Il tempo in meccanica quantistica
Pierluigi Falco
Faccio alcune osservazioni:
-il tempo e' una osservabile, per il sol fatto che e' misurabile
sperimentalmente
-l' energia e' un operatore, e tempo ed energia sono variabili coniugate
(addirittura canoniche!)
-l' esponenziale dell' operatore energia esegue l' evoluzione
temporale, cosi' come l' esponenziale dell' impulso esegue la
traslazione spaziale
-in un certo senso esistono relazioni tra tempo ed energia che
assomigliano molto alla disuguaglianza di Heisemberg
-Schrodinger e De Broglie, nei loro lavori, avevano in mente che il
tempo fosse un operatore
Vittorio Barone Adesi
premettendo che non sono un esperto ed e' tanto che non ci penso piu',
anche se ci ho pensato in passato, e che quindi potrei dire sciocchezze,
questo e' quello che posso dirti(scusa se stravolgo l'ordine delle domande
che hai rivolto):
Pierluigi Falco wrote:
> Come mai il tempo in meccanica quantistica non e' un operatore?
.........taglio(riportato sotto)............
> -l' energia e' un operatore, e tempo ed energia sono variabili coniugate
> (addirittura canoniche!)
e' proporio questo il problema: se si accettasse all'interno della teoria
un operatore autoaggiunto che rappresenti l'osservabile tempo e che sia
canonicamente coniugato all'operatore energia, allora l'operatore unitario
che ha come generatore infinitesimo l'osservabile tempo sarebbe l'operatore
di "traslazione" energetica(cosi' come l'operatore energia e' il generatore
infinitesimo delle traslazioni temporali); cosi' facendo otteresti degli
stati con qualsiasi energia(senza limite superiore o inferiore), ma
sappiamo che alcuni di questi stati non sono fisicamente accettabili: la
materia e' stabile e dunque l'energia *deve* essere limitata inferiormente.
> -il tempo e' una osservabile, per il sol fatto che e' misurabile
> sperimentalmente
visto quello che ho scritto sopra, si dovrebbe capire che forse il tempo e'
un osservabile *solo* classicamente, o quanto meno non e' banale definirlo
in meccanica quantistica.
Esistono, al fine di poter definire per bene cosa potrebbe essere
l'osservabile tempo in meccanica quantistica dei lavori su sistemi di
riferimento quantistici di cui, purtroppo non so nulla, ma potresti cercare
i lavori di Marco Toller, se ti interessa.
> -Schrodinger e De Broglie, nei loro lavori, avevano in mente che il
> tempo fosse un operatore
questo non lo so, sono un po' ignorante di storia della fisica...
Saluti
Vittorio
Antonello Scardicchio
se il tempo fosse un operatore (autoaggiunto) avrebbe autovettori e
autovalori (anche impropri). Che senso daresti ad una funzione d'onda
localizzata su un tempo t_0? Essa sarebbe nulla prima di t_0 e dopo di t_0,
rappresentando una particella che nasce e muore istantaneamente e non
conservando la probabilità nel tempo. In meccanica quantistica classica
questo non ha alcun senso, come capisci bene. La soluzione a questo dilemma
è data dalla meccanica quantistica relativistica (che è una teoria di campo
quantizzata e non può essere altrimenti) dove il tempo e lo spazio sono
trattati alla stessa maniera e sono entrambi parametri e non operatori. Qui
ha senso dire che una particella nasce in un punto dello spazio tempo e si
propaga per andare a 'morire' in un altro punto, purchè l'energia e
l'impulso si conservino (con la creazione e la distruzione di altre
particelle).
Ciao,
Antonello.
Vittorio Barone Adesi
Ciao Antonello,
penso che la risposta che dai non sia corretta, difatti scrivi:
> se il tempo fosse un operatore (autoaggiunto) avrebbe autovettori e
> autovalori (anche impropri). Che senso daresti ad una funzione d'onda
> localizzata su un tempo t_0? Essa sarebbe nulla prima di t_0 e dopo di
> t_0, rappresentando una particella che nasce e muore istantaneamente e non
> conservando la probabilità nel tempo. In meccanica quantistica classica
occhio che mi sembra che non possa essere questa la soluzione perche'
Pierluigi richiede che l'osservabile tempo sia canonicamente coniugato
all'osservabile energia; dunque, non commutando questi operatori,
un'autostato dell'osservabile tempo non si conserva ...nel tempo.
> La soluzione a questo
> dilemma è data dalla meccanica quantistica relativistica (che è una teoria
> di campo quantizzata e non può essere altrimenti) dove il tempo e lo
> spazio sono trattati alla stessa maniera e sono entrambi parametri e non
> operatori. Qui ha senso dire che una particella nasce in un punto dello
no, non mi sembra proprio: li' il problema rimane uguale. Non capisco
perche' dici che scompare: potresti spiegarti meglio?
> spazio tempo e si propaga per andare a 'morire' in un altro punto, purchè
> l'energia e l'impulso si conservino (con la creazione e la distruzione di
> altre particelle).
ma nella teoria dei campi relativistica che senso ha la localizzazione
spaziale di una particella? Dove vedi queste creazioni e annichilazioni?
(Con "dove" intendo spaziotemporalmente)
Non so a cosa ti riferisci(spero non ai diagrammi di Feynmann).
> Ciao,
> Antonello.
Ciao e grazie in anticipo per le delucidazioni.
Vittorio
Elio Fabri
Il fatto che si facciano "misure di tempo" di per se' non garantisce che
debba esistere un'osservabile tempo, nel senso di operatore autoaggiunto
(e infatti non esiste).
Bisognerebbe studiare bene che cosa sono realmente le misure di tempo.
E' stato gia' detto che in mq non rel. il tempo e' un parametro,
esattamente come in m. classica, per cui "misure di tempo" nel senso
proprio della mq sono un non senso...
--
Elio Fabri
Dip. di Fisica "Enrico Fermi" - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica
------------------------------------
Antonello Scardicchio
vediamo se riesco ad essere più chiaro.
Per prima cosa l'esistenza di un autostato di un operatore (ad esempio
dell'operatore tempo, qualora esistesse) prescinde dalla commutatività
dell'operatore stesso con l'hamiltoniano. Ad esempio esiste l'operatore \hat
x di posizione, esistono i suoi autovettori (impropri) e cioè le
\delta(x-x_0), anche se in nessun caso (non banale) x commuta con H. Tu
interpreti le \delta come pacchetti estremamente localizzati. In meccanica
quantistica, infatti, gli autostati di un operatore vanno interpretati come
funzioni d'onda, a prescindere dal fatto che l'operatore commuti o meno con
H o quant'altro. Perchè ciò che vale per un qualsiasi operatore non dovrebbe
valere per l'operatore tempo (qualora questo esistesse)?
Secondo. In meccanica quantistica relativistica esistono gli operatori di
creazione e di distruzione (i campi stessi) delle particelle in determinati
punti dello spazio tempo (indicati come \phi(x,t) o \psi(x,t) a seconda dei
campi). Le particelle vengono create in determinati punti, fatte evolvere e
distrutte in altri punti. Non so se hai mai avuto a che fare con la teoria
di campo quantistica ma li non si fa altro, per calcolare le ampiezze (ad
esempio con i diagrammi di Feynman). Li il problema è risolto imponendo che
anche lo spazio diventi un parametro, come il tempo. La differenza tra i
due viene così a cadere e non ha senso parlare ne di operatore spazio, ne di
operatore tempo.
Spero di essere stato più chiaro,
Ciao,
Antonello.
Vittorio Barone Adesi
grazie per le delucidazioni. Ci sono stati un po' di fraintendimenti,
soprattutto da parte mia, forse per la fretta. Scusa. Avrei ancora qualche
perplessità(vedi sotto)...
"Antonello Scardicchio" <a.scar...@libero.it> ha scritto nel messaggio
news:Hyw37.4179$Pv.1...@news.infostrada.it...
> Ciao Vittorio,
> vediamo se riesco ad essere più chiaro.
> Per prima cosa l'esistenza di un autostato di un operatore (ad esempio
> dell'operatore tempo, qualora esistesse) prescinde dalla commutatività
> dell'operatore stesso con l'hamiltoniano. Ad esempio esiste l'operatore
\hat
.................taglio..............
sono d'accordo con tutto quello che dici qui sopra e con quello che dicevi
l'altra
volta: l'evoluzione temporale di questi stati non sarebbe unitaria e dunque
non
si conserverebbe la probabilità.
Invece non sarei tanto d'accordo con quello che scrivi qui sotto:
> Secondo. In meccanica quantistica relativistica esistono gli operatori di
> creazione e di distruzione (i campi stessi) delle particelle in
determinati
> punti dello spazio tempo (indicati come \phi(x,t) o \psi(x,t) a seconda
dei
> campi). Le particelle vengono create in determinati punti, fatte evolvere
e
> distrutte in altri punti. Non so se hai mai avuto a che fare con la teoria
> di campo quantistica ma li non si fa altro, per calcolare le ampiezze (ad
> esempio con i diagrammi di Feynman).
........................taglio......................
Sì. E' tanto tempo però che non faccio più conti perturbativi sulle ampiezze
di
transizione, ma al corso di fisica teorica avevo visto i grafici di Feynman.
Il punto su cui non sono d'accordo è che si possano interpretare fisicamente
questi grafici in termini di creazioni e distruzioni di particelle in
determinati
punti dello spazio-tempo. Gli "ingredienti" fisici nel calcolo delle
ampiezze
di transizione sono gli stati asintotici e tutta la matrice S; come ben sai
questa viene sviluppata perturbativamente e da un interpretazione di
questo sviluppo perturbativo si tirano fuori questi grafici di Feynman, ma
1) queste particelle che si propagano stanno in genere al di fuori del
mass shell(mentre lo spazio di Fock della teoria è costituito per
costruzione
solo da stati on shell);
2) anche lasciando perdere il punto 1), questi "punti" dello spazio-tempo
sono solo delle variabili su cui si integra....dunque cosa rappresentano
fisicamente?
Insomma, da quanto ho scritto penso tu possa capire che a questi
grafici di Feynman, non ci credo troppo, nel senso che per me sono solo
un modo comodo di rappresentare termini perturbativi.
Forse tu la pensi diversamente e mi piacerebbe discuterne.
Ho di nuovo frainteso quello che hai detto?
Grazie ancora e a presto
> Ciao,
Ciao
> Antonello.
Vittorio
Gianmarco
>ma nella teoria dei campi relativistica che senso ha la localizzazione
>spaziale di una particella? Dove vedi queste creazioni e annichilazioni?
>(Con "dove" intendo spaziotemporalmente)
>Non so a cosa ti riferisci(spero non ai diagrammi di Feynmann).
Scusate se mi intrometto. Però è quel che anch'io mi chiedo. Cioe' puo' accadere, ad esempio dentro un acceleratore di particelle, ovvero in una camera a bolle, di vedere che piu' o meno in un certo luogo avviene una magica trasmutazione. Uno arriva addirittura a calcolare con un modello quantistico la probabilita' che cio' avvenga. La localizzazione in una camera a bolle e' l'effetto di continue interazioni di cui uno sa che avvengono e sa calcolare le sezioni d'urto. Poi scopre che un neutrone e' fatto di quark che continuamente interagiscono fra di loro, pero' se non mette un contorno "classico" da qualche parte non riesce a dare alcun senso a quello che puo' calcolare. O dico sciocchezze. Una cosa che personalmente non ho mai capito e' quando si dice che la m.q. opportunamente unificata puo' dare una descrizione globale dell'universo mediante una funzione d'onda.
Ma per esempio come si fa a dare una descrizione con funzioni d'onda di sistema composto di quark che per interazione debole hanno una "trasmutazione" in qualcos'altro? Dove sta all'inizio la funzione d'onda di quello che trovo alla fine?
Persino dare una caratterizzazione mediante una funzione d'onda di una particella che si muove in un gas e' una cosa che trovo difficile da immaginare.
Gianmarco
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Antonello Scardicchio
non credo che ci siano ancora fraintendimenti e le nostre posizioni sembrano
chiare ad entrambi. E' solo un problema di interpretazione. Gli operatori
\phi, \psi e \psi^+ si chiamano proprio di creazione e distruzione di
particelle e uno puň interpretarli come semplici strumenti matematici per
fare conti perturbativi, oppure come veri e propri processi fisici (virtuali
o reali). Chiaramente la fisica non cambia, perchč, come hai detto tu
giustamente, alla fine si "misura" la matrice S qualunque sia
l'interpretazione che uno da ai propri grafici. Per quanto riguarda invece
l'integrazione sui punti, io non mi preoccuperei troppo: anche nelle due
fenditure alla Young si integra su tutti i punti delle fenditure. E'
l'interpretazione dei percorsi di Feynman, una valida alternativa al
formalismo operatoriale. Come certo saprai nell'idea di Feynman tutti i vari
percorsi possibili danno ampiezze che si sommano. I percorsi sono veri o
soltanto nostre astrazioni? A questa domanda non risponde la fisica (almeno
non ora) ma la filosofia, quindi vuol dire che non č una domanda troppo
interessante.
Ciao e a presto,
Antonello.
Vittorio Barone Adesi
sono d'acordo su tutto, tranne che sul fatto che la filosofia non sia
interessante. In fondo cosa è la fisica? Secondo me è una teoria matematica
accompagnata da una interpretazione fiosofica, senza la quale non le si può
dare alcun collegamento con la realtà...ma queste sono solo considerazioni
personali sulle quali penso di non aver ancora sufficientemente riflettuto e
che forse qui, su questo newsgroup, potrebbero essere OT.
Saluti e a presto e grazie per le risposte
Vittorio
Fabrizio
matematica della
'meccanica quantistica non relativistica', intesa come procedura di
quantizzazione a partire
dalla 'meccanica analitica' classica.
Non e' in discussione, in questa sede (ma sarebbe pure interessante), il ruolo
del tempo in fisica,
percio' non sono attratto dalle risposte al problema che si rifanno ad
argomenti di teoria dei campi.
Se giudicate la mia curiosita' non fisica, ma derivante da noiose
complicazioni matematiche, tenete conto che anche tutto lo studio della
rinormalizzabilita' della teoria dei campi, in questa visione, e' un
solocavillo matematico, visto che una teoria fisica non puo' non includere la
gravitazione. Eppure
essa viene studiata, se non altro per capire cosa non fare quando si sara' in
grado di tentare la quantizzazione della gravita'.
Tornando al problema in questione, credo di aver detto una sciocchezza:
tempo ed energia NON sono variabili canoniche in generale (dico nel senso della
meccanica analitica classica), ma lo sono solo in alcuni casi, ad esempio:
-tutti i sistemi meccanici unidimensionali
-i sistemi tridimensionali con potenziale della forma cost \times r^{-2}
Eppure, in meccanica quantistica le evoluzioni temporali sono, IN OGNI
SISTEMA MECCANICO, generate dall' operatore energia. Cio' e' in contrasto coll'
ipotesi che il tempo sia un operatore.
Ma ho un nuovo argomento a favore.
Nel caso dell' atomo di idrogeno, essendo l' energia e tempo variabili
canoniche (assieme ad altre quattro variabili, che in realta' sono tutti
integrali primi), si puo' riscrivere l' Hamiltoniana
in queste nuove variabili, ottenendo, ovviamente, come nuova Hamiltoniana, la
funzione identita' nella variabile energia ed indipendente dalle altre cinque
variabili canoniche: e' evidente, da questo punto di vista, che allora gli
autostati dell' atomo di idrogeno hanno energia che dipende da UN SOLO numero
quantico (non dipende, ad esempio, dal numero di momento angolare e dallo
spin). Questo fatto, da altri punti di vista, sembrava un grossa stranezza;
infatti non e' cosi' per altri sistemi tridimensionali integrabili,
come l' oscillatore armonico, che pure conserva il momento angolate, ma per il
quale energia e tempo NON sono variabili canoniche.
Vi prego di correggermi se sbaglio.
Antonello Scardicchio
La discussione si era spostata sulle teorie di campo perchè lì il tempo e lo
spazio sono trattati allo stesso modo e in fondo ogni teoria che voglia
comprendere una buona discussione del tempo deve scontrarsi con la
relatività (non credo che sia una inutile complicazione, è necessario). Non
sono d'accordo con quanto dici sulla rinormalizzabilità (anche se capisco
che sto spingendo la discussione fuori dal suo percorso originario). Ormai
non si ritiene più requisito fondamentale per una teoria quella di essere
rinormalizzabile in quanto si sta sviluppando l'idea (t'Hooft e altri) che
tutte le teorie di campo siano teorie efficaci e quindi vadano dotate di una
procedure di regolarizzazione (non rinormalizzazione), cioè definendo un
cutoff. Quindi nessuno si preoccupa eccessivamente della gravitazione e
della sua non rinormalizzabilità (qualora si prenda la teoria di Einstein e
la si quantizzi canonicamente), perchè prendendo un bel cutoff le correzioni
ai risultati all'ordine zero nella costante di Einstein saranno comunque
piccoli. La rinormalizzabilità viene studiata senza soffrire il panico per
la non rinormalizzabilità della gravitazione (questa è la mia impressione e
quella di quelli che io conosco e che si occupano della questione).
Venendo a quello che dici. Primo, dove hai letto (forse sul Goldstein, che
non ho sotto mano?) che il tempo e H sono variabili canoniche coniugate in
-tutti i sistemi meccanici unidimensionali
-i sistemi tridimensionali con potenziale della forma cost \times r^{-2}
V=cost.r^{-1}?
In questo caso non ti sembra strano che una proprietà che dovrebbe valere
per tutti i sistemi, data dalla fisica secondo te, valga soltanto per una
sottoclasse molto ristretta? A me sembra più una proprietà matematica che
fisica, forse stai definendo come "il tempo" qualcosa che genera (con
qualche passaggio algebrico) un integrale primo del moto alternativo a
energia, impulso e momento angolare come nel potenziale coulombiano il
vettore che connette il centro con il perielio (questo c'è anche sul
Goldstein e sul Landau).
Io non mi fisserei troppo sul problema se fossi in te, non mi sembra molto
interessante.
Ciao,
Antonello.
Valter Moretti
> Tornando al problema in questione, credo di aver detto una sciocchezza:
> tempo ed energia NON sono variabili canoniche in generale (dico nel senso
> della
> meccanica analitica classica), ma lo sono solo in alcuni casi, ad esempio:
> -tutti i sistemi meccanici unidimensionali
> -i sistemi tridimensionali con potenziale della forma cost \times r^{-2}
Non capisco proprio quanto hai detto.
Cosa intendio per variabili canoniche? In meccanica classica il tempo
non e` una variabile canonica mai, per costruzione.
Ti devi mettere nello spazio-tempo delle fasi e partire da variabili
hamiltoniane standard q, p ed eseguire una trasformazione di
coordinate
della forma
t -> t'=t
q -> q'= q'(t,q,p)
p -> p'= p'(t,q,p)
La trasformazione e` detta canonica se *a t fissato* la matrice
Jacobiana
delle M due ultime equazioni soddisfa M J M^t = J dove J e` la matrice
con i vari -1 e +1 sull'antidiagonale e tutti gli altri elementi
nulli.
Se la trasformazione e` quella detta allora le nuove variabili q'p'
sono dette canoniche. Non si puo` scegliere una p' o una q' uguale a t
perche` t e` tenuto fisso sopra! Quindi dire che t e` una variabile
canonica e` privo di senso in ogni caso. Le variabili q e p e le
associate
canoniche q'e p' sono delle *variabili* che permettono di descrivere
la configurazione hamiltoniana del sistema ad ogni fissato istante t,
quindi
t per sua natura non puo' mai essere una variabile del tipo detto
sarebbe
una costante per ogni t.
Quello che puo` accadere, ed e` questo che forse stai dicendo, e` che
ci
siano sistemi fisici in cui ci siano coordinate canoniche di cui una
variabile diciamo q (che magari abbia parentesi di Poisson unitaria
rispetto
ad un'altra variabile corrispondente all'energia per qualche
osservatore),
*su qualche moto del sistema* coincide numericamente con il tempo t.
Ma questa e` tutta un'altra cosa perche` hai fissato un moto del
sistema.
In meccanica Hamiltoniana classica il tempo gioca il ruolo di
parametro
e non di variabile canonica e cio' e` in accordo con quanto succede in
MQ:
le osservabili quantistiche le associ alle funzioni (indipendenti dai
singoli moti) delle variabili canoniche classiche, per cui non c'e'
necessita` diretta
di associate al tempo un'osservabile quantistica tramite i principi di
corrispondenza.
Come ho gia` raccontato altre volte, se poi uno cerca di definire un
operatore
autoaggiunto che soddisfi le relazioni di commutazione canoniche con
l'operatore hamiltoniano, segue che quest'ultimo non puo' avere un
limite
inferiore dello spettro (energie illimitate inferiormente) e cio'
produce
patologie fisiche inaccettabili...
Ciao, Valter
Fabrizio del Dongo
discussione precedente non è abbastanza interessante (o comunque non mi pare
siano venute fuori novità, oltre alla iniziale osservazione sullo spettro
limitato dell' energia).
A questo punto mi interessa più verificare la mia comprensione della
meccanica classica, in particolar modo delle trasformazioni canoniche.
A parte evidenti errori (in tre dimensioni dico che i sistemi con variabili
canoniche tempo ed energia sono quelli coulombiani, cioè del tipo cost
r^(-1), non cost r^(-2), naturalmente), cercherò di esprimermi con più
precisione.
Una trasformazione canonica non ha solo la proprietà della linearizzazione
detta da Valter (la linearizzazione di una trasformazione canonica è una
matrice la cui inversa gode di certe proprietà), ma è anche definibile a
partire da una "funzione generatrice".
Sul libro di G.Gallavotti (Meccanica elementare, in versione sia italiana
che inglese) la canonicità delle variabili energia e tempo di certi sistemi
è dimostrata (a mio modo di vedere) negli "Schemi di esercizi"di pag 229
della versione italiana, per i sistemi unidimensionali, e a pag 289 per il
sistema kepleriano.
Nel primo caso, si passa dalle variabili (p,q) alle variabili (E, k), ove la
prima è l' energia del sistema, tramite la funzione generatrice
S(E,q)=\int_0^q \radice[2m(E-V(x)] dx
ove V(q) è il potenziale, m è la massa. E' facile rendersi conto che la
derivata di S(E,q) rispetto a q dà l' impulso: allora trattasi di una ben
posta funzione generatrice; la derivata di S(E,q) rispetto ad E sarà allora
la definizione della nuova variabile k, la cui espressione non scrivo
esplicitamente. Quel che conta per l' interpretazione di k, infatti, è solo
che (E,k) sono canoniche: la Hamiltoniana nelle nuove variabili sarà
semplicemente la funzione identità nella variabile E:
H(p,q)=H'(E,k)=E
e dalle equazioni di Hamilton segue che E(t) è costante (come ci si
aspettava) e, soprattutto, che k(t)=t !!!
Allora la seconda variabile canonica è il tempo.
Nel caso del problema kepleriano, si ragiona allo stesso modo, ma in
coordinate polari: a pag 288 si parte già dal moto kepleriano sul piano:
dalle coordinate (P_\rho, P_\theta, \rho, \theta) si vuole passare alle
variabili (E, A, k,h) tramite la funzione generatrice:
S(E,A,\rho,\theta)=A\theta + \int_0^\rho \radice[2m(E-V(x)+ (A / \rho)^2)]
dx
ove V(\rho) è il potenziale kepleriano ed (A/\rho)^2 è il potenziale
efficace che viene fuori in coordinate polari dal momento angolare A.
Si vede che le derivate di S(E,A,\rho,\theta) rispetto a \rho e \theta danno
proprio P_\rho e P_\theta rispettivamente, quidi la funzione generatrice va
bene. Come sopra si dimostra che le equazioni del moto danno k(t)=t !!!
Mi pare, a questo punto, che quantizzare k significhi quantizzare il tempo.
Come si risolva il problema dello spettro limitato dell' energia non lo so.
Dico solo che in quest' ottica, il fatto che lo spettro dell' atomo di
idrogeno in meccanica quantistica ha un solo numero quantico (cioè è
degenere nel momento angolare), mentre, ad esempio, l' oscillatore armonico
ha anche un numero quantico riferito al momento angolare, non è
sorprendente.
Fabrizio del Dongo
giorni) ed al momento in cui scrivo non e' ancora apparso l' articolo del
quale mi accingo ora a fare delle correzioni. (Le variabili canoniche in
meccanica classica (ex: Ancora sul Tempo in meccanica quantistica))
Naturalmente quello che dicevo a proposito del potenziale kepleriano e la
funzione generatrice della trasformazione canonica
valgono per tutti i problemi di forze "centrali"; ossia, se č corretto quel
risultato, in tutti questi problemi il tempo e l' energia sono variabili
canoniche.
Altro errore č che in meccanica quantistica ANCHE l' oscillatore armonico 3D
ha livelli energetici che dipendono da un solo numero
quantico (non dipende dal momento angolare): cio' č compatibile, allora, con
la correzione sopra.
Sono sorpreso, perche' mi ero figurato che solo i sistemi periodici avessero
il tempo come variabile canonica, mente in generale i sistemi con forze
centrali (sempre integrabili per quadrature) sono solo quasi-periodici.
Rimane il fatto che quando l' energia e' variabile canonica, l' altra e'
sicuramente il tempo; cosi' quando il tempo non lo e', non lo e' neppure l'
energia. Morale: se in mecc. quantistica il tempo non e' un operatore, non
lo dovrebbe essere neanche l' energia.
Questo solo per ribadire qual era l' errore che avevo trovato nella ricetta
di quantizzazione canonica, cosi' come superficialmente viene raccontata.
Non ritornerň su questo argomento, come dissi; preferisco riflettere sulla
meccanica razionale, ora!
FdD
Valter Moretti
>
> Una trasformazione canonica non ha solo la proprietà della linearizzazione
> detta da Valter (la linearizzazione di una trasformazione canonica è una
> matrice la cui inversa gode di certe proprietà), ma è anche definibile a
> partire da una "funzione generatrice".
>
Ciao, si,
e` una conseguenza della validita` della "condizione di Lie", ma la
definizione e` normalmente quella che ho detto io (ovviamente esistono
tante definizioni equivalenti e tu puoi usare quella che vuoi).
> Nel primo caso, si passa dalle variabili (p,q) alle variabili (E, k), ove la
> prima è l' energia del sistema, tramite la funzione generatrice
>
> S(E,q)=\int_0^q \radice[2m(E-V(x)] dx
>
> ove V(q) è il potenziale, m è la massa. E' facile rendersi conto che la
> derivata di S(E,q) rispetto a q dà l' impulso: allora trattasi di una ben
> posta funzione generatrice; la derivata di S(E,q) rispetto ad E sarà allora
> la definizione della nuova variabile k, la cui espressione non scrivo
> esplicitamente. Quel che conta per l' interpretazione di k, infatti, è solo
> che (E,k) sono canoniche: la Hamiltoniana nelle nuove variabili sarà
> semplicemente la funzione identità nella variabile E:
>
> H(p,q)=H'(E,k)=E
>
> e dalle equazioni di Hamilton segue che E(t) è costante (come ci si
> aspettava) e, soprattutto, che k(t)=t !!!
> Allora la seconda variabile canonica è il tempo.
... pero' fai le cose con calma!
Vedo che stai usando quelle che si chiamano variabili
"angolo azione". Andiamo con calma. Ad ogni fissato tempo t
il sistema e` descrivibile da due paramtri che lo
identificano completamente, tali parametri sono q e p,
con la trasformazione canonica provi che puoi anche
usare i parametri E e k legati biunivocamente a q e p
dalla trasformazione canonica stessa. Fissato t, q e p
li puoi scegliere *arbitrariamente* per dare le condizioni
iniziali. Cio' equivale a dire che fisstao t, E e k li
puoi scegliere arbitrariamente per dare le condizioni
iniziali. Questo fatto *da solo* ti dice che k non e`
il tempo, perche` se lo fosse diresti che
"al tempo t FISSATO, E e t li posso scegliere arbitrarimante"
e questo e` un controsenso.
Pero` e` verissimo che k e` legato al tempo e nel senso che dici
tu.
k e E sono *indipendenti dal tempo* fino a quando
non scegli un moto ossia condizion iniziali.
Le equazioni di Hamilton dicono che *sui moti* la derivata
di k rispetto al tempo e` costante e vale 1.
Quindi preso un moto, vale
k(t) = t + C
dove C e' una costante che e` proprio una delle due condizioni
iniziali (l'altra e` E stesso): C ed E le trovi dalle condizioni
iniziali in q e p tramite la trasformazione canonica.
Quindi NON e` vero che k e` il tempo, ma e` vero, che su ogni
singolo moto k vale quanto il tempo a parte la costante
iniziale *che dipende dal singolo moto*.
> Mi pare, a questo punto, che quantizzare k significhi
> quantizzare il tempo.
Secondo me non e` vero, perche` k e` il tempo solo
"sui moti classici del sistema" e la relazione tra k e il
tempo *dipende dal moto scelto del sistema* e questa condizione
non e` esprimibile in termini quantistici.
Voglio dire se clasicamente io ti assegno il valore di k tu mi
puoi dire a che tempo t corrisponde *solo se ti dico anche quali
erano le condizioni inziali del sistema*, in altre parole se ti
dico quanto vale C di sopra, Ora prova a tradurre "quantisticamente"
tale fatto e vedrai che e` impossibile...
> Come si risolva il problema dello spettro limitato dell' energia non lo so.
Il probelema si pone ANCHE se k non rappresenta il tempo:
se soddisfacesse le relazioni canoniche (come operatore) con H
saremmo comunque nei guai.
Prima di tutto bisognerebbe prendere k e costruire un operatore K
autoaggiunto che giochi il ruolo di k. Non e` per niente ovvio come
fare:
quando espliciti k in funzione di q e p viene fuori un mostro.
Uso l'hamiltoniano dell'oscillatore armonico p^2/2 + omega^2 q^2/2
k = (1/omega) arcsin( omega q / sqrt(p^2 +omega^2 q^2))
a che cosa corrisponde questo quantisticamente???
NOTA: p e q non commutano per cui non si puo` brutalmente
sostituire a p e q i rispettivi operatori, non vorrebbe dire
niente. Senza rispondere a questo punto non c'e'nemmeno un
candidato quantistico per k e tutti i discorsi sarebbero
campati in aria. Se hai qualche suggerimento io sono qui :-).
La risposta che io ti fornisco e` la seguente: comunque tu
definisci k quantisticamente, non otterrai *mai* che esso e`
autoaggiunto e soddisfa le relazioni canoniche con H
dell'oscillatore armonico (piu' precisamente le relazioni di Weyl).
Questo perche` se cio' fosse H non sarebbe limitato
dal basso e invece sappiamo che lo e`. Ma questo e` indipendente
dal fatto che K rappresenti il tempo o meno.
Ciao, Valter
Elio Fabri
anche perche' mostra un difetto didattico: questa roba di solito viene
insegnata o da matematici, in modo rigoroso ma astruso, o da fisici, in
modo "semplice" ma pasticciato.
Credo di aver gia' scritto, forse un anno fa o piu', che quando ho letto
l'Arnold mi sono detto: "bellissimo; ora occorrerebbe tradurlo in un
linguaggio leggibile per un fisico".
Ovviamente Valter ha ragione: le due var. coniugate sono E e k; a k si
puo' dare un'espressione piu' semplice:
k = (1/omega) arctg(omega q / p).
Una volta scritta questa trasf. canonica, dato che H=E, le eq. di
Hamilton per E, k sono:
dE/dt=0, dk/dt=1.
La seconda fornisce k=t+c, ma sarebbe sbagliato concluderne che k *e'*
il tempo...
Mi pare che i concetti si chiariscono se si esprimono in modo
geometrico.
Abbiamo lo spazio delle fasi, che per un sistema a un grado di liberta'
e' il piano R^2, dotato di una particolare struttura (simplettica,
anziche' metrica). Su questo piano possiamo definire infiniti sistemi di
coordinate, tra le quali sono privilegiate quelle canoniche, nelle quali
la struttura simplettica assume una forma semplice (come capite per la
struttura euclidea in coord. cartesiane).
Una trasf. canonica non e' che il passaggio da un sistema di coord.
canoniche (q,p) a un altro (Q,P).
Si puo' scegliere ad arbitrio una delle due coordinate; l'altra risulta
determinata (all'incirca) dalla condizione {Q,P}=1.
Tutto questo precede la specificazione della dinamica, ossia la scelta
della hamiltoniana H (o equiv. di un particolare flusso di fase).
Il flusso hamiltoniano ha le sue curve integrali, parametrizzate dal
parametro t (che non e' quindi una coordinata).
In particolare, si puo' scegliere Q=H; esiste il momento coniugato P, e
se ne guardiamo il valore *su una curva integrale* troviamo che coincide
con t, a meno di una costante additiva. Ma e' ovvio che non avrebbe
senso dire che P=t, o che t e' il momento coniugato a H.
Passando all'aspetto quantistico, avrei due commenti.
1. Il momento coniugato all'energia non esiste, ma non solo perche'
l'en. ha uno spettro limitato inferiormente: anche perche' (per l'osc.
armonico) ha autovalori discreti.
Infatti e' facile dimostrare che se A,B sono autoaggiunti e soddisfano
la rel. di Weyl il loro spettro e' l'intera retta reale.
2. Su tutto questo non ci piove, ma vorrei capire di piu'. Dato che in
un qualche senso la m. classica e' caso limite della m. quantistica, mi
domando se non si potrebbe trovare un op. che approssimi in qualche
senso l'energia (per es. per grandi numeri quantici) e che abbia un
momento coniugato. Per quanto ho detto, dovrebbe avere spettro continuo,
ma non so dire niente di piu'
Fabrizio del Dongo
"Valter Moretti" <mor...@science.unitn.it> ha scritto nel messaggio
news:3B713890...@science.unitn.it...
> Fabrizio del Dongo wrote:
>
> >
> > Una trasformazione canonica non ha solo la proprietà della
linearizzazione
> > detta da Valter (la linearizzazione di una trasformazione canonica è una
> > matrice la cui inversa gode di certe proprietà), ma è anche definibile a
> > partire da una "funzione generatrice".
> >
> Ciao, si,
> e` una conseguenza della validita` della "condizione di Lie", ma la
> definizione e` normalmente quella che ho detto io (ovviamente esistono
> tante definizioni equivalenti e tu puoi usare quella che vuoi).
>
Non conosco la condizione di Lie ( ne' quella di Weyl) a cui Valter si
riferisce (immagino che l' abbia studiata sull' Arnold, libro che io non
sono mai riuscito a penetrare...sob!). Tanto per fare il raffinato su
questioni di lana caprina, dirò che NON tutte le trasformazioni canoniche
(nel senso che l' inversa della matrice della loro linearizzazione gode di
certe proprietà) è ricavabile da una funzione generatrice, come la
trasformazione canonica che permuta le variabili canoniche di partenza: ma
ogni trasformazione canonica è una permutazione composta ad una
trasformazione canonica della quale esiste una generatrice!!!
> Vedo che stai usando quelle che si chiamano variabili
> "angolo azione". Andiamo con calma. Ad ogni fissato tempo t
> il sistema e` descrivibile da due paramtri che lo
> identificano completamente, tali parametri sono q e p,
> con la trasformazione canonica provi che puoi anche
> usare i parametri E e k legati biunivocamente a q e p
> dalla trasformazione canonica stessa. Fissato t, q e p
> li puoi scegliere *arbitrariamente* per dare le condizioni
> iniziali. Cio' equivale a dire che fisstao t, E e k li
> puoi scegliere arbitrariamente per dare le condizioni
> iniziali. Questo fatto *da solo* ti dice che k non e`
> il tempo, perche` se lo fosse diresti che
> "al tempo t FISSATO, E e t li posso scegliere arbitrarimante"
> e questo e` un controsenso.
Non capisco questo punto. Si e' visto che E e k sono due oneste variabili
canoniche perche' ho esibito la loro funzione generatrice: la loro
interpretazione fisica, in un primo momento, non mi interessa! Se avevo il
problema di trovare i moti del sistema di hamiltoniana H, con dato
iniziale (p_0,q_0), al tempo t_0, ora so che posso equivalentemente
risolvere il problema associato all' Hamiltoniana con dato iniziale
(E(p_0,q_0),k(p_0,q_0)), sempre al tempo t_0.
Ora succede che, per aver scelto la dipendenza di E da p e q coincidente con
la dipendenza dell' Hamiltoniana da p e q, il moto "vero" e' tale che :
E(t) = E(t_0)
k(t) = t-k(t_0)
Inoltre, dalla relazione esplicita di k in funzione di p e q, calcolata sul
moto vero, viene furori che k(t_0) = t_0.
Allora, ESCLUSIVAMENTE lungo le traiettorie del moto "vero", la variabile
E ha il significato di energia del sistema e la variabile k ha il
significato di tempo trascorso a partire dal tempo iniziale.
Mi pare, grosso modo (in specifico, come detto, non ho capito), che Valter
obietti proprio che non e' sufficiente che k abbia il significato di tempo
solo lungo il moto vero; ma questa e' la stessa identica situazione dell'
Hamiltoniana: essa ha si' il significato di energia, ma ESCLUSIVAMENTE sul
moto "vero"!!! Cioe' in meccanica quantistica NON esiste un operatore
energia, ma solo un operatore detto Hamiltoniano i cui autovalori sono l'
"energia" dei suoi autostati (questo mi pare pacifico!!!). Allo stesso
modo la variabile canonica k deve diventare in meccanica quantistica un
operatore: la mia proposta e' che i suoi autostati siano di "durata"
fissata (ad esempio potrebbero essere stati di particelle che decadono dopo
un tempo preciso, senza dispersione temporale).
Poiche' E e k li ho trovati con una trasformazione canonica a partire da p
e q, sono sicuro che la sue parentesi di Poisson, che in mecc quant. e' il
commutatore, e' lo stesso di [p,q], e quindi l' esponenziale di k deve fare
le traslazioni degli autovalori di E ... arrivando cosi' al problema gia'
ampliamente discusso dello spettro di energia limitato.
In generale le trasformazioni canoniche NON hanno nulla a che vedere con la
dinamica, le posso usare, cioe', senza modificare in nulla la loro
costruzione, per qualsiasi Hamiltoniana. Ma il loro significato cambia da
sistema a sistema: solo quando una di queste nuove variabili canoniche
coincide con l' Hamiltoniana di partenza, posso dire che tra le nuove
variabili c' e' l' energia ed il tempo.
Nei sistemi la cui Hamiltoniana puo' essere vista come una nuova variabile
canonica, la sua "associata" avra' sempre il significato fisico di tempo, e
questo succede, come altre volte detto, almeno in tutti i sistemi
unidimensionali ed in quelli tridimensionali con campo delle forze centrale.
Cosa succede quando l' Hamiltoniana non puo' essere una nuova variabile
canonica? In meccanica quantistica E e k saranno comunque degli operatori
per il sol fatto di essere funzione degli operatori p e q, ma le loro
relazioni di commutazione non saranno le stesse di p e q, quindi con l'
esponenziale dell' uno non faccio piu' le traslazioni degli autovalori dell'
altro. Eppure gli autovalori di E li chiamo comunque "energie", mentre
quelli di k NON POSSO chiamarli "durate" perche' k(t) classica ha, in questo
caso, un andamento complicato: questa asimmetria risiede, in definitiva,
nella stessa asimmetria che vi e' in meccanica classica, nelle cui equazioni
del moto compaiono le variabili canoniche comunque derivate rispetto al
tempo.
Forse sono tornato a quanto diceva Valter; quest' ultima analisi, pero',
vale solo per i sistemi la cui Hamiltoniana non e' una possibile nuova
variabile canonica. Eppoi non mi pare perticolarmente illuminante.
> Prima di tutto bisognerebbe prendere k e costruire un operatore K
> autoaggiunto che giochi il ruolo di k. Non e` per niente ovvio come
> fare:
> quando espliciti k in funzione di q e p viene fuori un mostro.
> Uso l'hamiltoniano dell'oscillatore armonico p^2/2 + omega^2 q^2/2
>
> k = (1/omega) arcsin( omega q / sqrt(p^2 +omega^2 q^2))
>
> a che cosa corrisponde questo quantisticamente???
> NOTA: p e q non commutano per cui non si puo` brutalmente
> sostituire a p e q i rispettivi operatori, non vorrebbe dire
> niente.
Anche quando scrivo l' Hamiltoniano ho una funzione di due operatori che non
commutano: eppure me la cavo (scrivendo p come la derivata in q, il che
deriva dalle relazioni di commutazione); inoltre anche quando scrivo una
qualsiasi osservabile fisica ho da maneggiare una funzione di p e q e me la
DEVO cavare se voglio dare un senso alla teoria!!!
Se le cose stanno cosi', e' poi chiaro quale significato ha la complicata
espressione per k trovata sopra: il significato di tempo, per mera
TUTOLOGIA!!!
> > Come si risolva il problema dello spettro limitato dell' energia non lo
so.
>
> Il probelema si pone ANCHE se k non rappresenta il tempo:
> se soddisfacesse le relazioni canoniche (come operatore) con H
> saremmo comunque nei guai.
> La risposta che io ti fornisco e` la seguente: comunque tu
> definisci k quantisticamente, non otterrai *mai* che esso e`
> autoaggiunto e soddisfa le relazioni canoniche con H
> dell'oscillatore armonico (piu' precisamente le relazioni di Weyl).
> Questo perche` se cio' fosse H non sarebbe limitato
> dal basso e invece sappiamo che lo e`. Ma questo e` indipendente
> dal fatto che K rappresenti il tempo o meno.
>
questa cosa, pero', succede a qualsiasi coppia di variabili canoniche: mica
e' sempre vero che un operatore, se era una variabile canonica in mecc
classica, non puo' avere uno spettro limitato. Ansi, ugual paradosso si
avrebbe per operatori "canonici" il cui spettro e' si' non limitato, ma
discreto, e non composto da TUTTI i multipli interi di tutti gli
autovalori non multipli tra loro: se nello spettro non ci sono tutti i
multipli di un certo autovalore A, dopo un po' di traslazioni di passo A
vado a finire su un autovalore che non esiste!!!
Pertanto, questo argomento, piu' che minare il ruolo di operatore della
variabile fisica tempo, mina in generale tutta la ricetta della
quantizzazione canonica, a meno di qualche MIRACOLOSO teorema sugli spettri
delle variabili canoniche che io non conosco.
Valter Moretti
> Non conosco la condizione di Lie ( ne' quella di Weyl) a cui Valter si
> riferisce (immagino che l' abbia studiata sull' Arnold, libro che io non
> sono mai riuscito a penetrare...sob!).
Ciao, no, non l'ho studiata sull'Arnold anche se c'e',
che e` un po` vecchiotto come testo, ance se secondo me e` il migliore
in circolazione. Noi qui usavamo una formulazione basata sui jet-bundles
su cui non credo che esista qualche libro di testo. Dico *usavamo*
perche` ora con il nuovo ordinamento dei corsi piu` della 4 operazioni
non usiamo (quando vado a fare gli esercizi agli studenti di fisica
e` gia` tanto se uso F=ma...Invece per i matematici non c`e` problema:
non e` piu` obbligatorio che facciano corsi di meccanica analitica,
infatti non lo fa piu` nessuno :-( ).
> Tanto per fare il raffinato su
> questioni di lana caprina, dirņ che NON tutte le trasformazioni canoniche
> (nel senso che l' inversa della matrice della loro linearizzazione gode di
> certe proprietą) č ricavabile da una funzione generatrice, come la
> trasformazione canonica che permuta le variabili canoniche di partenza: ma
> ogni trasformazione canonica č una permutazione composta ad una
> trasformazione canonica della quale esiste una generatrice!!!
>
Infatti la definizione migliore e` quella non basta sulle funzioni
generatrici che usa la matrice simplettica...
> Non capisco questo punto. Si e' visto che E e k sono due oneste variabili
> canoniche perche' ho esibito la loro funzione generatrice: la loro
> interpretazione fisica, in un primo momento, non mi interessa! Se avevo il
> problema di trovare i moti del sistema di hamiltoniana H, con dato
> iniziale (p_0,q_0), al tempo t_0, ora so che posso equivalentemente
> risolvere il problema associato all' Hamiltoniana con dato iniziale
> (E(p_0,q_0),k(p_0,q_0)), sempre al tempo t_0.
> Ora succede che, per aver scelto la dipendenza di E da p e q coincidente con
> la dipendenza dell' Hamiltoniana da p e q, il moto "vero" e' tale che :
> E(t) = E(t_0)
> k(t) = t-k(t_0)
> Inoltre, dalla relazione esplicita di k in funzione di p e q, calcolata sul
> moto vero, viene furori che k(t_0) = t_0.
> Allora, ESCLUSIVAMENTE lungo le traiettorie del moto "vero", la variabile
> E ha il significato di energia del sistema e la variabile k ha il
> significato di tempo trascorso a partire dal tempo iniziale.
> Mi pare, grosso modo (in specifico, come detto, non ho capito), che Valter
> obietti proprio che non e' sufficiente che k abbia il significato di tempo
> solo lungo il moto vero; ma questa e' la stessa identica situazione dell'
> Hamiltoniana: essa ha si' il significato di energia, ma ESCLUSIVAMENTE sul
> moto "vero"!!!
No non e` cosi' dimentichi in che ambiente siamo:
lo spazio delle fasi.
Non c'e' bisogno di fissare un moto per interpretare le osservabili:
lo stato nello spazio delle fasi lo determina automaticamente!
Mi spiego meglio.
Uno stato nello spazio delle fasi e` definito assegnadone un punto
ad un tempo t,q,p. Cio' equivale a fissare un moto:l'unico moto che a t
passa per q, p. Le osservabili classiche sono funzioni dallo spazio
delle fasi prodotto caresiano con l'asse dei tempi a valori in R.
(in realta` bisognerebbe introdurre lo "spaziotempo delle fasi"
ma non mi dilungo). L'hamiltoniana e` un'osservabile ben definita.
Quando assegni lo stato: (t,q,p) e H(t,q,p) e` l'hamiltoniana dello
stato
(t,q,p) o che e` lo stesso, se valgonio certe condizioni, e`
l'energia (rispetto ad un certo riferimento) dello stato ovvero
dell'unico
moto che passa al tempo t per q,p.
La funzione k e` una funzione dello stato anche lei ed e` quindi
un'osservabile. Tuttavia *e` falso* che per ogni t,q, p
k(t,q,p) = t
come invece vorresti.
> Cioe' in meccanica quantistica NON esiste un operatore
> energia, ma solo un operatore detto Hamiltoniano i cui autovalori sono l'
> "energia" dei suoi autostati (questo mi pare pacifico!!!). Allo stesso
> modo la variabile canonica k deve diventare in meccanica quantistica un
> operatore: la mia proposta e' che i suoi autostati siano di "durata"
> fissata (ad esempio potrebbero essere stati di particelle che decadono dopo
> un tempo preciso, senza dispersione temporale).
>
Mi dispiace, non ho capitio niente :-(
> Cosa succede quando l' Hamiltoniana non puo' essere una nuova variabile
> canonica? In meccanica quantistica E e k saranno comunque degli operatori
> per il sol fatto di essere funzione degli operatori p e q,
Scusa ma quasta e` uno slogan in generale falso (vedi anche sotto)
Se hai due operatori le cui misure spettrali non commutano
non c`e` alcun modo generale, anzi in generale *e` impossibile*, di
definire le funzioni di tali operatori (di entrambi gli operatori
insieme). Se qualcuno ti ha detto il contrario ti ha mentito!
Ci sono casi particolari dove l'associazione dell'operatore
e`abbastanza univoca (es. operatori del tipo Schroedinger),
ma in generale non e` cosi'.
>
> Anche quando scrivo l' Hamiltoniano ho una funzione di due operatori che non
> commutano: eppure me la cavo (scrivendo p come la derivata in q, il che
> deriva dalle relazioni di commutazione); inoltre anche quando scrivo una
> qualsiasi osservabile fisica ho da maneggiare una funzione di p e q e me la
> DEVO cavare se voglio dare un senso alla teoria!!!
Infatti mica e` detto che tutto quallo che scrivi classicamente abbia un
senso
quantistico. In questi casi e` la matematica che dice se la cosa puo`
avere
senso o no (la fisica dice l'ultima parola pero').
Se prendi operatori di tipo Schroedinger P^2 + V(x) che sono
combinazioni lineari
di osservabili, allora c`e` essenzialmente un unico modo di definirli
come
operatori autoaggiunti rappresentanti osservabili (non la faccio lunga
ma
la cosa e` abbastanza complicata anche in questo semplice caso), ma se
prendi
funzioni piu` complicate (solo di poco, basta che prendi una funzione
trascendente) allora e` impossibile avere una ricetta generale.
> Ansi, ugual paradosso si
> avrebbe per operatori "canonici" il cui spettro e' si' non limitato, ma
> discreto, e non composto da TUTTI i multipli interi di tutti gli
> autovalori non multipli tra loro: se nello spettro non ci sono tutti i
> multipli di un certo autovalore A, dopo un po' di traslazioni di passo A
> vado a finire su un autovalore che non esiste!!!
Infatti non ho capito tutto quello che hai scritto ma credo che tu
abbia ragione: in quei casi la teoria quantistica
e` mal posta e a cose classica NON corrisponde niente di quantistico.
Per esempio Dirac stesso prese un granchio pensando che il momento
angolare lungo un asse e l'angolo di rotazione attorno a tale asse
fossero variabili coniugate quantistiche... mi pare che sul Davidov
ci sia una spiegazione abbastanza da 'fisici' sul perche` questo e`
impossibile...
> Pertanto, questo argomento, piu' che minare il ruolo di operatore della
> variabile fisica tempo, mina in generale tutta la ricetta della
> quantizzazione canonica,
Ma e` vero! La ricetta della quantizzazione canonica
"funziona quando funziona": e` solo una guida spesso buona,
ma non infallibile e nemmeno l'unica, e bisogna vagliarla
con tante altre cose sia fisiche che matematiche.
Ci sono un mucchio di esempi in vari campi: in teoria dei campi
produce dei disastri con il campo elettromagnetico e tutte le
teorie di gauge (ma anche per i campi di spin intero massivi)
e per uscirne bisogna faticare non poco...c`e` gente che e` diventata
famosa occupandosi di quel problema.
In fondo la meccanica classica NON determina quella quantistica, nemmeno
a livello di osservabili significative.
Per esempio si trova scritto sui libri che le trasformazioni canoniche
"corrispondono" a trasformazioni unitarie in MQ. Anche qui a voler
prendere
alla lettera la cosa vengono fuori dei problemi. Non la faccio lunga
perche`
non ho tempo, se ti capita procurati il bel libro "Le radici della
quantizzazione" di Sandro Graffi della collana Quaderni di Fisica
Teorica
edito Dall'universita' di Pavia (magari scrivi all'autore).
Ci sono un bel po` di cose del tipo di quelle che ti interessano sul
rapporto
tra teoria canonica classica e quantistica e vedrai che le cose non sono
*per niente banali* quando cerchi davvero di andare a fondo nelle solite
"ricette" che si raccontano nei corsi.
Senti io direi di chiudere qui questa discussione, tanto io non saprei
piu` cosa dirti e ora dovrei finire di scrivere un articolo per cui
chiudo per
un po' con il NG. Forse Elio Fabri, che e` tornato, ha voglia di
continuare
la discussione su queste interessanti e complicatissime questioni.
Ciao, Valter
Fabrizio
classica (devo fare a breve il concorso per il dottorato e cio' mi e' molto
utile...)
Elio Fabri wrote:
> Ovviamente Valter ha ragione: le due var. coniugate sono E e k; a k si
> puo' dare un'espressione piu' semplice:
> k = (1/omega) arctg(omega q / p).
> Una volta scritta questa trasf. canonica, dato che H=E, le eq. di
> Hamilton per E, k sono:
> dE/dt=0, dk/dt=1.
> La seconda fornisce k=t+c, ma sarebbe sbagliato concluderne che k *e'*
> il tempo...
Come gia' detto, a mio parere sia E che k non hanno il significato
rispetivamente di energia e tempo: lo acquisiscono solo lungo il moto vero
(Valter non e' daccordo, ma non ne spiega il motivo...). Ossia se calcolo l'
Hamiltoniana lungo una traiettoria diversa da quella data dalle eq.ni di
Hamilton, essa non ha il significato di energia (la parte cinetica, almeno,
risulta errata). Mi pare che il discorso debba valere anche per il tempo: in
genere k non ha significato di tempo, ma lo ha per i moti soluzione delle
eq.ni di Hamilton
>
> Tutto questo precede la specificazione della dinamica, ossia la scelta
> della hamiltoniana H (o equiv. di un particolare flusso di fase).
> Il flusso hamiltoniano ha le sue curve integrali, parametrizzate dal
> parametro t (che non e' quindi una coordinata).
> In particolare, si puo' scegliere Q=H; esiste il momento coniugato P, e
> se ne guardiamo il valore *su una curva integrale* troviamo che coincide
> con t, a meno di una costante additiva. Ma e' ovvio che non avrebbe
> senso dire che P=t, o che t e' il momento coniugato a H.
Ribadisco cio' che ho detto sopra: non voglio dire che il tempo puo' essere
una coordinata, non lo e' mai nemmeno l' energia, semplicemente perche' cio'
non avrebbe senso!!!
Quel che dico e' che, in certi casi, l' Hamiltoniana (che fisicamente chiamo
energia, ma la cui distinzione da questa a livello formale e' il piu'
frequente avvertimento che fanno i professori di Meccanica Classica) e' una
"buona" coordinata; allora lo e' anche k.
Questa confusione penso si sia ingenerata dalla pessima notazione che ho
usato: sarebbe stato meglio chiamare la variabile canonica E con il simbolo
H!
In meccanica quantistica, pur con gli enormi problemi che emergono, la
distinzione e' chiara: l' energia e' l' autovalore dell' operatore
Hamiltoniano; speravo (ma ora ho raccolto le numerose difficolta' tecniche
che mi avete segnalato) che il tempo, quello che in questa sede e' stato
denotato da t, non sia altro che un autovalore dell' operatore k.
A presto.
Valter Moretti
>
> Come gia' detto, a mio parere sia E che k non hanno il significato
> rispetivamente di energia e tempo: lo acquisiscono solo lungo il moto vero
> (Valter non e' daccordo, ma non ne spiega il motivo...).
Ciao, veramente il motivo l'ho anche spiegato: forse hai postato
questa tua risposta prima di leggere il mio post:
l'Hamiltoniana H(t,q,p) funzione di t,q,p (quando e` scritta in coordinate
derivanti, tramite trasformata di Legandre, da coordinate lagrangiane
in cui i vincoli sono indipendenti dal tempo e la lagrangiana
e` del tipo T-V, V=V(q)) e` sempre l'energia sul moto, l'unico
che a t detto passa per q e p dati. Invece k(t,q,p) non e` "il tempo"
dell'unico moto che passa a t per q e p, dovrebbe essere k(t,q,p)=t
che e` falso.
> Ossia se calcolo l'
> Hamiltoniana lungo una traiettoria diversa da quella data dalle eq.ni di
> Hamilton, essa non ha il significato di energia (la parte cinetica, almeno,
> risulta errata).
Quanto hai scritto e` impossibile. Quando calcoli l'Hamiltoniana per t,q e p
arbitrari (nelle ipotesi di sopra), la calcoli automaticamente su un moto,
l'unico determinato da t, q e p non ci sono altre possibilita`.
Ciao, Valter
Valter Moretti
> devo fare a breve il concorso per il dottorato e cio' mi e' molto
> utile...
Non l'avevo letto: allora preparati bene, su buoni libri!
...Se vieni a provare anche il concorso per il dottorato
in (fisica-)matematica qui a Trento attento perche` e`
probabile che ci sia io in commissione ;-).
Comunque guarda che le domande e gli scritti che si fanno
ai concorsi di dottorato in *fisica* sono in genere ben
lontani dai temi della discussione che stiamo facendo:
sono legati ad argomenti molto piu` curruculari.
Studiati bene la termodinamica, la meccanica quantistica
generale con le diverse applicazioni ed esperimenti
importanti,la struttura della materia e i principi base
della maccanica statistica. La relativita`,l'elettrodinamica,
escono invece molto piu` raramente.
Di meccanica classica in piu` della discussione/deduzione
delle leggi di Keplero non ho mai visto. Teoria dei campi
quantistica e roba simile non le ho mai viste come temi
di concorso.
Le cose sono invece MOLTO diverse se provi a fare il
dottorato alla SISSA...Alla Normale di Pisa (scuola di
specializzazione in Fisica) dipende un po'dall'anno.
Ciao ed in bocca al lupo per i concorsi.
Valter