A proposito di Arnold e del suo libro di meccanica

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Giorgio Pastore

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Sep 16, 2022, 4:15:03 PMSep 16
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All'inizio del suo libro, Arnold enuncia il principio di relatività di
Galilei in questo modo (traduzione mia dall' inglese)":

"Esistono sistemi di coordinate (detti inerziali) dotati delle seguenti
due proprietà:
1. tutte le leggi di natura ad ogni istante del tempo sono le stesse in
tutti i sistemi di coordinate inerziali.
2. Tutti i sistemi di coordinate in moto rettilineo uniforme rispetto ad
un sistema inerziale sono loro stessi inerziali."

Come si collega questa definizione a qualsiasi altra definizione di
sistema inerziale?

C'è un esempio di legge di natura che non sia la stessa, istante per
istante, se al posto di un sistema inerziale (secondo qualsivoglia latra
definizione di siostema inerziale) prendiamo un sistema uniformemente
accelerato (rispetto a quello inerziale) ?

Giorgio

anth

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Sep 17, 2022, 5:50:03 PMSep 17
to
Giorgio Pastore <pas...@units.it> ha scritto:r
> All'inizio del suo libro, Arnold enuncia il principio di relatività di Galilei in questo modo (traduzione mia dall' inglese)":"Esistono sistemi di coordinate (detti inerziali) dotati delle seguenti due proprietà:1. tutte le leggi di natura ad ogni istante del tempo sono le stesse in tutti i sistemi di coordinate inerziali.2. Tutti i sistemi di coordinate in moto rettilineo uniforme rispetto ad un sistema inerziale sono loro stessi inerziali."Come si collega questa definizione a qualsiasi altra definizione di sistema inerziale?

Lo trovo un modo contorto. Una definizione dev'essere diretta e
non deve mischiarci postulati o principi e teoremi da cui
estrarla.
Io seguo questa: "Un sistema si dice inerziale se in esso è valida
la legge d'inerzia".

> C'è un esempio di legge di natura che non sia la stessa, istante per istante, se al posto di un sistema inerziale (secondo qualsivoglia latra definizione di siostema inerziale) prendiamo un sistema uniformemente accelerato (rispetto a quello inerziale) ?

Non credo di capire cosa chiedi, ti rispondo: "La prima legge di
Newton", ma tu certamente chiedi altro.



--
anth

danilob

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Sep 17, 2022, 6:40:03 PMSep 17
to
Ci provo, vediamo che succede ;-)
Se in un sistema di riferimento inerziale un oggetto è fermo, esso
rimane fermo nel tempo. Questo non è vero se il sistema è rotante, e
quindi accelerato. Se tieni in mano una pallina e poi la molli, quella
se ne va.


Giorgio Pastore

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Sep 18, 2022, 2:45:03 AMSep 18
to
Il 17/09/22 23:38, anth ha scritto:
>... Una definizione dev'essere diretta e
> non deve mischiarci postulati o principi e teoremi da cui
> estrarla.
> Io seguo questa: "Un sistema si dice inerziale se in esso è valida
> la legge d'inerzia".

En passant noto che Arnold introduce la def di sistema inerziale prima
di qualsiasi discorso sui principi della dinamica.

Ma il mio punto non è quale definizione alternativa scegliere ma come
collegarla a quella di Arnold. P.es. una "legge di natura" secondo
Newton è che posso sempre scrivere

a=F/m (1)

con F = F_int + F_rif (2)

dove F_int è la forza dovuta ad altri corpi (le forze "vere" della
meccanica Newtoniana), e F_rif sono le pseudo-forze (forze apparenti)
dovute a certe scelte del sistema di riferimento.

Se chiamo "sistema inerziale" un sistema di rif che stia accelerando
"rispetto alle stelle fisse" in modo uniforme le equazioni/leggi (1) e
(2) valgono in quel sistema di riferimento (SdR) con certe espressioni
di F_int e F_rif ma anche in tutti i riferimenti che traslano di moto
rettilineo uniforme ripetto al SdR iniziale. Quindi, se non ho preso un
abbaglio, avremmo una classe di SdR che rientra nella definizione di
Arnold per i sistemi inerziali che, per costruzione non corrisponde alla
definizione usuale.

O no?

>> C'è un esempio di legge di natura che non sia la stessa, istante per istante, se al posto di un sistema inerziale (secondo qualsivoglia latra definizione di siostema inerziale) prendiamo un sistema uniformemente accelerato (rispetto a quello inerziale) ?
>
> Non credo di capire cosa chiedi, ti rispondo: "La prima legge di
> Newton", ma tu certamente chiedi altro.

Spero di averlo chiarito con quanto sopra.

Giorgio


El Filibustero

unread,
Sep 18, 2022, 9:10:03 AMSep 18
to
On Sun, 18 Sep 2022 08:34:13 +0200, Giorgio Pastore wrote:

>Ma il mio punto non è quale definizione alternativa scegliere ma come
>collegarla a quella di Arnold. P.es. una "legge di natura" secondo
>Newton è che posso sempre scrivere
>
>a=F/m (1)
>
>con F = F_int + F_rif (2)
>
>dove F_int è la forza dovuta ad altri corpi (le forze "vere" della
>meccanica Newtoniana), e F_rif sono le pseudo-forze (forze apparenti)
>dovute a certe scelte del sistema di riferimento.
>
>Se chiamo "sistema inerziale" un sistema di rif che stia accelerando
>"rispetto alle stelle fisse" in modo uniforme le equazioni/leggi (1) e
>(2) valgono in quel sistema di riferimento (SdR) con certe espressioni
>di F_int e F_rif ma anche in tutti i riferimenti che traslano di moto
>rettilineo uniforme ripetto al SdR iniziale. Quindi, se non ho preso un
>abbaglio, avremmo una classe di SdR che rientra nella definizione di
>Arnold per i sistemi inerziali che, per costruzione non corrisponde alla
>definizione usuale.

Se ho ben capito, e' vero la (2) varrebbe anche in tutti i riferimenti
che traslano di mru rispetto al SdR iniziale, ma non avrebbero la
stessa F_rif che c'e' nel SdR iniziale mentre F_int e' la stessa,
quindi la (2) non sarebbe invariante da un SdR a un altro traslante di
mru. Invece nella definizione usuale, F_rif e' nulla indipendentemente
dal SdR inerziale. Ciao

Giorgio Bibbiani

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Sep 18, 2022, 9:20:03 AMSep 18
to
Il 18/09/2022 08:34, Giorgio Pastore ha scritto:

> ... P.es. una "legge di natura" secondo Newton
> è che posso sempre scrivere
>
> a=F/m (1)
>
> con F = F_int + F_rif  (2)
>
> dove F_int è la forza dovuta ad altri corpi (le forze "vere" della meccanica Newtoniana), e F_rif sono le pseudo-forze (forze apparenti) dovute
> a certe scelte del sistema di riferimento.
>
> Se chiamo "sistema inerziale" un sistema di rif che stia accelerando "rispetto alle stelle fisse" in modo uniforme  le equazioni/leggi (1) e (2)
> valgono in quel sistema di riferimento (SdR) con certe espressioni di F_int e F_rif ma anche in tutti i riferimenti che traslano di moto
> rettilineo uniforme ripetto al SdR iniziale. Quindi, se non ho preso un abbaglio, avremmo una classe di SdR che rientra nella definizione di
> Arnold per i sistemi inerziali che, per costruzione non corrisponde alla definizione usuale.
>
> O no?

Sempre rimanendo nel contesto della meccanica classica,
mi sembra che a rigore il tuo ragionamento non faccia una grinza.

Secondo me il punto è che le "leggi di natura" vadano intese
come le leggi espresse nella loro forma più semplice, di fatto
rappresentate relativamente a un riferimento inerziale,
ad es. se voglio descrivere la legge del moto di un p.m.
soggetto a forza elastica la scriverò con ovvia notazione
(3) a = - k/m x
piuttosto che
(4) a = - k/m x - a_0
con a_0 accelerazione supposta costante del dato riferimento
rispetto a uno inerziale, e dirò che (3) rappresenta una
legge di natura, (4) l'applicazione della (3) in un dato
riferimento non inerziale.

Insomma, penserei che l'affermazione di Arnold andasse intesa per
quella particolare implicita scelta del significato dell'espressione
"leggi di natura", se no potremmo avere una legge di natura per cui
un p.m. libero percorrerebbe traiettorie paraboliche ecc. ecc.;-),
ma, ripeto, concordo con quanto scrivi e di conseguenza sul fatto
che l'Autore si sarebbe potuto esprimere meglio...

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

Giorgio Pastore

unread,
Sep 18, 2022, 9:20:03 AMSep 18
to
Il 18/09/22 15:01, El Filibustero ha scritto:
> On Sun, 18 Sep 2022 08:34:13 +0200, Giorgio Pastore wrote:
>
>> Ma il mio punto non è quale definizione alternativa scegliere ma come
>> collegarla a quella di Arnold. P.es. una "legge di natura" secondo
>> Newton è che posso sempre scrivere
>>
>> a=F/m (1)
>>
>> con F = F_int + F_rif (2)
>>
>> dove F_int è la forza dovuta ad altri corpi (le forze "vere" della
>> meccanica Newtoniana), e F_rif sono le pseudo-forze (forze apparenti)
>> dovute a certe scelte del sistema di riferimento.
>>
>> Se chiamo "sistema inerziale" un sistema di rif che stia accelerando
>> "rispetto alle stelle fisse" in modo uniforme le equazioni/leggi (1) e
>> (2) valgono in quel sistema di riferimento (SdR) con certe espressioni
>> di F_int e F_rif ma anche in tutti i riferimenti che traslano di moto
>> rettilineo uniforme ripetto al SdR iniziale. Quindi, se non ho preso un
>> abbaglio, avremmo una classe di SdR che rientra nella definizione di
>> Arnold per i sistemi inerziali che, per costruzione non corrisponde alla
>> definizione usuale.
>
> Se ho ben capito, e' vero la (2) varrebbe anche in tutti i riferimenti
> che traslano di mru rispetto al SdR iniziale, ma non avrebbero la
> stessa F_rif che c'e' nel SdR iniziale mentre F_int e' la stessa,
...

F_rif vale -m a_rif

dove a_rif è l'accelerazione del SDR non-inerziale rispetto ad uno
inerziale. Le accelerazioni non sono toccate da trasformazioni di
velocità corrispondenti a velocità costanti. Quindi anche F_rif resta la
stessa in tutto i sistemi che traslano uniformemente rispetto al primo SdR.

Giorgio

Giorgio Pastore

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Sep 18, 2022, 9:50:03 AMSep 18
to
Il 18/09/22 15:14, Giorgio Bibbiani ha scritto:
....
> Secondo me il punto è che le "leggi di natura" vadano intese
> come le leggi espresse nella loro forma più semplice,

Questo potrebbe essere un modo per chiarire la definizione, anche se poi
andrebbe spiegato cosa significa "più semplice". Resta il fatto che A.
propone una definizione senza dare ulteriori spiegazioni.

> di fatto
> rappresentate relativamente a un riferimento inerziale,

Ehm, preferirei non nominare il SdR inerziale nella definizione dello
stesso (anche una definzione ricorsiva necessita dell'"uscita dalla
ricorsione").

> ad es. se voglio descrivere la legge del moto di un p.m.
> soggetto a forza elastica la scriverò con ovvia notazione
> (3)  a = - k/m x
> piuttosto che
> (4)  a = - k/m x - a_0
> con a_0 accelerazione supposta costante del dato riferimento
> rispetto a uno inerziale, e dirò che (3) rappresenta una
> legge di natura, (4) l'applicazione della (3) in un dato
> riferimento non inerziale.

Sì, certo, ci si può muovere in questa direzione. Però io preferirei una
formulazione che dica esplicitamente da subito (prima di entrare nella
formulazione dei principi) cosa è e cosa non è un SdR inerziale.

La migliore soluzione che ho è di definire un SdR inerziale come quello
(poi si scopre che è una classe) in cui l'accelerazione di qualsiasi
corpo isolato è nulla. Quindi, alla Landau, un SdR inerziale è un
riferimento in cui il mondo appare omogeneo e isotropo per qualsiasi
particella isolata. Anche se corpi solati a rigore non esistono, la
definizione permette di considerare approssimazioni sempre migliori di
SdR inerziali (esattamente come succede in pratica).

Giorgio P.

El Filibustero

unread,
Sep 18, 2022, 1:10:03 PMSep 18
to
On Sun, 18 Sep 2022 15:17:38 +0200, Giorgio Pastore wrote:

>F_rif vale -m a_rif
>
>dove a_rif è l'accelerazione del SDR non-inerziale rispetto ad uno
>inerziale. Le accelerazioni non sono toccate da trasformazioni di
>velocità corrispondenti a velocità costanti. Quindi anche F_rif resta la
>stessa in tutto i sistemi che traslano uniformemente rispetto al primo SdR.

Avevo interpretato in questo modo: in un'automobile, il sedile
(anteriore) del passeggero e' un SdR traslante di mru rispetto al SdR
dell'autista: per la precisione, traslante a velocita' 0. Ma se
l'autista gira a sinistra, la forza centrifuga per il passeggero e'
maggiore di quella dell'autista. Ciao

anth

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Sep 21, 2022, 7:05:03 AM (12 days ago) Sep 21
to
Giorgio Pastore <pas...@units.it> ha scritto:
...............
> Quindi, se non ho preso un abbaglio, avremmo una classe di SdR che rientra nella definizione di Arnold per i sistemi inerziali che, per costruzione non corrisponde alla definizione usuale.O no?

T'avevo già risposto avant'ieri, ma vedo che il mio post è andato
perduto. Se ancora può interessarti, dicevo questo:
"Guardando più attentamente quel che ieri riportavi dell'Arnold,
vedo che non definisce i sistemi inerziali, enuncia il principio
di relatività galileiano.
Per i sistemi inerziali postula en passant solo la loro esistenza".

--
anth

Giorgio Pastore

unread,
Sep 21, 2022, 6:05:03 PM (12 days ago) Sep 21
to
Il 21/09/22 11:44, anth ha scritto:
...
> T'avevo già risposto avant'ieri, ma vedo che il mio post è andato
> perduto. Se ancora può interessarti, dicevo questo:
> "Guardando più attentamente quel che ieri riportavi dell'Arnold,
> vedo che non definisce i sistemi inerziali, enuncia il principio
> di relatività galileiano.
> Per i sistemi inerziali postula en passant solo la loro esistenza".
>

Beh, nel momoento in cui ne dà due proprietà, li sta
cratterizzando/definendo. La versione in cui si postula l'esistenza di
almeno un sistema inerziale esiste, ma non mi sembra direttamente il
punto di vista di Arnold.

Giorgio
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