Analisi dimensionale
luca
dove c'era una domanda sul raggio di Bohr e relativa risposta :
Ho letto su un libro divulgativo che per trovare il valore del raggio
dell’elettrone intorno al nucleo (o raggio di Bohr), si usa la
seguente formula:
r = (h/2π)2
------------
(me2)n2
dove :
h/2π dovrebbe essere h tagliata di valore 1,055....
m = massa dell’elettrone di valore 9,11.....
e = carica dell’elettrone 8,199....
n = numero quantico che può essere 1,2,3,4,5,6,7 (per semplicità si
può assumere il valore 1)
Il risultato di questa formula dovrebbe essere un raggio di 53
Angstrom. Ora io per curiosità ho provato a fare il calcolo, ma o
commetto un errore matematico oppure i valori che uso non sono esatti,
perché quel valore di 53 non mi viene......Mi potreste aiutare ?
(Antonella Capuano) (2061)
Innanzi tutto ci complimentiamo con la nostra web-nauta per aver
voluto controllare il valore del calcolo, purtroppo la formula che ha
trovato sul suo libro di divulgazione (ma quale?) non è corretta.
Esiste un metodo per controllare le formule, anche le più complicate,
senza entrare nel merito dei conti. Tale metodo si chiama "analisi
dimensionale". In pratica si controllano solo le dimensioni (metri,
secondi, grammi, etc...) delle variabili coinvolte. Facciamo un
semplice esempio: volendo scrivere una formula per misurare la
velocità di un’automobile ci aspettiamo che il risultato sia espresso
in chilometri orari. Di conseguenza la formula “dovrà “ essere
espressa come un rapporto di un lunghezza diviso per il tempo.
Per quanto riguarda la formula relativa al "raggio di Bohr ", ci si
aspetta, dimensionalmente, una lunghezza. La formula riporta dal
nostro web-nauta non è dimensionalmente corretta. Manca quindi
qualcosa. La formula esatta prevede infatti una costante dimensionale
ko che risolve il nostro problema.
h(tagliata)^2
r = ------------------------ = 0.59 x 10^-10 metri
mKo e^2
dove:
h è la costante di Planck-tagliata = 1.055 × 10^-34 [Joule x secondi]
m: è la massa dell'elettrone = 9.109 × 10^-31 [chilogrammi]
ko: è la costante di Coulomb = 8.988 × 10^9 [Joule x metri /
Coulomb^2] (meglio conosciuta come dove ε è la costante dielettrica)
e: è la carica dell'elettrone = 1.602× 10^-19 [Coulomb]
Dall'analisi dimensionale viene ora fuori che:
Joule^2 x secondi^2
metri = ----------------------------------------------------
Joule x metri
chilogrammi x ----------------------- x Coulomb^2
Coulomb^2
considerando che, dimensionalmente,
Joule x secondi^2
chilogrammi = --------------------------------- (1)
metri^2
tutto torna come volevamo!
Ora se possibile vorrei chiarirmi quest'ultimo punto (1)
Joule x secondi^2
chilogrammi =----------------------------- ????????????????
metri^2
Luca
cometa_luminosa
[...]
> Ora se possibile vorrei chiarirmi quest'ultimo punto (1)
>
> Joule x secondi^2
> chilogrammi =----------------------------- ????????????????
> metri^2
Di solito e' il Joule che si definisce per mezzo di chilogrammi metri
e secondi :-)
Comunque e' corretto:
Forza = massa per accelerazione => N = kg * m * s^(-2)
Energia = Forza per spostamento => J = kg * m^2 * s^(-2)
da cui kg = J * s^2 *m^(-2).
--
cometa_luminosa
Tetis
> Girovagando in internet ho trovato un sito (Scienzapertutti),
> dove c'era una domanda sul raggio di Bohr e relativa risposta :
>
> Ho letto su un libro divulgativo che per trovare il valore del raggio
> dell’elettrone intorno al nucleo (o raggio di Bohr), si usa la
> seguente formula:
> r = (h/2π)2
> ------------
> (me2)n2
Mah? In unità gaussiane sarebbe:
a = \hbar^2/(me^2)
da dove è spuntato n^2 a denominatore? Tutt'al più si potrebbe
concedere n a numeratore per indicare il "raggio" delle orbite
successive del modello di Bohr. In unità gaussiane (elettrostatiche)
risulta:
h = 6,63 e-27 erg s
m = 9.1 e^(-28) g
e = 4,8 e -10 statC
da cui correttamente:
a_0 = 5.3 e^(-9) cm = 0.53 e^(-10) m = 0.53 A° (il circoletto di
Angstrom si scrive proprio sulla A, non ad apice come ho scritto per
pigrizia tipografica)
> dove :
> h/2π dovrebbe essere h tagliata di valore 1,055...
somiglia al valore di \hbar in S.I. se fossero indicate anche le unità
e l'esponente caratteristico.
.
> m = massa dell’elettrone di valore 9,11.....
questa può essere la massa dell'elettrone in ambo i sistemi di unità
sia S.I. che c.g.s. elettrostatico, tutto dipende da come continua.
> e = carica dell’elettrone 8,199....
Mi arrendo questa non la so.... così inizia l'energia dell'elettrone
scritta in Joule.
Che razza di guazzabuglio !!!
> n = numero quantico che può essere 1,2,3,4,5,6,7 (per semplicità si
> può assumere il valore 1)
> Il risultato di questa formula dovrebbe essere un raggio di 53
> Angstrom. Ora io per curiosità ho provato a fare il calcolo, ma o
> commetto un errore matematico oppure i valori che uso non sono esatti,
> perché quel valore di 53 non mi viene.....
e te credo.
k0 mi è nota fin dalle scuole medie come la forza che si esercita fra
due cariche di 1 Coulomb poste alla distanza di 1 m e si calcola nel
sistema internazionale da 1/(4 \pi \epsilon_0) che è il fattore che
entra nella formula di Coulomb come conseguenza della
razionalizzazione dell'equazione di Gauss che in S.I. si esprime:
div(D) = \rho
D = \epsilon_0 D
in modo che non compaiono unità irrazionali tanto in queste equazioni
quanto nelle formule per le capacità di molte configurazioni
elementari che in sistema gaussiano sono invece più complicate. Il
sistema internazionale è sostanzialmente un sistema di unità tecnico
ed infatti per lunghissimo tempo la comunità scientifica ha continuato
per inerzia a continuare il sistema gaussiano che ha formule più
semplici per la gran parte dei fenomeni primi.
> (meglio conosciuta come dove ε è la costante dielettrica)
> e: è la carica dell'elettrone = 1.602× 10^-19 [Coulomb]
>
> Dall'analisi dimensionale viene ora fuori che:
>
> Joule^2 x secondi^2
> metri = ----------------------------------------------------
> Joule x metri
> chilogrammi x ----------------------- x Coulomb^2
> Coulomb^2
>
> considerando che, dimensionalmente,
>
> Joule x secondi^2
> chilogrammi = --------------------------------- (1)
> metri^2
>
> tutto torna come volevamo!
>
> Ora se possibile vorrei chiarirmi quest'ultimo punto (1)
>
> Joule x secondi^2
> chilogrammi =----------------------------- ????????????????
> metri^2
>
> Luca
Come ti è già stato risposto Kg (m/s^2) è la forza, quindi Kg m^2/s^2
è l'unità di lavoro-energia del S.I. che si chiama Joule e si indica
J. Quindi
Kg = J s^2 m^(-2).
un modo più immediato di riconoscere che dimensionalemente l'equazione
è corretta è notare che Joule è l'unità di energia, Kg è l'unità di
massa e m/s è l'unità di velocità quindi per l'equazione E = mc^2
quella espressione è corretta.
Elio Fabri
> Girovagando in internet ho trovato un sito (Scienzapertutti),
> dove c'era una domanda sul raggio di Bohr e relativa risposta :
> Innanzi tutto ci complimentiamo con la nostra web-nauta per aver
> voluto controllare il valore del calcolo, purtroppo la formula che ha
> Esiste un metodo per controllare le formule, anche le piu' complicate,
> senza entrare nel merito dei conti. Tale metodo si chiama "analisi
> dimensionale". In pratica si controllano solo le dimensioni (metri,
> secondi, grammi, etc...) delle variabili coinvolte.
altri.
Cominciamo col dire che chi risponde ha mostrato di non sapere che
quella formula e' sicuramente sbagliata se letta secondo il Sistema
Internazionale, ma invece sarebbe corretta nel sistema di Gauss, a
parte il lapsus di aver scritto n^2 a denominatore anziche' a
numeratore (tra parentesi, errore che nessun controllo dimensionale
potrebbe scoprire...).
Secondo: nella risposta si confondono dimensioni e unita'.
E' vero che e' un errore assai comune, ma resta un errore.
Le unita' sono metro, cm, secondo, anno, erg, joule (che per inciso si
scrive con la minuscola, come pure kg).
Le dimensioni sono lunghezza, tempo, energia.
Tetis ha scritto:
>
> h = 6,63 e-27 erg s
> m = 9.1 e^(-28) g
> e = 4,8 e -10 statC
>
> da cui correttamente:
>
> a_0 = 5.3 e^(-9) cm = 0.53 e^(-10) m = 0.53 A° (il circoletto di
> Angstrom si scrive proprio sulla A, non ad apice come ho scritto per
> pigrizia tipografica)
Beh, anche qui c'e' un po' di guazzabuglio :-)
E' corretto scrivere "6,63 e-27" intendendo "6,63x10^(-27)". E' la
notazione "esponenziale" o "floating" in uso nei linguaggi di
programmazione, ma piu' o meno tutti la conoscono.
Invece non devi scrivere "9.1 e^(-28)": non stai elevando alla potenza
-28 il numero di Eulero!
Infine, sembra che tutti ignorino che l'unita' angstrom (10^(-10) m)
non e' piu' in uso nel SI (per l'esattezza, e' un'unita' "tollerata"):
il raggio di Bohr andrebbe scritto 0.053 nm o 53 pm.
--
Elio Fabri
Perche' tu devi pur sapere, aggiunse, mio ottimo Critone, che parlare
scorrettamente non solo e' cosa brutta per se medesima, ma anche fa
male all'anima.