forza complementare
Luca
1)Per lo studio dell' equilibrio di un sistema soggetto a sollecitazione non
conservativa data dall' azione della forza di Coriolìs si procede valutando
ovviamente le forze a velocità nulla, quindi quando si cerca il potenziale
per derivarlo
non si tiene conto dell' eventuale forza di Coriolìs presente e si procede
derivando o facendo l'hessiano) quindi come se la sollecitazione fosse
conservativa, giusto?
2)Nel caso la forza di Coriolìs faccia lavoro nullo ma sia presente nel
sistema, come è possibile che le componenti lagrangiane Q_h di tale forza
possano essere diverse da zero? Infatti, la definizione di tali componenti
porta (se i vincoli sono indipendenti dal tempo) alla formula
dL = Q_h *dq_h (dove ho tutte quantità scalari (quindi * è il prodotto
usuale tra numeri reali) e dL è il lavoro effettivo mentre dq_h è il
differenziale dell'h-esima coordinata lagrangiana).
Per cui annullandosi il dL relativo alla forza di coriolìs dovrebbe
annullarsi anche la Q_h ma invece ho il dubbio che esistano casi(non saprei
farvi neppure un esempio) in cui le componenti lagrangiane esistono anche se
il lavoro della Forza di Coriolìs è nulla.Io penso che questi casi siano
solo quando i vincoli dipendano dal tempo, ma non ne sono sicuro.Voi che ne
pensate?
In quali casi posso invece affermare con sicurezza che le componenti
lagrangiane di tale forza sono nulle?
Per esempio nel caso di un sistema vincolato a stare sul piano xz, (x
orrizzontale e z verticale), dove supponiamo di avere
un punto vincolato appunto a muoversi su questo piano, e tale piano ruoti
costantemente attorno a z, si ha che le Q_h
della forza complementare sono nulle.Perchè? Perchè il lavoro 'di coriolìs'
è nullo?
Grazie a chi può rispondermi e scusatemi il disordine del mio ragionamento
scritto sopra.
Ciao
Luca.
Valter Moretti
L> Alcune domande su questo argomento:
L> 1)Per lo studio dell' equilibrio di un sistema soggetto a
L> sollecitazione non
L> conservativa data dall' azione della forza di Coriolìs si
L> procede valutando
L> ovviamente le forze a velocità nulla, quindi quando si cerca L> il
potenziale per derivarlo non si tiene conto dell'
L> derivando o facendo l'hessiano) quindi come se la
L> sollecitazione fosse
L> conservativa, giusto?
Ciao, se e` tutto indipendente dal tempo e se ti interessano
solo *quali siano* le configurazioni di equilibrio la risposta
e` si (anche se non ho capito bene la domanda). La discussione della
stabilita`dell'equilibrio mi pare piu` complicata...
e ci dovrei pensare un po' (l`hessiana entra in quest'ultimo discorso):
bisogna tirare fuori i teoremi di Liapunov perche`
il teorema di Dirichelet e` apparentemente inapplicabile essendoci forze
dipendenti dalla velocita'.
L> 2)Nel caso la forza di Coriolìs faccia lavoro nullo ma sia
L> presente nel sistema,
La forza di Coriolis fa *sempre* lavoro nullo essendo perpendicolare
alla velocita`.
L> come è possibile che le componenti lagrangiane Q_h di tale
L>forza possano essere diverse da zero? Infatti, la definizione L>di
tali componenti porta (se i vincoli sono indipendenti dal L>tempo) alla
formula dL = Q_h *dq_h (dove ho tutte quantità
L> scalari (quindi * è il prodotto
L>usuale tra numeri reali) e dL è il lavoro effettivo mentre L>dq_h è il
L> differenziale dell'h-esima coordinata lagrangiana).
L> Per cui annullandosi il dL relativo alla forza di coriolìs
L> dovrebbe
L> annullarsi anche la Q_h ma invece ho il dubbio che esistano L>
casi(non saprei
L> farvi neppure un esempio) in cui le componenti lagrangiane L>sistono
anche se
L> il lavoro della Forza di Coriolìs è nulla.Io penso che questi L>casi
siano
L> solo quando i vincoli dipendano dal tempo, ma non ne sono
L>sicuro.Voi che ne
L> pensate?
L> In quali casi posso invece affermare con sicurezza che le
L>componenti
L> lagrangiane di tale forza sono nulle?
(taglio)
Hai fatto un bel po` di casino :-).
Allora se prendi un punto soggetto alla forza tipo
quella di Coriolis o quella magnetica di Lorentz,
F = H x v
dove H e` un vettore che dipende dal tempo e dal posto
e` chiaro che il lavoro e` nullo banalmente.
Le componenti lagrangiane invece NON lo sono in generale.
Vale infatti (dove @/@q^j e` il simbolo di derivata parziale
rispetto a q^j)
Q_k = (H X v) . @x/@q^k
(il puntino indica il prodotto scalare e X quello vettoriale)
ossia, con la somma sugli indici ripetuti (j) sottointesa,
e indicando con q' il "q punto"
Q_k = (H X @x/@q^j) . @x/@q^k q'^j
Allora vedi che, a meno che la coordinata lagrangiana
NON sia una sola (= punto vincolato ad una curva)
Q_k risulta essere *diverso da 0*.
Infine
dL = Q_k dq^k = (H X @x/@q^j) . @x/@q^k q'^j dq^k (1)
questo e` nullo solo quando interpreti dq^k come
q'^k dt dove ogni q'^k e` proprio (a parte un fattore numerico
indipendente da k) lo stesso q'^j con j=k, che compare
a secondo membro in (1), altrimento no dL non e` nullo
(e non e` il lavoro reale compiuto in dt).
Quindi l`annullarsi del lavoro (cosa che avviene sui
moti del sistema) non implica l'annullarsi di quel dL
di sopra (che potremmo pensare come lavoro virtuale se la
sollecitazione fosse una reazione vincolare). Il problema e` tutto nel
fatto che la Q stesse dipendono dalle q'
(ovvero dalle dq^k).
Se non fosse cosi'la cosa sarebbe invece come dici tu.
Perche` se vale:
(somma su k) Q_k dq^k = 0 per tutti i dq^k,
se i Q_k NON dipendono dalle dq^k, si ha subito che
che Q_k = 0 per ogni k (lo sai provare?).
Ciao, Valter
Elio Fabri
> e` si (anche se non ho capito bene la domanda). La discussione della
> stabilita`dell'equilibrio mi pare piu` complicata...
:(
Pero' posso mostrare con un famoso esempio quanto possa essere
controintuitiva la stabilita' dell'equilibrio in presenza di forza di
Coriolis.
L'esempio e' il classico problema ristretto dei tre corpi.
Per beneficio di chi non lo conosce: abbiamo due corpi M1, M2
(puntiformi) che si attraggono gravitaz. e si muovono di moto circ.
uniforme attorno al comune centro di massa.
Un terzo corpo, di massa molto minore dei primari, e' soggetto alla loro
attrazione, mentre non li perturba in modo apprezzabile.
Il problema e' il moto del terzo corpo.
Ci si mette nel sistema di riferimento che ruota coi due primari. Allora
il terzo corpo sente anche una forza centrifuga e una f. di Coriolis.
L'insieme delle forze grav. dei primari e della f. centrifuga e'
conservativo, e si puo' scrivere l'en. potenziale. Si dimostra
facilmente che esistono 5 punti di equilibrio (punti di Lagrange): tre
si trovano sulla retta M1M2, mentre gli altri due, detti L4 e L5, sono
ai vertici dei due triangoli equilateri di base M1M2 (nel piano perp.
alla vel. angolare dei primari).
Si dimostra anche che in L4 e L5 l'en. potenziale di cui sopra *ha un
massimo*; ciononostante, se il rapporto delle masse M1 e M2 e'
abbastanza grande (non ricordo a memoria il valore critico) quei punti
sono stabili (nel senso di Liapunov, credo).
Intuitivamente, e' la forza di Coriolis che stabilizza l'equilibrio.
Infatti appena il terzo corpo comincia ad allontanarsi da L4 e acquista
velocita', la f. di C. incurva la traiettoria e lo riporta vicino a L4.
Lo stesso per L5.
Incidentalmente: gli altri 3 punti di Lagrange sono sempre instabili.
--
Elio Fabri
Dip. di Fisica "Enrico Fermi" - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica
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Valter Moretti
>
> Valter Moretti ha scritto:
> > e` si (anche se non ho capito bene la domanda). La discussione della
> > stabilita`dell'equilibrio mi pare piu` complicata...
> Infatti io non la saprei fare, e non conosco neppure i teoremi che citi
> :(
> Pero' posso mostrare con un famoso esempio quanto possa essere
> controintuitiva la stabilita' dell'equilibrio in presenza di forza di
> Coriolis.
Ciao, c`e` un altro esempio, piu` matematico,
dove si vede che le forze "girostatiche" danno luogo a
stranezze, pero' ora quando si accoppino a forze dissipative.
Mi pare che sia cosi`. Prendi un potenziale repulsivo
radiale in 2D con forza data in modulo da kr dove k>0 e
r e` la distanza dal centro della forza. Poi mettici anche
attrito viscoso: una forza F=-gV, g>0, e infine una
forza girostatica F'= H X V.
Se g=0 il punto di equilibrio diventa stabile se |H|
e` abbastanza grande: accade che tutte le orbite
diventano limitate e si ha stabilita`.
Questo e` strano ma non tantissimo.
La stranezza maggiore e` che se ora aggiungi le forza
viscosa, con g>0 ma piccolo a piacere, la stabilita`
diventa instabilita`. Non ho tempo di fare i calcoli, ma
mi pare che le cose stiano come ho detto.
Rispondo anche a Luca.
Riguardo allo studio della stabilita` dell'equilibrio,
usando il teorema di Lipunov, si arriva al seguente
risultato che dovrebbe rispondere alla domanda dello
studio della stabilita` dell'equilibrio in sistemi non
inerziali.
Se abbiamo un sistema fisico con vincoli ideali indipendenti
dal tempo e con sollecitazioni descritte da un potenziale
generalizzato *indipendente dal tempo*
U(q,q') = U_0(q) + U_1(q,q')
dove U_1 e` lineare in q' (come deve essere), allora, se
q_0 e` configurazione di equilibrio (che equivale
nelle nostre ipotesi a gradU_0(q_0)=0), allora l`equilibrio
e` stabile SE q_0 e` un punto di massimo stretto di U_0.
(La condizione e` solo sufficiente ed anche NON e` piu` detto
che se invece la matrice Hessiana di U_0 in q_0 e` definita
positiva allora l'equilibrio e` instabile, perche` la
stabilita` potrebbe essere ripristinata dalle forze dovute
a U_1 che sono proprio girostatiche, cioe` tipo Coriolis.)
La dimostrazione e` istantanea applicando il teorema di
Liapunov nel caso piu` elementare : l'`hamiltoniana risulta
essere una funzione di Liapunov. (Notare infatti
che facendo i conti H= T - U_0 e quindi non contiene U_1,
e T e` gia` definita positiva per i fatti suoi...)
Lavoriamo con un sistema fisico soggetto a vincoli ideali
indipendenti dal tempo in un sistema *non* inerziale
che pero` ruota a omega COSTANTE rispetto ad un sistema
inerziale. Usando coordinate "ferme" rispetto
al riferimento non inerziale, assumiamo che le forze vere
siano conservative e non dipendano dal tempo (usando le
coordinate del rif non inerziale!).
Sotto queste ipotesi si dimostra che la sollecitazione totale
attiva (reale e apparente) nel rif. non inerziale e`
descritta dallo schema di potenziale generalizzato detto
sopra in funzione delle coordinate ferme nel rif non inerziale.
In particolare
1) il termine U_1 e` quello che descrive la
forza di Coriolis;
2) U_0 tiene conto sia delle forze conservative che di un
termine legato alla forza centrifuga;
3) U_0 = U - T_0
dove U e` il potenziale delle forze
vere e T_0 la parte "T_0" dell'energia cinetica
relativa al riferimento *inerziale*.
In definitiva per sapere se una configurazione di equilibrio
q_0 (che quindi annulla il gradiente di U_0) e` di
equilibrio stabile bisogna vedere se q_0 e` un punto di
massimo stretto di U_0 = U-T_0. Se non lo e`, per questa
via non si puo` dire niente riguardo alla stabilita' o
instabilita`.
Ciao, Valter
Valter Moretti
>
> e infine una
> forza girostatica F'= H X V.
Dimenticavo di dire che H e` normale al piano considerato
che contiene la velocita` del punto V...
Ciao, Valter