Libro che non trovo

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JTS

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Sep 7, 2022, 7:55:03 AMSep 7
to
Poco tempo fa ho letto, molto probabilmente su Amazon, la dedica
all'inizio di un libro di meccanica classica, in inglese; mi ricordo in
maniera approssimativa "Questo libro è dedicato a coloro che come me non
riuscivano a capire come potesse la q punto variare senza che variasse
la q".
Ora vorrei dargli un'altra occhiata e non riesco più ad individuarlo.
Forse a qualcuno basta la dedica per capire che libro è?

pcf ansiagorod

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Sep 7, 2022, 1:25:03 PMSep 7
to
Burke W.L. Applied differential geometry

JTS

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Sep 7, 2022, 4:15:02 PMSep 7
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Grazie per l'aiuto, avevo pensato di non riuscire a trovarlo più!

pcf ansiagorod

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Sep 7, 2022, 4:40:02 PMSep 7
to
> Grazie per l'aiuto, avevo pensato di non riuscire a trovarlo
> più!

Capisco cosa si prova a ritrovare un libro perduto, quindi sono
contento di aver contribuito. Comunque è uno di quelli che non
si dimenticano; vorrei saper scrivere una cosa del genere per
chiarezza e per una specie di disponibilità verso il lettore
che non so ben definire. Su due piedi gli potrei paragonare
solo il testo del prof. Galgani.........

danilob

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Sep 10, 2022, 3:15:03 AMSep 10
to
Devo leggerlo pure io. Allo stato attuale penso ancora che se q non
varia, allora q è costante, e la derivata rispetto al tempo di una
costante è zero e quindi non varia.

pcf ansiagorod

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Sep 10, 2022, 4:05:03 AMSep 10
to
> Devo leggerlo pure io. Allo stato attuale penso ancora che se
> q non varia, allora q è costante, e la derivata rispetto al
> tempo di una costante è zero e quindi non varia.

Penso che tu la stia trattando come una vera variabile
indipendente con i problemi del caso. Probabilmente c'è
differenza tra una vera variabile indipendente e un simbolo che
si comporta come una variabile indipendente anche se mi è
difficile metterlo a fuoco (se non me lo chiedono lo so, se me
lo chiedono non lo so, eccetera).

E' come chiedersi se abbia senso derivare per tpunto. Diremmo
no, a meno che t non sia una funzione di un'altra variabile
indipendente.

Comunque credo che molti abbiano avuto questo problema e a
maggior ragione l'ho avuto io che non sono un genio. Sentivo
confondermisi un po' le idee sui primi esercizi e così una
volta scritta la lagrangiana la riscrivevo per ognuno dei tre
passaggi sostituendo il simbolo-variabile indipendente con la
lettera 'u' o altra abbastanza neutra che non ricordasse né il
tempo né le coordinate generalizzate e mi aiutava a vedere
tutto come una funzione di più variabili del tutto normale e
anonima. E in quel momento la mia variabile indipendente era u.

Chiaro che dopo il quarto esercizio ho tranquillamente
abbandonato l'espediente. Ma fare così mi ha aiutato a vedere
la derivazione delle equazioni del moto come un procedimento
completamente meccanizzato, che poi ovviamente è la sua ragion
d'essere.

Mi resta però il mistero di come si sia riusciti a scoprire una
cosa del genere, e parliamo dell'epoca dell'Illuminismo, non
del 1950. A suo tempo studiai diligentemente la dimostrazione,
mi fu chiesta e risposi bene. Ma era chiaro che mi sentivo e
tutt'ora mi sento come la scimmietta che fa girare la manovella
del carillon; il perché questo funzioni resta per me una specie
di mistero che mi evoca ogni volta un profondo senso di
meraviglia. Non per niente uno dei miei avatar a cui sono più
affezionato nei forum è Lagrange, e quando mi è possibile la
prima cosa che faccio arrivando a Torino è salutarlo (la sua
statua intendo).

Alberto Rasà

unread,
Sep 10, 2022, 6:05:04 AMSep 10
to
Il giorno sabato 10 settembre 2022 alle 10:05:03 UTC+2 pcf ansiagorod ha scritto:
...
> Comunque credo che molti abbiano avuto questo problema e a
> maggior ragione l'ho avuto io...
>


Scusa mi puoi fare un esempio specifico del problema perché non l'ho capito ? Tipo "ho questo e quest'altro [specificando dettagliatamente] e voglio ottenere tot" oppure "ho questa equazione in questo contesto, come si fa a [derivarla rispetto al t o altro] ..." oppure "cosa si intende e come si fa esattamente una variazione dell'azione S nel contesto..." ecc.
Ciao.

--
Wakinian Tanka

pcf ansiagorod

unread,
Sep 10, 2022, 7:20:02 AMSep 10
to
> Scusa mi puoi fare un esempio specifico del problema perché
> non l'ho capito ?

Con ogni probabilità non posso :D Nel senso che non conosco
LaTex e non ricordo se il regolamento richiede LaTex in modo
'rigoroso'. Però provo a rispondere, se passa il post vedrai la
mia risposta; ho scelto appositamente l'esempio più semplice
per non rendere indispensabile LaTex o almeno spero.

> Tipo "ho questo e quest'altro [specificando
> dettagliatamente] e voglio ottenere tot" oppure "ho questa
> equazione in questo contesto, come si fa a [derivarla
> rispetto al t o altro] ..." oppure "cosa si intende e come si
> fa esattamente una variazione dell'azione S nel contesto..."
> ecc. Ciao.

So come si fa a derivare la lagrangiana e ovviamente so cosa
voglio ottenere, le equazioni del moto. Quello a cui mi
riferivo è lo stato d'animo del singolo pomeriggio in cui
capita la teoria ho provato a farci qualche esercizio.

In altre parole, avere sotto gli occhi qpunto mi provocava
associazioni mentali disorientanti, le stesse che credo abbiano
indotto l'autore del libro oggetto del thread a scrivere la
dedica.

Come esempio di quel che volevo dire, e appunto, non so se
passerà, prendiamo il pendolo semplice con:

1) lunghezza 'l'
2) 'teta' angolo formato dalla verticale e il segmento formato
dal punto di sospensione e la massa supposta puntiforme
eccetera.
3) massa 'm'
4) 'g' accelerazione di gravità.

Abbiamo (spero! Ho scritto su un margine del post e non ho
spazio per fare tutti i calcoli, questa l'ho già sentita)

L = T - U = (1/2)ml^2 (tetapunto)^2 + mgl(1-cos(teta))

Ora la mia difficoltà era per esempio (d è derivata parziale
ovviamente) dL/d(tetapunto). Per sbarazzarmi di tetapunto che
in quel pomeriggio mi dava fastidio perché appunto non sapevo
con chiarezza chi variasse e chi no, ho posto tetapunto=u. La
lettera u non si associava a niente nella mia mente e difatti
l'avevo scelta apposta. Così:

L= (1/2)ml^2(u^2) + mgl(1-cos(teta))

E così mi era immediato vedere che la struttura è

L = k_1(u^2) + k_2

Credo che il resto non serva scriverlo esplicitamente e di aver
reso l'idea. Penserai che sono un semi-deficiente rispetto a
chi si sta occupando / è in grado di occuparsi di una
lagrangiana? Verissimo :)

Ora, non posso ricordare cosa pensavo più o meno 39 anni fa
però la mia difficoltà iniziale era qualcosa del genere.

JTS

unread,
Sep 10, 2022, 8:35:03 AMSep 10
to
On 10.09.22 09:59, pcf ansiagorod wrote:
> il perché questo
> funzioni resta per me una specie di mistero



Potresti trovare qualche idea in questo thread:
https://groups.google.com/g/free.it.scienza.fisica/c/meB45uQxrSk/m/uCKnNX8XFQAJ

JTS

unread,
Sep 10, 2022, 8:35:03 AMSep 10
to
On 10.09.22 13:06, pcf ansiagorod wrote:
>> Scusa mi puoi fare un esempio specifico del problema perché non l'ho
>> capito ?
>
> Con ogni probabilità non posso :D Nel senso che non conosco LaTex e non
> ricordo se il regolamento richiede LaTex in modo 'rigoroso'.

http://www.news.nic.it/doc/metamanifesto.html
http://www.news.nic.it/manif/it.scienza.fisica.html

Dal secondo: "Per la notazione delle formule si consiglia di usare TeX,
ascii art o similari."

Infine, per il _mio_ senso di cosa va bene e cosa no, se è
comprensibile, va bene.

JTS

unread,
Sep 10, 2022, 8:35:03 AMSep 10
to
On 10.09.22 11:58, Alberto Rasà wrote:
> Il giorno sabato 10 settembre 2022 alle 10:05:03 UTC+2 pcf ansiagorod ha scritto:
> ...
>> Comunque credo che molti abbiano avuto questo problema e a
>> maggior ragione l'ho avuto io...
>>
>
>
> Scusa mi puoi fare un esempio specifico del problema perché non l'ho capito ?



Ecco come lo ho sperimentato io:
se \dot q = dq/dt, cosa vuol dire \partial L / {\partial \dot q} ?

Alberto Rasà

unread,
Sep 10, 2022, 1:10:03 PMSep 10
to
Il giorno sabato 10 settembre 2022 alle 13:20:02 UTC+2 pcf ansiagorod ha scritto:
...
> Ora la mia difficoltà era per esempio (d è derivata parziale
> ovviamente) dL/d(tetapunto).
>
Per le derivate parziali potresti usare la chiocciola: @L/@(q')
>
Per sbarazzarmi di tetapunto che
> in quel pomeriggio mi dava fastidio perché appunto non sapevo
> con chiarezza chi variasse e chi no, ho posto tetapunto=u. La
> lettera u non si associava a niente nella mia mente e difatti
> l'avevo scelta apposta. Così:
> L= (1/2)ml^2(u^2) + mgl(1-cos(teta))
> E così mi era immediato vedere che la struttura è
> L = k_1(u^2) + k_2
>

Va bene, ma ni pare che la difficoltà sia solo capire meglio cos'è una derivata parziale e cosa significa "dipendenza esplicita da tetapunto.
Uso altri simboli per maggior chiarezza. Sia F un funzione reale di 2 variabili reali x e y:
F = F(x, y).
Poi sia y anche funzione di x in qualche modo: y = y(x).

Ora, F può dipendere esplicitamente da y ed esplicitamente da x, oppure dipendere da x solo implicitamente, attraverso la dipendenza di y da x. Esempio primo caso:
F = x^2 + y.
Esempio secondo caso:
F = y
[ma però y = y(x)].
Allora, nel primo caso @F/@x = 2x =/= 0,
nel secondo caso @F/@x = 0.
Tutto qui.
Poi, perché la variazione di S si faccia in un certo modo, è un altro paio di maniche :-)


--
Wakinian Tanka

Giorgio Pastore

unread,
Sep 10, 2022, 3:55:03 PMSep 10
to
Il 10/09/22 19:00, Alberto Rasà ha scritto:
....
> Va bene, ma ni pare che la difficoltà sia solo capire meglio cos'è una derivata parziale e cosa significa "dipendenza esplicita da tetapunto.
....
Non proprio. Il formalismo lagrangiano pone problemi (ben) noti che più
o meno tutti possono/dovrebbero incontrare ma non sono le derivate
parziali, e la dipendenza da tetapunto è già oltre la difficoltà.

Il cuore della difficoltà è capire che la funzione Lagrangiana è
definita in un dominio in cui q e \dot q sono due variabili
indipendenti. Cosa che intuitivamente sembra cozzare con l'idea che per
calcolare \dot q devo avere una funzione q(t) ma allora \dot q non è più
indipendente da q...
Arrivare a capire che la dipendenza da t di q *segue* la soluzione del
principio variazionale sull'azione *data* la funzione L(q,\dot q) dove
qui \dot q è qualsiasi richiede un po' se non te lo spiegano subito. Io
ricordo ancora bene la difficoltà iniziale.

Giorgio

Alberto Rasà

unread,
Sep 10, 2022, 5:10:03 PMSep 10
to
Il giorno sabato 10 settembre 2022 alle 21:55:03 UTC+2 Giorgio Pastore ha scritto:
> Il 10/09/22 19:00, Alberto Rasà ha scritto:
> ....

> > Va bene, ma ni pare che la difficoltà sia solo capire meglio cos'è una derivata parziale e cosa significa "dipendenza esplicita da tetapunto.
> ....
> Non proprio...
>
Ho risposto al suo post specifico. E' esattamente per questo che glie l'ho chiesto.
Ed è per quello che dici dopo che ho scritto" capire come si fa δS è tutto un altro paio di maniche... "
;-)

--
Wakinian Tanka

pcf ansiagorod

unread,
Sep 11, 2022, 4:15:03 AMSep 11
to
> Il cuore della difficoltà è capire che la funzione
> Lagrangiana è definita in un dominio in cui q e \dot q sono
> due variabili indipendenti. Cosa che intuitivamente sembra
> cozzare con l'idea che per calcolare \dot q devo avere una
> funzione q(t) ma allora \dot q non è più indipendente da q...
> Arrivare a capire che la dipendenza da t di q *segue* la
> soluzione del principio variazionale sull'azione *data* la
> funzione L(q,\dot q) dove qui \dot q è qualsiasi richiede un
> po' se non te lo spiegano subito. Io ricordo ancora bene la
> difficoltà iniziale.

OMG, credo di vedere uno spiraglio di luce. Se posizioni e
velocità sono come sono indipendenti, questo deve riflettersi
nella lagrangiana. Se questo barlume è nella direzione giusta,
non solo credevo che la mia difficoltà fosse un'altra (e invece
era un semplice problema di manipolazione di simboli) ma non mi
sono proprio mai accorto del vero problema.

Come ho fatto a non farci mai caso :( :( :( Magari ho pure
sbagliato a capire ma almeno il problema non era dove credevo.

Elio Fabri

unread,
Sep 11, 2022, 4:55:03 AMSep 11
to
pcf ansiagorod ha scritto:
> Penso che tu la stia trattando come una vera variabile
> indipendente con i problemi del caso. Probabilmente c'è
> differenza tra una vera variabile indipendente e un simbolo che
> si comporta come una variabile indipendente anche se mi è
> difficile metterlo a fuoco (se non me lo chiedono lo so, se me
> lo chiedono non lo so, eccetera).
Quello che hai scritto è incomprensibile, ma sotto, nell'inconscio,
c'è l'idea giusta :-)

> e così una volta scritta la lagrangiana la riscrivevo per ognuno dei
> tre passaggi sostituendo il simbolo-variabile indipendente con la
> lettera 'u' o altra abbastanza neutra che non ricordasse né il tempo
> né le coordinate generalizzate e mi aiutava a vedere tutto come una
> funzione di più variabili del tutto normale e anonima. E in quel
> momento la mia variabile indipendente era u.
Appunto: senza saperlo hai preso la strada giusta, ma a marcia
indietro :-D
Vedi appresso.

> Mi resta però il mistero di come si sia riusciti a scoprire una cosa
> del genere, e parliamo dell'epoca dell'Illuminismo, non del 1950.
Beh, ma era gente che si chiamava d'Alembert, Eulero, Lagrange...

> Con ogni probabilità non posso :D Nel senso che non conosco
> LaTex e non ricordo se il regolamento richiede LaTex in modo
> 'rigoroso'. Per provo a rispondere, se passa il post vedrai la
> mia risposta; ho scelto appositamente l'esempio più semplice
> per non rendere indispensabile LaTex o almeno spero.
Due parole sulla questione LaTeX (che poi dovresti dire TeX, di cui
LaTeX è un derivato).
Seguendo questo NG dovresti aver appreso
1) Che TeX non è *affatto* obbligatorio, amzi, visto che molti
purtroppo non lo conoscono.
2) Che ci si arrangia, nel senso che prevale una notazione pseudo-TeX
con altri caratteri presi dai più comuni linguaggi di programmazione
(es. l'uso di * per indicare la moltiplicazione).
3) Che si usano alcune astuzie, come ad es. evitare di scrivere per
disteso le lettere greche. Ad es. io spesso uso g per gamma, dopo
averlo dichiarato, magari th per theta, e simili.
4) Che c'è un uso simil-TeX per indici in alto e in basso: a_k, a^k.
5) Che qualcuno ha inventato di usare @ per la derivata parziale.
6) E' anche comune scrivere D al posto di Delta (maiuscola), sempre
dichiarandolo esplicitamente.
Ci sarà altro che non mi viene in mente.
Sugggerimento generale: evitare come la peste espressioni complicate,
spec. con troppe parentesi.

**********************************

E veniamo al sodo.
I libri che trattano la questione come si deve ci sono.
Uno per es. è quello di Arnol'd: "Metodi matmatici della meccanica
classica".
Peccato che non si sforzi molto a farsi capire...
Quando lo studiai, oltre 40 anni fa, faticai alquanto.
In compenso mi divertii parecchio con le numerose frecciatine che
manda a Landau.
A quel tempo avevo anche concepito un progetto che poi non prese
forma: scrivere una versione leggibile della stessa materia.
Adesso qui proverò a darne un velocissimo sunto.

Si parte dallo spazio delle configurazioni M, che può essere il
semplice R^3 o altro: per es. per il pendolo è una circonferenza,
indicata spesso con S^1 (sfera unidimensionale).
Tralascio di specificare altri requisiti tipo "varietà
differenziabile").

Su M si possono definire in infiniti modi delle coordinate, ossia una
n-pla di reali che permette d'identificare i punti di M. Il numero n è
la dimensione di M.
Spesso un dato sistema di coord. non permette di rappresentare in modo
biunivoco e continuo *tutti* i punti di M: succede già col pendolo!
Sorvolo sulla soluzione (carte, atlante). Teniamoci un sistema di
coord. come si può...

In ogni punto di M si possono definire infiniti *vettori tangenti*.
Una definizione rigorosa non è banale e si può dare in più modi.
(completo il discorso tra poco).
E' importante introdurre il concetto di *curva* di M. In questo
contesto le curve sono sempre *parametrizzate*.
Ossia una curva è un'applicazione differenziabile da R (o da un suo
aperto) in M: P(punto di M) = f(t).
A questo punto non sarebbe obbligatorio leggere t come il tempo, ma
non fa male: in tal modo f(t) è la *legge oraria* di un qualche moto e
si può intendere f'(t) come velocità istantanea di quel moto.
Quindi lo spazio tangente a M in P (TM_P) è l'insieme delle possibili
velocità di tutti i possibili moti che passano per P-
Si dimostra che tutti i TM_P (qualunque sia P) sono spazi vettoriali
(reali) di dimensione n
Va da sé che in ogni TM_P potremo definire un sistema di coordinate:
anche queste sono n.
Un modo naturale di definire le coordinate in TM_P è questo: un
vettore di TM_P è la "velocità" di una qualche curva f(t).
Dato in M un sistema di coord, (q_1 ...q_n), la curva (non l'avevo
detto prima) può essere rappresentata con le n funzioni R-->R

u_1 = (dq_1/dt)_{t=0} ... u_n = (dq_n/dt)_{t=0}.

Metto t=0 perché sono libero di assumere che la curva soddisfi f(0)=P,
ossia che il moto passi per P al tempo 0.

Vale la pena di notare che quando scrivo q_1(t) ecc. sto facendo una
*composizione* di funzioni: passo prima da R a M (P = f(t)) poi da M a
R^n: (u_1 ...u_n) = g(P). Il risultato è la funzione composta che
fornisce le coordinate (q_1(t) ... q_n(t)) al tempo t.

Ed ecco la sommità di queste astrazioni: il *fibrato tangente* a M
(detto TM).
E' semplicemente l'unione di tutti i TM_P.
E' una varietà di dimensione 2n, e in conseguenza di quanto detto un
sistema di coord. in TM è (q_1 ... q_n; u_1 ... u_n).

A che cavolo serve tutto ciò?
Semplicemente a definire la lagrangiana come una funzione

L: TM --> R.

ossia, col linguaggio più ottocentesco della gran parte dei testi:

L(q_1 ... q_n; u_1 ... u_n).

La cosa assolutamente cruciale da capire è che L è definita su TM,
quindi non è vincolata a perticolari moti: il suo valore è dato quando
si conosca il punto P di M (le coord. q_1...q_n) e quelle su TM_P
(u_1...u_n).
E' vero che nell'interpretazione isica stiamo parlando di un moto con
data velocità, ma il valore di L dipende solo dal punto (P) e dalla
velocità (u = (u_1...u_n)).
Del moto non occorre sapere altro.

> Come esempio di quel che volevo dire, e appunto, non so se
> passerà, prendiamo il pendolo semplice con:
>
> L = T - U = (1/2)ml^2 (th')^2 + mgl[1-cos(th)]
(Ho cambiato la notazione per snellirla un po'.)

> Ora la mia difficolà  era per esempio (d è derivata parziale
> ovviamente) dL/d(tetapunto).
Scriviamo @L/@th'.

> Per sbarazzarmi di tetapunto che in quel pomeriggio mi dava fastidio
> perché appunto non sapevo con chiarezza chi variasse e chi no, ho
> posto tetapunto=u.
Un Lagrange del 21-mo secolo! :-)
(Ma in effetti il modo che ho descritto sopra non ha più di un secolo
di vita.)

Secondo l'approccio che ho descritto, M per l pendoloha dimensione 1,
TN ha dim. 2; le coord. in TM sono (th,u).
(Incidentalmente, TM è un cilindro infinito.)
Riscrivo la tua L:

L = (1/2)m*l^2*u^2 + mgl*[1-cos(th)]

Quindi

@L/@u = m*l^2*u.

Così si capisce che quando si deriva rispetto a u il tempo non c'entra
niente: u è una normale coordinata in TM.
Poi, scrivendo il principio variazionale, si farà un altro passo: si
prenderà una curva di prova f, ossia delle funzioni (q_1(t) ...
q_n(t)), si specificherà che le coord. (u_1...u_n) sono le componenti
del vettore tangente ossia le compon. della velocità lungo quella
curva:

(u_1...u_n) = (q'_1 ... q'_n)

dove ' significa derivata rispetto a t e quindi nell'integrale di
azione comparirà

L(q_1(t) ... q_n(t), q'_1(t) ... q'_n(t)).

Che succede quando si va a variare la curva?
Invece della f avremo una F = f + h (preferisco, per alleggerire le
formule, scrivere h invece di delta f). Nell'integrale d'azione
figurerà

L(Q_1(t) ... ; Q'_1(t) ... )

dove Q_1 ... Q_n sono le coordinate variate. Chiamerò r_1 ...r_n la
variazioni: Q_1 = q_1 + r_1 ecc.
Analogamente la coordinate u_1 ... u_n diventeranno delle U_1 ... U_n
con U_1 = u_1 + v_1 ecc.
Anzi u_1 = q'_1, U_1 = Q'_1, quindi

v_1 = Q'_1 - q'_1 = dr_1/dt = r'_1.

Dato che interessa la variazione prima, questa si approssima con
L + del L dove

del L = (@L/@q_1)*r_1(t) + ... ; (@L/@u_1)*r'_1 + ...).

Dunque l'integrale di del L, che è una funzione di t, si può integrare
per parti, ecc.
--
Elio Fabri

Elio Fabri

unread,
Sep 11, 2022, 5:15:04 AMSep 11
to
Elio Fabri ha scritto:
> Adesso qui proverò a darne un velocissimo sunto.
Accidenti :-(
Il "velocissimo" sunto è diventato un malloppo di 228 righe...
E nonostante ci abbia ponzato sopra per due giorni, mi sono scappati
anche errori non banali.
Che faccio?
Pubblicare un "errata corrige" mi sembra poco pratico.
Mi sa che correggerò quello che ho scritto e lo rimanderò per esteso,
così basterà dire "il post dele ore ... del giorno ... sostituisce
quello delle ore ... del giorno ..."
Ora ci penso un po'.
--
Elio Fabri

pcf ansiagorod

unread,
Sep 11, 2022, 8:25:02 AMSep 11
to
> Il "velocissimo" sunto è diventato un malloppo di 228
> righe...

Sì però è un crash-course fantastico di 1) geometria
differenziale 2) meccanica analitica 3) calcolo delle
variazioni. In questo senso proprio non è un malloppo.

> E nonostante ci abbia ponzato sopra per due giorni, mi sono
> scappati anche errori non banali.

A rileggere credo che uno sia a causa mia, mi sa che l'energia
potenziale ha segno meno. Rinuncio a provare a controllare,
perché dover aprire il libro per questo lo trovo una fonte di
immensa vergogna. Anche a distanza di 40 anni lo dovrei sapere
senza nemmeno l'intervento della riflessione razionale.

Per il resto grazie di tutto; ho un bel po' da studiare anche
così perché credo che qualsiasi siano gli errori che hai fatto
se mai ci sono non dovrebbero toccare l'architettura
dell'esposizione. Ma anche alla prima lettura è meraviglioso e
ho provato il classico groppetto alla gola, davvero :) Non
avrei mai sperato di avere la visione a volo d'uccello e avere
la chiave per *capire* davvero il senso delle cose. E
praticamente di tre materie insieme.

Su Lagrange e soci lo so che erano geni immensi, però mi fa
sempre effetto che un principio variazionale così astratto sia
stato scoperto quando si curava l'anemia con i salassi. Solo un
fatto emotivo, insomma.

Bruno Cocciaro

unread,
Sep 11, 2022, 11:15:02 AMSep 11
to
Il 11/09/2022 10:48, Elio Fabri ha scritto:

> In compenso mi divertii parecchio con le numerose frecciatine che
> manda a Landau.

Una curiosità, ma le frecciatine erano del tipo: "Landau è un fisico, la
matematica la fa da cani" ?

Bruno Cocciaro.


--
Questa email è stata esaminata alla ricerca di virus da AVG.
http://www.avg.com

Elio Fabri

unread,
Sep 16, 2022, 9:20:04 AMSep 16
to
Nel mio post del 11/9/22, ore 10:48, la trattazione della lagrangiana
che inizia con "E veniamo al sodo" contiene un po' di errori: alcuni
puramente tipografici, ma altri più importanti, fino a qualche riga
saltata.
Piuttosto che pubblicare un "erata corrige" preferisco riproporre qui
appresso una versione corretta (spero) e anche con qualche modifica.
Prego quindi di sostituire questa alla versione precedente.

*******************************

E veniamo al sodo.
I libri che trattano la questione come si deve ci sono.
Uno per es. è quello di Arnol'd: "Metodi maetmatici della meccanica
classica".
Peccato che non si sforzi molto a farsi capire...
Quando lo studiai, oltre 40 anni fa, faticai alquanto.
In compenso mi divertii con le frecciatine che manda a Landau.
A quel tempo avevo anche concepito un progetto che poi non prese
forma: scrivere una versione leggibile della stessa materia.
Adesso qui proverò a darne un velocissimo sunto.

Si parte dallo spazio delle configurazioni M, che può essere il
semplice R^3 o altro: per es. per il pendolo è una circonferenza,
indicata spesso con S^1 (sfera unidimensionale).
Tralascio di specificare altri requisiti, tipo "varietà
differenziabile").

Su M si possono definire in infiniti modi delle coordinate, ossia una
n-pla di reali che permette d'identificare i punti di M. Il numero n è
la dimensione di M.
Spesso un dato sistema di coord. non permette di rappresentare in modo
biunivoco e continuo *tutti* i punti di M: succede già col pendolo!
Sorvolo sulla soluzione (carte, atlante). Teniamoci un sistema di
coord. come si può...

In ogni punto di M si possono definire infiniti *vettori tangenti*.
Una definizione rigorosa non è banale e si può dare in più modi.
(completo il discorso tra poco).
E' importante introdurre il concetto di *curva* di M. In questo
contesto le curve sono sempre *parametrizzate*.
Ossia una curva è un'applicazione differenziabile da R (o da un suo
aperto) in M: P(punto di M) = f(t).
A questo punto non sarebbe obbligatorio leggere t come il tempo, ma
non fa male: in tal modo f(t) è la *legge oraria* di un qualche moto e
si può intendere f'(t) come velocità istantanea (generalizzata) di
quel moto.
Quindi lo spazio tangente a M in P (TM_P) è l'insieme delle possibili
velocità di tutti i possibili moti che passano per P-
Si dimostra che tutti i TM_P (qualunque sia P) sono spazi vettoriali
(reali) di dimensione n
Va da sé che in ogni TM_P potremo definire un sistema di coordinate:
anche queste sono n.
Un modo naturale di definire le coordinate in TM_P è questo: un
vettore di TM_P è la "velocità" di una qualche curva f(t).

Dato in M un sistema di coord, (q_1 ...q_n), la curva (non l'avevo
detto prima) può essere rappresentata con le n funzioni R-->R:
q_1(t) ... q_n(t).
Le componenti della velocità, che sono anche le componenti del vettore
tangente, saranno

u_1 = (dq_1/dt)_{t=0} ... u_n = (dq_n/dt)_{t=0}.

Metto t=0 perché sono libero di assumere che la curva soddisfi f(0)=P,
ossia che il moto passi per P al tempo 0.

Vale la pena di notare che quando scrivo q_1(t) ecc. sto facendo una
*composizione* di funzioni: passo prima da R a M (P = f(t)) poi da M a
R^n: (u_1 ...u_n) = g(P). Il risultato è la funzione composta che
fornisce le coordinate (q_1(t) ... q_n(t)) al tempo t.

Ed ecco la sommità di queste astrazioni: il *fibrato tangente* a M
(detto TM).
E' semplicemente l'unione di tutti i TM_P.
E' una varietà di dimensione 2n, e in conseguenza di quanto detto un
sistema di coord. in TM è (q_1 ... q_n; u_1 ... u_n).

A che cavolo serve tutto ciò?
Semplicemente a definire la lagrangiana come una funzione

L: TM --> R

ossia, col linguaggio più ottocentesco della gran parte dei testi:

L(q_1 ... q_n; q'_1 ... q'_n).

dove ho abbreviato dq_1/dt con q_1' ecc.
Questa notazione è però impropria, ed è la cuasa di
frequenti difficoltà didattiche. Si dovrebbe scrivere

L(q_1 ... q_n; u_1 ... u_n)

senza identificare le u_i con le derivate q'_i.
E' assolutamente cruciale capire che L è definita su TM, quindi non è
vincolata a perticolari moti: il suo valore è dato quando si conosca
il punto P di M (le coord. q_1...q_n) e quelle su TM_P (u_1...u_n).
E' vero che nell'interpretazione fisica stiamo parlando di un moto con
data velocità, ma il valore di L dipende solo dal punto (P) e dalla
velocità (u = (u_1...u_n)).
Del moto non occorre sapere altro.

> Come esempio di quel che volevo dire, e appunto, non so se
> passerà, prendiamo il pendolo semplice con:
>
> L = T - U = (1/2)ml^2 (th')^2 - mgl[1-cos(th)]
(Ho cambiato la notazione per snellirla un po' e h corretto un erroe
di segno.)

> Ora la mia difficoltà era per esempio (d è derivata parziale
> ovviamente) dL/d(tetapunto).
Scriviamo @L/@th'.

> Per sbarazzarmi di tetapunto che in quel pomeriggio mi dava fastidio
> perché appunto non sapevo con chiarezza chi variasse e chi no, ho
> posto tetapunto=u.
Un Lagrange del 21-mo secolo! :-)
(Ma in effetti il modo che ho descritto sopra di vedere l'argomento
non ha più di un secolo di vita.)

Secondo l'approccio che ho descritto, M per il pendolo ha dimensione
1, TM ha dim. 2; le coord. in TM sono (th,u).
(Incidentalmente, TM è un cilindro infinito.)
Riscrivo la tua L:

L = (1/2)m*l^2*u^2 - mgl*[1-cos(th)]

Quindi

@L/@u = m*l^2*u.

Così si capisce che quando si deriva rispetto a u il tempo non c'entra
niente: u è una normale coordinata in TM.

Poi, scrivendo il principio variazionale, si farà un altro passo: si
prenderà una curva di prova f, ossia delle funzioni (q_1(t) ...
q_n(t)), si specificherà che le coord. (u_1...u_n) sono le componenti
del vettore tangente ossia le compon. della velocità lungo quella
curva:

(u_1...u_n) = (q'_1 ... q'_n)

e quindi nell'integrale di azione comparirà

L(q_1(t) ... q_n(t), q'_1(t) ... q'_n(t))

che è funzione di t, composta attraverso le q_1(t) ... e le
q'_1(t) ...

Che succede quando si va a variare la curva (oosia si cambiano le
q_i(t))?

nella definizione della curva invece della f avremo una F = f + h
(preferisco, per alleggerire le formule, scrivere h invece di delta
f). Nell'integrale d'azione figurerà

L(Q_1(t) ... ; Q'_1(t) ... )

dove Q_1 ... Q_n sono le coordinate variate (eq. parametriche della
F). Chiamerò r_1 ...r_n la variazioni: Q_1 = q_1 + r_1 ecc.
Analogamente la coordinate u_1 ... u_n diventeranno delle U_1 ... U_n
con U_1 = u_1 + v_1 ecc.
Anzi u_1 = q'_1, U_1 = Q'_1, quindi

v_1 = Q'_1 - q'_1 = dr_1/dt = r'_1.

Dato che interessa la variazione prima, questa (differenziabilità) si
scrive

del L = (@L/@q_1)*r_1(t) + ... + (@L/@u_1)*r'_1 + ...

Elio Fabri

unread,
Sep 16, 2022, 10:20:03 AMSep 16
to
Bruno Cocciaro ha scritto:
> Una curiosità, ma le frecciatine erano del tipo: "Landau è un
> fisico, la matematica la fa da cani" ?
Non proprio. In sostganza denuciavano veri e propri errori, ma cn un
tono che nn saprei definire.
Per farmi capire meglio ti copio la prima, a pag. 236 dell'ed.
italiana:

"La dimostrazione di questo teorema, fatta alla pag. 212 [ed.
italiana] del magnifico manuale di Landau e Lifscits è sbagliata."

Questa come credo tutte le altre sta nel capitolo "Formalismo
canonico."
Quello che ho chiamato "tono" sta nel contrasto tra "magnifico manuale"
e "dimostrazione sbagliata".
Una dim. sbagliata si potrebbe anche perdonare, ma Arnol'd ne elenca
più d'una...
--
Elio Fabri

Giorgio Pastore

unread,
Sep 16, 2022, 10:35:03 AMSep 16
to
Il 16/09/22 15:29, Elio Fabri ha scritto:
....
> Per farmi capire meglio ti copio la prima, a pag. 236 dell'ed.
> italiana:
>
> "La dimostrazione di questo teorema, fatta alla pag. 212 [ed.
> italiana] del magnifico manuale di Landau e Lifscits è sbagliata."

Ho provato a cercarla nella mia edizione MIR del 1976, tradotta in
francese dall'edizione russa del 1974, ma senza successo. Qual è il
paragrafo/sezione (§) ?

Giorgio

Elio Fabri

unread,
Sep 16, 2022, 11:50:03 AMSep 16
to
Giorgio Pastore ha scritto:
> Ho provato a cercarla nella mia edizione MIR del 1976, tradotta in
> francese dall'edizione russa del 1974, ma senza successo. Qual è il
> paragrafo/sezione (§) ?
Il capitolo è 9, §44, verso la fine.
Avevo dimenticato di dire che è in una nota, come tutti gli altri
commenti analoghi.
Non è indicata la data dell'ed. russa. La data dell'ed. italiana
(MIR) è 1979.
--
Elio Fabri

Giorgio Pastore

unread,
Sep 16, 2022, 1:10:03 PMSep 16
to
Il 16/09/22 16:54, Elio Fabri ha scritto:
Interessante. Efettivamente non ci sono quelle note (la successiva è nel
§45. Invece le vedo nella seconda edizione della traduzione in inglese
(Springer). E non c'è menzione di un aggiornamento delle note nelle
prefazioni e note del traduttore.

Non riuscendo a trovare in rete la versione in lingua russa, posso solo
avanzaare l'ipotesi che nella traduzione dell edizioni MIR (o anche
nell' originale) ci sia stata un (auto?)censura, in quanto ancora
osservazioni di quel genere potevano essere considerate troppo
irrispettose nei confronti di due importanti accademici dell'URSS. Però
solo le edizioni russe potrebbero dare una risposta risolutiva.

Giorgio

pcf ansiagorod

unread,
Sep 16, 2022, 4:20:03 PMSep 16
to
> Ho provato a cercarla nella mia edizione MIR del 1976,
> tradotta in francese dall'edizione russa del 1974, ma senza
> successo. Qual è il paragrafo/sezione (§) ?

Io ho solo il PDF dell'edizione della Springer II edizione
1999; mi sa che o ci ha ripensato lui e ha attenuato l'arguzia
o alla fine sono venute fuori traduzioni differenti (magari di
più di un edizione originale).

La mia dice, nota 76 pagina 241: 'This confusion appears even
in the excellent texbook by L&L [...]". Il paragrafo è proprio
il 45: 'Applications of the integral invariant of
Poincaré-Cartan'

Chiaramente 'even' modifica un po' tutto il senso. Ma se come
dice Elio ce ne sono diverse il quadro potrebbe essere ancora
differente, bisognerebbe controllarle una per una e forse si
capirebbe se è stato un ripensamento di Arnold: non ce li vedo
quelli della Springer a modificare anche una virgola non
concordata, però un revisore della Springer potrebbe averglielo
consigliato.

Ho controllato e Arnold è mancato nel 2010 quindi ci sarebbe
stato tutto il tempo di fare due chiacchiedere con la Springer.

Ovviamente non ho capito nemmeno di cosa stia parlando il
capitolo, ma credo di non aver bisogno di dirlo.

Elio Fabri

unread,
Sep 17, 2022, 4:00:04 AMSep 17
to
pcf ansiagorod ha scritto:
> La mia dice, nota 76 pagina 241: 'This confusion appears even
> in the excellent texbook by L&L [...]". Il paragrafo è proprio
> il 45: 'Applications of the integral invariant of
> Poincaré-Cartan'
Questa non è la nota che ho riportato io, che sta (l'ho scritto!) alla
fine del §44, non nel §45.
Tra l'altro la nota che citi è ben più lunga.

Vedo che mi tocca riportare tutte le note rilevanti, così spero la
faremo finita con le confusioni :-(
Ripeto, per chi si ponesse ora in ascolto, che io ho solo la trad.
italiana (mentre ho il L-L in trad. inglese).
Quindi non posso garantire l'esattezza e fedeltà della traduzione.
Osservo anche che le note nella trad. italiana non hanno una
numerazione progressiva: sono numerate pagina per pagina. Quindi hanno
tutte il n. 1, a meno che non ce ne siano due nella stessa pagina.

La prima nota l'ho già riportata e non mi ripeto.
La seconda è quella che citi tu:

"In alcuni mauali, la proprietà di conservare la forma canonica delle
equazioni di Hamilton è presa come definizione delle trasformazioni
canoniche. In effetti, essa non è equivalente a quella di uso generale
e introdotta sopra. Per esempio, non è canonica nel senso qui adottato
la trasformazione P = 2p, Q = q, che conserva la forma hamiltoniana
delle equazioni di moto. La confusione appare ... " [qui segue quello
che hai scritto tu].

Terza nota, sempre nel §45, 5 pagine più avanti, a proposito
dell'azione di Maupertuis:

"'In quasi tutti i manuali, anche i migliori, questo principio è
presentato in modo tale che non si può capire'. (K. Jacobi, 'Lezioni
di dinamica', 1842-1843, 'Ghostekhizdat', M-L, 1936.). Non mi azzardo
a violare la tradizione. Una 'dimostrazione' istruttiva del principio
di Maupertuis è contenuta nel §44 del manuale di meccanica di Landau e
Lifscits" ('Meccanica', Editori Riuniti, 1976).

Quarta nota, §48:

"Il numero di tipi di funzioni generatrici, nei vari manuali, oscilla
da 4 a 4^n."
[Però mi pare che in L-L non sia dato un numero.]

> Ovviamente non ho capito nemmeno di cosa stia parlando il capitolo,
> ma credo di non aver bisogno di dirlo.
Ma lo sai che cosa sono le trasf. canoniche? Il capitolo parla di
questo.
--
Elio Fabri

pcf ansiagorod

unread,
Sep 20, 2022, 8:35:03 AM (13 days ago) Sep 20
to
> Vedo che mi tocca riportare tutte le note rilevanti, così
> spero la faremo finita con le confusioni :-(

Sorry per essermi come sempre distratto :(

> Ma lo sai che cosa sono le trasf. canoniche? Il capitolo
> parla di questo.

Sì ma è un'argomento a cui ho dato un'occhiata dopo aver finito
gli studi, per una sorta di interesse mio ed era da anni nel
dimenticatoio. Il libro l'ho scorso molto in fretta ma se anche
non fosse stato così anche ora che ci ho dato un'occhiata avrei
avuto e ho ora una certa difficoltà a seguire la sua
presentazione. Prenderò questo thread come occasione per
provare a riguardarmele. Grazie ancora e anche per la II
versione corretta del mini-corso :)
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