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Svuotamento di serbatoi
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Enrico B
Jul 5, 2013, 11:28:24 AM7/5/13
to
Un serbatoio cilindrico pieno di acqua ha raggio R e altezza H, sul fondo
del recipiente c'è un tubicino che sbocca all'atmosfera. Trascurando ogni
fenomeno resistivo, in quanto tempo si svuota il serbatoio?
Quello cilindrico :
dV=pi*R^2dy = s*radq(2*g*y)dt - con s = sezione del tubicino
l'eq è a variabili separabili e si risolve piuttosto facilmente.
In quanto tempo si svuota invece un serbatoio conico con la punta verso il
basso, di stessa altezza e di pari volume?
In quanto tempo si svuota il cono di cui sopra ma con la punta verso l'alto?
In questi due casi Y=Y(x)
La difficoltà la trovo nel risolvere l'integrale in questi due ultimi casi
Grazie per i contributi di pensiero.
Enrico da Pisa
del recipiente c'è un tubicino che sbocca all'atmosfera. Trascurando ogni
fenomeno resistivo, in quanto tempo si svuota il serbatoio?
Quello cilindrico :
dV=pi*R^2dy = s*radq(2*g*y)dt - con s = sezione del tubicino
l'eq è a variabili separabili e si risolve piuttosto facilmente.
In quanto tempo si svuota invece un serbatoio conico con la punta verso il
basso, di stessa altezza e di pari volume?
In quanto tempo si svuota il cono di cui sopra ma con la punta verso l'alto?
In questi due casi Y=Y(x)
La difficoltà la trovo nel risolvere l'integrale in questi due ultimi casi
Grazie per i contributi di pensiero.
Enrico da Pisa
Giorgio Bibbiani
Jul 6, 2013, 7:24:13 AM7/6/13
to
Enrico B ha scritto:
Beh, in realta' quegli integrali si calcolano praticamente a vista ;-).
Uso la soluzione pubblicata in passato su questo ng
(li' v. anche le ipotesi implicite del problema):
https://groups.google.com/forum/?hl=it#!topic/it.scienza.fisica/dYcJBsPvmFM
se s e' l'area del foro di uscita e A(h) la sezione trasversa del
serbatoio all'altezza h, la durata di tempo dello svuotamento e':
T = 1 / [s sqrt(2g)] * int_{0}^{H}A(h) / sqrt(h) dh.
Calcolo T per le varie geometrie, per ipotesi deve valere
int_{0}^{H}A(h) dh = Pi * R^2 * H,
pongo k = Pi * R^2 / [s sqrt(2g)].
- CILINDRO CIRCOLARE
A(h) = Pi * R^2
T = k * int_{0}^{H}1 / sqrt(h) dh = 2k * sqrt(H)
- CONO CON VERTICE IN ALTO
A(h) = 3Pi * R^2 * (1 - h/H)^2
T = 3k * int_{0}^{H}(1 - h/H)^2 / sqrt(h) dh = 48/15 k * sqrt(H)
- CONO CON VERTICE IN BASSO
A(h) = 3Pi * R^2 * (h/H)^2
T = 3k * int_{0}^{H}(h/H)^2 / sqrt(h) dh = 6/5 k * sqrt(H)
Per completezza esplicito il calcolo del secondo integrale (indefinito):
int (1 - h/H)^2 / sqrt(h) dh = int (1 - 2h/H +h^2/H^2) / sqrt(h) dh =
int [h^(-1/2) - 2h^(1/2) / H + h^(3/2) / H^2] dh =
2h^(1/2) - 4/3 h^(3/2) / H + 2/5 h^(5/2) / H^2 + cost..
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Uso la soluzione pubblicata in passato su questo ng
(li' v. anche le ipotesi implicite del problema):
https://groups.google.com/forum/?hl=it#!topic/it.scienza.fisica/dYcJBsPvmFM
se s e' l'area del foro di uscita e A(h) la sezione trasversa del
serbatoio all'altezza h, la durata di tempo dello svuotamento e':
T = 1 / [s sqrt(2g)] * int_{0}^{H}A(h) / sqrt(h) dh.
Calcolo T per le varie geometrie, per ipotesi deve valere
int_{0}^{H}A(h) dh = Pi * R^2 * H,
pongo k = Pi * R^2 / [s sqrt(2g)].
- CILINDRO CIRCOLARE
A(h) = Pi * R^2
T = k * int_{0}^{H}1 / sqrt(h) dh = 2k * sqrt(H)
- CONO CON VERTICE IN ALTO
A(h) = 3Pi * R^2 * (1 - h/H)^2
T = 3k * int_{0}^{H}(1 - h/H)^2 / sqrt(h) dh = 48/15 k * sqrt(H)
- CONO CON VERTICE IN BASSO
A(h) = 3Pi * R^2 * (h/H)^2
T = 3k * int_{0}^{H}(h/H)^2 / sqrt(h) dh = 6/5 k * sqrt(H)
Per completezza esplicito il calcolo del secondo integrale (indefinito):
int (1 - h/H)^2 / sqrt(h) dh = int (1 - 2h/H +h^2/H^2) / sqrt(h) dh =
int [h^(-1/2) - 2h^(1/2) / H + h^(3/2) / H^2] dh =
2h^(1/2) - 4/3 h^(3/2) / H + 2/5 h^(5/2) / H^2 + cost..
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Tommaso Russo, Trieste
Jul 6, 2013, 7:27:18 PM7/6/13
to
Il 05/07/2013 17:28, Enrico B ha scritto:
> Un serbatoio cilindrico pieno di acqua ha raggio R e altezza H, sul fondo
> del recipiente c'è un tubicino che sbocca all'atmosfera. Trascurando ogni
> fenomeno resistivo, in quanto tempo si svuota il serbatoio?
> Quello cilindrico :
>
> dV=pi*R^2dy = s*radq(2*g*y)dt - con s = sezione del tubicino
> l'eq è a variabili separabili e si risolve piuttosto facilmente.
Si'.
> Un serbatoio cilindrico pieno di acqua ha raggio R e altezza H, sul fondo
> del recipiente c'è un tubicino che sbocca all'atmosfera. Trascurando ogni
> fenomeno resistivo, in quanto tempo si svuota il serbatoio?
> Quello cilindrico :
>
> dV=pi*R^2dy = s*radq(2*g*y)dt - con s = sezione del tubicino
> l'eq è a variabili separabili e si risolve piuttosto facilmente.
<http://www.wolframalpha.com/input/?i=pi*R^2*dy+%3D+s*sqrt%282*g*y%29*dt>
> In quanto tempo si svuota invece un serbatoio conico con la punta verso il
> basso, di stessa altezza e di pari volume?
<http://www.wolframalpha.com/input/?i=pi*%28k*y%29^2*dy+%3D+s*sqrt%282*g*y%29*dt>
> In quanto tempo si svuota il cono di cui sopra ma con la punta verso
> l'alto?
<http://www.wolframalpha.com/input/?i=pi*%28k*%28h-y%29%29^2*dy+%3D+s*sqrt%282*g*y%29*dt>
trovi solo y(t) in forma implicita:
2/15 k^2 pi (15 h^2+3 y(t)^2-10 h y(t)) sqrt(y(t)) = sqrt(2) sqrt(g) s
t + cost
Se non sei registrato e quindi non puoi premere il pulsante
"step-by-step", questi sono i passaggi:
Solve the separable equation
pi k^2 (h-y(t))^2 ( dy(t))/( dt) = sqrt(2) s sqrt(g y(t))
Simplify:
k^2 pi ( dy(t))/( dt) (h-y(t))^2 = sqrt(2) sqrt(g) s sqrt(y(t))
Divide both sides by sqrt(y(t)):
(k^2 pi ( dy(t))/( dt) (h-y(t))^2)/sqrt(y(t)) = sqrt(2) sqrt(g) s
Integrate both sides with respect to t:
integral (k^2 pi ( dy(t))/( dt) (h-y(t))^2)/sqrt(y(t)) dt =
integral sqrt(2) sqrt(g) s dt
Evaluate the integrals:
2/15 k^2 pi (15 h^2+3 y(t)^2-10 h y(t)) sqrt(y(t))
= sqrt(2) sqrt(g) s t + c_1, where c_1 is an arbitrary constant.
Non dirmi che qualcuno ha dato questi problemi a degli studenti :-(
--
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni
cometa_luminosa
Jul 7, 2013, 7:40:20 AM7/7/13
to
Il giorno venerdì 5 luglio 2013 17:28:24 UTC+2, Enrico B ha scritto:
> Un serbatoio cilindrico pieno di acqua ha raggio R e altezza H, sul fondo
> del recipiente c'e' un tubicino che sbocca all'atmosfera. Trascurando ogni
> Un serbatoio cilindrico pieno di acqua ha raggio R e altezza H, sul fondo
> fenomeno resistivo, in quanto tempo si svuota il serbatoio?
> Quello cilindrico :
> dV=pi*R^2dy = s*radq(2*g*y)dt - con s = sezione del tubicino
>
A me non viene cosi'.
> Quello cilindrico :
> dV=pi*R^2dy = s*radq(2*g*y)dt - con s = sezione del tubicino
>
In assenza di fenomeni resistivi, ogni strato di liquido di spessore infinitesimo all'interno del cilindro si trova in caduta libera e quindi in un intervallo di tempo dt percorre uno spazio dy pari a: dy = d(1/2 g t^2) = g t dt. dV = pi R^2 dy = pi R^2 g t dt. Integrando:
V(t) = pi R^2 g t^2 / 2 indipendentemente da s.
(sembra un paradosso ma se si assume che non ci siano fenomeni resistivi allora ridurre la sezione s non ha effetto sulla portata).
Il problema che proponi di un serbatoio conico non mi sembra differente perche' mi sembra che si possano applicare le stesse considerazioni di cui sopra e quindi la legge V(t) sarebbe la stessa, anche se non sono completamente sicuro di questo.
--
cometa_luminosa
Tommaso Russo, Trieste
Jul 8, 2013, 11:25:34 AM7/8/13
to
Il 05/07/2013 17:28, Enrico B ha scritto:
> La difficoltà la trovo nel risolvere l'integrale in questi due ultimi casi
>
> Grazie per i contributi di pensiero.
Dimenticavo:
>
> Grazie per i contributi di pensiero.
E una bella integrazione numerica? :-)
gnuplot> plot "cil.dati" w l, "./coneupdown.dati" w l, "./cone.dati" w l
restituisce
<http://blacky.terra32.net/trusso/serbatoi/Vuotamento_serbatoi.png>
che spiega anche la difficolta' per l'integrazione nel caso del cono con
vertice in alto: dy/dt e', a cono pieno, -infinito.
program cone
h=1.
r=1.
g=9.8
pi=4*atan(1.)
s=0.01
dt=0.01
t=0.
y=h*(1.-0.1)
C *otherwise divide by zero*
print *, t,y
do while (y.gt.0.)
dy = s*sqrt(2*g*y)*dt/(r-(r/h)*y)**2/pi
y = y-dy
t=t+dt
print *, t,y
end do
end
Altri programmi, e i dati, qui:
<http://blacky.terra32.net/trusso/serbatoi/>
Tommaso Russo, Trieste
Jul 10, 2013, 11:53:55 AM7/10/13
to
Il 07/07/2013 13:40, cometa_luminosa ha scritto:
> Il giorno venerdì 5 luglio 2013 17:28:24 UTC+2, Enrico B ha scritto:
>> Un serbatoio cilindrico .... Trascurando ogni
> Il giorno venerdì 5 luglio 2013 17:28:24 UTC+2, Enrico B ha scritto:
>> fenomeno resistivo, in quanto tempo si svuota il serbatoio?
>> ...
>> dV=pi*R^2dy = s*radq(2*g*y)dt - con s = sezione del tubicino
> A me non viene cosi'.
>
> In assenza di fenomeni resistivi, ogni strato di liquido di spessore infinitesimo all'interno del cilindro si trova in caduta libera e quindi in un intervallo di tempo dt percorre uno spazio dy pari a: dy = d(1/2 g t^2) = g t dt. dV = pi R^2 dy = pi R^2 g t dt. Integrando:
>
> V(t) = pi R^2 g t^2 / 2 indipendentemente da s.
Intendevi V(t) = V_0 - pi R^2 g t^2 / 2
> A me non viene cosi'.
>
> In assenza di fenomeni resistivi, ogni strato di liquido di spessore infinitesimo all'interno del cilindro si trova in caduta libera e quindi in un intervallo di tempo dt percorre uno spazio dy pari a: dy = d(1/2 g t^2) = g t dt. dV = pi R^2 dy = pi R^2 g t dt. Integrando:
>
> V(t) = pi R^2 g t^2 / 2 indipendentemente da s.
ossia l'altezza del pelo libero
y(t) = H - g t^2 / 2
Comunque: quello che scrivi fa a cazzotti con la conservazione
dell'energia.
Quando il livello nel serbatoio e' y, e scende di dy, l'energia
potenziale del liquido nel serbatoio diminuisce di
dEp = - rho dV y g = - rho dV V/(pi R^2) g
(e' come se il volumetto dV = pi R^2 dy scendesse dall'altezza y
all'altezza dell'apertura in basso)
ma per la conservazione del volume, il liquido nel tubicino deve essere
espulso (magari orizzontalmente) con velocita' dV/(s dt), e quindi avere
un'energia cinetica
dEc = rho dV/s^2 [dV/dt]^2
E' chiaro che se V(t), e quindi Ep(t), non dipende da s, puoi scegliere
s in modo da far assumere al rapporto -dEc/dEp un valore grande quanto
vuoi.
La formula che ha usato Enrico per il cilindro, e che ho esteso ai casi
conici, deriva proprio dall'aver richiesto -dEp = dEc.
Da notare che scrivendo -dEp = dEc si trascura l'energia cinetica del
liquido *dentro* il serbatoio, cosa abbastanza ovvia se s << pi R^2, ma
del tutto falsa se s = pi R^2 (dove R e' il raggio del bordo libero).
Per questo l'integrazione numerica che ho proposto "fallisce" (da'
risultati assurdi) nel caso dei coni diritto e rovesciato: la velocita'
di discesa del livello dy/dt va all'infinito dove R tende a zero, ossia
assume valori dello stesso ordine, e minori, di sqrt(s/pi), mentre
ovviamente non puo' mai superare gt.
> (sembra un paradosso ma se si assume che non ci siano fenomeni resistivi allora ridurre la sezione s non ha effetto sulla portata).
del liquido espulso dal foro di sezione s.
Quello che dici tu vale solo se s = pi R^2 (ossia nel caso il fondo di
un serbatoio cilindrico pieno ceda di schianto lungo il contorno).
cometa_luminosa
Jul 12, 2013, 11:04:53 AM7/12/13
to
Il giorno mercoledì 10 luglio 2013 17:53:55 UTC+2, Tommaso Russo, Trieste ha scritto:
> Il 07/07/2013 13:40, cometa_luminosa ha scritto:
> > V(t) = pi R^2 g t^2 / 2 indipendentemente da s.
>
> Intendevi V(t) = V_0 - pi R^2 g t^2 / 2
No, proprio quello perche' con V(t) intendevo il volume fuoriuscito al tempo t
> Il 07/07/2013 13:40, cometa_luminosa ha scritto:
> > V(t) = pi R^2 g t^2 / 2 indipendentemente da s.
>
> Intendevi V(t) = V_0 - pi R^2 g t^2 / 2
>
> Comunque: quello che scrivi fa a cazzotti con la conservazione
> dell'energia.
>
Eh, si. Non sapevo come impostare il problema con la conservazione dell'energia, ma la semplificazione che hai usato e' ragionevole.
> Comunque: quello che scrivi fa a cazzotti con la conservazione
> dell'energia.
>
Mi sono lasciato ingannare dalla leggedi Poiseuille: se la viscosita' fosse nulla, ho pensato, l'unica limitazione al flusso nel tubicino sarebbe la velocita' di caduta del liquido nel recipiente grande. Mi hai dimostrato che non e' cosi' :-)
Grazie della correzione.
Ciao.
--
cometa_luminosa
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