Misura di LEBESGUE,sigma algebra di BOREL

[Andrea Di Biase]

Sono un aspirante ingegnere di Roma3 alle prese con Teoria dei Segnali:
Cos'è una misura di Lebesgue?, ed una s.-algebra di Borel?
Perchè le introduco un probabilità?
grazie

[gi@der]

Nel fatidico <13 Apr 1999 09:36:16 +0200>, l'incauto <Andrea Di Biase>
con il messaggio <Misura di LEBESGUE,sigma algebra di BOREL> aumento`
consapevolmente l'entropia del sistema <it.scienza.fisica>:

Brevemente (molto brevemente :-).
Uno degli approcci allo studio del Calcolo delle Probabilita` consiste
nel cosiddetto *approccio assiomatico* proposto da Kolmogorov mediante
il quale la teoria della probabilita` viene strettamente connessa alla
teoria metrica e alla teoria degli insiemi.

> Cos'è una misura di Lebesgue?, ed una s.-algebra di Borel?

Una sigma-algebra su un insieme A e` un sottoinsieme F dell'insieme
delle parti di A che verifica le seguenti proprieta`:
1) l'intero A appartiene ad F;
2) se un B \in A appartiene ad F allora vi appartiene anche
il suo complementare C(B);
3) l'unione di una qualsiasi famiglia di suoi elementi (parti
di A che appartengono ad F) vi appartiene a sua volta.

Si puo` provare che l'intersezione di un'arbitraria famiglia di sigma-
algebre su A e`, a sua volta, una sigma-algebra su A.

Detto cio`, se G e` un arbitrario sottoinsieme non vuoto di parti di A
non e` detto che sia una sigma-algebra su A, pero` si puo' pensare
alla *piu` piccola per inclusione sigma-algebra su A contenente G*.
Questa sigma-algebra prende il nome di *sigma-algebra generata da G*.

Se (X,T) e` uno spazio topologico, la *sigma-algebra di Borel su X*
e` la sigma-algebra generata dalla topologia T (quindi dagli aperti).

Per quanto riguarda la *misura di Lebesgue*, questa puo` essere vista
come un'estensione a tutti gli aperti dello spazio in cui si opera del
concetto di misura di Riemann.
Quindi con questa misura si riescono a misurare anche degli insiemi
che non lo sono secondo Riemann.

> Perchè le introduco un probabilità?

In questo modo calcolare la probabilita` del realizzarsi di un certo
*evento* viene ricondotto al calcolo della misura di un determinato
*insieme*. E` necessario per poter operare in questo modo introdurre,
preliminarmente i concetti di teoria della misura.

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Hope this help, otherwise >/dev/null

gi@der [< was it a cat I saw >] (L. Carroll)

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E-mail: gia...@eostel.it {Giacomo Delre}
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[Raistlin]

Ciao,

> Cos'è una misura di Lebesgue?

E' l'unica domanda di cui ho una risposta certa.
In Analisi I avrai studiato la misura di Peano-Jordan, per introdurre lo
studio degli integrali.
La misura di Lebesgue è una sua evoluzione, che rende misurabili anche
insiemi (o integrali) che prima non lo erano.
Ad esempio prendiamo l'integrale di Dirichlet:
si prenda la funzione che vale 1 per un numero Reale NON razionale e 0
per i numeri razionali sull'intervallo [0,1]; per la misura di Peano
l'integrale di questa funzione non è determinato, mentre per la misura
di Lebesgue l'integrale esiste e vale 1, dal momento che l'insieme dei
valori per cui la funzione vale 0 ha misura nulla su R.
Per saperne di più ti consiglio
Giusti, Analisi II, Torino, Bollati Boringhieri, 19??

Ciao
Raist

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Alessio Seganti
Lugo di Romagna (RA)
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Università di Salerno

[Alex ORLANDI]

Andrea Di Biase wrote:
>
> Sono un aspirante ingegnere di Roma3 alle prese con Teoria dei Segnali:

> Cos'h una misura di Lebesgue?, ed una s.-algebra di Borel?
> Perchh le introduco un probabilit`?
> grazie

Mi limito a consigliare per evitare inutili ed incomprensibili
lungaggini:

Elementi di analisi funzionale (il titolo mi pare sia questo) di
Kolmogorov e Fomin Ed. MIR (troverai una trattazione dettaggliata ed
esauriente dell'argomento).

Ciao.
--
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Alex ORLANDI
e-mail: orl...@edu.ph.unito.it
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e-mail: a.or...@usa.net
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