origine, il che appare assurdo.
>
> Problema analogo si presenta anche per il dipolo magnetico.
> Avevo anzi sospettato che i due etfetti, per quadrupolo e per dipolo
> parte si tratta di armoniche sferiche vettoriali diverse: quindi come
> potrebbe esserci compensazione?
Non sono sicuro però che si possa trascurare l'effetto sui potenziali
> potrebbe esserci compensazione?
vettoriali (che dipendono dai momenti magnetici) ai fini del calcolo
corretto del campo elettrico e viceversa, cambiando il centro dello
sviluppo del potenziale elettrico... il vincolo di gauge come si
trascrive-trasforma? Cioè è vero che al livello dei quadrupoli
magnetici e dei quadrupoli elettrici non c'è relazione diretta, ma fra
momenti di multipolo di ordine differente, dei due tipi non mi sento di
escludere dei vincoli.
Tommaso Russo, Trieste
Sep 6, 2012, 4:17:23 AM9/6/12
to
Il 05/09/2012 20:14, Elio Fabri ha scritto:
> Quindi il campo radiativo di quadrupolo dipenderebbe dalla scelta
> dell'origine, il che appare assurdo.
Non mi sembra poi tanto assurdo. Pensa al caso piu' semplice possibile,
> Quindi il campo radiativo di quadrupolo dipenderebbe dalla scelta
> dell'origine, il che appare assurdo.
carica singola ferma. Quando ne calcoli il campo in un punto R con lo
sviluppo in multipoli, in sostanza calcoli una serie di Taylor *nel
dintorno del caso* in cui la carica sarebbe all'origine. Se cambi
l'origine, cambia il valore iniziale e tutte le derivate, ma la serie
converge egualmente. Pero' i suoi termini non restano mica eguali! A
grandi distanze puoi troncare la serie dopo il primo termine non nullo
perche' tutti gli altri sono infinitesimi di ordine superiore in 1/R, ma
a distanze dall'origine appena superiori alla distanza della carica
dall'origine no, per trovare il valore esatto devi considerare anche i
termini seguenti; cambiando l'origine, la variazione del termine di
quadrupolo va in parte a compensare le variazioni dei termini di
monopolo e dipolo, in parte e' compensata dalla variazione dei termini
di multipolo successivi.
Nel caso che consideri, in cui le variazioni nel tempo dei primi due
termini sono nulle, a breve distanza la variazione della variazione nel
tempo del primo termine non nullo, quello di quadrupolo, e' compensato
dalla variazione della variazione nel tempo di tutti i termini
successivi. Poi, a distanze "grandi", tutto torna a posto anche
troncando al primo termine non nullo.
--
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni
Omega
Sep 7, 2012, 2:18:57 PM9/7/12
to
"Elio Fabri":
Le correnti non sono altro che cariche in movimento, dunque vorrei capire
che cosa si intende nel caso in questione - non con la presunzione di
risolvere il tuo problema, figuriamoci, ma umilmente solo con quella di
capire.
Inoltre se parliamo di dipolo si dovrebbe intendere che le cariche/correnti
ai due poli sono uguali e opposte? In tal caso ci si avvicinerebbe proprio
al concetto di bipolo della Teoria delle reti elettriche (come da Treccani),
con una differenza: che in un bipolo della Teoria citata fra i due poli o
terminali accade sempre qualcosa che ha influenza sul campo elettromagnetico
in ipotesi generato dai soli terminali con le loro correnti (ci fosse anche
solo un filo conduttore o un dielettrico fra i due terminali come in un
condensatore ceramico o plastico).
Naturalmente, ma solo in prima battuta, ho fatto l'ipotesi di correnti
variabili, dato che parli di derivata seconda rispetto al tempo. Circa il
campo elettromagnetico, va da s� che in presenza di correnti non si pu�
parlare di solo campo elettrico (anche se nelle usuali definizioni di dipolo
si lascia al lettore l'impressione di semplici cariche di valore opposto
[disposte come e dove non lo si dice mai], per� si pu� estendere la cosa
alle cariche istantanee ai poli, e quindi ci si ritrova nelle definizioni
suddette, ma con una differenza: se sono realmente istantanee diventa
difficile parlare di derivate, che per loro antica abitudine vogliono un dt
e non un ticonzero per avere un senso).
> Partiamo dall'inizio.
> Il termine di ordine pi� basso � quello di dipolo elettrico.
> Si sa che il momento di dipolo el. dipende dall'origine scelta, a meno
> che la carica totale non sia nulla.
Sempre per capire: carica totale in quale spazio? Dell'intero dipolo
considerato come (un sistema) isolato? Penso di s�.
Ma questo impone che il dipolo sia stato pensato come portatore di cariche
eventualmente diverse ai due poli (fossero invece correnti sarei un po'
stupito, perch� un dipolo isolato non pu� che essere un nodo secondo la
sopra citata teoria, ossia con un bilancio nullo fra correnti sull'uno e
sull'altro polo. Stesso discorso vale naturalmente per il quadrupolo)
Allora sono correnti o cariche intese come statiche? Ma nel secondo caso non
si parla di derivata, n� prima n� seconda, rispetto al tempo.
> Per� qui non c'� problema, perch� la dipendenza dall'origine � prop.
> alla carica totale, che anche se non � nulla � costante, per cui non
> contribuisce al campo di radiazione che dipende dalla derivata seconda
> rispetto al tempo del momento di dipolo.
Ecco, qui la mia comprensione proprio non arriva. Il campo dipende dalla
natura del dipolo (cio� dall'entit� delle sue cariche e dalla loro distanza)
oppure da un'origine che immagino scelta arbitrariamente? La scelta
dell'origine non � certamente determinata dal dipolo.
Io ho l'impressione che il concetto di 'momento di un dipolo' o ha un
significato puramente gometrico oppure ha il significato dell'influsso del
dipolo sull'origine (immaginata come sensibile a tale influsso, come se per
esempio in essa vi fosse una carica "sonda" unitaria che di fatto misura in
quel punto il campo generato dal bipolo [ma che _essa_ non influenza il
campo, un'astrazione un po' paradossale che mi pare di ricordare alquanto
diffusa in elettrologia])
Inoltre ora affermi che la carica totale � costante anche se non nulla. Ma
se la carica � costante anche il campo ha una configurazione costante. E
dunque si parla di derivata seconda ... di che cosa? Che cosa varia in modo
tale da far parlare di variazione nel tempo, in una configurazione di carica
totale costante?
> Se per� passiamo al quadrupolo nascono i guai...
Per me sono gi� nati con il dipolo, come puoi constatare :-)
Quello che potrei dire riguardo al quadrupolo � che, di nuovo, il campo da
esso generato dipende dalle sue cariche, in entit� e posizione - e sempre
parlando di sistema isolato.
Ma il chiarimento dei punti di cui sopra pu� forse consentirmi di passare al
quadrupolo e di capire la problematica che ti angustia.
Non per risolverla, ma per riuscire a condividere la tua sofferenza :-)
> Il momento di quadrupolo dipende dall'origine attraverso un termine
> prop. alla carica, e questo non disturba. Ma c'� anche un termine
> prop. al momento di dipolo; e a meno che questo non sia nullo per suo
> conto, non si annullerano in generale neppure le sue derivate rispetto
> al tempo.
> Quindi il campo radiativo di quadrupolo dipenderebbe dalla scelta
> dell'origine, il che appare assurdo.
>
> Problema analogo si presenta anche per il dipolo magnetico.
> Avevo anzi sospettato che i due etfetti, per quadrupolo e per dipolo
> magnetico, potessero compensarsi, ma non pare che sia cos�, e d'altra
> parte si tratta di armoniche sferiche vettoriali diverse: quindi come
> potrebbe esserci compensazione?
Qui mi fai sorgere un altro dubbio angoscioso.
In via di principio le cariche di un dipolo elettrico (per esempio
realizzato su un dielettrico) sono separabili, ossia sono gi� di fatto
separate: fra di esse in un dipolo ideale c'� il nulla (parlo sempre di
sistemi isolati, cio� di un assurdo); per un dipolo magnetico ci� non �
pensabile: non ci sono a quanto mi risulta "cariche magnetiche" positive e
negative separabili. A me pare di ricordare che il magnetismo � effetto di
correnti, e se le correnti ci sono non � possibile separare le polarit�; ma
non � possibile neppure con un magnete cosiddetto permanente, che se lo
dividi e lo dividi e lo dividi fa come le scope dell'apprendista stregone di
Goethe/Disney, ossia continua a far comparire magneti sempre pi� piccoli.
Ecco dunque un'altra cosa che evidentemente non capisco.
Per� so che funziona cos� nel mondo reale (mi riferisco al mondo macro, non
quello delle particelle, che non so cosa sono e di che mondo si tratta, dato
che sembra dominato dal Fato), e so anche che se realizziamo un quadrupolo
magnetico, per esempio mediante solenoidi opportunamente disposti (magari
avvolti su materiale [ferro]magnetico) e percorsi da correnti opportune, uno
pu� cambiare il punto di osservazione quanto vuole, ma il campo � e resta
quello; cambia ci� che sente la "sonda" se il punto di osservazione la
contiene e se *il punto-sonda* si muove nello spazio (virtualmente infinito)
occupato dal campo [o � meglio dire *creato* dal campo, se il quadrupolo �
... isolato?] In tal caso si dice che il campo induce nella sonda (se di
tensione, es. una spira conduttrice aperta, e a seconda di come il suo asse
� orientato) una tensione proporzionale alla variazione del campo lungo la
traiettoria della sonda (che potrebbe anche solo ruotare su se stessa
intorno a un asse ortogonale all'asse su cui � avvolta: un tempo mi hanno
detto persino che i generatori di tensione funzionano proprio cos�. Sar�
vero? :-))
Chiedo venia per la mia insipienza, ma sono qui per imparare.
> Elio Fabri
Omega
> Sono alle prese da qualche giorno con un problema che non so risolvere.
> Riguarda lo sviluppo in multipoli della radiazione di un sistema di
> cariche e correnti, e pi� precisamente la dipendenza dall'origine
> scelta per il calcolo dei multipoli.
Fammi capire (sai bene che ho grosse difficolt�).
> Riguarda lo sviluppo in multipoli della radiazione di un sistema di
> cariche e correnti, e pi� precisamente la dipendenza dall'origine
> scelta per il calcolo dei multipoli.
Le correnti non sono altro che cariche in movimento, dunque vorrei capire
che cosa si intende nel caso in questione - non con la presunzione di
risolvere il tuo problema, figuriamoci, ma umilmente solo con quella di
capire.
Inoltre se parliamo di dipolo si dovrebbe intendere che le cariche/correnti
ai due poli sono uguali e opposte? In tal caso ci si avvicinerebbe proprio
al concetto di bipolo della Teoria delle reti elettriche (come da Treccani),
con una differenza: che in un bipolo della Teoria citata fra i due poli o
terminali accade sempre qualcosa che ha influenza sul campo elettromagnetico
in ipotesi generato dai soli terminali con le loro correnti (ci fosse anche
solo un filo conduttore o un dielettrico fra i due terminali come in un
condensatore ceramico o plastico).
Naturalmente, ma solo in prima battuta, ho fatto l'ipotesi di correnti
variabili, dato che parli di derivata seconda rispetto al tempo. Circa il
campo elettromagnetico, va da s� che in presenza di correnti non si pu�
parlare di solo campo elettrico (anche se nelle usuali definizioni di dipolo
si lascia al lettore l'impressione di semplici cariche di valore opposto
[disposte come e dove non lo si dice mai], per� si pu� estendere la cosa
alle cariche istantanee ai poli, e quindi ci si ritrova nelle definizioni
suddette, ma con una differenza: se sono realmente istantanee diventa
difficile parlare di derivate, che per loro antica abitudine vogliono un dt
e non un ticonzero per avere un senso).
> Partiamo dall'inizio.
> Il termine di ordine pi� basso � quello di dipolo elettrico.
> Si sa che il momento di dipolo el. dipende dall'origine scelta, a meno
> che la carica totale non sia nulla.
considerato come (un sistema) isolato? Penso di s�.
Ma questo impone che il dipolo sia stato pensato come portatore di cariche
eventualmente diverse ai due poli (fossero invece correnti sarei un po'
stupito, perch� un dipolo isolato non pu� che essere un nodo secondo la
sopra citata teoria, ossia con un bilancio nullo fra correnti sull'uno e
sull'altro polo. Stesso discorso vale naturalmente per il quadrupolo)
Allora sono correnti o cariche intese come statiche? Ma nel secondo caso non
si parla di derivata, n� prima n� seconda, rispetto al tempo.
> Per� qui non c'� problema, perch� la dipendenza dall'origine � prop.
> alla carica totale, che anche se non � nulla � costante, per cui non
> contribuisce al campo di radiazione che dipende dalla derivata seconda
> rispetto al tempo del momento di dipolo.
natura del dipolo (cio� dall'entit� delle sue cariche e dalla loro distanza)
oppure da un'origine che immagino scelta arbitrariamente? La scelta
dell'origine non � certamente determinata dal dipolo.
Io ho l'impressione che il concetto di 'momento di un dipolo' o ha un
significato puramente gometrico oppure ha il significato dell'influsso del
dipolo sull'origine (immaginata come sensibile a tale influsso, come se per
esempio in essa vi fosse una carica "sonda" unitaria che di fatto misura in
quel punto il campo generato dal bipolo [ma che _essa_ non influenza il
campo, un'astrazione un po' paradossale che mi pare di ricordare alquanto
diffusa in elettrologia])
Inoltre ora affermi che la carica totale � costante anche se non nulla. Ma
se la carica � costante anche il campo ha una configurazione costante. E
dunque si parla di derivata seconda ... di che cosa? Che cosa varia in modo
tale da far parlare di variazione nel tempo, in una configurazione di carica
totale costante?
> Se per� passiamo al quadrupolo nascono i guai...
Quello che potrei dire riguardo al quadrupolo � che, di nuovo, il campo da
esso generato dipende dalle sue cariche, in entit� e posizione - e sempre
parlando di sistema isolato.
Ma il chiarimento dei punti di cui sopra pu� forse consentirmi di passare al
quadrupolo e di capire la problematica che ti angustia.
Non per risolverla, ma per riuscire a condividere la tua sofferenza :-)
> Il momento di quadrupolo dipende dall'origine attraverso un termine
> prop. alla carica, e questo non disturba. Ma c'� anche un termine
> prop. al momento di dipolo; e a meno che questo non sia nullo per suo
> conto, non si annullerano in generale neppure le sue derivate rispetto
> al tempo.
> Quindi il campo radiativo di quadrupolo dipenderebbe dalla scelta
> dell'origine, il che appare assurdo.
>
> Problema analogo si presenta anche per il dipolo magnetico.
> Avevo anzi sospettato che i due etfetti, per quadrupolo e per dipolo
> magnetico, potessero compensarsi, ma non pare che sia cos�, e d'altra
> parte si tratta di armoniche sferiche vettoriali diverse: quindi come
> potrebbe esserci compensazione?
In via di principio le cariche di un dipolo elettrico (per esempio
realizzato su un dielettrico) sono separabili, ossia sono gi� di fatto
separate: fra di esse in un dipolo ideale c'� il nulla (parlo sempre di
sistemi isolati, cio� di un assurdo); per un dipolo magnetico ci� non �
pensabile: non ci sono a quanto mi risulta "cariche magnetiche" positive e
negative separabili. A me pare di ricordare che il magnetismo � effetto di
correnti, e se le correnti ci sono non � possibile separare le polarit�; ma
non � possibile neppure con un magnete cosiddetto permanente, che se lo
dividi e lo dividi e lo dividi fa come le scope dell'apprendista stregone di
Goethe/Disney, ossia continua a far comparire magneti sempre pi� piccoli.
Ecco dunque un'altra cosa che evidentemente non capisco.
Per� so che funziona cos� nel mondo reale (mi riferisco al mondo macro, non
quello delle particelle, che non so cosa sono e di che mondo si tratta, dato
che sembra dominato dal Fato), e so anche che se realizziamo un quadrupolo
magnetico, per esempio mediante solenoidi opportunamente disposti (magari
avvolti su materiale [ferro]magnetico) e percorsi da correnti opportune, uno
pu� cambiare il punto di osservazione quanto vuole, ma il campo � e resta
quello; cambia ci� che sente la "sonda" se il punto di osservazione la
contiene e se *il punto-sonda* si muove nello spazio (virtualmente infinito)
occupato dal campo [o � meglio dire *creato* dal campo, se il quadrupolo �
... isolato?] In tal caso si dice che il campo induce nella sonda (se di
tensione, es. una spira conduttrice aperta, e a seconda di come il suo asse
� orientato) una tensione proporzionale alla variazione del campo lungo la
traiettoria della sonda (che potrebbe anche solo ruotare su se stessa
intorno a un asse ortogonale all'asse su cui � avvolta: un tempo mi hanno
detto persino che i generatori di tensione funzionano proprio cos�. Sar�
vero? :-))
Chiedo venia per la mia insipienza, ma sono qui per imparare.
> Elio Fabri
Omega
Elio Fabri
Sep 17, 2012, 2:58:56 PM9/17/12
to
Tetis ha scritto:
> ...
Tommaso Russo ha scritto:
> ...
E' passato un tempo incredibilmente lungo dalle vostre risposte, ma
non dovete credere n� che le abbia snobbate n� che abbia abbandonato
il problema.
Per� ora non vi rispondo; dico solo che ho la sensazione che non
abbiate colto la vera natura del problema, che non ha niente a che
fare coi multipoli statici.
Oppure non ho capito io quello che avete scritto...
Nel frattempo mi sono messo a calcolare l'espressione *esatta* dela
potenza irraggiata da un osc. armonico lineare, senza nessuna
approssimazione.
Lo scopo � di confrontarla coi vari termini di multipolo, che in
questo caso sono solo elettrici, anche se riferisco l'oscillatore a un
origine che non sia il centro dell'oscillazione, purch� allineat con
questa.
Ci sto mettendo un po' perch� purtroppo ora faccio frequenti errori
nei calcoli, e quindi debbo ricontrollare tutto, se possibile trovando
pi� strade per arrivare allo stesso risultato. E cos� il tempo passa
:-(
--
Elio Fabri
Nella casa risuonarono i rintocchi di un orologio, poi di un altro, poi
di un altro ancora ... quanti orologi! Come se l� il tempo fosse una
realt� molteplice, diversa a ogni livello, in ogni stanza.
> ...
Tommaso Russo ha scritto:
> ...
E' passato un tempo incredibilmente lungo dalle vostre risposte, ma
non dovete credere n� che le abbia snobbate n� che abbia abbandonato
il problema.
Per� ora non vi rispondo; dico solo che ho la sensazione che non
abbiate colto la vera natura del problema, che non ha niente a che
fare coi multipoli statici.
Oppure non ho capito io quello che avete scritto...
Nel frattempo mi sono messo a calcolare l'espressione *esatta* dela
potenza irraggiata da un osc. armonico lineare, senza nessuna
approssimazione.
Lo scopo � di confrontarla coi vari termini di multipolo, che in
questo caso sono solo elettrici, anche se riferisco l'oscillatore a un
origine che non sia il centro dell'oscillazione, purch� allineat con
questa.
Ci sto mettendo un po' perch� purtroppo ora faccio frequenti errori
nei calcoli, e quindi debbo ricontrollare tutto, se possibile trovando
pi� strade per arrivare allo stesso risultato. E cos� il tempo passa
:-(
--
Elio Fabri
Nella casa risuonarono i rintocchi di un orologio, poi di un altro, poi
di un altro ancora ... quanti orologi! Come se l� il tempo fosse una
realt� molteplice, diversa a ogni livello, in ogni stanza.
Elio Fabri
Sep 20, 2012, 2:48:01 PM9/20/12
to
Scrivevo:
> Nel frattempo mi sono messo a calcolare l'espressione *esatta* della
> questa.
Il calcolo l'avrei finito, ma sono nei guai peggio di prima.
Descrizione: una carica q si muove di moto armonico, con legge
x = A cos(wt).
Non faccio nessuna ipotesi su A, w, a parte assumere Aw < 1.
Pongo b = Aw/c (� la velocit� massima).
Per la potenza media irraggiata parto dalla potenza istantanea
W = (Z0 q^2) /(6 pi c^2) g^6 a^2 (1)
([14.26] di Jackson, semplificata perch� velocit� e accel. sono
parallele).
Qui a � l'accelerazione istantanea, g � il solito gamma.
Medio la (1) su un periodo, e ottengo (salvo errori!)
Wbar = (Z0 q^2 w^2)/(12 pi) b^2 (1 - 3 b^2/4) (1 - b^2)^{-3/2}).
Ora i successivi multipoli dovrebbero coincidere coi termini dello
sviluppo in serie di b^2:
Wbar = (Z0 q^2 w^2)/(12 pi) (b^2 + (3/4) b^4 + ...
Il primo termine mi torna con la formula della potenza irraggiata da
un dipolo, ma il secondo non torna col quadrupolo :-(
Any idea?
> Nel frattempo mi sono messo a calcolare l'espressione *esatta* della
> potenza irraggiata da un osc. armonico lineare, senza nessuna
> approssimazione.
> Lo scopo � di confrontarla coi vari termini di multipolo, che in
> questo caso sono solo elettrici, anche se riferisco l'oscillatore a un
> origine che non sia il centro dell'oscillazione, purch� allineata con
> approssimazione.
> Lo scopo � di confrontarla coi vari termini di multipolo, che in
> questo caso sono solo elettrici, anche se riferisco l'oscillatore a un
> questa.
Il calcolo l'avrei finito, ma sono nei guai peggio di prima.
Descrizione: una carica q si muove di moto armonico, con legge
x = A cos(wt).
Non faccio nessuna ipotesi su A, w, a parte assumere Aw < 1.
Pongo b = Aw/c (� la velocit� massima).
Per la potenza media irraggiata parto dalla potenza istantanea
W = (Z0 q^2) /(6 pi c^2) g^6 a^2 (1)
([14.26] di Jackson, semplificata perch� velocit� e accel. sono
parallele).
Qui a � l'accelerazione istantanea, g � il solito gamma.
Medio la (1) su un periodo, e ottengo (salvo errori!)
Wbar = (Z0 q^2 w^2)/(12 pi) b^2 (1 - 3 b^2/4) (1 - b^2)^{-3/2}).
Ora i successivi multipoli dovrebbero coincidere coi termini dello
sviluppo in serie di b^2:
Wbar = (Z0 q^2 w^2)/(12 pi) (b^2 + (3/4) b^4 + ...
Il primo termine mi torna con la formula della potenza irraggiata da
un dipolo, ma il secondo non torna col quadrupolo :-(
Any idea?
Franco
Sep 24, 2012, 4:02:56 PM9/24/12
to
On 9/20/2012 20:48, Elio Fabri wrote:
> Non faccio nessuna ipotesi su A, w, a parte assumere Aw < 1.
Questa non l'ho capita: o hai normalizzato tante grandezze oppure volevi
> Non faccio nessuna ipotesi su A, w, a parte assumere Aw < 1.
scrivere Aw < c
--
Franco
Wovon man nicht sprechen kann, dar�ber mu� man schweigen.
(L. Wittgenstein)
Elio Fabri
Sep 25, 2012, 2:35:07 PM9/25/12
to
Franco ha scritto:
In effetti tutta la frase era scritta male:
La riscrivo:
Non faccio nessuna ipotesi su A e w, a parte assumere Aw < c.
Aw è infatti la velocità massima. Per brevità pongo b = Aw/c.
Ma sulla sostanza del problema non mi dici niente? :)
--
Elio Fabri
Nella casa risuonarono i rintocchi di un orologio, poi di un altro, poi
di un altro ancora ... quanti orologi! Come se lì il tempo fosse una
realtà molteplice, diversa a ogni livello, in ogni stanza.
> Questa non l'ho capita: o hai normalizzato tante grandezze oppure volevi
> scrivere Aw < c
Certo, hai ragione!
> scrivere Aw < c
In effetti tutta la frase era scritta male:
> Non faccio nessuna ipotesi su A, w, a parte assumere Aw < 1.
> Pongo b = Aw/c (è la velocità massima).
La riscrivo:
Non faccio nessuna ipotesi su A e w, a parte assumere Aw < c.
Aw è infatti la velocità massima. Per brevità pongo b = Aw/c.
Ma sulla sostanza del problema non mi dici niente? :)
--
Elio Fabri
Nella casa risuonarono i rintocchi di un orologio, poi di un altro, poi
realtà molteplice, diversa a ogni livello, in ogni stanza.
Massimo Ortolano
Sep 21, 2012, 6:34:05 PM9/21/12
to
On 20/09/2012 20:48, Elio Fabri wrote:
> Non faccio nessuna ipotesi su A, w, a parte assumere Aw < 1
Aw < 1? Hmmm, dimensionalmente non quadra.
> Non faccio nessuna ipotesi su A, w, a parte assumere Aw < 1
Tetis
Sep 21, 2012, 10:40:17 AM9/21/12
to
Elio Fabri scriveva il 20/09/2012 :
> parallele).
> Qui a è l'accelerazione istantanea, g è il solito gamma.
certamente hai già elaborato autonomamente.
Quando Jackson calcola la potenza irradiata osserva preliminarmente che
il campo elettrico consta di due parti: una è la parte di
accelerazione, l'altra la parte di velocità. Nota che la parte di
velocità va come 1/R^2 mentre la parte di accelerazione va come 1/R e
di conseguenza tiene solo il secondo termine.
Notare che R è la distanza dalla sorgente (non dal centro di sviluppo).
In realtà la separazione fra il termine velocità ed il termine
accelerazione è che io sappia in parte arbitraria, se ai fini del
calcolo della potenza di dipolo non importa conoscere la parte di
velocità, tuttavia il campo elettrico di velocità ed il campo magnetico
di radiazione risultano ortogonali e quindi contribuiscono ad un
termine 1/R^3 nel vettore di Poynting.
Del resto in che modo i campi di multipolo, avendo un andamento
decrescente più veloce di 1/R contribuiscono al flusso di radiazione se
non in termini di energia reattiva? (cioè il flusso netto asintotico
dovrebbe venire solo dai termini di dipolo se non erro, perché solo
quella parte di flusso rimane costante al variare della distanza)
quindi la grandezza che stai considerando, la potenza di dipolo che è
la parte costante del flusso, non mi sembra che possa contenere tutte
le informazioni che servono alla stima degli effetti di multipolo.
Non occorre quindi tenere in considerazione il campo di velocità nella
stima degli effetti di multipolo?
> Scrivevo:
>> Nel frattempo mi sono messo a calcolare l'espressione *esatta* della
>> potenza irraggiata da un osc. armonico lineare, senza nessuna
>> approssimazione.
>> Lo scopo è di confrontarla coi vari termini di multipolo, che in
>> Nel frattempo mi sono messo a calcolare l'espressione *esatta* della
>> potenza irraggiata da un osc. armonico lineare, senza nessuna
>> approssimazione.
>> questo caso sono solo elettrici, anche se riferisco l'oscillatore a un
>> origine che non sia il centro dell'oscillazione, purché allineata con
>> questa.
> Il calcolo l'avrei finito, ma sono nei guai peggio di prima.
>
> Descrizione: una carica q si muove di moto armonico, con legge
> x = A cos(wt).
> Non faccio nessuna ipotesi su A, w, a parte assumere Aw < 1.
> Pongo b = Aw/c (è la velocità massima).
> Il calcolo l'avrei finito, ma sono nei guai peggio di prima.
>
> Descrizione: una carica q si muove di moto armonico, con legge
> x = A cos(wt).
> Non faccio nessuna ipotesi su A, w, a parte assumere Aw < 1.
>
> Per la potenza media irraggiata parto dalla potenza istantanea
>
> W = (Z0 q^2) /(6 pi c^2) g^6 a^2 (1)
>
> ([14.26] di Jackson, semplificata perché velocità e accel. sono
> Per la potenza media irraggiata parto dalla potenza istantanea
>
> W = (Z0 q^2) /(6 pi c^2) g^6 a^2 (1)
>
> parallele).
> Qui a è l'accelerazione istantanea, g è il solito gamma.
>
> Medio la (1) su un periodo, e ottengo (salvo errori!)
>
> Wbar = (Z0 q^2 w^2)/(12 pi) b^2 (1 - 3 b^2/4) (1 - b^2)^{-3/2}).
>
> Ora i successivi multipoli dovrebbero coincidere coi termini dello
> sviluppo in serie di b^2:
>
> Wbar = (Z0 q^2 w^2)/(12 pi) (b^2 + (3/4) b^4 + ...
>
> Il primo termine mi torna con la formula della potenza irraggiata da
> un dipolo, ma il secondo non torna col quadrupolo :-(
>
> Any idea?
Solo un dubbio, spero di non aggiungerlo inutilmente a quelli che
> Medio la (1) su un periodo, e ottengo (salvo errori!)
>
> Wbar = (Z0 q^2 w^2)/(12 pi) b^2 (1 - 3 b^2/4) (1 - b^2)^{-3/2}).
>
> Ora i successivi multipoli dovrebbero coincidere coi termini dello
> sviluppo in serie di b^2:
>
> Wbar = (Z0 q^2 w^2)/(12 pi) (b^2 + (3/4) b^4 + ...
>
> Il primo termine mi torna con la formula della potenza irraggiata da
> un dipolo, ma il secondo non torna col quadrupolo :-(
>
> Any idea?
certamente hai già elaborato autonomamente.
Quando Jackson calcola la potenza irradiata osserva preliminarmente che
il campo elettrico consta di due parti: una è la parte di
accelerazione, l'altra la parte di velocità. Nota che la parte di
velocità va come 1/R^2 mentre la parte di accelerazione va come 1/R e
di conseguenza tiene solo il secondo termine.
Notare che R è la distanza dalla sorgente (non dal centro di sviluppo).
In realtà la separazione fra il termine velocità ed il termine
accelerazione è che io sappia in parte arbitraria, se ai fini del
calcolo della potenza di dipolo non importa conoscere la parte di
velocità, tuttavia il campo elettrico di velocità ed il campo magnetico
di radiazione risultano ortogonali e quindi contribuiscono ad un
termine 1/R^3 nel vettore di Poynting.
Del resto in che modo i campi di multipolo, avendo un andamento
decrescente più veloce di 1/R contribuiscono al flusso di radiazione se
non in termini di energia reattiva? (cioè il flusso netto asintotico
dovrebbe venire solo dai termini di dipolo se non erro, perché solo
quella parte di flusso rimane costante al variare della distanza)
quindi la grandezza che stai considerando, la potenza di dipolo che è
la parte costante del flusso, non mi sembra che possa contenere tutte
le informazioni che servono alla stima degli effetti di multipolo.
Non occorre quindi tenere in considerazione il campo di velocità nella
stima degli effetti di multipolo?
Tetis
Sep 26, 2012, 9:27:30 AM9/26/12
to
Nel suo scritto precedente, Elio Fabri ha sostenuto :
> Medio la (1) su un periodo, e ottengo (salvo errori!)
>
> Wbar = (Z0 q^2 w^2)/(12 pi) b^2 (1 - 3 b^2/4) (1 - b^2)^{-3/2}).
Z0 cosa indica?
Posso confermare che la media sul periodo è questa che ha scritto.
Oltre che con il calcolo diretto si trova con l'integrale necessario
già tabulato sul Gradshteyn, formula 3.681.
Nel merito della questione non so che dire, non mi è chiaro al momento
come esplicitare le formule per i termini di multipolo radiativo, ( ma
adesso ho più chiaro quale ne è la struttura ed ho messo da parte un
delirio sul ruolo dei termini che non vanno come 1/r ) in particolare
le formule esatte (16.91 e 16.92 di Jackson) mi sembrano difficili da
gestire senza un particolare impegno dedicato, mentre le formule
approssimate valgono per k r_max << 1 che nel nostro caso si traduce in
k A = omega A/c << 1 che somiglia alla tua condizione beta < 1 ma ne
differisce per il rafforzativo. Del resto però è vero che dalla formula
esatta più generale il limite con beta << 1 dovrebbe scaturire.
Un dubbio ulteriore che non riesco ad accantonare riguarda
l'interferenza: se è vero che le funzioni armoniche relative a termini
di multipolo differenti sono ortogonali, tuttavia nel calcolare la
potenza irradiata da un multipolo puro si suppone di trattare un'onda
incidente pressoché monocromatica e delle interferenze si tiene conto
con il calcolo dei coefficienti di fase, che in genere portano per
esempio a riconoscere un "tempo di scattering" nel gruppo. Nel caso di
una sorgente che si muove ad una data frequenza però non so come
procedere, forse mi sto solo incartando in un quarto di coriandolo, ma
ne scrivo perché magari hai un modo semplice per fugare questi dubbi,
dato che dici di aver fatto il conto.
> Medio la (1) su un periodo, e ottengo (salvo errori!)
>
> Wbar = (Z0 q^2 w^2)/(12 pi) b^2 (1 - 3 b^2/4) (1 - b^2)^{-3/2}).
Posso confermare che la media sul periodo è questa che ha scritto.
Oltre che con il calcolo diretto si trova con l'integrale necessario
già tabulato sul Gradshteyn, formula 3.681.
Nel merito della questione non so che dire, non mi è chiaro al momento
come esplicitare le formule per i termini di multipolo radiativo, ( ma
adesso ho più chiaro quale ne è la struttura ed ho messo da parte un
delirio sul ruolo dei termini che non vanno come 1/r ) in particolare
le formule esatte (16.91 e 16.92 di Jackson) mi sembrano difficili da
gestire senza un particolare impegno dedicato, mentre le formule
approssimate valgono per k r_max << 1 che nel nostro caso si traduce in
k A = omega A/c << 1 che somiglia alla tua condizione beta < 1 ma ne
differisce per il rafforzativo. Del resto però è vero che dalla formula
esatta più generale il limite con beta << 1 dovrebbe scaturire.
Un dubbio ulteriore che non riesco ad accantonare riguarda
l'interferenza: se è vero che le funzioni armoniche relative a termini
di multipolo differenti sono ortogonali, tuttavia nel calcolare la
potenza irradiata da un multipolo puro si suppone di trattare un'onda
incidente pressoché monocromatica e delle interferenze si tiene conto
con il calcolo dei coefficienti di fase, che in genere portano per
esempio a riconoscere un "tempo di scattering" nel gruppo. Nel caso di
una sorgente che si muove ad una data frequenza però non so come
procedere, forse mi sto solo incartando in un quarto di coriandolo, ma
ne scrivo perché magari hai un modo semplice per fugare questi dubbi,
dato che dici di aver fatto il conto.
Tetis
Sep 27, 2012, 2:12:05 PM9/27/12
to
Il 22/09/2012, Massimo Ortolano ha detto :
proporzionali e la velocità della luce è unitaria
> On 20/09/2012 20:48, Elio Fabri wrote:
>> Non faccio nessuna ipotesi su A, w, a parte assumere Aw < 1
>
> Aw < 1? Hmmm, dimensionalmente non quadra.
In unità naturali le unità di spazio e di tempo sono inversamente
>> Non faccio nessuna ipotesi su A, w, a parte assumere Aw < 1
>
> Aw < 1? Hmmm, dimensionalmente non quadra.
proporzionali e la velocità della luce è unitaria
Elio Fabri
Oct 1, 2012, 2:40:31 PM10/1/12
to
Tetis ha scritto:
> Z0 cosa indica?
L'impedenza caratteristica del vuoto, 1/(eps0 c) = mu0 c.
Ovvero i famosi 377 ohm :)
> Posso confermare che la media sul periodo è questa che ha scritto.
> Oltre che con il calcolo diretto si trova con l'integrale necessario
> già tabulato sul Gradshteyn, formula 3.681.
Grazie della verifica.
> Nel merito della questione non so che dire, non mi è chiaro al
> momento come esplicitare le formule per i termini di multipolo
> radiativo,
> ...
Le formule che citi mostrano che che non vanno usati i multipoli
statici, dal momento che figurano integrali con funzioni sferiche di
Bessel, che danno i multipoli statici solo all'ordine più basso in
kA=b (beta).
E qui c'è un trabocchetto nel quale sembra sia cascato anche il
Landau ... ma è possibile???
Il termine di dipolo, definito dalla comparsa dell'armonica sferica
Y_{1m}, fa intervenire una j_1(b), che ha termini in b, b^3, e succ.
potenze dispari.
Il termine di quadrupolo (Y_{2m}) porta un j_2 che ha termini in b^2,
b^4, ecc.
Perciò *nel calcolo dei campi*, se ci si ferma al secondo ordine,
intervengono solo i termini in b nel dipolo e in b^2 nel quadrupolo,
ossia i momenti statici.
Ma quando vai a calcolare l'energia irraggiata, che è quadratica nei
campi, è vero che essa sarà la somma del contributo di dipolo, di
quello di quadrupolo, ecc. Ma vediamo gli ordini in b:
- L'energia di dipolo ha un termine in b^2, ma poi anche un termine in
b^4.
- L'energia di quadrupolo comincia col termine in b^4, ecc.
Perciò, anche se non c'è interferenza, succede che in b^2 conta solo
il dipolo, ma in b^4 contano dipolo e quadrupolo, e via peggiornado per
i multipoli superiori.
Conclusione: nel calcolo dell'energia lo sviluppo in multipoli e lo
sviluppo in potenze di b *sono cose diverse*.
Dicevo che ci casca anche Landau, perché l'eq. (71.5) del vol. 2 dice
proprio l'opposto: scrive l'energia irraggiata fino all'ordine b^4
come somma di contributi dati dai momenti *statici*.
Nota che una formula analoga sul Jackson *non c'è*...
Inutile dire che mi farebbe molto piacere una tua conferma a quanto
sopra.
> Un dubbio ulteriore che non riesco ad accantonare riguarda
> l'interferenza: se è vero che le funzioni armoniche relative a
> termini di multipolo differenti sono ortogonali, tuttavia nel
> calcolare la potenza irradiata da un multipolo puro si suppone di
> trattare un'onda incidente pressoché monocromatica e delle
> interferenze si tiene conto con il calcolo dei coefficienti di fase,
> che in genere portano per esempio a riconoscere un "tempo di
> scattering" nel gruppo. Nel caso di una sorgente che si muove ad una
> data frequenza però non so come procedere, forse mi sto solo
> incartando in un quarto di coriandolo, ma ne scrivo perché magari hai
> un modo semplice per fugare questi dubbi, dato che dici di aver fatto
> il conto.
Se avessi capito il tuo dubbio...
Perché tiri in ballo lo scattering?
Qui hai una sorgente in moto prestabilito (armonico nel mio caso).
Puoi calcolare i campi o dai potenziali ritardati o da quelli di
Lienard-Wiechert, separando i multipoli (Jackson docet).
E poi calcoli l'energia emessa.
Landau procede diversamente: scrive i pot. ritardati e sviluppa gli
integrali in serie di r/c.
E questo è il punto: questi non sono multipoli!
--
Elio Fabri
Nella casa risuonarono i rintocchi di un orologio, poi di un altro, poi
> Z0 cosa indica?
L'impedenza caratteristica del vuoto, 1/(eps0 c) = mu0 c.
Ovvero i famosi 377 ohm :)
> Posso confermare che la media sul periodo è questa che ha scritto.
> Oltre che con il calcolo diretto si trova con l'integrale necessario
> già tabulato sul Gradshteyn, formula 3.681.
> Nel merito della questione non so che dire, non mi è chiaro al
> momento come esplicitare le formule per i termini di multipolo
> radiativo,
> in particolare le formule esatte (16.91 e 16.92 di Jackson) mi
> sembrano difficili da gestire senza un particolare impegno dedicato
Credo però di aver fatto un passo avanti, prima d'immergermi nei conti.
> sembrano difficili da gestire senza un particolare impegno dedicato
Le formule che citi mostrano che che non vanno usati i multipoli
statici, dal momento che figurano integrali con funzioni sferiche di
Bessel, che danno i multipoli statici solo all'ordine più basso in
kA=b (beta).
E qui c'è un trabocchetto nel quale sembra sia cascato anche il
Landau ... ma è possibile???
Il termine di dipolo, definito dalla comparsa dell'armonica sferica
Y_{1m}, fa intervenire una j_1(b), che ha termini in b, b^3, e succ.
potenze dispari.
Il termine di quadrupolo (Y_{2m}) porta un j_2 che ha termini in b^2,
b^4, ecc.
Perciò *nel calcolo dei campi*, se ci si ferma al secondo ordine,
intervengono solo i termini in b nel dipolo e in b^2 nel quadrupolo,
ossia i momenti statici.
Ma quando vai a calcolare l'energia irraggiata, che è quadratica nei
campi, è vero che essa sarà la somma del contributo di dipolo, di
quello di quadrupolo, ecc. Ma vediamo gli ordini in b:
- L'energia di dipolo ha un termine in b^2, ma poi anche un termine in
b^4.
- L'energia di quadrupolo comincia col termine in b^4, ecc.
Perciò, anche se non c'è interferenza, succede che in b^2 conta solo
il dipolo, ma in b^4 contano dipolo e quadrupolo, e via peggiornado per
i multipoli superiori.
Conclusione: nel calcolo dell'energia lo sviluppo in multipoli e lo
sviluppo in potenze di b *sono cose diverse*.
Dicevo che ci casca anche Landau, perché l'eq. (71.5) del vol. 2 dice
proprio l'opposto: scrive l'energia irraggiata fino all'ordine b^4
come somma di contributi dati dai momenti *statici*.
Nota che una formula analoga sul Jackson *non c'è*...
Inutile dire che mi farebbe molto piacere una tua conferma a quanto
sopra.
> Un dubbio ulteriore che non riesco ad accantonare riguarda
> l'interferenza: se è vero che le funzioni armoniche relative a
> termini di multipolo differenti sono ortogonali, tuttavia nel
> calcolare la potenza irradiata da un multipolo puro si suppone di
> trattare un'onda incidente pressoché monocromatica e delle
> interferenze si tiene conto con il calcolo dei coefficienti di fase,
> che in genere portano per esempio a riconoscere un "tempo di
> scattering" nel gruppo. Nel caso di una sorgente che si muove ad una
> data frequenza però non so come procedere, forse mi sto solo
> incartando in un quarto di coriandolo, ma ne scrivo perché magari hai
> un modo semplice per fugare questi dubbi, dato che dici di aver fatto
> il conto.
Perché tiri in ballo lo scattering?
Qui hai una sorgente in moto prestabilito (armonico nel mio caso).
Puoi calcolare i campi o dai potenziali ritardati o da quelli di
Lienard-Wiechert, separando i multipoli (Jackson docet).
E poi calcoli l'energia emessa.
Landau procede diversamente: scrive i pot. ritardati e sviluppa gli
integrali in serie di r/c.
E questo è il punto: questi non sono multipoli!
--
Elio Fabri
Nella casa risuonarono i rintocchi di un orologio, poi di un altro, poi
di un altro ancora ... quanti orologi! Come se lì il tempo fosse una
realtà molteplice, diversa a ogni livello, in ogni stanza.
Tetis
Oct 8, 2012, 2:17:10 PM10/8/12
to
Elio Fabri ha usato la sua tastiera per scrivere :
> Grazie della verifica.
>
>> Nel merito della questione non so che dire, non mi ￜ chiaro al
Ho aspettato un poco a scrivere aspettando che magari dicessi di avere
fatto anche qualche conto comunque ho ritardato anche perchￜ avevo
altro da fare per il momento, ma ho letto con attenzione quello che hai
scritto ed ho confrontato con i testi alla mano.
> Le formule che citi mostrano che che non vanno usati i multipoli
> statici, dal momento che figurano integrali con funzioni sferiche di
> Bessel, che danno i multipoli statici solo all'ordine piￜ basso in
> kA=b (beta).
Questo sviluppo in multipoli dinamici devo ammettere che non l'ho
digerito completamente, mi manca la percezione di quali sono gli
effetti di ritardo e quali sono gli effetti distribuzionali, ammesso
abbia qualche senso separarli, ￜ a fra queste lacune che si collocano
le mie perplessitￜ sulle interferenze. Quello che mi sembrava di aver
capito ￜ che gli effetti dinamici di velocitￜ finita devono essere
messi a mano, in qualche modo di cui al momento non ho alcuna idea,
nello sviluppo in multipoli statici, qualcosa di analogo alle
perturbazioni successive con cui ci si sposta dalle predizione della
equazione di Schroedinger alle corrette previsioni dell'equazione di
Dirac.
> E qui c'ￜ un trabocchetto nel quale sembra sia cascato anche il
> Landau ... ma ￜ possibile???
Ecco, questo non lo so, non mi ￜ chiaro nemmeno il discorso di Landau
che in un primo momento sembra interessarsi dei momenti di ordine
superiore solo nel caso in cui quelli di ordine piￜ basso mancano, ma
poi include la derivata seconda del momento di dipolo.
> Il termine di dipolo, definito dalla comparsa dell'armonica sferica
> Y_{1m}, fa intervenire una j_1(b), che ha termini in b, b^3, e succ.
> potenze dispari.
> Il termine di quadrupolo (Y_{2m}) porta un j_2 che ha termini in b^2,
> b^4, ecc.
> Perciￜ *nel calcolo dei campi*, se ci si ferma al secondo ordine,
> campi, ￜ vero che essa sarￜ la somma del contributo di dipolo, di
qualche modo mi sembra anche che questo semplice sviluppo in serie
delle funzioni di Bessel, dia le istruzioni dettagliate su come
computare gli effetti di "interferenza" dovuti al fatto di tener conto
della velocitￜ finita di propagazione come se si trattasse di una
perturbazione. Riducendo la velocitￜ della luce (cioￜ aumentando le
frequenze) la base delle funzioni statiche diagonalizza sempre peggio
le equazioni di Maxwell che diagonalizzava perfettamente nel limite
statico. In altre parole il problema ￜ che la base dell'operatore di
Laplace non ￜ una buona base per l'operatore di Helmoltz, o sto
scrivendo sciocchezze?
> Dicevo che ci casca anche Landau, perchￜ l'eq. (71.5) del vol. 2 dice
Infatti, ma ho piￜ di un dubbio perchￜ non mi riesce di capire bene il
significato dell'approssimazione di Jackson 16.93 16.95 e la
conseguente espressione 16.97. Cioￜ mi chiedo per l'appunto che fine
fanno nella 16.97 i termini di approssimazione dovuti a componenti di
Taylor di ordine superiore dovuti al dipolo. Se ho inteso quel che dici
tu li devo considerare come contributi di dipolo di ordine piￜ alto e
non andarli a mischiare con i termini di quadrupolo anche se hanno lo
stesso ordine in beta. A ritroso il dubbio ￜ sulla equazione 16.92 che
mi appare evidentemente non covariante. Cioￜ mi pare che gran parte
della confusione derivi dalla necessitￜ pratica di trattare con gli
strumenti concettuali dello spazio euclideo un fenomeno che vive in
spazio di Lorentz.
> Inutile dire che mi farebbe molto piacere una tua conferma a quanto
> sopra.
>
>> Un dubbio ulteriore che non riesco ad accantonare riguarda
>> l'interferenza: se ￜ vero che le funzioni armoniche relative a
>> incartando in un quarto di coriandolo, ma ne scrivo perchￜ magari hai
> Tetis ha scritto:
>> Z0 cosa indica?
> L'impedenza caratteristica del vuoto, 1/(eps0 c) = mu0 c.
> Ovvero i famosi 377 ohm :)
>
>> Posso confermare che la media sul periodo ￜ questa che ha scritto.
>> Z0 cosa indica?
> L'impedenza caratteristica del vuoto, 1/(eps0 c) = mu0 c.
> Ovvero i famosi 377 ohm :)
>
>> Oltre che con il calcolo diretto si trova con l'integrale necessario
>> giￜ tabulato sul Gradshteyn, formula 3.681.
> Grazie della verifica.
>
>> Nel merito della questione non so che dire, non mi ￜ chiaro al
>> momento come esplicitare le formule per i termini di multipolo
>> radiativo,
>> ...
>> in particolare le formule esatte (16.91 e 16.92 di Jackson) mi
>> sembrano difficili da gestire senza un particolare impegno dedicato
> Credo perￜ di aver fatto un passo avanti, prima d'immergermi nei conti.
>> radiativo,
>> ...
>> in particolare le formule esatte (16.91 e 16.92 di Jackson) mi
>> sembrano difficili da gestire senza un particolare impegno dedicato
Ho aspettato un poco a scrivere aspettando che magari dicessi di avere
fatto anche qualche conto comunque ho ritardato anche perchￜ avevo
altro da fare per il momento, ma ho letto con attenzione quello che hai
scritto ed ho confrontato con i testi alla mano.
> Le formule che citi mostrano che che non vanno usati i multipoli
> statici, dal momento che figurano integrali con funzioni sferiche di
> kA=b (beta).
Questo sviluppo in multipoli dinamici devo ammettere che non l'ho
digerito completamente, mi manca la percezione di quali sono gli
effetti di ritardo e quali sono gli effetti distribuzionali, ammesso
abbia qualche senso separarli, ￜ a fra queste lacune che si collocano
le mie perplessitￜ sulle interferenze. Quello che mi sembrava di aver
capito ￜ che gli effetti dinamici di velocitￜ finita devono essere
messi a mano, in qualche modo di cui al momento non ho alcuna idea,
nello sviluppo in multipoli statici, qualcosa di analogo alle
perturbazioni successive con cui ci si sposta dalle predizione della
equazione di Schroedinger alle corrette previsioni dell'equazione di
Dirac.
> E qui c'ￜ un trabocchetto nel quale sembra sia cascato anche il
> Landau ... ma ￜ possibile???
Ecco, questo non lo so, non mi ￜ chiaro nemmeno il discorso di Landau
che in un primo momento sembra interessarsi dei momenti di ordine
superiore solo nel caso in cui quelli di ordine piￜ basso mancano, ma
poi include la derivata seconda del momento di dipolo.
> Il termine di dipolo, definito dalla comparsa dell'armonica sferica
> Y_{1m}, fa intervenire una j_1(b), che ha termini in b, b^3, e succ.
> potenze dispari.
> Il termine di quadrupolo (Y_{2m}) porta un j_2 che ha termini in b^2,
> b^4, ecc.
> intervengono solo i termini in b nel dipolo e in b^2 nel quadrupolo,
> ossia i momenti statici.
> Ma quando vai a calcolare l'energia irraggiata, che ￜ quadratica nei
> ossia i momenti statici.
> campi, ￜ vero che essa sarￜ la somma del contributo di dipolo, di
> quello di quadrupolo, ecc. Ma vediamo gli ordini in b:
> - L'energia di dipolo ha un termine in b^2, ma poi anche un termine in
> b^4.
> - L'energia di quadrupolo comincia col termine in b^4, ecc.
> Perciￜ, anche se non c'ￜ interferenza, succede che in b^2 conta solo
> - L'energia di dipolo ha un termine in b^2, ma poi anche un termine in
> b^4.
> - L'energia di quadrupolo comincia col termine in b^4, ecc.
> il dipolo, ma in b^4 contano dipolo e quadrupolo, e via peggiornado per
> i multipoli superiori.
> Conclusione: nel calcolo dell'energia lo sviluppo in multipoli e lo
> sviluppo in potenze di b *sono cose diverse*.
Penso di avere inteso il discorso e mi sembra di trovarmi d'accordo, in
> i multipoli superiori.
> Conclusione: nel calcolo dell'energia lo sviluppo in multipoli e lo
> sviluppo in potenze di b *sono cose diverse*.
qualche modo mi sembra anche che questo semplice sviluppo in serie
delle funzioni di Bessel, dia le istruzioni dettagliate su come
computare gli effetti di "interferenza" dovuti al fatto di tener conto
della velocitￜ finita di propagazione come se si trattasse di una
perturbazione. Riducendo la velocitￜ della luce (cioￜ aumentando le
frequenze) la base delle funzioni statiche diagonalizza sempre peggio
le equazioni di Maxwell che diagonalizzava perfettamente nel limite
statico. In altre parole il problema ￜ che la base dell'operatore di
Laplace non ￜ una buona base per l'operatore di Helmoltz, o sto
scrivendo sciocchezze?
> Dicevo che ci casca anche Landau, perchￜ l'eq. (71.5) del vol. 2 dice
> proprio l'opposto: scrive l'energia irraggiata fino all'ordine b^4
> come somma di contributi dati dai momenti *statici*.
> Nota che una formula analoga sul Jackson *non c'ￜ*...
> come somma di contributi dati dai momenti *statici*.
Infatti, ma ho piￜ di un dubbio perchￜ non mi riesce di capire bene il
significato dell'approssimazione di Jackson 16.93 16.95 e la
conseguente espressione 16.97. Cioￜ mi chiedo per l'appunto che fine
fanno nella 16.97 i termini di approssimazione dovuti a componenti di
Taylor di ordine superiore dovuti al dipolo. Se ho inteso quel che dici
tu li devo considerare come contributi di dipolo di ordine piￜ alto e
non andarli a mischiare con i termini di quadrupolo anche se hanno lo
stesso ordine in beta. A ritroso il dubbio ￜ sulla equazione 16.92 che
mi appare evidentemente non covariante. Cioￜ mi pare che gran parte
della confusione derivi dalla necessitￜ pratica di trattare con gli
strumenti concettuali dello spazio euclideo un fenomeno che vive in
spazio di Lorentz.
> Inutile dire che mi farebbe molto piacere una tua conferma a quanto
> sopra.
>
>> Un dubbio ulteriore che non riesco ad accantonare riguarda
>> termini di multipolo differenti sono ortogonali, tuttavia nel
>> calcolare la potenza irradiata da un multipolo puro si suppone di
>> trattare un'onda incidente pressochￜ monocromatica e delle
>> calcolare la potenza irradiata da un multipolo puro si suppone di
>> interferenze si tiene conto con il calcolo dei coefficienti di fase,
>> che in genere portano per esempio a riconoscere un "tempo di
>> scattering" nel gruppo. Nel caso di una sorgente che si muove ad una
>> data frequenza perￜ non so come procedere, forse mi sto solo
>> che in genere portano per esempio a riconoscere un "tempo di
>> scattering" nel gruppo. Nel caso di una sorgente che si muove ad una
>> incartando in un quarto di coriandolo, ma ne scrivo perchￜ magari hai
>> un modo semplice per fugare questi dubbi, dato che dici di aver fatto
>> il conto.
> Se avessi capito il tuo dubbio...
> Perchￜ tiri in ballo lo scattering?
>> il conto.
> Se avessi capito il tuo dubbio...
> Qui hai una sorgente in moto prestabilito (armonico nel mio caso).
> Puoi calcolare i campi o dai potenziali ritardati o da quelli di
> Lienard-Wiechert, separando i multipoli (Jackson docet).
> E poi calcoli l'energia emessa.
>
> Landau procede diversamente: scrive i pot. ritardati e sviluppa gli
> integrali in serie di r/c.
> E questo ￜ il punto: questi non sono multipoli!
> Puoi calcolare i campi o dai potenziali ritardati o da quelli di
> Lienard-Wiechert, separando i multipoli (Jackson docet).
> E poi calcoli l'energia emessa.
>
> Landau procede diversamente: scrive i pot. ritardati e sviluppa gli
> integrali in serie di r/c.
Tommaso Russo, Trieste
Oct 8, 2012, 12:17:58 PM10/8/12
to
Inviato il 6 settembre 2012, andato perso per un casino di cui
raccontera' Mauro Venier, reinvio con PS.
Il 05/09/2012 20:14, Elio Fabri ha scritto:
(anche perche' non avevo sottomano il Jackson, me lo sono procurato ora
ma e' settimana di regate :-)
Comunque ribadisco che secondo me in uno sviluppo in multipoli i singoli
termini non hanno significato fisico e cambiano cambiando l'origine; e'
la loro somma che deve restare sempre la stessa.
(Speravo in un intervento di Tetis, che nel calcolo analitico si muove
molto piu' disinvoltamente di me, ma temo che sia rimasto vittima anche
lui del black-out di settembre, per cui lo invito a ripostare).
raccontera' Mauro Venier, reinvio con PS.
Il 05/09/2012 20:14, Elio Fabri ha scritto:
> Quindi il campo radiativo di quadrupolo dipenderebbe dalla scelta
> dell'origine, il che appare assurdo.
> dell'origine, il che appare assurdo.
Non mi sembra poi tanto assurdo. Pensa al caso piu' semplice possibile,
carica singola ferma. Quando ne calcoli il campo in un punto R con lo
sviluppo in multipoli, in sostanza calcoli una serie di Taylor *nel
dintorno del caso* in cui la carica sarebbe all'origine. Se cambi
l'origine, cambia il valore iniziale e tutte le derivate, ma la serie
converge egualmente. Pero' i suoi termini non restano mica eguali! A
grandi distanze puoi troncare la serie dopo il primo termine non nullo
perche' tutti gli altri sono infinitesimi di ordine superiore in 1/R, ma
a distanze dall'origine appena superiori alla distanza della carica
dall'origine no, per trovare il valore esatto devi considerare anche i
termini seguenti; cambiando l'origine, la variazione del termine di
quadrupolo va in parte a compensare le variazioni dei termini di
monopolo e dipolo, in parte e' compensata dalla variazione dei termini
di multipolo successivi.
Nel caso che consideri, in cui le variazioni nel tempo dei primi due
termini sono nulle, a breve distanza la variazione della variazione nel
tempo del primo termine non nullo, quello di quadrupolo, e' compensato
dalla variazione della variazione nel tempo di tutti i termini
successivi. Poi, a distanze "grandi", tutto torna a posto anche
troncando al primo termine non nullo.
P.S. non sono ancora riuscito a capire il *nuovo* problema che lamenti
carica singola ferma. Quando ne calcoli il campo in un punto R con lo
sviluppo in multipoli, in sostanza calcoli una serie di Taylor *nel
dintorno del caso* in cui la carica sarebbe all'origine. Se cambi
l'origine, cambia il valore iniziale e tutte le derivate, ma la serie
converge egualmente. Pero' i suoi termini non restano mica eguali! A
grandi distanze puoi troncare la serie dopo il primo termine non nullo
perche' tutti gli altri sono infinitesimi di ordine superiore in 1/R, ma
a distanze dall'origine appena superiori alla distanza della carica
dall'origine no, per trovare il valore esatto devi considerare anche i
termini seguenti; cambiando l'origine, la variazione del termine di
quadrupolo va in parte a compensare le variazioni dei termini di
monopolo e dipolo, in parte e' compensata dalla variazione dei termini
di multipolo successivi.
Nel caso che consideri, in cui le variazioni nel tempo dei primi due
termini sono nulle, a breve distanza la variazione della variazione nel
tempo del primo termine non nullo, quello di quadrupolo, e' compensato
dalla variazione della variazione nel tempo di tutti i termini
successivi. Poi, a distanze "grandi", tutto torna a posto anche
troncando al primo termine non nullo.
(anche perche' non avevo sottomano il Jackson, me lo sono procurato ora
ma e' settimana di regate :-)
Comunque ribadisco che secondo me in uno sviluppo in multipoli i singoli
termini non hanno significato fisico e cambiano cambiando l'origine; e'
la loro somma che deve restare sempre la stessa.
(Speravo in un intervento di Tetis, che nel calcolo analitico si muove
molto piu' disinvoltamente di me, ma temo che sia rimasto vittima anche
lui del black-out di settembre, per cui lo invito a ripostare).
Elio Fabri
Oct 10, 2012, 3:13:08 PM10/10/12
to
Tommaso Russo ha scritto:
Secondo me non hai ancora capito che lo sviluppo in multipoli del
campo di radiazione \`e tutt'altra cosa da quello di un campo statico.
Intanto nota che per qualunque multipolo, a grande distanza il campo
di radiazione va come 1/r, mentre quello statico va come 1/r^(l+3).
Solo all'ordine pi\`u basso in ka, dove a \`e una dimensione
caratteristica del sistema di cariche e correnti, succede che il campo
di multipolo dipende solo dal (dalla derivata (l+1)-esima rispetto al
tempo del) tensore di multipolo statico.
> P.S. non sono ancora riuscito a capire il *nuovo* problema che
> lamenti (anche perche' non avevo sottomano il Jackson, me lo sono
> procurato ora ma e' settimana di regate :-)
OK, finisci le regate, che non ti aspettano, poi ne riparliamo.
Intanto io vado avanti coi conti, come spiego più sotto a Tetis :-)
Tetis ha scritto:
risultati, perché spiegare qualcosa qui, senza formule adatte e senza
scrivere km di parole, non \`e facile spiegarsi.
> Questo sviluppo in multipoli dinamici devo ammettere che non l'ho
> digerito completamente,
Non mi meraviglia: hai visto che anch'io ci sto facendo una bella
fatica, e soprattutto sono rimasto molto male a scoprire che alla mia
bella età non aveva capito niente sull'argomento ... buona vecchia
fisica classica :-(
> Ecco, questo non lo so, non mi è chiaro nemmeno il discorso di Landau
spiegazioni :-(
Ma c'è di peggio: guarda i miei appunti di RG, in entrambe le
versioni, e troverai, nel capitolo sull'emissione di o.g., la stessa
formula del Landau, accettata fideisticamente :-<
Ora dovrei fare ammenda, correggere, ma non so come fare.
Per fortune questo errore non ha conseguenze per le o.g. vsto che
dipolo elettrico e dipolo magnetico non ci sono, e raramente cade in
difetto l'appross. ka<<1.
> Infatti, ma ho più di un dubbio perché non mi riesce di capire bene
Io mi sto basando sulla traduzione italiana, e la teoria dei multipoli
sta nel cap. 9.
Tu parli di un cap. 16, che in quel libro non c'è.
> ... Cioè mi chiedo per l'appunto che fine
ma la stima dele potenze di beta dà proprio questo.
> A ritroso il dubbio è sulla equazione 16.92 che mi appare
> evidentemente non covariante. Cioè mi pare che gran parte della
> confusione derivi dalla necessità pratica di trattare con gli
formula 16.92.
Posso dire che Jackson a un certo punto fa notare che la potenza
irraggiata è invariante, ma penso tu abbia in mente qualcosa di
diverso.
Comunque grazie a tutti e due, e restate in attesa di notizie :-)
--
Elio Fabri
> Non mi sembra poi tanto assurdo.
> ...
Secondo me non hai ancora capito che lo sviluppo in multipoli del
campo di radiazione \`e tutt'altra cosa da quello di un campo statico.
Intanto nota che per qualunque multipolo, a grande distanza il campo
di radiazione va come 1/r, mentre quello statico va come 1/r^(l+3).
Solo all'ordine pi\`u basso in ka, dove a \`e una dimensione
caratteristica del sistema di cariche e correnti, succede che il campo
di multipolo dipende solo dal (dalla derivata (l+1)-esima rispetto al
tempo del) tensore di multipolo statico.
> P.S. non sono ancora riuscito a capire il *nuovo* problema che
> lamenti (anche perche' non avevo sottomano il Jackson, me lo sono
> procurato ora ma e' settimana di regate :-)
Intanto io vado avanti coi conti, come spiego più sotto a Tetis :-)
Tetis ha scritto:
> Ho aspettato un poco a scrivere aspettando che magari dicessi di
> avere fatto anche qualche conto comunque ho ritardato anche perché
> avevo altro da fare per il momento, ma ho letto con attenzione
> quello che hai scritto ed ho confrontato con i testi alla mano.
I conti li sto facendo e li sto anche scrivendo. Vi farò conoscere i
> quello che hai scritto ed ho confrontato con i testi alla mano.
risultati, perché spiegare qualcosa qui, senza formule adatte e senza
scrivere km di parole, non \`e facile spiegarsi.
> Questo sviluppo in multipoli dinamici devo ammettere che non l'ho
> digerito completamente,
fatica, e soprattutto sono rimasto molto male a scoprire che alla mia
bella età non aveva capito niente sull'argomento ... buona vecchia
fisica classica :-(
> Ecco, questo non lo so, non mi è chiaro nemmeno il discorso di Landau
> che in un primo momento sembra interessarsi dei momenti di ordine
> superiore solo nel caso in cui quelli di ordine più basso mancano, ma
> poi include la derivata seconda del momento di dipolo.
Appunto... E naturalmente col suo solito stile non si spreca in
spiegazioni :-(
Ma c'è di peggio: guarda i miei appunti di RG, in entrambe le
versioni, e troverai, nel capitolo sull'emissione di o.g., la stessa
formula del Landau, accettata fideisticamente :-<
Ora dovrei fare ammenda, correggere, ma non so come fare.
Per fortune questo errore non ha conseguenze per le o.g. vsto che
dipolo elettrico e dipolo magnetico non ci sono, e raramente cade in
difetto l'appross. ka<<1.
> Infatti, ma ho più di un dubbio perché non mi riesce di capire bene
> il significato dell'approssimazione di Jackson 16.93 16.95 e la
> conseguente espressione 16.97.
Prima di tutto, chiariamo la numerazione delle formule.
> conseguente espressione 16.97.
Io mi sto basando sulla traduzione italiana, e la teoria dei multipoli
sta nel cap. 9.
Tu parli di un cap. 16, che in quel libro non c'è.
> ... Cioè mi chiedo per l'appunto che fine
> fanno nella 16.97 i termini di approssimazione dovuti a componenti di
> Taylor di ordine superiore dovuti al dipolo. Se ho inteso quel che dici
> tu li devo considerare come contributi di dipolo di ordine più alto e
> Taylor di ordine superiore dovuti al dipolo. Se ho inteso quel che dici
> non andarli a mischiare con i termini di quadrupolo anche se hanno lo
> stesso ordine in beta.
Direi che è così. Come ho detto sopra sto facendo i conti dettagliati,
> stesso ordine in beta.
ma la stima dele potenze di beta dà proprio questo.
> A ritroso il dubbio è sulla equazione 16.92 che mi appare
> evidentemente non covariante. Cioè mi pare che gran parte della
> confusione derivi dalla necessità pratica di trattare con gli
> strumenti concettuali dello spazio euclideo un fenomeno che vive in
> spazio di Lorentz.
Questo non l'ho capito, prima di tutto perché non so quale sia la tua
> spazio di Lorentz.
formula 16.92.
Posso dire che Jackson a un certo punto fa notare che la potenza
irraggiata è invariante, ma penso tu abbia in mente qualcosa di
diverso.
Comunque grazie a tutti e due, e restate in attesa di notizie :-)
--
Elio Fabri
Tetis
Oct 22, 2012, 10:58:51 AM10/22/12
to
Il 08/10/2012, Tommaso Russo, Trieste ha detto :
multipolo (l,m) in termini del campo e come dipende dalle sorgenti non
è affatto scontato che tu pervenga ad una serie di Taylor delle
sorgenti, anzi... il problema mi pare sia proprio quello di spiegare
come dialoga lo sviluppo di Taylor delle sorgenti (della componente di
Fourier di una data frequenza, oppure viceversa la componente di
Fourier di una data frequenza dello sviluppo di Taylor, "domanda:
coincidono le due locuzioni?") con la componente multipolare del campo,
nel senso che quando definisci in generale uno sviluppo in multipoli il
centro rigoroso del discorso non sono le sorgenti ma la struttura dei
campi liberi che risolvono le equazioni, nel caso statico risolvi
equazioni di Laplace, ma nel caso dinamico ci sono altre equazioni (di
Helmoltz) una per ogni componente di frequenza di conseguenza la parte
radiale dei campi non è più la solita potenza di 1/r, ma è una funzione
che dipende anche da k=omega/c e quindi non è più immediato riconoscere
nel campo polinomi armonici di derivate di una funzione di Green che
solitamente tradurresti in momenti della distribuzione.
> Inviato il 6 settembre 2012, andato perso per un casino di cui raccontera'
> Mauro Venier, reinvio con PS.
>
> Il 05/09/2012 20:14, Elio Fabri ha scritto:
>
>> Quindi il campo radiativo di quadrupolo dipenderebbe dalla scelta
>> dell'origine, il che appare assurdo.
>
> Non mi sembra poi tanto assurdo. Pensa al caso piu' semplice possibile,
> carica singola ferma. Quando ne calcoli il campo in un punto R con lo
> sviluppo in multipoli, in sostanza calcoli una serie di Taylor *nel dintorno
> del caso* in cui la carica sarebbe all'origine.
Vero nel caso statico, ma se guardi come è definito il coefficiente di
> Mauro Venier, reinvio con PS.
>
> Il 05/09/2012 20:14, Elio Fabri ha scritto:
>
>> Quindi il campo radiativo di quadrupolo dipenderebbe dalla scelta
>> dell'origine, il che appare assurdo.
>
> Non mi sembra poi tanto assurdo. Pensa al caso piu' semplice possibile,
> carica singola ferma. Quando ne calcoli il campo in un punto R con lo
> sviluppo in multipoli, in sostanza calcoli una serie di Taylor *nel dintorno
> del caso* in cui la carica sarebbe all'origine.
multipolo (l,m) in termini del campo e come dipende dalle sorgenti non
è affatto scontato che tu pervenga ad una serie di Taylor delle
sorgenti, anzi... il problema mi pare sia proprio quello di spiegare
come dialoga lo sviluppo di Taylor delle sorgenti (della componente di
Fourier di una data frequenza, oppure viceversa la componente di
Fourier di una data frequenza dello sviluppo di Taylor, "domanda:
coincidono le due locuzioni?") con la componente multipolare del campo,
nel senso che quando definisci in generale uno sviluppo in multipoli il
centro rigoroso del discorso non sono le sorgenti ma la struttura dei
campi liberi che risolvono le equazioni, nel caso statico risolvi
equazioni di Laplace, ma nel caso dinamico ci sono altre equazioni (di
Helmoltz) una per ogni componente di frequenza di conseguenza la parte
radiale dei campi non è più la solita potenza di 1/r, ma è una funzione
che dipende anche da k=omega/c e quindi non è più immediato riconoscere
nel campo polinomi armonici di derivate di una funzione di Green che
solitamente tradurresti in momenti della distribuzione.
Tetis
Oct 22, 2012, 10:36:19 AM10/22/12
to
Elio Fabri ha pensato forte :
> Intanto io vado avanti coi conti, come spiego più sotto a Tetis :-)
Infatti, ma ho più di un dubbio perché non mi riesce di capire bene
>> il significato dell'approssimazione di Jackson 16.93 16.95 e la
>> conseguente espressione 16.97.
> Prima di tutto, chiariamo la numerazione delle formule.
> Io mi sto basando sulla traduzione italiana, e la teoria dei multipoli
> sta nel cap. 9.
> Tu parli di un cap. 16, che in quel libro non c'è.
Anch'io ho un'edizione italiana: 1988 ristampa 5 dell'edizione del
>> il significato dell'approssimazione di Jackson 16.93 16.95 e la
>> conseguente espressione 16.97.
> Prima di tutto, chiariamo la numerazione delle formule.
> Io mi sto basando sulla traduzione italiana, e la teoria dei multipoli
> sta nel cap. 9.
> Tu parli di un cap. 16, che in quel libro non c'è.
1984. So che in seguito ne sono uscite altre edizioni, rivedute in cui
viene utilizzato il sistema internazionale. Nell'edizione che ho io il
capitolo nove rigurarda i sistemi radianti semplici, diffusione e
diffrazione. In questo capitolo c'è una prima discussione che tocca i
momenti di quadrupolo elettrici ed il momento di dipolo magnetico ma
non va oltre. Il capitolo 16 è interamente dedicato ai campi di
multipolo.
Il campo di multipolo di ordine (l,m) elettrico e magnetico, viene
definito secondo il comportamento angolare della componente radiale,
che deve essere la funzione armonica Y_{lm}. La differenza rispetto al
caso statico è tutta a carico della funzione radiale che non è più
1/r^(l+1) bensì una funzione più complessa che risolve l'equazione di
Helmoltz.
Avendo solo Jackson come fonte sull'argomento non saprei dire se
esistono altre convenzioni nella definizione dei momenti di multipolo
poste magari in continuità con il caso statico senza introdurre fin da
subito l'equazione di Helmoltz.
Una possibile confusione deriva dal fatto che l'espressione dei
coefficienti di multipolo (l,m) del campo di multipolo non è in termini
della componente di Fourier exp(-i omega t) del momento di multipolo
(l,m) della distribuzione di carica se non nel limite di dimensioni
molto piccole rispetto alle lunghezze d'onda.
Ma per lunghezze d'onda comparabili con l'estensione delle sorgenti se
consideriamo il campo generato da una sorgente che ha il comportamento
della componente di Fourier di un momento di multipolo questo non
coincide più con la componente di Helmoltz j_l(kr), ma è solo una
parte.
Cioè direi che l'intuizione classica del caso statico porta
impropriamente a considerare spostare l'attenzione sulla struttura
delle sorgenti piuttosto che sulla struttura del campo generato, ma la
corrispondenza si ha solo nel limite kr_max << 1.
Se si porta correttamente l'attenzione sui campi non sono del tutto
certo, non avendo svolto con attenzione i calcoli che sia possibile
esprimere tutto in termini di momenti di multipolo statici delle
componenti di Fourier della distribuzione.
>> A ritroso il dubbio è sulla equazione 16.92 che mi appare
>> evidentemente non covariante. Cioè mi pare che gran parte della
>> confusione derivi dalla necessità pratica di trattare con gli
>> strumenti concettuali dello spazio euclideo un fenomeno che vive in
>> spazio di Lorentz.
> Questo non l'ho capito, prima di tutto perché non so quale sia la tua
> formula 16.92.
> Posso dire che Jackson a un certo punto fa notare che la potenza
> irraggiata è invariante, ma penso tu abbia in mente qualcosa di
> diverso.
relativistica per il caso di particella accelerata (nella mia edizione
questo Jackson lo fa vedere nel capitolo 14), ma naturalmente le
sezioni euclidee e le funzioni armoniche sferiche rispetto al centro
delle coordinate non sono invarianti quindi non è nemmeno detto che
cambiando sistema di riferimento le potenze associate ad un dato
multipolo rimangano invarianti.
marcofuics
Oct 23, 2012, 4:00:57 AM10/23/12
to
Il giorno luned� 8 ottobre 2012 20:17:10 UTC+2, Tetis ha scritto:
> Questo sviluppo in multipoli dinamici devo ammettere che non l'ho
> digerito completamente, mi manca la percezione di quali sono gli
> effetti di ritardo e quali sono gli effetti distribuzionali, ammesso
> abbia qualche senso separarli,
con le guide d'onda queste cose si percepiscono meglio che con un approccio secco
> Questo sviluppo in multipoli dinamici devo ammettere che non l'ho
> digerito completamente, mi manca la percezione di quali sono gli
> effetti di ritardo e quali sono gli effetti distribuzionali, ammesso
> abbia qualche senso separarli,
IL TRUCCO?
tutto sta a valutare i fenomeni di interferenza, confrontando quello che succede alle sorgenti con quello che ottieni man mano nello sviluppo in autofunzioni armoniche del campo.... con la furbizia di far variare a tuo vantaggio la sezione della guida d'onda.
Se ad esempio vedi tutti gli elementi della sorgente che emettono in fase perche' ti metti lontano non puoi conoscere la sotto-struttura della sorgente dalla stessa radiazione che misuri -->
se poi ti muovi (tipo + avanti o + indietro in prossimita' di una strozzatura) in maniera tale che quello che ti arriva non e' piu' esente da interferenza allora te ne viene piu' facile conoscere i dettagli della struttura del sorgente proprio perche' puoi analizzare l'interferenza della radiazione, in particolare vedrai che una cosa e' il vettore di poynting e un'altra cosa e' la distribuzione delle sorgenti.
In termini matematici
hai da un lato la forma dell'integrale di volume della sorgente (corrente) con il fattore exp(-ik _nv_) / c
in cui <<puoi>> sviluppare
dall'altro invece dove hai gia' sviluppato un campo em qualsiasi in armoniche sferiche e di li' risalire a ritroso per ritrovare le corrispondenze con la sorgente.... indubbiamente le cose si mischiano assai
non hai in sostanza una corrispondenza semplice unoauno
Tetis
Oct 23, 2012, 12:02:17 PM10/23/12
to
marcofuics ha pensato forte :
> una cosa e' il vettore di poynting e
> un'altra cosa e' la distribuzione delle sorgenti.
in effetti l'unica cosa che mi sembra chiara ￜ che un conto ￜ il campo
emesso da una distribuzione di carica e correnti con un certo momento
di multipolo (lm) ed un altro conto ￜ il coefficiente di multipolo (lm)
del campo. Le due cose sono quasi identiche solo se si considera una
distribuzione che si muove "lentamente" nel senso che la lunghezza
d'onda corrispondente ad un periodo cT >> r_max. Cioￜ, appunto se sono
trascurabili le interferenze fra le onde emesse dalle cariche nei
diversi momenti del moto.
Questo fa il paio con la circostanza che nella diffusione vediamo solo
il momento di multipolo, ovvero il sistema di scattering si comporta
come un punto di dato momento di multipolo, e non i dettagli della
struttura interna fin tanto che la lunghezza d'onda della radiazione
incidente non approssima le dimensioni del sistema. Per frequenze piￜ
alte e distribuzioni statiche occorre calcolare il cosiddetto fattore
di struttura, che tiene appunto conto dell'interferenza fra lo
scattering da parte di diversi punti della sorgente, nella
spettroscopia risolta nel tempo invece il fattore di struttura non
basta piￜ perchￜ ￜ essenziale considerare i dettagli del moto delle
sorgenti che non dipendono solo da k, ma anche esplicitamente dal
tempo.
> una cosa e' il vettore di poynting e
> un'altra cosa e' la distribuzione delle sorgenti.
emesso da una distribuzione di carica e correnti con un certo momento
di multipolo (lm) ed un altro conto ￜ il coefficiente di multipolo (lm)
del campo. Le due cose sono quasi identiche solo se si considera una
distribuzione che si muove "lentamente" nel senso che la lunghezza
d'onda corrispondente ad un periodo cT >> r_max. Cioￜ, appunto se sono
trascurabili le interferenze fra le onde emesse dalle cariche nei
diversi momenti del moto.
Questo fa il paio con la circostanza che nella diffusione vediamo solo
il momento di multipolo, ovvero il sistema di scattering si comporta
come un punto di dato momento di multipolo, e non i dettagli della
struttura interna fin tanto che la lunghezza d'onda della radiazione
incidente non approssima le dimensioni del sistema. Per frequenze piￜ
alte e distribuzioni statiche occorre calcolare il cosiddetto fattore
di struttura, che tiene appunto conto dell'interferenza fra lo
scattering da parte di diversi punti della sorgente, nella
spettroscopia risolta nel tempo invece il fattore di struttura non
basta piￜ perchￜ ￜ essenziale considerare i dettagli del moto delle
sorgenti che non dipendono solo da k, ma anche esplicitamente dal
tempo.
marcofuics
Oct 24, 2012, 5:55:24 AM10/24/12
to
Vado a memoria perche' questi calcoli (e precisamente per propagazioni in strutture e/o cavita') li avevo tirati giu' parecchi anni fa.
Avevo notato proprio quello che l'OP sta valutando
"sembra" che l'energia trasportata in prima istanza da una certa componente dello sviluppo non possa essere considerata slegata, cioe'
presa una guida d'onda o una cavita' mi veniva che se in alcuni punti l'energia diventava immaginaria allora stavo semplicemente tralasciando (nella considerazione energetica) le "componenti nascoste" dello sviluppo.
Questo fenomeno pero' era ciclico, e si verificava ogni volta che le dimensioni tipiche della struttura erano comparabili con l'oscillazione propria della componente. Questo nei modi TM TE TEM era piu' comodo da vedere mentre nei modi R Y piu' difficile, pero' il rovescio della medaglia e' che lo sviluppo R Y e' piu' facilmente ricollegabile alla distribuzione delle sorgenti J di quanto non sia lo sviluppo T
legendre vs laguerre
Avevo notato proprio quello che l'OP sta valutando
"sembra" che l'energia trasportata in prima istanza da una certa componente dello sviluppo non possa essere considerata slegata, cioe'
presa una guida d'onda o una cavita' mi veniva che se in alcuni punti l'energia diventava immaginaria allora stavo semplicemente tralasciando (nella considerazione energetica) le "componenti nascoste" dello sviluppo.
Questo fenomeno pero' era ciclico, e si verificava ogni volta che le dimensioni tipiche della struttura erano comparabili con l'oscillazione propria della componente. Questo nei modi TM TE TEM era piu' comodo da vedere mentre nei modi R Y piu' difficile, pero' il rovescio della medaglia e' che lo sviluppo R Y e' piu' facilmente ricollegabile alla distribuzione delle sorgenti J di quanto non sia lo sviluppo T
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